Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов

Подождите немного. Документ загружается.

401

Очевидно, для гармонического ряда выполнено необходимое

условие сходимости:

lim lim .

→∞ →∞

= =

Докажем, что, несмотря

на это, гармонический ряд расходится. Предположим противное,

т.е. что ряд сходится и

lim .

S S

→∞

В этом случае, очевидно, и

lim ,

S S

→∞

следовательно,

lim ( ) lim lim .

n n

S S S S S S

→∞ →∞ →∞

− = − = − =

2 2

(*)

Однако

S S

n n n n n n

n n2

− =

+ + > + + + =... ...

= ,

т.е.

S S

n n2

− > ,

а это противоречит равенству (*). Полученное

противоречие означает, что наше предположение о сходимости

гармонического ряда неверно.

Отметим, что с помощью необходимого признака сходимости

можно доказать расходимость ряда.

П р и м е р 32.4. Исследовать сходимость ряда

2 1

7 5

2 1

7 5

−

= + + + +

−

∞

∑

... ... .

Р е ш е н и е:

lim lim ,

→∞ →∞

−

= ≠

2 1

7 5

поэтому данный ряд

расходится.

32.3. ряды с неотрИцательнымИ членамИ

Ряды с неотрицательными членами (т.е. ряды, все члены ко-

торых неотрицательны) – это наиболее простой тип числовых

рядов. Основное свойство рядов с неотрицательными членами:

последовательность частичных сумм такого ряда является

н е у б ы в а ю щ е й.

Критерий сходимости

Т е о р е м а 32.1. Для того чтобы ряд с неотрицательными

членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последова-

тельность его частичных сумм была ограничена.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Необходимость. Пусть ряд сходится.

Это означает, что последовательность его частичных сумм сходит-

ся. А сходящаяся последовательность, как известно, ограничена.

402

2. Достаточность. Так как последовательность частичных

сумм ряда является ограниченной и монотонной, то она сходится

в силу теоремы 14.4.

Признаки сравнения

Т е о р е м а 32.2 (первый признак сравнения). Пусть даны два

ряда с положительными членами:

a a a a

∞

∑

= + + + +

1 2

... ... ,

(32.7)

b b b b

∞

∑

= + + + +

1 2

... ... ,

(32.8)

причем a

≤ b

для всех n. Тогда из сходимости ряда (32.8) сле-

дует сходимость ряда (32.7), а из расходимости ряда (32.7) следует

расходимость ряда (32.8).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть S

– частичная сумма ряда (32.7),

S ′

– частичная сумма ряда (32.8). Из условия теоремы следует,

что S

≤ S ′

. Если ряд (32.8) сходится, то последовательность {S ′

}

ограничена. Следовательно, последовательность {S

} также огра-

ничена и в силу теоремы 14.4 сходится, т.е. сходится ряд (32.7).

Если же ряд (32.7) расходится, то ряд (32.8) также расходится.

Действительно, если бы ряд (32.8) сходился, то, как только что

доказано, ряд (32.7) также должен был бы сходиться. Теорема до-

казана.

Заметим, что в условиях теоремы 32.2 ряд (32.8) называется

мажорантой ряда (32.7), а ряд (32.7) – минорантой ряда (32.8).

Tеорему 32.2 можно изложить и в такой, удобной для запоми-

нания форме:

• если мажоранта сходится, то и миноранта сходится;

• если миноранта расходится, то и мажоранта расходится.

Рассмотрим примеры применения теоремы 32.2.

П р и м е р 32.5. Исследовать сходимость ряда

∞

∑

Р е ш е н и е. Очевидно,

n n

< ,

а ряд

∞

∑

сходится (сум-

ма бесконечной убывающей геометрической прогрессии). Следо-

вательно, сходится и данный ряд.

403

П р и м е р 32.6. Исследовать сходимость ряда

∞

∑

Р е ш е н и е. Так как

1 1

≥ ,

а ряд

∞

∑

расходится (это гар-

монический ряд), то данный ряд расходится.

Т е о р е м а 32.3 (второй признак сравнения). Пусть (32.7) – ряд

с неотрицательными членами, а (32.8) – с положительными чле-

нами и пусть существует отличный от нуля конечный предел

lim .

→∞

Тогда оба ряда (32.7) и (32.8) сходятся или расходятся одновре-

менно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В соответствии с определением предела

для произвольного ε > 0 существует такое N, что для всех n > N

выполняется неравенство

l l b a l b

n n n

− < < + − < < +ε ε ε ε, ( ) ( ) .или

Пусть ряд (32.8) сходится. Тогда по свойству 1 (см. § 32.2) схо-

дится ряд

( ) ,l b

∞

∑

а по теореме 32.2 сходится и ряд (32.7).

Аналогично, если сходится ряд (32.7), то по теореме 32.2 сходится

ряд

( )l b

−

∞

∑

и по тому же свойству 1 сходится ряд (32.8).

Утверждение теоремы о расходимости рядов доказывается ана-

логично.

З а м е ч а н и е. Можно предполагать, что общие члены ря-

дов (32.7) и (32.8), т.е. a

и b

, – бесконечно малые при n → ∞

(в противном случае все было бы ясно само собой: ряд, у которого

общий член не стремится к нулю, расходится). Поэтому т е о р е -

м у 32.3 можно переформулировать так: если члены a

и b

двух

положительных рядов являются бесконечно малыми одного по-

рядка, то эти ряды сходятся или расходятся одновременно.

П р и м е р 32.7. Исследовать сходимость ряда

3 7

−

∞

∑

Р е ш е н и е. Сравним данный ряд с расходящимся гармони-

ческим рядом

∞

∑

(см. пример 32.3). Так как

404

lim : lim ,

n n

→∞ →∞

−













−

= ≠

3 7 1 3 7

3 0

то данный ряд расходится.

Другие признаки сходимости

Заметим, что оба признака сравнения, рассмотренные выше

(см. теоремы 32.2 и 32.3), имеют один и тот же н е д о с т а т о к:

чтобы исследовать сходимость какого-нибудь положительного

ряда с помощью этих признаков, надо подобрать для сравнения с

этим рядом некоторый другой ряд, сходимость (или расходи-

мость) которого известна. Никаких общих методов для нахожде-

ния таких рядов нет. Здесь все зависит от интуиции, от того, на-

сколько обширен у исследователя запас «эталонных» рядов, схо-

димость или расходимость которых известна. Поэтому весьма

полезно иметь в распоряжении такие признаки сходимости, для

которых не надо привлекать никаких новых рядов, кроме иссле-

дуемого.

Т е о р е м а 32.4 (признак Даламбера). Пусть для ряда

∞

∑

существует предел

lim ,

→∞

(32.9)

тогда при l < 1 ряд с х о д и т с я, а при l > 1 – р а с х о д и т с я.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению предела для любого

ε > 0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняются

неравенства

− < < +

ε ε

(32.10)

1. Пусть l < 1. Тогда возьмем такое ε, что l + ε < 1. Обозначим

l + ε = q. Из неравенств (32.10) имеем

q a a q

n n

< <

, или

для всех n > N. Получаем систему неравенств

N + 2

< a

N + 1

q, a

N + 3

< a

N + 2

q < a

N + 1

, … .

Итак, члены ряда, начиная с a

N + 2

, меньше соответствующих

членов убывающей геометрической прогрессии. Следовательно,

ряд сходится.

405

2. Пусть l > 1. Возьмем такое ε, что l – ε > 1. Тогда из левого

неравенства (32.10) следует, что a

n + 1

> a

для всех n > N, т.е. чле-

ны ряда, начиная с (N + 1)-го, возрастают, поэтому предел обще-

го члена не равен нулю; следовательно, ряд расходится.

П р и м е р 32.8. Исследовать сходимость ряда

∞

∑

Р е ш е н и е:

lim lim

( )

: li

n n

→∞













2 2

( )

→∞

= <

Следовательно, ряд сходится по признаку Даламбера.

З а м е ч а н и е. При l = 1 ряд может как сходиться, так и рас-

ходиться. В частности, для рядов

1 1

n n=

∞

∑ ∑

и ,

как нетрудно

убедиться, l = 1, но первый из них (гармонический ряд), как из-

вестно, расходится, а второй, как мы узнаем позднее, сходится.

Т е о р е м а 32.5 (признак Коши). Если для членов ряда

∞

∑

существует предел

lim ,

a l

→∞

то ряд с х о д и т с я при l < 1 и р а с х о д и т с я при l > 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о этой теоремы также основано на том,

что при l < 1 члены ряда, начиная с некоторого номера, меньше

членов некоторой бесконечной убывающей геометрической про-

грессии, а при l > 1 общий член ряда не стремится к нулю.

1. Пусть l < 1. Возьмем какое-нибудь число q, удовлетворя-

ющее соотношению l < q < 1.

Так как

lim ,

a l

→∞

то, начиная с некоторого номера n = N,

будет выполняться неравенство

a l q l

− < − .

Отсюда следует, что

a q

< ,

или, что то же самое,

< q

(*)

для всех n ≥ N.

406

Сравним следующие два ряда:

+ a

+ ... + a

+ a

N + 1

+ a

N + 2

+ ... , (32.1′ )

+ q

N + 1

+ q

N + 2

+ ... . (**)

Члены ряда (**) образуют убывающую геометрическую про-

грессию (ее знаменатель равен q, по условию q < 1). Следователь-

но, ряд (**) сходится. Мы знаем, что отбрасывание конечного

числа членов ряда не влияет на его сходимость (см. свойство 3

в § 32.2). Из условия (*) следует, что члены ряда (32.1′ ), начиная

с a

, меньше соответствующих членов сходящегося ряда (**).

Следовательно, ряд (32.1′ ) сходится.

2. Пусть l > 1. В этом случае, как легко убедиться, предел обще-

го члена ряда не равен нулю, следовательно, ряд расходится. Тео-

рема доказана.

П р и м е р 32.9. Исследовать сходимость ряда

−













∞

∑

Р е ш е н и е. Применим признак Коши:

lim lim .

→∞ →∞

−

= −













= = <1

1 1

Следовательно, ряд сходится.

Заметим, что при l = 1 признак Коши, так же как и признак

Даламбера, не дает ответa на вопрос о сходимости ряда.

Признаки Коши и Даламбера эффективны в основном для вы-

яснения сходимости «быстро» сходящихся рядов – рядов, члены

которых являются бесконечно малыми того же (или более высо-

кого) порядка, что и члены убывающих геометрических прогрес-

сий. Мы отмечали уже, что признак Даламбера не дает ответа на

вопрос о сходимости или расходимости гармонического ряда

+ + + + +... ... ,

который, как известно, расходится, а также о сходимости или рас-

ходимости обобщенного гармонического ряда

2 2 2

+ + + + +... ... ,

который, как мы вскоре узнаем, сходится.

Т е о р е м а 32.6 (интегральный признак сходимости). Пусть

члены ряда

∞

∑

не возрастают, т.е. a

≥ a

≥ ... ≥ a

≥ ... , и пусть

407

f(x) – такая непрерывная невозрастающая функция, определен-

ная при x ≥ 1, что

f(1) = a

, f(2) = a

, …, f(n) = a

, … .

Тогда для сходимости ряда

∞

∑

необходимо и достаточно, чтобы

сходился интеграл

f x dx( ) .

∞

∫

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как f (x) монотонна, то для

x ∈ [n, n + 1] выполняется неравенство f(n) ≥ f (x) ≥ f(n + 1), или

≥ f(x) ≥ a

n + 1

(32.11)

при любом n.

Интегрируем (32.11) на отрезке [n, n + 1]:

a dx f x dx a dx

n+ +

∫ ∫ ∫

≥ ≥

1 1

( ) .

Получаем

a f x dx a

≥ ≥

∫

( ) .

(32.12)

Рассмотрим ряд

f x dx f x dx f x dx

( ) ( ) ... ( ) ... .

∫ ∫ ∫

+ + + +

(32.13)

Его n-я частичная сумма S

имеет вид

S f x dx f x dx f x dx f x

= + + + =

∫ ∫ ∫

( ) ( ) ... ( ) ( )

ddx

∫

(32.14)

Сходимость ряда (32.13) означает существование конечного

предела последовательности его частичных сумм (32.14), т.е. схо-

димость несобственного интеграла

f x dx( ) ,

∞

∫

тaк кaк

lim lim ( ) ( ) .

S f x dx f x dx

→∞ →∞

∞

= =

∫ ∫

Если ряд сходится, то по теореме 32.2 в силу левого неравен-

ства (32.12) должен сходиться и ряд (32.13), а следовательно,

408

и несобственный интеграл

f x dx( ) .

∞

∫

И наоборот, если сходится

интеграл

f x dx( ) .

∞

∫

, т.е. ряд (32.13), то по той же теореме 32.2

должен сходиться ряд

a a a a a

n n+

∞

∑

= + + + + +

2 3 1

... ... ,

а следовательно, и данный ряд

∞

∑

П р и м е р 32.10. Выяснить, при каких α > 0 сходится ряд

∞

∑

(его называют обобщенным гармоническим).

Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию

f x

x( ) , .= ≥

Эта функ-

ция монотонно убывает. Поэтому сходимость данного ряда рав-

носильна сходимости несобственного интеграла

∞

∫

Ранее было

установлено (см. пример 24.2), что этот интеграл сходится при

α > 1 и расходится при 0 < α ≤ 1. Следовательно, данный ряд схо-

дится при α > 1 и расходится при α ≤ 1.

32.4. ряды с членамИ проИзвольноГо знака

Перейдем к изучению рядов, содержащих как положительные,

так и отрицательные члены.

О п р е д е л е н и е. Числовой ряд называется знакопеременным,

если он имеет бесконечное число как положительных, так и отри-

цательных членов.

Рассмотрим ряд

a a a a

∞

∑

= + + + +

1 2

... ...

(*)

и, кроме того, ряд

| | | | | | ... | | ... .a a a a

∞

∑

= + + + +

1 2

(**)

Можно доказать, что из сходимости ряда (**) следует сходимость

ряда (*).

409

Ряд (*) называется абсолютно сходящимся, если сходится

ряд (**).

Ряд (*) называется условно сходящимся, если он сходится,

а ряд (**), составленный из модулей его членов, расходится.

О п р е д е л е н и е. Числовой ряд

∞

∑

называется знакочере-

дующимся, если для любого n члены ряда a

и a

n + 1

имеют разные

знаки. Полагая a

> 0, можно записать знакочередующийся ряд

в виде

( ) ... ( ) ..− = − + − + + − +

∞

∑

1 1

1 2 3 4

c c c c c c .. ,

(32.15)

где c

> 0.

Сформулируем и докажем достаточный признак сходимости для

знакочередующихся рядов.

Т е о р е м а 32.7 (признак Лейбница). Если члены знакочере-

дующегося ряда (32.15) убывают по абсолютной величине:

> c

> ... > c

> ...

и предел общего члена этого ряда при n → ∞ равен нулю, т.е.

lim ,

→∞

= 0

то ряд с х о д и т с я, а его сумма не превосходит первого

члена: S ≤ c

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим частичную сумму ряда

(32.15) с четным числом членов S

= c

– c

+ c

– c

+ ... +

+ c

– 1

– c

. Ее можно представить в виде

= (c

– c

) + (c

– c

) + ... + (c

– 1

– c

В силу условия теоремы все разности в скобках положительны,

поэтому последовательность {S

} является возрастающей.

С другой стороны, S

может быть представлена в виде

= c

– (c

– c

) – (c

– c

) – ... – (c

– 2

– c

– 1

) – c

откуда следует, что S

< c

Итак, последовательность {S

} возрастает и ограничена, сле-

довательно, она имеет предел

lim .

S S

→∞

При этом из неравен-

ства S

< c

следует, что S ≤ c

Так как S

2m + 1

+ 1

и, кроме того, по условию

lim ,

→∞

2 1

то

lim lim .

S S S

→∞

= =

2 1 2

410

Итак, при любом n (как при n = 2m, так и при n = 2m + 1)

lim ,

S S

→∞

т.е. ряд сходится.

П р и м е р 32.11. Исследовать сходимость ряда

( )

−

∞

∑

Р е ш е н и е. В данном случае

и условия признака

Лейбница выполнены. Поэтому данный ряд сходится. Однако

ряд, составленный из модулей членов данного ряда, есть гармони-

ческий ряд

∞

∑

который, как известно, расходится. Следова-

тельно, данный ряд сходится условно.

З а м е ч а н и е 1. В теореме Лейбница существенно не только

условие

lim ,

→∞

= 0

но и условие c

> c

> ... > c

> ... .

Рассмотрим, например, ряд

2 1

1 1

1 1−

−

+ +

+ −

−

+ +

+... ... .

n n

Члены этого ряда стремятся к нулю, но нарушено условие моно-

тонности. Очевидно,

2 1

3 1

−

=, , ... ,

1 1

n n

+ −

−

+ +

= , ... .

Поэтому данный ряд можно представить в виде

2 1

2 2

+ + + + +

∞

∑

... ... , .

n n

т.e.

Этот ряд расходится, тaк кaк получен из гармонического ряда

удвоением всех его членов.

З а м е ч а н и е 2. В процессе доказательства теоремы Лейбни-

ца мы видели, что S

приближается к S возрастая. Сумма S

2m + 1

напротив, убывает.

Рассмотрим S

2m + 1

подробнее:

= c

– (c

– c

= c

– (c

– c

) – (c

– c

..............................................