Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов

Подождите немного. Документ загружается.

381

Получаем общее решение:

y = C

–x

+ C

–x

+ (x

– x

–x

Естественно возникает вопрос о нахождении частного реше-

ния дифференциального уравнения вида

y″ + py ′ + qy = f

(x) + f

(x),

где f

(x) и f

(x) – функции различных видов (например, f

(x) =

= ax

+ bx + c, f

(x) = e

). Имеет место следующее утверждение.

Л е м м а 30.3. Если y

– решение дифференциального урав-

нения

y″ + py ′ + qy = f

(x),

а y

– решение дифференциального уравнения

y″ + py ′ + qy = f

(x),

то сумма этих решений y = y

+ y

является решением дифферен-

циального уравнения

y″ + py ′ + qy = f

(x) + f

(x).

(Эту лемму называют принципом наложения.)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Лемма доказывается несложно – непо-

средственной подстановкой. Подставим сумму y = y

+ y

в левую

часть уравнения. Получим выражение

+ y

)″ + p(y

+ y

)′ + q(y

+ y

Перегруппировав члены, получаем

(y ″

+ py′

+ qy

) + (y ″

+ py′

+ qy

Но так как y

есть решение уравнения y″ + py′ + qy = f

(x), то

выражение в первых скобках тождественно равно f

(x). По анало-

гичной причине выражение во второй скобке равно f

(x). Итак,

левая часть тождественно равна f

(x) + f

(x). Уравнение обраща-

ется в тождество: f

(x) + f

(x) ≡ f

(x) + f

(x). Доказательство закон-

чено.

Заметим, что доказанное утверждение верно также и для слу-

чая, когда коэффициенты p и q зависят от x: p = p(x), q = q(x).

П р и м е р 30.15. Решить уравнениe y″ + 5y ′ = 10x + 12 + 6e

Р е ш е н и е. Решая уравнение y″ + 5y′ = 10x + 12, получаем:

= C

+ C

–5x

, y

∼

= x

+ 2x (см. пример 30.8). Очевидно, y

∼

= e

Поэтому общее решение y = C

+ C

–5x

+ x

+ 2x + e

382

С. Пусть f (x) = P

(x)e

α x

cosβ x + Q

(x)e

α x

sinβ x. В этом случае

можно воспользоваться приемом, примененным в предыдущем

случае, если перейти от тригонометрических функций к показа-

тельным. В более подробном курсе математики рассматривается

формула Эйлера, выражающая показательную функцию с мнимым

показателем через тригонометрические функции (здесь i – мни-

мая единица, i

= –1):

= cos x + i sin x. (30.22)

Заменяя в этой формуле x на –x, получим

–ix

= cos x – i sin x. (30.23)

Из равенств (30.22) и (30.23)легко найти cos x и sin x:

cos , sin .x x

ix ix ix ix

−

− −

e e e e

2 2

Эти формулы также называют формулами Эйлера. Применяя

их, получаем

f x P x Q x

i x i x

( ) ( ) ( )=

−

− −

e e

β β

2 22i

или

f x P x

Q x P x

m n

i x

( ) ( ) ( ) ( )

( )

= +













α β

−−













−

Q x

i x

( ) .

( )

α β

Здесь в квадратных скобках стоят многочлены, степени кото-

рых равны наибольшей из степеней P

(x) и Q

(x), т.е. наиболь-

шему из чисел m и n. Таким образом, правая часть уравнения

имеет вид, рассмотренный в случае В. При этом можно доказать

(мы не приводим этого доказательства), что существует частное

решение y

∼

, не содержащее комплексных чисел.

Итак, если f(x) = P

(x)e

α x

cosβ x + Q

(x)e

α x

sinβ x, то y

∼

следует

искать в виде:

• y

∼

= u(x)e

α x

cosβ x + v(x)e

α x

sinβ x, если α + iβ – н е к о р е н ь

характеристического уравнения;

• y

∼

= x (u(x)e

α x

cosβ x + v(x)e

α x

sinβ x), если α + iβ – к о р е н ь

характеристического уравнения.

Здесь u(x) и v(x) – многочлены, степень которых равна наи-

большей степени многочленов P

(x) и Q

(x).

З а м е ч а н и е. Отметим, что указанные формы частных реше-

ний сохраняются и в том случае, когда в правой части дифферен-

383

циального уравнения один из многочленов, P

(x) или Q

(x),

тождественно равен нулю, т.е. либо

f(x) = P

(x)e

α x

cosβ x,

либо

f(x) = Q

(x)e

α x

sinβ x.

Рассмотрим подробнее более простой случай – частный вари-

ант случая С.

. Пусть f(x) = Mcosβx + N sinβ x. Применяя формулы Эйле-

ра, перепишем дифференциальное уравнение

y″ + py ′ + qy = Mcosβx + Nsinβ x

в виде

′′

′

+ =

−

− −

y py qy M N

i x i x i x i x

e e e e

β β β β

2 2

Положив для краткости

M N

2 2 2 2

1 1

+ = − =, ,

получаем

y″ + py ′ + qy = M

iβx

+ N

–iβx

. (*)

Согласно лемме 30.3 решение y

∼

нашего дифференциального

уравнения является суммой решений y

∼

и y

∼

уравнений

y″ + py ′ + qy = M

iβx

, y″ + py ′ + qy = N

–iβx

Заметим, что мнимое число iβ не может быть двукратным кор-

нем квадратного уравнения k

+ pk + q = 0, коэффициенты кото-

рого p и q являются действительными числами.

Частное решение y

∼

уравнения y ″ + py′ + qy = M

iβx

имеет

вид:

• y

∼

= Ae

iβx

, если iβ – не корень характеристического урав-

нения;

• y

∼

= xAe

iβx

, если i β – корень характеристического урав-

нения.

Частное решение y

∼

уравнения y″ + py′ + qy = N

–iβx

имеет

вид:

• y

∼

= Be

–iβx

, если

–

iβ – не корень характеристического урав-

нения;

• y

∼

= xBe

–iβx

, если

–

iβ – корень характеристического урав-

нения.

384

Очевидно, числа i β и –iβ либо оба являются, либо оба не

являются корнями характеристического уравнения (так как если

α + iβ есть корень квадратного уравнения, то α – iβ также есть

корень этого уравнения).

Поэтому частное решение уравнения (*) будет иметь вид:

• y

∼

= Ae

iβx

+ Be

–iβx

, если ±iβ – не корни характеристического

уравнения;

• y

∼

= x(Ae

iβx

+ Be

–iβx

), если ±iβ – корни характеристического

уравнения.

Применим формулу Эйлера [см. (30.22) и (30.23)], получаем

iβx

+ Be

–iβx

= (A + B)cosβx + i(A – B)sinβx =

= acosβx + b sinβ x,

где для краткости A + B = a, i(A – B) = b.

Отсюда получаем правило для нахождения частного решения y

∼

дифференциального уравнения

y″ + py ′ + qy = Mcosβx + Nsinβ x.

Итак, если f (x) = M cosβ x + N sinβ x, то частное решение y

∼

надо искать в виде:

• y

∼

= a cosβ x + b sinβx, если iβ – н е к о р е н ь характеристи-

ческого уравнения;

• y

∼

= x(a cosβx + b sinβ x), если i β – к о р е н ь характеристи-

ческого уравнения.

П р и м е р 30.16. Решить уравнение y″ + y ′ – 2y = 8 sin2x.

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение k

+ k – 2 = 0

имеет корни k

= 1, k

= –2. Здесь β = 2, следовательно, iβ не

корень характеристического уравнения. Стало быть, частное ре-

шение y

∼

надо искать в виде

∼

= C cos2x + D sin2x,

∼

′ = –2C sin2x + 2D cos2x,

∼

″ = –4C cos2x – 4D sin2x.

Подставляем:

–4C cos2x – 4D sin2x – 2C sin2x + 2D cos2x –

– 2(C cos2x + D sin2x) = 8sin2x,

(–6C + 2D )cos2x + (–2C – 6D )sin2x = 8sin2x.

385

Приравниваем коэффициенты при cos2x и sin2x:

− + =

− − =







6 2 0

2 6 8

C D

Отсюда

C D= − = −

, .

Следовательно,

y x x



= − −

2cos sin .

Находим y

= C

+ C

–2x

Получаем общее решение:

y C C x x

x x

= + − +

−

1 2

2 2 6 2e e ( cos sin ).

П р и м е р 30.17. Решить уравнение y″ + 4y = cos2x.

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение k

+ 4k = 0 имеет

корни k

= 2i, k

= –2i. Здесь β = 2, следовательно, iβ есть ко-

рень характеристического уравнения, стало быть, частное реше-

ние y

∼

надо искать в виде

∼

= x(C cos2x + D sin2x).

Дифференцируем:

∼

′ = C cos2x + D sin2x + 2x(–C sin2x + D cos2x ),

∼

″ = 2(–C sin2x + D cos2x ) + 2(–C sin2x + D cos2x) +

+ 4x (–C cos2x – D sin2x) = 4(–C sin2x + D cos2x) +

+ 4x (–C cos2x – D sin2x).

Подставляем в уравнение, получаем:

4(–C sin2x + D cos2x ) + 4x (–C cos2x – D sin2x) +

+ 4x (C cos2x + D sin2x) = cos2x.

Приводя подобные члены, получаем

–4C sin2x + 4D cos2x = cos2x.

386

Приравнивая коэффициенты при cos2 x и sin2x, получаем:

–4C = 0, 4D = 1; отсюда C = 0,

D =

Таким образом, частное

решение данного уравнения есть



2sin .

Общее решение сопровождающего однородного уравнения:

= C

cos2x + C

sin2x.

Окончательно получаем

y C x C x

x= + +

1 2

2 2

2cos sin sin .

П р и м е р 30.18. Решить уравнение y″ – y = e

(6cosx – 2sinx).

Р е ш е н и е. Здесь α = 2, β = 1. Характеристическое уравне-

ние k

– 1 = 0 имеет корни k

= 1, k

= –1. Так как α + iβ = 2 + i

не является корнем характеристического уравнения, то частное

решение ищем в виде

∼

= e

(Ccos x + D sin x).

Находим y

∼

′ и y

∼

″:

∼

′ = 2e

(Ccos x + D sin x) + e

(–Csin x + D cos x),

∼

″ = 4e

(Ccos x + D sin x) + 2e

(–Csin x + D cos x) +

+ 2e

(–Csin x + D cos x) + e

(–Ccos x – D sin x) =

= e

(3C cos x + 4D cos x + 3D sin x – 4Csin x).

Подставляя полученные выражения в исходное уравнение и

приводя подобные члены, получаем (после сокращения на e

2 x

(2C + 4D)cos x + (2D – 4C)sin x = 6cos x – 2sin x.

Приравнивая коэффициенты при cos x и sin x, получаем сис-

тему

2 4 6

4 2 2

C D

+ =

− + = −







Решая эту систему, находим C = 1, D = 1.

Частное решение данного уравнения:

∼

= e

(cos x + sin x).

387

Общее решение сопровождающего уравнения:

= C

+ C

–x

Получаем общее решение данного уравнения:

y = C

+ C

–x

+ e

(cos x + sin x).

вопросы

Каков общий вид дифференциального уравнения второго по-

рядка?

Что такое общее решение дифференциального уравнения вто-

рого порядка?

Какие дифференциальные уравнения допускают понижение

порядка?

Что называется линейным дифференциальным уравнением

n-го порядка?

Какое линейное дифференциальное уравнение n-го порядка

называется однородным?

Каковы свойства решений линейного однородного диффе-

ренциального уравнения?

Какая система функций называется линейно независимой?

Как выглядит определитель Вронского для двух функций?

Какова структура общего решения однородного линейного

дифференциального уравнения?

Что такое характеристическое уравнение?

Как выглядит общее решение однородного линейного диффе-

ренциального уравнения второго порядка в случае, когда кор-

ни характеристического уравнения совпадают?

Какова структура общего решения неоднородного линейного

дифференциального уравнения? Как можно получить общее

решение дифференциального уравнения y ″ + py′ + qy = f(x),

если известно общее решение дифференциального уравнения

y″ + py ′ + qy = 0?

В каком виде следует искать частное решение дифференци-

ального уравнения y ″ + py′ + qy =P

(x), когда правая часть

(x) есть многочлен n-й степени? Всегда ли это частное ре-

шение есть также многочлен n-й степени?

10.

11.

12.

13.

388

В каком виде следует искать частное решение дифференци-

ального уравнения y″ + py ′ + qy = e

α x

(x)?

В чем заключается принцип наложения?

В чем заключается правило для нахождения частного решения

дифференциального уравнения y ″

py ′

M cos β x

Nsinβx?

14.

15.

16.

389

Глава 31

разностные уравненИя

31.1. основные понятИя

В математических приложениях наряду с функциями непре-

рывного аргумента приходится иметь дело также с функциями

д и с к р е т н о г о аргумента, т.е. с функциями, заданными на ко-

нечном (или счетном) дискретном множестве. Примерами таких

функций являются функции, заданные таблицами, числовые по-

следовательности (см. главу 14), ряды (см. раздел IX).

Функции дискретного аргумента обычно обозначают f (x

) или

y(x

). Расстояние h

= x

k + 1

– x

, k = 1, 2, ... между соседними

значениями аргумента могут быть любыми положительными чис-

лами. Однако наибольший интерес представляет случай, когда

величины h

являются одинаковыми: h

= h при всех k = 1, 2, ... .

Это число h называют обычно шагом дискретизации. В этом слу-

чае x

= kh, а функция f (x

) становится функцией номера k,

т.е. f (x

) = f (kh), k = 1, 2, ... .

О п р е д е л е н и е. Сеткой на отрезке [a, b] называется любое

конечное множество точек этого отрезка. Точки сетки называют-

ся ее узлами.

Заметим, что мы уже имели дело с сетками и их узлами – когда

определяли понятие определенного интеграла и когда занима-

лись приближенным вычислением определенных интегралов по

формулам прямоугольников и трапеций и по формуле Симпсона

(см. § 22.5).

Сетка называется равномерной, если ее узлы делят отрезок

[a, b] на р а в н ы е отрезки. Длина h такого частичного отрезка

называется шагом сетки. Очевидно,

b a

−

где n – число час-

тичных отрезков.

Множество точек на [a, b] вида

= a + kh, k = 0, 1, 2, ..., n}

образует равномерную сетку с шагом h.

390

В случае когда узлы сетки делят отрезок [a, b] на н е р а в н ы е

отрезки, сетка называется неравномерной.

О п р е д е л е н и е. Функция, определенная в точках сетки, на-

зывается сеточной функцией.

Соответствующие значения сеточной функции в узлах сетки

обычно обозначают через y

или f

. Если сеточная функция оп-

ределена на равномерной сетке, то ее значения обозначают через

y(k), где k – номер узла сетки (k = 0, 1, 2, ..., n). В этом случае

сеточная функция рассматривается как функция целочисленного

аргумента.

Для того чтобы из функции непрерывного аргумента y(x) по-

лучить соответствующую сеточную функцию y (kh), надо аргу-

мент x заменить на kh.

П р и м е р 31.1. Для функции y = 4x

+ x, определенной на

отрезке [0, 1], составить равномерную сетку при n = 4 и соответ-

ствующую сеточную функцию.

Р е ш е н и е. Очевидно, шаг сетки h = 0,25. Получаем сетку

{0; 0,25; 0,5; 0,75; 1}. Сеточная функция также есть множество,

состоящее из пяти чисел: {0; 0,5; 1,5; 3; 5}.

Аналогом первой производной функции непрерывного аргумен-

та является первая разность сеточной функции.

Разность первого порядка, или первая разность, сеточной функ-

ции y(k), обозначаемая через ∆ y(k), определяется так:

∆ y(k) = y(k + 1) – y(k). (31.1)

Вторая разность ∆

y(k) функции y(k) определяется как первая

разность от ее первой разности:

∆

y(k) = ∆ y(k + 1) – ∆ y(k). (31.2)

Подставляя сюда значения ∆ y(k) и ∆ y(k + 1), определяемые

по формуле (31.1), получаем

∆

y(k) = y (k + 2) – 2y(k + 1) + y(k).

Аналогично определяются ∆

y(k) и вообще разность любого

порядка. При этом разность m-го порядка ∆

y(k) можно пред-

ставить как линейную комбинацию значений y (k), y(k + 1), ...,

y(k + m). В частности,

∆

y(k) = ∆

y(k + 1) – ∆

y(k) =

= y(k + 3) – 3y(k + 2) + 3y(k + 1) – y(k).