Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов

Подождите немного. Документ загружается.

391

П р и м е р 31.2. Найти все разности до m-го порядка включи-

тельно для функции y(k) = e

α k

Р е ш е н и е: ∆ y(k) = e

α (k + 1)

– e

α k

= (e

– 1)e

α k

Мы видим, что первая разность пропорциональна самой функ-

ции e

α k

. Следовательно,

∆

y(k) = (e

– 1)

α k

, ∆

y(k) = (e

– 1)

α k

, ...,

∆

y(k) = (e

– 1)

α k

О п р е д е л е н и е. Уравнение вида

F(k, y (k), ∆y(k), ..., ∆

y(k)) = 0, (31.3)

где y (k) – неизвестная функция целочисленного аргумента,

а ∆ y(k), ..., ∆

y(k) – ее разности, называется разностным уравне-

нием, или уравнением в конечных разностях, m-го порядка.

Решением разностного уравнения называется всякая сеточная

функция, обращающая его в тождество.

Ранее мы убедились, что конечные разности различных поряд-

ков могут быть выражены через значения исходной сеточной

функции. Поэтому уравнение (31.3) можно представить в виде

(k, y(k + m), ..., y (k + 1), y(k)) = 0. (31.4)

Разностные уравнения имеют многочисленные приложения в

моделях экономической динамики с дискретным временем.

31.2. лИнейные разностные уравненИя

О п р е д е л е н и е. Разностное уравнение вида

(k)y (k + m) + a

(k)y (k + m – 1) +...+ a

(k)y (k) = f(k), (31.5)

где a

(k) и f(k) – известные функции, а y(k + j) – неизвестная

функция от k ( j = 0, 1, 2, ..., m), причем a

(k) и a

(k) не равны

нулю ни при каком k, называется линейным разностным уравнени-

ем m-го порядка.

В случае когда коэффициенты a

, a

, ..., a

являются констан-

тами, методы решения таких уравнений аналогичны методам ре-

шения линейных дифференциальных уравнений с постоянными

коэффициентами.

Вместе с неоднородным уравнением

y(k + m) + a

y(k + m – 1) + ... + a

y(k) = f (k) (31.6)

рассматривается соответствующее однородное уравнение

y(k + m) + a

y(k + m – 1) + ... + a

y(k) = 0. (31.7)

392

Для разностных уравнений (в частности, для линейных разно-

стных уравнений), так же как и для их дифференциальных анало-

гов, определяются понятия общего и частного решений.

Общее решение уравнения (31.6) имеет вид

y(k) = ϕ (k, c

, ..., c

где c

, ..., c

– произвольные постоянные; их число равно поряд-

ку уравнения.

Частное решение уравнения (31.6) выделяется заданием значе-

ний функции y (k) в m произвольных, но расположенных подряд

точках.

Так же как и для линейных дифференциальных уравнений,

определяется понятие линейно независимой системы решений,

доказывается, что общее решение уравнения (31.6) имеет вид

y(k) = y

(k) + y

∼

(k), (31.8)

где y

(k) – общее решение соответствующего однородного урав-

нения (31.7), а y

∼

(k) – некоторое частное решение исходного

уравнения (31.6).

В дальнейшем ограничимся рассмотрением разностных урав-

нений второго порядка. Результаты, которые будут получены,

могут быть распространены и на разностные уравнения более вы-

соких порядков.

Итак, рассмотрим о д н о р о д н о е линейное разностное уравне-

ние второго порядка:

y(k + 2) + py (k + 1) + qy(k) = 0. (31.9)

Решение этого уравнения будем искать в виде

y(k) = λ

После очевидных упрощений получим характеристическое урав-

нение:

+ pλ + q = 0. (31.10)

Возможны три варианта.

1. Оба корня λ

и λ

уравнения (31.10) д е й с т в и т е л ь н ы и

р а з л и ч н ы. В этом случае общее решение имеет вид

(k) = c

+ c

. (31.11)

П р и м е р 31.3. Дано разностное уравнение

y(k + 2) – 5y(k + 1) + 6y(k) = 0.

Найти его общее решение.

393

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение λ

– 5λ + 6 = 0

имеет два различных действительных корня: λ

= 3, λ

= 2. Сле-

довательно, в соответствии с формулой (31.11) общим решением

заданного уравнения будет сетчатая функция

(k) = c

⋅

+ c

⋅

2. Оба корня д е й с т в и т е л ь н ы и р а в н ы между собой:

= λ

= λ. Тогда общее решение имеет вид

(k) = c

+ c

kλ

3. Характеристическое уравнение имеет к о м п л е к с н ы е

с о п р я ж е н н ы е корни λ

= α + iβ , λ

= α – iβ .

Представим корни уравнения в тригонометрической форме:

= r (cosϕ + i sinϕ), λ

= r (cosϕ – i sinϕ), где модуль

r = +α β

2 2

а аргумент ϕ определяется соотношением

tgϕ

= .

Общее решение имеет вид

(k) = r

cos kϕ + c

sin kϕ ).

Обратимся теперь к н е о д н о р о д н о м у линейному разностно-

му уравнению второго порядка:

y(k + 2) + py (k + 1) + qy(k) = f(k). (31.12)

Его общее решение имеет вид (31.8). Для нахождения частного

решения y

∼

(k) уравнения (31.12) часто применяют метод неопре-

деленных коэффициентов.

П р и м е р 31.4. Решить уравнение

y(k + 2) – 7y (k + 1) + 10y(k) = 4

⋅

Р е ш е н и е. Для нахождения общего решения соответству-

ющего однородного уравнения составим характеристическое

уравнение:

– 7λ + 10 = 0.

Его корни λ

= 5, λ

= 2. Следовательно,

(k) = c

⋅

+ c

⋅

Для нахождения частного решения y

∼

(k) исходного уравнения

воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Будем

искать y

∼

(k) в виде y

∼

(k) = c

⋅

. Подставляя это выражение в дан-

ное уравнение, получим:

394

⋅

k + 2

– 7c

⋅

k + 1

+ 10 c

⋅

= 4

⋅

c(36 – 42 + 10)

⋅

= 4

⋅

Следовательно, c = 1, а значит,

∼

(k) = 6

Складывая y

(k) и y

∼

(k), получаем общее решение уравнения:

y(k) = c

⋅

+ c

⋅

+ 6

31.3. модель деловоГо цИкла

самуэльсона — хИкса

Рассмотрим в качестве примера применения разностных урав-

нений известную в макроэкономической теории модель делового

цикла Самуэльсона – Хикса. В этой модели используется предпо-

ложение, что объем инвестиций прямо пропорционален приросту

национального дохода. Это предположение – уже известный нам

принцип акселерации – описывается следующим уравнением:

I(k) = χ [y(k – 1) – y(k – 2)], (31.13)

где χ – коэффициент пропорциональности, называемый факто-

ром акселерации (χ > 0), I(k) – величина инвестиций в период k

(в k-й календарный год), а y(k – 1), y(k – 2) – величины на-

ционального дохода в предшествующих периодах – в (k – 1)-м и

(k – 2)-м соответственно.

Кроме того, предполагается, что потребление C(k) в рассмат-

риваемом k-м периоде также линейно зависит от величины на-

ционального дохода y(k – 1) за предшествующий период:

C(k) = ay (k – 1) + b, (31.14)

a доход y(k) делится между производителями и потребителями.

Поэтому

y(k) = C (k) + I(k). (31.15)

Подставим в (31.15) выражение для I(k) из (31.13), а также

выражение для C(k) из (31.14):

y(k) = ay (k – 1) + b + χ [y(k – 1) – y(k – 2)].

Получаем так называемое уравнение Хикса:

y(k) – (a + χ)y(k – 1) + χ y(k – 2) = b. (31.16)

395

Если допустить, что на протяжении рассматриваемых перио-

дов времени величины a и χ п о с т о я н н ы, то уравнение (31.16)

есть линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка

с постоянными коэффициентами.

Если предположить, что величина национального дохода оста-

валась п о с т о я н н о й на протяжении рассматриваемых перио-

дов, т.е.

y(k) = y (k – 1) = y(k – 2) = y

∼

то можно найти простое частное решение уравнения (31.16):

∼

= (a + χ)y

∼

– χ y

∼

+ b.

Отсюда

∼

= b(1 – a)

–1

. (31.17)

Выражение (1 – a)

–1

в формуле (31.17) называется мультипли-

катором Кейнса.

П р и м е р 31.5. Рассмотреть модель Самуэльсона – Хикса

при условии, что a = 0,48, χ = 0,72, b = 1,3. Найти общее реше-

ние уравнения Хикса.

Р е ш е н и е. В данном случае уравнение (31.16) имеет вид

y(k) – 1,2y(k – 1) + 0,72y(k – 2) = 1,3.

Частное решение этого уравнения, согласно (31.17), есть

y k



( )

, .=

−

1 3

1 0 48

2 5

Напишем характеристическое уравнение:

– 1,2λ + 0,72 = 0.

Его корни

π π

1 2

0 6 0 6 0 6 2

4 4

, , , cos sin .= ± = ±













i i

Общее решение соответствующего однородного уравнения

есть

y k c

0 1 2

0 6 2

4 4

( ) ( , ) cos sin .= +













π π

Получаем общее решение данного уравнения:

y k c

( ) , ( , ) cos sin .= + +













2 5 0 6 2

4 4

1 2

π π

В рассмотренном примере динамика носит колебательный ха-

рактер с затухающей амплитудой. Очевидно, при комплексных

396

сопряженных корнях характеристического уравнения, по модулю

превышающих единицу, динамика была бы растущей. Вообще,

в зависимости от значений a и χ динамика может быть растущей

или затухающей и при этом иметь или не иметь колебательный

характер.

вопросы

Какие функции называются сеточными?

Как определяются первая, вторая и последующие разности

сеточной функции?

Какие уравнения называются конечно-разностными?

Что такое характеристическое уравнение для однородного

линейного разностного уравнения?

Как найти общее решение неоднородного разностного урав-

нения?

397

раздел IX

ряды

Глава 32

чИсловые ряды

32.1. понятИе чИсловоГо ряда

О п р е д е л е н и е. Пусть дана числовая последовательность

, a

, …, a

, … . Выражение вида

+ a

+ ... + a

+ ... (32.1)

называется числовым рядом, или просто рядом.

Числа a

, a

, …, a

, … называются членами ряда, n-й член ряда

– общим членом ряда.

Ряд считается заданным, если задан его общий член a

Ряд (32.1) записывается также в виде

∞

∑

Следует заметить, что из теории действительных чисел из-

вестно лишь, что означает сумма к о н е ч н о г о числа чисел.

Сумма же б е с к о н е ч н о г о множества слагаемых пока еще не

определена.

Рассмотрим суммы конечного числа первых членов ряда

= a

+ a

= a

+ a

............................

= a

+ a

+ ... + a

называемые частичными суммами ряда (32.1).

Очевидно, частичные суммы образуют числовую последова-

тельность:

, S

, …, S

, … .

398

О п р е д е л е н и е. Ряд называется сходящимся, если сущест-

вует конечный предел последовательности его частичных сумм,

т.е.

lim .

S S

→∞

(32.2)

В противном случае ряд (32.1) называется расходящимся.

Число S, определяемое равенством (32.2), называется суммой

ряда.

Пусть ряд (32.1) сходится, S – его сумма. Рассмотрим раз-

ность между величиной S и частичной суммой S

этого ряда:

S – S

= r

. Величина r

называется остатком ряда. Очевидно, что

lim lim ( ) .

r S S

→∞ →∞

= − = 0

В случае сходимости ряда (32.1) его сумму записывают в виде

символического равенства

S a a a S a

n n

= + + + + =

∞

∑

1 2

... ... , .или

П р и м е р 32.1. Рассмотрим ряд, составленный из членов

бесконечной геометрической прогрессии:

b + bq + bq

+ ... + bq

n – 1

+ ... . (32.3)

Частичная сумма S

этого ряда есть сумма n членов геометри-

ческой прогрессии:

= b + bq + bq

+ ... + bq

n – 1

Эта сумма, как известно из школьного курса, при q ≠ 1 имеет

вид

b q

n n

−

( )

1 1 1

Если |q | < 1, то

lim ,

→∞

= 0

lim lim ,

→∞ →∞

−













−1 1 1

т.е. ряд (32.3) с х о д и т с я и его сумма

−1

Легко проверить, что при |q | ≥ 1 ряд (32.3) р а с х о д и т с я.

П р и м е р 32.2. Рассмотрим ряд

1 2

2 3

1⋅

⋅

+ +

+...

( )

... .

n n

399

Очевидно,

n n n n

= −

1 1

1( )

Поэтому

n n

= −













+ −













+ + −













1 1

... ..

Если раскрыть скобки, то все слагаемые, кроме первого и по-

следнего, взаимно уничтожатся. Получим

= −

Отсюда

lim .

→∞

= 1

Итак, ряд с х о д и т с я и его сумма равна еди-

нице.

32.2. основные свойства рядов

Свойство 1. Если ряд a

+ a

+ ... + a

+ ... сходится и его сум-

ма равна S, то для любого числа λ ряд λ a

+ λ a

+ ... + λ a

+ ...

также сходится и его сумма равна λ S.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть дан сходящийся ряд

+ a

+ ... + a

+ ... (32.1)

и пусть S – его сумма. Образуем ряд

λ a

+ λ a

+ ... + λ a

+ ... . (32.4)

Пусть

= a

+ a

+ ... + a

S ′

= λ a

+ λ a

+ ... + λ a

Тогда, очевидно, S ′

= λ S

. Но по условию

lim .

S S

→∞

Поэтому

lim lim lim ,

S S S S

→∞ →∞ →∞

′

= = =λ λ λ

что и требовалось доказать.

Свойство 2. Если ряды a

+ a

+ ... + a

+ ... и b

+ b

+ ... +

+ b

+ ... сходятся и их суммы соответственно равны S и S ′, то

ряд (a

± b

) + (a

± b

) + ... + (a

± b

) + ... также сходится и его

сумма равна S ± S′.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим ряды

+ a

+ ... + a

+ ... , (32.1)

+ b

+ ... + b

+ ... , (32.5)

+ b

) + (a

+ b

) + ... + (a

+ b

) + ... . (32.6)

400

Пусть S

, S ′

, S ″

– частичные суммы рядов (32.1), (32.5), (32.6)

соответственно:

= a

+ a

+ ... + a

S ′

= b

+ b

+ ... + b

S ″

= (a

+ b

) + (a

+ b

) + ... + (a

+ b

Пусть S – сумма ряда (32.1):

lim

S S

→∞

и пусть S′ – сумма

ряда (31.5):

lim .

S S

→∞

′

Тогда существует предел

lim lim ( ) lim lim

n n

S S S S S

→∞ →∞ →∞ →∞

′′

= +

′

= +

′

S S= +

′

т.е. ряд (32.6) сходится и его сумма равна S + S′.

Свойство 3. Отбрасывание конечного числа членов ряда

не влияет на его сходимость (расходимость).

Д о к а з а т е л ь с т в о. В этом случае все частичные суммы

ряда, начиная с некоторой, изменятся на одно и то же постоянное

число, равное сумме отбрасываемых членов. Поэтому последова-

тельность частичных сумм исходного ряда имеет конечный предел

тогда и только тогда, когда существует конечный предел последо-

вательности частичных сумм ряда, полученного из исходного от-

брасыванием конечного числа членов.

Отметим отдельно еще одно свойство.

Необходимый признак сходимости ряда

Свойство 4. Общий член a

сходящегося ряда стремится

к нулю при n → ∞.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ряд сходится и его сумма равна S,

т.е.

lim .

S S

→∞

Очевидно, что a

= S

– S

n – 1

. Также очевидно, что

lim .

S S

→∞

−

Поэтому

lim lim ( ) lim lim

n n

a S S S S

→∞ →∞

−

→∞ →∞

−

= − = −

1 11

= S – S = 0.

Подчеркнем, что мы установили только необходимое условие

сходимости, не являющееся достаточным. Из того, что

lim ,

→∞

= 0

еще не следует, что ряд сходится.

П р и м е р 32.3. Рассмотрим ряд

+ + + + +... ... ,

который

называется гармоническим.