Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов

Подождите немного. Документ загружается.

311

О п р е д е л е н и е. Предел отношения

∆

при ∆ l → 0 называ-

ется производной функции z = f(x, y) в точке M

, y

) по направ-

лению

и обозначается

∂

(или z′

∂

∆

∆ →

lim .

Производная

∂

характеризует с к о р о с т ь изменения функ-

ции в направлении l

−

Очевидно, что обычные частные производные

∂

пред-

ставляют собой производные по направлениям, параллельным

осям Ox и Oy соответственно. Легко убедиться в том, что для

дифференцируемой функции z = f(x, y):

∂

′

z z z

l x y

cos cos , cos coα β αили ss .β

(26.8)

О п р е д е л е н и е. Градиентом функции z = f(x, y) в точке M

называется вектор, координаты которого равны соответственно

частным производным

∂

в этой точке.

Градиент функции обозначается grad z:

grad или gradz

z z z

x y

∂













′ ′

( )

, , , .

(26.9)

Сравнивая равенства (26.8) и (26.9), видим, что производная

по направлению

есть скалярное произведение векторов

grad z:

∂

l zgrad .

Известно, что скалярное произведение двух векторов имеет

максимальное значение, когда угол между ними равен нулю. Сле-

довательно, производная функции z = f (x, y) по направлению

принимает максимальное значение, когда направления векто-

ров

и grad z совпадают.

Таким образом, градиент функции характеризует н а п р а в -

л е н и е, по которому функция изменяется наиболее быстро.

312

Рассмотрим геометрический смысл градиента. Линия уровня

функции z = f (x, y), проходящая через точку (x

, y

), задается

уравнением f(x, y) = C, где C = f(x

, y

). При определенных усло-

виях это уравнение можно разрешить относительно y, т.е. выра-

зить y в виде y = g (x). (Если это невозможно, то, разрешив урав-

нение относительно x, x = h(y), можно повторить все рассужде-

ния для этого случая.) Известно, что угловой коэффициент

касательной есть g ′(x), т.е. направляющий вектор касательной

имеет координаты (1, g′(x)), или, что то же самое,

1, .













Следо-

вательно, вектор (dx, dy) также есть направляющий вектор каса-

тельной.

Беря дифференциал от левой и правой частей уравнения, зада-

ющего линию уровня, получаем

dy=

∂

= 0,

т.е. скалярное произведение градиента и направляющего вектора

касательной равно нулю, следовательно, эти векторы п е р п е н -

д и к у л я р н ы.

Понятие градиента функции обобщается на случай любого

числа переменных. В частности, для функции u = f(x, y, z):

grad u

∂













, , .

В случае функции трех аргументов все сказанное выше оста-

ется в силе, только вместо линии уровня будет фигурировать по-

верхность уровня, а вместо касательной к линии уровня – каса-

тельная плоскость к поверхности уровня, т.е. плоскость

f ′

, y

, z

)(x – x

) + f ′

, y

, z

)(y – y

) + f ′

, y

, z

)(z – z

) = 0.

П р и м е р 26.5. Найти градиент функции

z x

= +

в точке

(2, 6) и его модуль.

Р е ш е н и е:

grad z

∂

























, , .2

При x = 2, y = 6 по-

лучаем:

grad gradz z

( ),

( , ); | | .

2 6

2 2

4 3 4 3 5= = + =

313

П р и м е р 26.6. Найти градиент функции

u x

z= + −

точке M

(1, 1, 1) и его модуль.

Р е ш е н и е:

grad u

x y z=

∂













= −, , ( , , );2 2

grad gradu u

( ), ,

( , , ); | | ( )

1 1 1

2 2 2

2 1 2 2 1 2 3= − = + + − = ..

26.4. формула тейлора

Пусть функция z = f(x, y) в окрестности некоторой точки

, y

) имеет непрерывные производные всех порядков – до

(n + 1)-го включительно. Придадим x

и y

некоторые приращения

∆ x и ∆y соответственно, причем так, чтобы прямолинейный от-

резок, соединяющий точки (x

, y

) и (x

+ ∆ x, y

+ ∆ y), целиком

принадлежал рассматриваемой окрестности точки (x

, y

Покажем, что в этом случае имеет место следующее равен-

ство:

∆ f(x

, y

) = f(x

+ ∆ x, y

+ ∆ y) – f(x

, y

) = df(x

, y

) +

+ + + +

1 1

0 0 0 0

( , ) ...

( , )

( )!

d f x y

n n 11

f ( , ),ξ η

(26.10)

где ξ – точка, расположенная между x

и x

+ ∆ x, а η – между y

и y

+ ∆ y (ξ = x

+ θ∆ x, η = y

+ θ∆ y, 0 < θ < 1).

Для д о к а з а т е л ь с т в а сделаем замену:

x = x

+ t∆ x, y = y

+ t∆ y, t ∈ [0, 1]. (26.11)

Подставив эти значения x и y в функцию f(x, y), получим слож-

ную функцию от одного аргумента t:

F(t) = f (x

+ t∆ x, y

+ t∆ y).

Формулы (26.11) геометрически выражают прямолинейный

отрезок, соединяющий точки M

, y

) и M

, y

), при этом

точка M

, y

) соответствует значению t = 0, а точка M

, y

) –

значению t = 1.

Теперь приращение ∆ f(x

, y

) = f (x

+ ∆ x, y

+ ∆ y) – f(x

, y

)

можно заменить равным ему приращением ∆ F(0) = F(1) – F(0).

Но функция F(t) является функцией от одной переменной и име-

314

ет непрерывные производные до (n + 1)-го порядка включитель-

но. Следовательно, она может быть разложена по формуле Тейло-

ра. Запишем это разложение в форме (17.13″):

∆ = + + + +F t dF t d F t

d F t

( ) ( )

( ) ...

( )

(

0 0

1 1

+ ∆

( ),d F t t

0 < θ < 1.

Отсюда получаем

∆ = − = + + +F F F dF d F( ) ( ) ( ) ( )

( ) ...0 1 0 0

+ +

< <

0 1

d F

n n

( )

( )!

( ), .θ θ

(26.12)

Заметим при этом, что дифференциал dt, входящий в различ-

ных степенях в правую часть (26.12) (т.е. содержащийся в выраже-

ниях dF(0) = F′(0)dt, d

F(0) = F″(0)dt

, …), равен приращению

∆ t = 1 – 0 = 1.

Теперь с учетом проведенной (линейной) замены (26.11),

а также принимая во внимание сделанное ранее замечание об

инвариантности дифференциала любого порядка по отношению

к линейной замене переменных (см. § 26.2), получаем

dF(0) = f ′

, y

)dx + f ′

, y

)dy = df(x

, y

F(0) = f ″

, y

)dx

+ 2f ″

, y

)dxdy + f ″

, y

)dy

= d

f (x

, y

…

F(0) = d

f(x

, y

Наконец, для дифференциала (n + 1)-го порядка

n + 1

F(θ) = d

n + 1

f(x

+ θ∆ x, y

+ θ∆ y).

Отметим, что дифференциалы dx и dy (как и для независимых

аргументов) равны приращениям ∆ x и ∆ y соответственно.

Действительно, учитывая (26.11) и то, что dt = 1, имеем:

315

dx = x′

dt = (x

+ t∆ x)′

dt = ∆ xdt = ∆x,

dy = y′

dt = (y

+ t∆ y)′

dt = ∆ ydt = ∆y.

Теперь подставим выражения для dF(0), d

F(0), … в (26.12):

∆ f(x

, y

) = f(x

+ ∆ x, y

+ ∆ y) – f(x

, y

) = df(x

, y

) +

+ + + +

0 0 0 0

( , ) ...

( , )d f x y

d f x y

+ ∆ + ∆ < <

0 1

0 0

( )!

( , ), .

d f x x y y

θ θ θ

(26.13)

Мы получили для функции z = f(x, y) формулу Тейлора в диффе-

ренциальной форме. В развернутом виде она (даже для рассматри-

ваемого случая функции двух аргументов) выглядит значительно

сложнее.

Напишем формулу (26.13) с учетом того, что dx = ∆ x, dy = ∆y,

в развернутом виде, ограничившись только двумя членами разло-

жения (т.е. при n = 2):

f(x, y) = f (x

, y

) + f ′

, y

)(x – x

) + f ′

, y

)(y – y

) +

′′

− +

′′

−

0 0 0

( , )( ) ( , )( )f x y x x f x y x x

xx xy

(( )y y− +





′′

−





+f x y y y

( , )( )

0 0 0

′′′

+ ∆ + ∆ − +





0 0 0

( , )( )f x x y y x x

xxx

θ θ

′′′

+ ∆ + ∆ − − +3

0 0 0

f x x y y x x y y

xxy

( , )( ) ( )θ θ

′′′

+ ∆ + ∆ − − +3

0 0 0 0

f x x y y x x y y

xyy

( , )( )( )θ θ

′′′

+ ∆ + ∆ −





f x x y y y y

yyy

( , )( ) .

0 0 0

θ θ

(26.14)

Это формула Тейлора для z = f(x, y) при n = 2. Как видим, выгля-

дит она в развернутом виде громоздко, хотя функция зависит

только от двух переменных, и мы взяли всего два члена разло-

жения.

316

вопросы

Что называется частным приращением функции? Чем отлича-

ется частное приращение от полного?

Что называется частной производной функции нескольких

аргументов по одному из аргументов?

Отличается ли принципиально процесс нахождения частной

производной от процесса дифференцирования функции од-

ного аргумента?

Что такое смешанные частные производные?

Каким свойством обладают непрерывные смешанные частные

производные?

Каков экономический смысл частных производных функции

Кобба – Дугласа?

Что есть эластичность выпуска продукции по труду для функ-

ции Кобба – Дугласа? А что есть эластичность выпуска про-

дукции по затратам капитала для той же функции?

Что такое дифференцируемая функция двух аргументов?

Что называется полным дифференциалом функции двух аргу-

ментов?

Достаточно ли существования частных производных по обоим

аргументам для того, чтобы функция двух аргументов была

дифференцируемой?

Можно ли утверждать, что функция двух аргументов, име-

ющая в данной точке частные производные по обоим аргумен-

там, непрерывна в этой точке?

На чем основано применение полного дифференциала в при-

ближенных вычислениях?

Как определяется производная по данному направлению? Что

характеризует производная по направлению и какой величи-

ной она является – скалярной или векторной?

Что такое градиент функции двух аргументов? Скалярной или

векторной величиной является градиент?

В каком случае производная по направлению принимает наи-

большее значение?

10.

11.

12.

13.

14.

15.

317

В чем заключается геометрический смысл градиента?

Как выглядит формула Тейлора для функции двух аргументов

в дифференциальной форме?

16.

17.

318

Глава 27

экстремумы. условные экстремумы

27.1. локальный экстремум

функцИИ несколькИх переменных

Как уже отмечалось, проводим рассуждения для функции двух

аргументов.

Пусть функция z = f(x, y) определена в некоторой окрестности

точки M

, y

О п р е д е л е н и е. Точка M

, y

) называется точкой локаль-

ного максимума (минимума) функции z = f(x, y), если существует

такая окрестность точки M

, что для всех точек M (x, y) из этой

окрестности выполняется неравенство f(x

, y

) > f(x, y) (соответ-

ственно f(x

, y

) < f(x, y)).

Если M

, y

) – точка локального максимума (минимума)

функции f(x, y), то значение f(x

, y

) называется локальным макси-

мумом (минимумом) функции. Общий термин для локального мак-

симума и минимума – локальный экстремум.

Необходимое условие экстремума

Т е о р е м а 27.1. Если функция z = f(x, y) имеет частные про-

изводные в точке локального экстремума M

, y

), то

f ′

, y

) = f ′

, y

) = 0. (27.1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Зафиксируем y = y

. Получим функцию

одной переменной f (x, y

). Ее производная совпадает с частной

производной f ′

(x, y

), а сама функция имеет локальный экстре-

мум в точке x

. Согласно теореме Ферма (см. § 17.1) f ′

, y

) = 0.

Аналогично, фиксируя x = x

и рассматривая f(x

, y), докажем,

что f ′

, y

) = 0.

Следует отметить, что условие (27.1) не является достаточным

условием экстремума. Рассмотрим, например, функцию z = xy.

Ее частные производные равны нулю в точке O(0, 0), однако

в этой точке функция не имеет экстремума. Действительно,

319

f(0, 0) = 0, но в любой окрестности точки O есть как положитель-

ные, так и отрицательные значения функции.

Точки, в которых выполняются необходимые условия экстре-

мума (т.е. частные производные z′

и z′

равны нулю), называются

критическими, или стационарными. Стационарные точки функции

f(x, y) можно найти, решив систему уравнений

′











f x y

( , ) ,

( , ) .

(27.2)

П р и м е р 27.1. Найти стационарные точки функции

z = x

+ 8y

– 6xy + 1.

Р е ш е н и е: z′

= 3x

– 6y, z′

= 24y

– 6x. Получаем систему

3 6 0

24 6 0

2 0

4 0

x y

y x

x y

y x

− =











− =

или











Из первого уравнения находим 2y = x

, 4y

= x

. Подставляя во

второе уравнение, получаем x

– x = 0, т.е. x(x

– 1) = 0. Это урав-

нение имеет два действительных корня: x

= 0, x

= 1. Из первого

уравнения системы находим y

= 0,

= .

Следовательно, имеет-

ся две стационарные точки: (0, 0) и

, .













Достаточные условия экстремума

Т е о р е м а 27.2. Пусть функция z = f (x, y) имеет непрерывные

частные производные второго порядка в некоторой окрестности

стационарной точки M

, y

), пусть f ″

, y

) = A, f ″

, y

) =

= f ″

, y

) = B, f ″

, y

) = C, D = AC – B

. Тогда: 1) если D > 0,

то функция имеет в точке (x

, y

) локальный экстремум, причем

если A < 0 – локальный максимум, a если A > 0 – локальный ми-

нимум; 2) если D < 0, то в точке (x

, y

) нет экстремума.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим разность ∆f = f(x, y) – f(x

, y

Воспользуемся формулой Тейлора (26.13), ограничившись n = 1

(т.е. разложение будет содержать только первый член и остаточ-

ный член R

∆ f = ∆f(x

, y

) = f ′

, y

)∆ x + f ′

, y

)∆ y +

′′

∆ +

′′

∆ ∆ +

′′

( , ) ( , ) ( ,f x f x y f

xx xy yy

ξ η ξ η ξ η)) .∆









(27.3)

(Здесь ξ = x

+ θ∆ x, η = y

+ θ∆ y, 0 < θ < 1.)

320

Так как точка M

, y

) – стационарная, то первые члены раз-

ложения обращаются в нуль, и мы получаем более простое выра-

жение для приращения функции в точке (x

, y

∆ =

′′

∆ +

′′

∆ ∆ +

′′

f f x f x y f

xx xy yy

( , ) ( , ) (ξ η ξ η ξ,, ) .η ∆









(27.4)

В соответствии с нашими обозначениями

f ″

, y

) = A, f ″

, y

) = B, f ″

, y

) = C.

Так как вторые производные непрерывны, то

f ″

(ξ, η) = f ″

+ θ∆ x, y

+ θ∆ y) = A + α

f ″

(ξ, η) = B + α

, f ″

(ξ, η) = C + α

где α

, α

– бесконечно малые при ∆ x → 0, ∆y → 0.

Теперь можно переписать ∆ f в виде

∆ = ∆ + ∆ ∆ + ∆ + ∆ + ∆ ∆ + ∆f A x B x y C y x x y y

2 2

12 22

α α α









Нас интересует знак разности ∆f. Мы видим, что знак ∆ f зави-

сит от знака выражения D = AC – B

. Обозначим расстояние меж-

ду точками M

, y

) и M(x, y) через r. Очевидно,

r x y= ∆ + ∆

2 2

Теперь ∆ x = r cosϕ, ∆ y = r sinϕ (где ϕ – угол между отрезком M

и Ox). Еще раз перепишем выражение ∆ f:

∆ = + + +





A B C

2 2

2cos cos sin sinϕ ϕ ϕ ϕ

+ + +





α ϕ α ϕ ϕ α ϕ

12 22

2cos cos sin sin .

(27.5)

1. Пусть AC – B

> 0. В этом случае AC > 0, следовательно, А ≠ 0,

и п е р в ы й трехчлен в скобках в выражении (27.5) можно пре-

образовать следующим образом:

A B Ccos cos sin sin

2 2

2ϕ ϕ ϕ ϕ+ + =

= + + −









2 2 2

A B AC B( cos sin ) ( )sin .ϕ ϕ ϕ

(27.6)

Отсюда ясно, что выражение в квадратных скобках (при нашем

предположении AC – B

> 0) всегда положительно. Следователь-

но, упомянутый трехчлен при всех значениях ϕ отличен от нуля

и имеет тот же знак, что и коэффициент А. Этот трехчлен есть

функция аргумента ϕ, непрерывная на отрезке [0, 2π]. Эта функ-

ция, согласно второй теореме Вейерштрасса (см. § 15.2), достигает