Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов

Подождите немного. Документ загружается.

361

Прежде всего установим некоторые основные свойства линей-

ных однородных уравнений.

Структура общего решения однородного линейного

дифференциального уравнения

Рассмотрим уравнение вида

y″ + p(x)y ′ + q(x)y = 0. (30.8)

В дальнейшем увидим, что для того чтобы уметь решать урав-

нение (30.7), в котором f(x) ≠ 0, надо также уметь решать уравне-

ние (30.8). Рассмотрим два простых свойства решений уравне-

ния (30.8).

1. Если y

– решение уравнения (30.8), а С – постоянная, то

п р о и з в е д е н и е Cy

также является решением этого уравнения.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Подставим y = Cy

в уравнение (30.8).

Так как

y′ = C y′

, y″ = C y″

то левая часть уравнения в результате подстановки выглядит так:

Cy ″

+ p(x)Cy ′

+ q(x)Cy

или, что то же самое,

C(y″

+ p(x)y′

+ q(x)y

Так как y

является решением дифференциального уравнения

(30.8), то выражение, стоящее в скобках, тождественно равно ну-

лю. Таким образом, уравнение (30.8) обратилось в тождество.

Утверждение доказано.

2. Если y

и y

– решения дифференциального уравнения

(30.8), то их с у м м а y

также есть решение этого уравнения.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как

y′ = y ′

+ y′

, y″ = y ″

+ y″

и так как y

и y

– решения уравнения (30.8), то справедливы

тождественные равенства

y″

+ p(x)y′

+ q(x)y

= 0, y″

+ p(x)y′

+ q(x)y

= 0. (*)

Подставляя в уравнение (30.8) сумму y

+ y

и принимая во

внимание тождества (*), получаем

)″ + p(x)(y

)′ + q(x)(y

) =

= (y ″

+ p(x)y′

+ q(x)y

) + (y ″

+ p(x)y′

+ q(x)y

) = 0 + 0 = 0.

Итак, уравнение (30.8) обратилось в тождество. Утверждение

доказано.

362

О п р е д е л е н и е. Две функции y

и y

называются линейно

независимыми, если тождественное равенство

+ k

= 0 (**)

имеет единственное возможное решение

= k

= 0.

Если же существует ненулевое решение (**), то функции y

и y

называются линейно зависимыми.

Очевидно, функции y

и y

линейно независимы тогда и толь-

ко тогда, когда их отношение не является константой:

≠ const .

О п р е д е л е н и е. Если y

= y

(x), y

= y

(x), то определитель

W x

y y

y y y y( ) =

′ ′

′

−

′

1 2

1 2 2 1

называется определителем Вронского данных функций.

Л е м м а 30.1. Если функции y

= y

(x) и y

= y

(x) л и н е й н о

з а в и с и м ы на отрезке [a, b], то определитель Вронского, со-

ставленный из них, тождественно равен нулю на этом отрезке;

если же функции л и н е й н о н е з а в и с и м ы на [a, b], то опре-

делитель Вронского отличен от нуля на [a, b].

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функции y

и y

линейно зави-

симы на отрезке y

и y

. Тогда эти функции пропорциональны на

[a, b], т.е. y

= ky

. Следовательно, определитель W(x) содержит

пропорциональные столбцы, поэтому он равен нулю на отрезке

[a, b]:

W x

y y

y ky

( ) .=

′ ′

1 2

1 1

Первая часть леммы доказана.

Доказательство второй части леммы проведем от противного.

Пусть функции y

= y

(x) и y

= y

(x) линейно независимы на

отрезке [a, b]; предположим, что определитель W(x) тождествен-

но равен нулю на этом отрезке. Тогда его столбцы необходимо

пропорциональны: y

= ky

, y′

= ky′

. А это значит, что функции

и y

пропорциональны, а потому линейно зависимы, что про-

тиворечит условию леммы. Доказательство закончено.

363

Л е м м а 30.2. Если определитель Вронского W(x), состав-

ленный для решений y

и y

однородного линейного уравнения

(30.8), не равен нулю при каком-нибудь значении x = x

на отрез-

ке [a, b] и коэффициенты уравнения непрерывны на этом отрезке,

то W(x) не обращается в нуль ни при каком значении x на этом

отрезке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как y

= y

(x) и y

= y

(x) – реше-

ния уравнения (30.8), то справедливы тождества

y″

+ p(x)y′

+ q(x)y

= 0, y″

+ p(x)y′

+ q(x)y

= 0.

Умножим второе равенство на y

, а первоe – на y

и вычтем из

второго равенства первое:

y″

– y″

) + p(x)(y

y′

– y′

) = 0. (30.9)

Разность, стоящая во второй скобке, есть определитель Врон-

ского W(x). Действительно, W(x) = y

y′

– y′

. Продифферен-

цируем W(x):

W ′(x) = (y

y′

– y′

)′ =

= y′

y′

+ y

y″

– y″

– y′

y′

= y

y″

– y″

Как видим, разность, стоящая в первой скобке уравнения (30.9),

есть производная от определителя Вронского, поэтому уравнение

(30.9) может быть представлено в виде

W ′ + p(x)W = 0, (30.10)

т.е. является дифференциальным уравнением с разделяющимися

переменными. Найдем решение этого уравнения, удовлетворя-

ющее условию W(x

) = W

в предположении, что W

≠ 0. Разде-

ляя переменные, получаем

p x dx= − ( ) .

Интегрируя, находим

ln | | ( ) ln | |.W p x dx C

= − +

∫

Отсюда

ln ( ) ,

p x dx

= −

∫

364

и мы получаем общее решение уравнения (30.10):

W C p x dx

= −













∫

exp ( ) .

(30.11)

(Напомним, что expa oзначает e

при любом a.)

Формула (30.11) называется формулой Лиувилля.

Определим теперь константу С так, чтобы выполнялось началь-

ное условие W(x

) = W

. Подставим x = x

в левую и правую части

равенства (30.11). Получаем (с учетом того, что

p x dx

( )

∫

= С.

Подставляем найденное значение С = W

в равенство (30.11).

Итак, решение уравнения (30.10), удовлетворяющее начальным

условиям W(x

) = W

, имеет вид

W W p x dx

= −













∫

exp ( ) .

Тогда (так как показательная функция не обращается в нуль ни

при каком значении аргумента и так как по условию W

≠ 0) из

последнего равенства следует, что W ≠ 0 ни при каком значе-

нии x. Доказательство закончено.

Из доказанных ранее свойств 1 и 2 решений однородного ли-

нейного дифференциального уравнения (30.8) следует, что линей-

ная комбинация решений y

(x) и y

(x) уравнения (30.8), т.е.

y = C

(x) + C

(x),

где C

и C

– константы, также есть решение уравнения (30.8).

Сформулируем и докажем теорему, описывающую структуру

общего решения однородного линейного дифференциального урав-

нения.

Т е о р е м а 30.1. Если y

(x) и y

(x) – линейно независимые

на [a, b] частные решения однородного линейного дифференци-

ального уравнения (30.8), то общее решение этого уравнения име-

ет вид

y = C

(x) + C

(x), (30.12)

где C

и C

– произвольные константы.

365

Д о к а з а т е л ь с т в о. Ранее было установлено, что линейная

комбинация (30.12) есть решение уравнения (30.8); нужно дока-

зать, что она представляет собой общее решение, т.е. надо показать,

что для любых начальных условий существуют такие значения

констант C

и C

, при которых эта линейная комбинация есть ре-

шение, удовлетворяющее этим начальным условиям.

Возьмем любое число x

∈ [a, b] и любые числа y

, y′

и соста-

вим начальные условия:

y(x

) = y

, y′(x

) = y′

Выполнение этих условий для функции (30.12) означает, что

C y x C y x y

1 1 0 2 2 0 0

1 1 0 2 2 0

( ) ( ) ,

( ) ( )

+ =

′











Мы получили линейную относительно неизвестных констант

и C

систему двух уравнений. Определителем этой системы

является определитель Вронского W(x

), и так как y

и y

линей-

но независимы, то этот определитель не равен нулю. Следователь-

но, система имеет единственное решение при любых значениях

правых частей y

и y′

= C

, C

= C

Подставляя эти значения в решение (30.12), получим частное

решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Так

как начальные условия заданы произвольно, можно утверждать,

что решение (30.12) является общим решением уравнения (30.8).

Теорема доказана.

З а м е ч а н и е. Если отбросить условие линейной зависимости

функций y

и y

, то функция (30.12), хотя и останется решением

дифференциального уравнения (30.8), уже не будет его общим

решением.

Действительно, пусть, например,

5= .

Тогда y

= 5y

и (30.12) имеет вид

y = C

+ C

= 5C

+ C

= (5C

+ C

= Cy

где положено 5C

+ C

= C. Иначе говоря, в случае когда функции

и y

л и н е й н о з а в и с и м ы, число произвольных постоян-

ных, входящих в (30.12), за счет введения новых обозначений

366

может быть снижено до одной, а функция, содержащая одну про-

извольную константу, не может быть общим решением диффе-

ренциального уравнения (30.8).

Смысл теоремы 30.1 заключается в том, что она сводит задачу

нахождения о б щ е г о решения дифференциального уравнения

(30.8) к более простой задаче нахождения двух линейно независи-

мых ч а с т н ы х решений этого уравнения. Этой последней зада-

чей мы и займемся теперь, однако ограничимся самым простым

случаем, когда коэффициенты уравнения постоянны: p(x) = p =

= const, q(x) = q = const.

Однородные линейные дифференциальные уравнения

с постоянными коэффициентами

Рассмотрим уравнение вида

y″ + py ′ + qy = 0, (30.13)

где p и q – некоторые постоянные.

Займемся сначала нахождением общего решения уравнения

(30.13). В соответствии с теоремой 30.1 для этого надо найти два

линейно независимых частных решения этого уравнения.

Решение уравнения (30.13) будем искать в виде

y = e

. (30.14)

Так как

y′ = ke

, y″ = k

то, подставляя (30.14) в левую часть (30.13), получим

+ pke

+ qe

= 0, или e

+ pk + q) = 0.

Итак, для того чтобы (30.14) было решением уравнения (30.13),

надо, чтобы k было корнем квадратного уравнения

+ pk + q = 0. (30.15)

Это уравнение называется характеристическим для дифферен-

циального уравнения (30.13).

Возможны три случая.

1. Корни уравнения (30.15) д е й с т в и т е л ь н ы е и р а з -

л и ч н ы е: k

= a, k

= b, a ≠ b. Тогда (30.13) имеет два решения:

= e

, y

= e

Эти решения линейно независимы, так как

const

≠ .

367

Общее решение уравнения (30.13) таково:

y = C

+ C

П р и м е р 30.4. Решить уравнение y″ – 5y ′ + 4y = 0.

Р е ш е н и е. Составляем характеристическое уравнение:

– 5k + 4 = 0.

Находим его корни: k

= 1, k

= 4. Получаем общее решение

данного уравнения:

y = C

+ C

2. Корни уравнения (30.15) д е й с т в и т е л ь н ы е и с о в п а -

д а ю щ и е: k

= k

= a

= −













Одним из частных решений

уравнения (30.13) будет

= e

Однако второе решение y

, такое, чтобы y

и y

были линейно

независимы, мы найти пока не можем.

B этом случае оказывается, что, наряду с решением

= e

у уравнения (30.13) имеется решение

= xe

Убедимся в этом. Для того чтобы характеристическое уравне-

ние k

+ pk + q = 0 имело равные корни, а они выражаются в виде

p p

1 2

2 4

,= − ± −

надо, чтобы дискриминант был равен нулю:

0− = .

Иначе говоря, условием совпадения корней является

равенство

= .

Тогда

k k

1 2

= = − ,

и одним из решений уравнения (30.13) бу-

дет функция

−

e .

368

Убедимся в том, что решением уравнения (30.13) будет также

y x

−

e .

Находим производные y′

и y″

′

= −

′′

= − +

− − − −

x y p

2 2

2 4

e e e e, .

Подставим y

и ее производные в левую часть уравнения (30.13):

− + + −













− − − −

x p

x q

e e e e

2 2 2

4 2

−

Сделав очевидные преобразования, получаем

−













−

e .

Это выражение равно нулю (так как

− =

), и утверждение

доказано.

Итак,

y y x

= =

− −

e и e

– два решения уравнения (30.13)

в случае, когда корни характеристического уравнения совпадают.

Линейная независимость y

и y

очевидна. Поэтому общее реше-

ние дифференциального уравнения (30.13) имеет вид

y C C x

− −

e + e .

Итак, отметим еще раз, что справедливо у т в е р ж д е н и е:

если характеристическое уравнение имеет с о в п а д а ю щ и е

корни k

= k

= a, то наряду с функцией

= e

решением дифференциального уравнения (30.13) будет также

функция

= xe

Тогда общим решением уравнения (30.13) будет функция

y = C

+ C

. (30.16)

Следует заметить, что в случае, когда характеристическое урав-

нение имеет два р а з л и ч н ы х корня k

= a, k

= b ≠ a, функ-

ция y = xe

a x

не будет решением дифференциального уравне-

ния (30.13).

369

П р и м е р 30.5. Решить уравнение y″ – 4y ′ + 4y = 0.

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение k

– 4k + 4 = 0

имеет два совпадающих корня k

= k

= 2. Поэтому общее реше-

ние данного уравнения таково:

y = C

+ C

3. Корни характеристического уравнения к о м п л е к с н ы е

с о п р я ж е н н ы е: k

1, 2

= α ± iβ, где i – мнимая единица, i

= –1.

В этом случае можно доказать, что общим решением уравнения

(30.13) будет

y = e

α x

cosβ x + C

sinβ x).

(Примем это утверждение без доказательства.)

П р и м е р 30.6. Решить уравнение y″ – 4y ′ + 13y = 0.

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение k

– 4k + 13 = 0

имеет корни k

1, 2

= 2 ± 3i. Общее решение данного уравнения

y = e

cos3x + C

sin3x).

30.4. структура общеГо решенИя

неоднородноГо лИнейноГо

дИфференцИальноГо уравненИя

Перейдем теперь к неоднородному линейному дифференци-

альному уравнению

y″ + p(x)y′ + q(x)y = f(x). (30.17)

Вместе с ним рассмотрим однородное линейное уравнение с той

же левой частью, т.е. уравнение

y″ + p(x)y′ + q(x)y = 0. (30.18)

Уравнение (30.18) называют соответствующим, или сопровож-

дающим, уравнением для дифференциального уравнения (30.17).

Т е о р е м а 30.2. Если y

∼

– какое-нибудь частное решение

дифференциального уравнения (30.17), а y

– общее решение его

сопровождающего уравнения (30.18), то их сумма

y = y

+ y

∼

(30.19)

является общим решением дифференциального уравнения

(30.17).

(Иначе говоря, общее решение н е о д н о р о д н о г о линейного

дифференциального уравнения есть сумма его частного решения

и общего решения соответствующего о д н о р о д н о г о уравнения.)

370

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Пусть y

∼

– частное решение неодно-

родного уравнения (30.17), а y

= C

+ C

– общее решение

сопровождающего однородного уравнения. Убедимся сначала,

что функция

y = y

+ y

∼

является решением уравнения (30.17). Подставим функцию (30.19)

в левую часть уравнения (30.17):

y″

+ y

∼

″ + p(x)(y ′

+ y

∼

′) + q(x)(y

+ y

∼

Перегруппировав члены, получаем

[y ″

+ p(x)y′

+ q(x)y

] + [ y

∼

″ + p(x)y

∼

′ + q(x)y

∼

Так как y

– решение уравнения (30.18), то выражение в пер-

вых квадратных скобках равно нулю. Так как y

∼

есть решение

уравнения (30.17), то выражение, стоящее во вторых квадратных

скобках, равно f (x). Итак, подставив (30.19) в уравнение (30.17),

получаем тождество f(x) = f (x).

Следовательно, функция (30.19) действительно является реше-

нием дифференциального уравнения (30.17).

2. Теперь надо убедиться в том, что функция (30.19) является

общим решением неоднородного уравнения (30.17). Пусть y – лю-

бое решение неоднородного уравнения (30.17), а y

∼

– решение

этого же уравнения (30.17).

Рассмотрим разность y – y

∼

. Покажем, что эта разность являет-

ся решением однородного уравнения (30.18), для чего подставим

ее в левую часть уравнения (30.18) и сгруппируем соответству-

ющие слагаемые:

(y – y

∼

)″ + p(x)(y – y

∼

)′ + q(x)(y – y

∼

) =

= [y ″ + p(x)y′ + q(x)y] – [y

∼

″ + p(x)y

∼

′ + q(x)y

∼

] = f(x) – f (x) = 0.

Следовательно, эта разность есть частное решение однородно-

го уравнения (30.18), и это решение можно записать в виде

y – y

∼

= C

+ C

где C

и C

– соответствующие значения констант C

и C

формуле общего решения однородного уравнения.

Мы доказали, что любое решение уравнения (30.17) можно

получить по формуле (30.19) путем соответствующего подбора

констант C

и C

. Следовательно, функция (30.19) является об-

щим решением неоднородного линейного дифференциального

уравнения (30.17). Доказательство закончено.