Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов

Подождите немного. Документ загружается.

321

на [0, 2π] своего наименьшего значения. Это наименьшее значе-

ние отлично от нуля. Следовательно, модуль этого квадратного

трехчлена имеет положительное наименьшее значение m:

|A cos

ϕ + 2B cosϕ sinϕ + C sin

ϕ | ≥ m > 0.

Рассмотрим теперь в т о р о й трехчлен в скобках в правой

части равенства (27.5). Очевидно,

|α

cos

ϕ + 2α

cosϕ sinϕ + α

sin

ϕ | ≤ |α

| + 2|α

| + |α

Так как α

, α

– бесконечно малые при ∆ x → 0, ∆y → 0, то

при достаточно малых ∆ x и ∆y будет выполняться неравенство

|α

| + 2|α

| + |α

| < m.

Поэтому выражение в скобках в правой части равенства (27.5) бу-

дет сохранять тот же знак, что и первый из трехчленов, т.е. знак А.

Следовательно, и левая часть ∆f = f(x, y)

–

f(x

, y

) сохраняет знак А.

Итак, если А > 0, то и ∆f > 0, т.е. в точкe (x

, y

) функция

имеет м и н и м у м; в случае же А < 0 будет ∆ f < 0, т.е. имеется

м а к с и м у м.

2. Пусть теперь AC – B

< 0. Рассмотрим отдельно случаи,

когда А ≠ 0 и А = 0.

1) А ≠ 0. Снова воспользуемся преобразованием (27.6). Убе-

димся, что в этом случае в сколь угодно малой близости от рассма-

триваемой точки M

, y

) разность ∆f может быть и положитель-

ной, и отрицательной, т.е. в точке M

, y

) экстремума нет.

Пусть ϕ = ϕ

= 0. Тогда в правой части равенства (27.6) выра-

жение в квадратных скобках будет положительно (и равно A

Если же ϕ = ϕ

определить из условия A cos ϕ + B sin ϕ = 0

(т.е.

= − arctg

), то упомянутое выражение будет отрицатель-

ным (и равно (AC – B

)sin

Как уже отмечалось, второй трехчлен в правой части равенства

(27.5) при достаточно малом r на знак ∆ f не влияет.

Очевидно, мы можем сколь угодно близко к M

, y

) взять

точку M

, y

) так, чтобы отрезок M

образовывал с Ox угол

ϕ = ϕ

= 0. Для нее ∆ f > 0. Точно так же мы можем сколь угодно

близко к M

, y

) взять точку M

, y

) так, чтобы отрезок

образовывал с Ox угол ϕ = ϕ

. Для этой точки будет ∆ f < 0.

Итак, в рассматриваемом случае AC – B

< 0, А ≠ 0 в любой

близости от рассматриваемой точки (x

, y

) разность ∆ f может

322

быть как положительной, так и отрицательной. Следовательно,

в этой точке экстремума нет.

2) А = 0. В этом случае

A cos

ϕ + 2B cosϕ sinϕ + C sin

ϕ = 2B cosϕ sinϕ + C sin

ϕ =

= sinϕ (2B cosϕ + C sinϕ).

Очевидно, B ≠ 0 (в противном случае AC – B

= 0).

Выберем такой угол ϕ

∼

, чтобы

|C sin ϕ

∼

| < |2B cos ϕ

∼

Тогда при ϕ = ϕ

∼

и ϕ = –ϕ

∼

трехчлен (27.6) будет иметь противопо-

ложные знаки. Поэтому (повторяя проведенные рассуждения)

убеждаемся, что экстремума в точке M

, y

) нет.

Теорема доказана.

B случае когда AC – B

= 0, вопрос об экстремуме остается

открытым и для его решения требуется дополнительное исследо-

вание (например, с привлечением высших производных).

Заметим, что

f x y f x y

f x y f

xx xy

yx yy

′′ ′′

( , ) ( , )

( , )

0 0 0 0

0 0

(( , )

x y

0 0

П р и м е р 27.2. Исследовать на экстремум функцию

z = 3x

– x

+ 3y

+ 4y.

Р е ш е н и е: z′

= 6x – 3x

= 3(2x – x

), z′

= 6y + 4 = 2(3y + 2).

Получаем систему

2 0

3 2 0

x x

− =

+ =











Решая систему, находим две стационарные точки:

, −













, .−













Найдем частные производные второго порядка:

z″

= 6 – 6x, z ″

= 0, z″

= 6.

Вычислим A, B, C и D для каждой стационарной точки:

• для точки

, −













= 6, B

= 0, C

= 6, D

= 6 ⋅ 6 – 0 = 36 > 0 – экстремум есть;

323

= 6 > 0, следовательно, минимум;

z f

min

, ;= −













= −0

• для точки

, −













= –6, B

= 0, C

= 6, D

= –36 < 0 – экстремума нет.

П р и м е р 27.3. Исследовать на экстремум функцию

z = x

+ 8y

– 6xy + 1.

Р е ш е н и е. Первые частные производные и стационарные

точки (0, 0) и













этой функции были найдены в примере 27.1.

Так как z″

= 6x, z″

= –6, z ″

= 48y, то в точке (0, 0) будет A = 0,

B = –6, C = 0, D = –36 < 0, следовательно, экстремума нет. В точ-

ке













имеем A = 6, B = –6, C = 24, D = 108 > 0 – экстремум

есть; A > 0, следовательно, минимум;

z f

min

, .=













27.2. наИбольшее И наИменьшее значенИя

функцИИ в замкнутой областИ

Наибольшее и наименьшее значения (т.е. глобальный макси-

мум и минимум) функции, непрерывной на некотором замкнутом

множестве, могут достигаться или в точках экстремума, или на

границе множества.

П р и м е р 27.4. Найти наибольшее и наименьшее значения

функции z = x

+ y

в круге радиуса 2 с центром в точке (0, 1).

Р е ш е н и е. Очевидно, граница области имеет уравнение

+ (y – 1)

= 4.

Найдем частные производные: z′

= 2x, z′

= 2y. Приравнивая

их к нулю, находим единственную стационарную точку O(0, 0).

Исследуем функцию на границе области. Подставляя из урав-

нения границы x

= 4 – (y – 1)

в функцию z = x

+ y

, получаем

функцию одной переменной z = 4 – (y – 1)

+ y

, т.е. z = 2y + 3.

Очевидно, y ∈ [–1, 3]. Эта функция не имеет стационарных то-

324

чек, поэтому ее наибольшее и наименьшее значения могут дости-

гаться только на концах отрезка [–1, 3].

Значение функции z = x

+ y

в стационарной точке (0, 0) рав-

но 0. Значение функции z = 2y + 3

при y = –1 равно 1, а при y = 3

равно 9. Сравнивая эти три значения, находим z

наиб

= f (0, 3) = 9,

наим

= f(0, 0) = 0.

27.3. условный экстремум

Рассмотрим задачу нахождения экстремумов функции н е -

с к о л ь к и х аргументов при наличии дополнительных условий,

связывающих значения аргументов. Такие экстремумы называ-

ются условными.

Например, пусть необходимо найти экстремумы функции

z = х

y, (*)

если ее аргументы удовлетворяют условию

2x + y – 1 = 0. (**)

В этом случае экстремумы ищутся не на всей плоскости Oxy,

а только на прямой 2x + y – 1 = 0. Подставим в (*) выражение

y = –2x + 1 из условия (**), и задача об условном экстремуме

функции (*) сведется к задаче нахождения безусловного экстре-

мума функции z = х

(–2x + 1) = х

– 2х

. Итак, z′ = 2x – 6x

= 2x(1 – 3x). Таким образом, исходная функция имеет минимум

при x = 0 и максимум при

x =

т.е. функция z = х

y при нали-

чии связи (**) имеет условный минимум z = 0 в точке (0, 1) и

условный максимум

z =

в точке

, .













О п р е д е л е н и е. Функция u = f(M) = f(x

, x

, ..., x

) имеет

условный максимум (минимум) в точке M

, x

, ..., x

), если

существует такая окрестность точки M

, что для всех точек

M(x

, x

, ..., x

) этой окрестности, удовлетворяющих m уравнениям

(m < n):

g x x

n1 1

0( ,..., ) ,

..........................

mm n

x x( ,..., ) ,











(27.7)

выполняется неравенство f(M

)

f(M) (соответственно f(M

)

f(M)).

Уравнения (27.7) называются уравнениями связи.

325

Задача нахождения условного экстремума сводится к исследова-

нию на обычный экстремум функции

L(x

, ..., x

, λ

, ..., λ

) =

= f(x

, ..., x

) + λ

, ..., x

) +...+ λ

, ..., x

Функция L называется функцией Лагранжа, а числа λ

, …, λ

–

множителями Лагранжа.

Н е о б х о д и м ы е условия условного экстремума выражаются

системой m + n уравнений

∂

= =

L M

i n

g M k m

( )

, , ,..., ,

( ) , , ,..., ,

0 1 2











(27.8)

из которой могут быть найдены неизвестные x

, ..., x

; λ

, …, λ

где x

, ..., x

– координаты точки, в которой возможен условный

экстремум.

Д о с т а т о ч н ы е условия условного экстремума связаны с

изучением второго дифференциала функции Лагранжа d

L: если

в точке возможного экстремума M

выполняется неравенство

L < 0, то в этой точке имеет место условный максимум, если же

L > 0, то условный минимум.

В случае функции д в у х переменных z = f(x, y) при уравне-

нии связи g(x, y) = 0 функция Лагранжа имеет вид

L(x, y, λ) = f(x, y) + λ g (x, y).

Система (27.8) состоит из трех уравнений:

∂

= =

g x y0 0 0, , ( , ) .

Пусть (x

, y

, λ

) – любое из решений этой системы, M

, y

) –

точка возможного экстремума и

∆ = −

′ ′

′ ′′ ′′

0 0

0 0 0

g M g M

g M L M L

x y

x xx xy

( ) ( )

( ) ( , ) (λ

g M L M L M

y yx yy

0 0

0 0 0 0 0

, )

( ) ( , ) ( , )

.λ

λ λ

′ ′′ ′′

Тогда если ∆ < 0, то функция z = f(x, y) имеет в точке M

, y

)

условный максимум, если ∆ > 0, то условный минимум.

326

П р и м е р 27.5. Найти условный экстремум функции z =

2x + y

при x

+ y

= 1.

Р е ш е н и е. Составим функцию Лагранжа:

L(x, y, λ) = 2x + y + λ (x

+ y

– 1).

Имеем

∂

= +

∂

= +

y2 2 1 2λ λ, .

Система уравнений (27.8) имеет вид

2 2 0

1 2 0

1 0

2 2

+ =

+ − =











x y

Находим решения этой системы:

x y

1 1 1

= − = − =, , ;λ

x y

2 2 2

= = = −, , .λ

Имеем:

g(x, y) = x

+ y

– 1, g′

= 2x, g ′

= 2y,

′

− −













= −

′

− −













= −g g

x y

, , , ,

′′

= =L L L

xx xy yy

5 0 5

, , .при λ

Следовательно,

∆ = −

− −

−

= >

5 0

0 5

4 5 0,

т.е. функция имеет условный минимум в точке

− −













, ,

min

.= − 5

Аналогично для точки

, :













327

∆ = − −

−

= − <

5 0

0 5

4 5 0,

т.е. в точке

, :













функция имеет условный максимум,

max

.= 5

27.4. метод наИменьшИх квадратов

Метод наименьших квадратов применяется в теории ошибок.

Он относится к так называемым методам аппроксимации, т.е. при-

ближенного выражения каких-либо математических объектов че-

рез другие, более простые.

На практике мы часто сталкиваемся с необходимостью «сгла-

дить» зависимости, выявленные в результате наблюдений. Обычно

задача формулируется так: имеются данные наблюдений в n точ-

ках M

, M

, …, M

некоторой величины u и получены соответ-

ствующие значения этой величины u

, u

, …, u

; надо подобрать

такую функцию u = f(M), чтобы она наиболее точно выражала

общую зависимость измеряемой величины от параметров точек

измерений M

, M

, …, M

Формулы, аналитически представляющие опытные данные

(или результаты измерений), называются эмпирическими.

Рассмотрим для простоты случай, когда точки M

, в которых

проводятся измерения, имеют одну координату x

, т.е. зависи-

мость между переменными x и y представлена в виде набора

, x

, …, x

и соответствующих значений y

, y

, …, y

. Эти пары

значений изображаются на координатной плоскости точками

, y

), (x

, y

), …, (x

, y

). Ломаная, которая соединяет эти точки,

называется экспериментальной кривой (рис. 27.1).

Необходимо найти аналитическое представление зависимости

между x и y в виде формулы y = f (x). Вид функции y = f(x) опре-

328

деляется экономическими или иными соображениями. Обычно в

качестве таких функций используются следующие:

• y = ax + b – линейная;

• y = ax

+ bx + c – параболическая;

•

b= +

– гиперболическая;

• y = ae

– экспоненциальная.

(Используются также логарифмическая, степенная и другие

функции.)

Задача нахождения эмпирических формул обычно решается в

два этапа.

На п е р в о м этапе определяют общий вид зависимости

y = f(x), т.е. необходимо решить, является ли она линейной, квад-

ратичной, экспоненциальной или еще какой-нибудь.

Предположим, что результаты измерений (экспериментальные

данные) нанесены на координатную сетку (рис. 27.2).

рис. 27.2. Определение общего вида зависимости y = f(x)

Очевидно, существует много различных кривых, проходящих

через эти точки. В случае, изображенном на рис. 27.2, кривая 1 для

рис. 27.1. Экспериментальная кривая

329

исследователя предпочтительнее кривой 2. Следует подчеркнуть,

что первый этап – этап подбора вида эмпирической функции –

весьма важен. Мы видим, что кривая 2 на рис. 27.2, хотя и прохо-

дит через соответствующие точки, но не дает удовлетворительного

представления зависимости между x и y.

На практике для проверки правильности выбора функции

y = f(x) проводятся дополнительные исследования, т.е. осущест-

вляются дополнительные измерения величин x, y и на коорди-

натную плоскость наносятся дополнительные точки. Если они

оказываются на достаточно близком расстоянии от выбранной

кривой, то считают, что вид кривой установлен, т.е. установлен

вид функции y = f (x). После выбора вида функции переходят ко

второму этапу.

На в т о р о м этапе определяют параметры выбранной эм-

пирической функции y = f (x). В указанных выше функциях

(см. с. 328) параметрами являются неизвестные числа a, b и c.

Параметры следует выбрать такими, чтобы значения эмпирической

функции менее всего отклонялись бы в точках x

, x

, …, x

от из-

меренных значений.

Метод наименьших квадратов (предложенный К. Гауссом) за-

ключается в том, чтобы минимизировать сумму квадратов откло-

нений «теоретических» значений f(x

), найденных по эмпиричес-

кой формуле y = f(x), от соответствующих экспериментальных

значений y

. Иначе говоря, величина

S f x y

i i

= = −

= =

∑ ∑

( ( ) )

должна быть м и н и м а л ь н о й (рис. 27.3).

рис. 27.3. Иллюстрация метода наименьших квадратов

330

Проиллюстрируем общий метод наименьших квадратов на

примере линейной функции. Итак, пусть в качестве y = f(x) взята

функция y = ax + b и необходимо найти такие значения неизвест-

ных параметров a и b, при которых функция

S ax b y

i i

= + −

∑

( )

принимает наименьшее значение. Здесь x

и y

– постоянные,

найденные экспериментально, а функция S есть функция пара-

метров a и b: S = S(a, b).

Итак, найдем критические точки функции S(a, b), а затем ис-

следуем их. Для нахождения критических точек надо решить сис-

тему

′











S a b

( , ) ,

или, что то же самое,

2 0

( ) ,

( ) .

ax b y x

ax b y

i i i

i i

+ − =







∑







После очевидных элементарных преобразований получим эк-

вивалентную ей систему, называемую системой нормальных урав-

нений,

x a x b x y

i i

1 1 1= = =

∑ ∑ ∑

























= ,

a nb y

= =

∑ ∑













+ =











1 1

(27.9)

Эта система линейна относительно неизвестных a и b. Опреде-

литель этой системы отличен от нуля:

x x

x n

n x x

= = −

= =

∑ ∑

∑

∑ ∑

1 1













≠

(27.10)

(Можно даже доказать, что этот определитель положителен.)