Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов

Подождите немного. Документ загружается.

411

Так как каждая из разностей, написанных в скобках, в соответ-

ствии с условием, положительна, то, очевидно,

> S

> ... .

Таким образом, если ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейб-

ница, то суммы S

являются приближенными значениями сум-

мы S с недостатком, а суммы S

2m + 1

– с избытком: S

2m + 1

З а м е ч а н и е 3. Cумма S ряда, удовлетворяющая условиям

теоремы Лейбница, не превышает по модулю его первого члена и

имеет тот же знак, что и первый член. Действительно, S

= c

– c

> 0. Поэтому из неравенства

< S < S

получаем

0 < S < c

Далее заметим, что остаток ряда, удовлетворяющего условиям

теоремы Лейбница, сам является рядом, удовлетворяющим этим

условиям, и к нему также применимо замечание 3. Если сумма

n-го остатка равна r

, то равенство

S = S

+ r

позволяет сделать следующее з а к л ю ч е н и е: oшибка, допущен-

ная при замене суммы ряда, удовлетворяющего условиям теоремы

Лейбница, его частичной суммой, имеет тот же знак, что и первый

отброшенный член, а по модулю меньше его.

вопросы

Что такое общий член ряда?

Как определяется седьмая частичная сумма ряда S

Какой числовой ряд называется сходящимся?

Чему равен предел общего члена сходящегося ряда?

Что такое остаток ряда?

Какой числовой ряд называется гармоническим? Сходится

или расходится гармонический ряд?

Будет ли сходящимся ряд с положительными членами, для

которого предел отношения последующего члена к предыду-

щему равен 2?

Какими свойствами должна обладать функция, применяемая

в интегральном признаке сходимости?

412

Предел какого выражения используется в признаке Коши?

При каких значениях α обобщенный гармонический ряд

∞

∑

является сходящимся?

Можно ли с помощью признака Даламбера установить сходи-

мость или расходимость гармонического (обобщенного гар-

монического) ряда?

Будет ли сходящимся знакопеременный ряд, для которого ряд

из модулей его членов сходится?

Какой ряд называется условно сходящимся?

Каких условий достаточно для сходимости знакочередующе-

гося ряда?

Пусть ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Как

оценить ошибку, допущенную при замене суммы этого ряда

его частичной суммой?

10.

11.

12.

13.

14.

15.

413

Глава 33

функцИональные ряды

33.1. основные понятИя

Рассмотрим ряд, членами которого являются функции, опре-

деленные в некоторой области D:

u x u x u x u x

n n

( ) ( ) ( ) ... ( ) ... .= + + + +

∞

∑

1 2

(33.1)

Такой ряд называется функциональным.

Придавая x определенные числовые значения, получаем раз-

личные числовые ряды, которые могут либо сходиться, либо рас-

ходиться.

Совокупность всех значений x, при которых функциональный

ряд сходится, называется областью сходимости ряда. Очевидно,

если D ′ – область сходимости ряда (33.1), то D′ ⊆ D. В области

сходимости сумма ряда является некоторой функцией от x.

Обычно ее обозначают S(x).

Для ряда (33.1) составим частичные суммы S

(x) – точно так

же, как для числовых рядов. Если ряд (33.1) сходится и его сумма

равна S(x), то

S(x) = S

(x) + r

(x), (33.2)

где r

(x) есть сумма ряда u

n + 1

(x) + u

n + 2

(x) + ... , т.е.

(x) = u

n + 1

(x) + u

n + 2

(x) + ... . (33.3)

В этом случае величина r

(x) называется остатком ряда (33.1).

Так как для каждого x, принадлежащего области сходимости

ряда, имеет место равенство

lim ( ) ( ),

S x S x

→∞

то с учетом (33.2)

получаем

lim ( ) lim [ ( ) ( )] .

r x S x S x

→∞ →∞

= − = 0

Итак, остаток r

(x) сходящегося ряда стремится к нулю при

n → ∞.

414

Сходимость ряда (33.1) в области D′ означает, что для каждого

x ∈ D′ последовательность частичных сумм {S

(x)} сходится:

lim ( ) .

n n

S x S

→∞

В соответствии с определением предела числовой

последовательности это означает, что для всякого ε > 0 сущест-

вует такой номер N, что для всех n > N выполняется неравенство

|S (x) – S

(x)| < ε. (33.4)

Этот номер N зависит от ε. Действительно, для того же ε > 0, но

другого значения x надо подбирать, вообще говоря, другое значе-

ние N, чтобы выполнялось неравенство (33.4).

Рассмотрим это на примере. Пусть дан ряд

1 + x + x

+ ... + x

+ ... .

Он, очевидно, сходится и при

x x= =

, .и при

Пусть задано ε = 0,0004. При

x =

получаем ряд

+ + + + +... ... .

Его сумма (по формуле суммы бесконечно убывающей прогрес-

сии) равна

S =

−

= =

1 25, .

При заданном ε = 0,0004, как нетрудно подсчитать, надо взять

N = N

= 5 для того, чтобы выполнялось (33.4). Действительно,

= 1,2496, S – S

= 0,0004, и если n > 5, то |S – S

| < 0,0004.

При

x =

ряд выглядит так:

+ + + + +... ... .

Его сумма

S = =

1 11111, ... .

Если взять N = N

= 3, то для n > N

, в частности для n = 4,

|S – S

| = 1,11111... – 1,111 = 0,00011... < 0,0004.

Итак, при одном и том же заданном ε = 0,0004 для

x =

надо, чтобы было N = 5, а для

x =

чтобы N = 3. При этом

415

ясно, что если взять N = 5, то неравенство (33.4) будет выполнять-

ся для рассматриваемого ряда и при

x =

, и при

x =

Естественно возникает вопрос: всегда ли можно по заданному

ε > 0 найти такое N, чтобы для любого n > N и для всех x ∈ D′

выполнялось неравенство (33.4)? Ответ на этот вопрос – отрица-

тельный. Существуют функциональные ряды, для которых это

невозможно.

О п р е д е л е н и е. Функциональный ряд (33.1) называется

равномерно сходящимся в области D′, если для всякого ε > 0 су-

ществует такой номер N, что для любого n > N и для всех x ∈ D′

выполняется неравенство

|S (x) – S

(x)| < ε.

Подчеркнем, что номер N, упоминаемый в сформулированном

определении, зависит только от ε и не зависит от x: N = N(ε).

Понятие равномерной сходимости весьма глубокое и сложное.

Мы здесь не имеем возможности изучать подробно равномерно

сходящиеся ряды в общем виде. Рассмотрим важный частный

случай равномерно сходящихся рядов – мажорируемые ряды.

О п р е д е л е н и е. Функциональный ряд

(x) + u

(x) + ... + u

(x) + ...

называется мажорируемым в некоторой области, если существует

такой сходящийся числовой ряд

+ c

+ ... + c

+ ... (33.5)

с положительными членами, что для всех значений x из данной

области выполняются неравенства

(x)| ≤ c

, |u

(x)| ≤ c

, …, |u

(x)| ≤ c

, … . (33.6)

(Обратим внимание на то, что ряд называется мажорируемым,

если для него существует именно с х о д я щ а я с я числовая ма-

жоранта.)

Например, функциональный ряд

sin sin sin

...

sin

...

x x x nx

2 2

2 3

+ + + + +

есть ряд, мажорируемый на всей числовой прямой, так как для

всех значений x выполняются неравенства

416

sinnx

n n

≤

(n = 1, 2, …),

а ряд

2 3

+ + + + +... ... ,

являясь геометрической прогрессией, сходится.

Из определения следует, что если ряд мажорируем в некоторой

области, то он абсолютно сходится в этой области. Кроме того,

имеет место следующее важное утверждение.

Т е о р е м а 33.1 (признак Вейерштрасса). Пусть функциональ-

ный ряд

(x) + u

(x) + ... + u

(x) + ... (33.7)

мажорируем на отрезке [a, b]. Тогда он сходится равномерно на

[a, b].

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ряд (33.5) – сходящаяся числовая

мажоранта ряда (33.7). Обозначим через S′ сумму ряда (33.5):

S′ = c

+ c

+ ... + c

+ c

n + 1

+ ... , (33.8)

через S′

обозначим n-ю частичную сумму, а через r′

– остаток

ряда (33.5) после n-го члена. Тогда

S′ = S ′

+ r′

Так как ряд (33.5) сходится, то

lim .

S S

→∞

′

Следовательно,

lim .

→∞

′

= 0

Как уже отмечалось, сумму функционального ряда (33.1) мож-

но представить в виде

S(x) = S

(x) + r

(x), (33.2)

где S

(x) – n-я частичная сумма, а r

(x) – остаток ряда (33.1):

(x) = u

n + 1

(x) + u

n + 2

(x) + ... .

Согласно условию (33.6)

n + 1

(x)| ≤ c

n + 1

, |u

n + 2

(x)| ≤ c

n + 2

, …,

417

следовательно, |r

(x)| ≤ r ′

для всех x ∈ [a, b]. Так как

lim .

→∞

′

= 0

и {r ′

(x)} – числовая последовательность, то для всякого ε > 0

существует такое N, не зависящее от x, что для всех n > N вы-

полняется неравенство |r ′

| < ε. Следовательно,

|S (x) – S

(x)| < ε

для всех n > N и всех x ∈ [a, b]. Итак, ряд (33.7) сходится на [a, b]

равномерно. Теорема доказана.

33.2. свойства равномерно сходящИхся рядов

Непрерывность суммы ряда

Рассмотрим ряд

(x) + u

(x) + ... + u

(x) + ... , (33.1)

все члены которого – непрерывные на [a, b] функции. Хорошо

известно, что сумма непрерывных функций есть непрерывная

функция, но это верно для к о н е ч н о г о числа слагаемых. Вся-

кая частичная сумма ряда (33.1)

(x) = u

(x) + u

(x) + ... + u

(x)

есть функция, непрерывная на [a, b]. Естественно возникает

вопрос: непрерывна ли сумма ряда (33.1), который состоит из

б е с к о н е ч н о г о числа функций, непрерывных на [a, b]? Ока-

зывается, существуют ряды из непрерывных функций, имеющие

разрывную сумму.

П р и м е р 33.1. Рассмотрим ряд

1 + (x – 1) + (x

– x) + (x

– x

) + ... + (x

– x

n – 1

) + ... . (*)

Члены этого ряда – непрерывные функции при всех значениях x.

Убедимся в том, что данный ряд сходится на отрезке [0, 1], но

сумма его есть разрывная функция. Действительно, частичная

сумма этого ряда S

(x) имеет вид S

(x) = x

n – 1

. Очевидно,

S x S x x

( ) lim ( ) ,= = ≤ <

→∞

0 0 1при

S(1) = 1.

Итак, сумма S(x) данного ряда имеет разрыв в точке x = 1.

Данный ряд сходится на [0, 1] неравномерно. Действительно, при

x < 1 имеем |S(x) – S

(x)| = x

n – 1

. При любом фиксированном n,

очевидно,

lim .

→

−

Поэтому если задано ε < 1, то невозможно

418

обеспечить неравенство |S(x) – S

(x)| < ε для всех x ∈ [0, 1] одно-

временно.

Итак, ряд (*) состоит из непрерывных функций, но имеет сум-

му, не являющуюся непрерывной функцией, и сходится неравно-

мерно на [0, 1], а потому этот ряд не мажорируем.

Т е о р е м а 33.2. Если функции u

(x) определены и непре-

рывны на [a, b] и ряд

(x) + u

(x) + ... + u

(x) + ...

сходится равномерно на [a, b] к сумме S (x), то и эта сумма S(x)

также непрерывна на [a, b].

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем на отрезке [a, b] какую-ни-

будь точку x

и установим непрерывность суммы S (x) в этой

точке. Так как при любом n и при любом x ∈ [a, b] выполняется

равенство

S(x) = S

(x) + r

(x),

то, в частности,

S(x

) = S

) + r

Отсюда

|S (x) – S(x

)| ≤ |S

(x) – S

)| + |r

(x) + r

)|. (**)

Чтобы доказать непрерывность S(x), надо доказать, что для

любого заданного ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех x,

удовлетворяющих условию |x – x

| < δ, выполняется неравенство

|S (x) – S(x

)| < ε. Так как данный ряд сходится равномерно, то

при заданном ε > 0 существует такой номер N, что для всех n > N

выполняется неравенство

| ( )|r x

(33.9)

для всех x ∈ [a, b], в том числе и для x = x

. Это неравенство вы-

полняется, в частности, при n = N + 1. Кроме того, функция S

(x),

являясь при n = N + 1 суммой конечного числа непрерывных

функций, есть функция, непрерывная в точке x

. Поэтому для

заданного ε > 0 существует такое δ > 0, что при |x – x

| < δ будет

| ( ) ( )| .S x S x

n n

− <

(33.10)

Из (**), (33.9) и (33.10) следует, что для всех x, удовлетворя-

ющих условию |x – x

| < δ , выполняется неравенство

|S (x) – S(x

)| < ε.

419

Итак, мы доказали, что в произвольно взятой точке x

∈ [a, b]

сумма S (x) непрерывна. Следовательно, она непрерывна на [a, b].

Теорема доказана.

Доказанная теорема 33.2 справедлива (в силу теоремы 33.1) для

мажорируемых рядов. Иначе говоря, имеет место следующее

утверждение.

Т е о р е м а 33.3. Сумма ряда непрерывных функций, мажо-

рируемых на отрезке [a, b], есть функция, непрерывная на этом

отрезке.

Почленное интегрирование и дифференцирование рядов

Т е о р е м а 33.4. Если функции u

(x) (n = 1, 2, …) непрерыв-

ны на [a, b] и ряд, составленный из этих функций, сходится рав-

номерно на [a, b] к сумме S(x), то его можно почленно интегри-

ровать в пределах от a до b; при этом интеграл от суммы ряда

равен сумме интегралов от членов ряда:

S x dx u x dx u x dx u x dx

( ) ( ) ( ) ... ( )

∫ ∫ ∫

= + + +

1 2

∫

+... .

(33.11)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим, как обычно, через S

(x)

n-ю частичную сумму данного ряда (33.11). Его равномерная схо-

димость означает, что для любого ε > 0 существует такое N, что

для всякого n > N и всех x ∈ [a, b] выполняется неравенство

| ( ) ( )| .S x S x

b a

− <

−

Сумма S(x) есть непрерывная на [a, b] функция по теореме 33.3.

Частичная сумма S

(x) также непрерывна на [a, b], так как пред-

ставляет собой сумму конечного числа непрерывных функций.

Поэтому функции S(x) и S

(x) интегрируемы на [a, b] и

S x dx S x dx S x S x dx b a

( ) ( ) | ( ) ( )| (

∫ ∫ ∫

− < − < − )) .

b a−

Итак,

lim ( ) ( ) ( ) ...

S x dx u x dx u x dx u

→∞

∫ ∫ ∫

− + + +

1 2 nn

x dx( ) ,

∫

























= 0

а это означает, что ряд (33.11) сходится к сумме

S x dx

( ) .

∫

Теорема

доказана.

420

З а м е ч а н и е. Очевидно, ряд, сходящийся равномерно на

[a, b], сходится равномерно на любом отрезке [a, x], где a < x < b.

Поэтому в условиях теоремы 33.4 выполняется равенство

S t dt u t dt u t dt u t dt

( ) ( ) ( ) ... ( )

∫ ∫ ∫

= + + +

1 2

∫

+... .

(33.12)

Т е о р е м а 33.5. Если ряд

(x) + u

(x) + ... + u

(x) + ... , (33.1)

составленный из функций, имеющих непрерывные на [a, b] про-

изводные, сходится на [a, b] к сумме S(x) и ряд

u′

(x) + u ′

(x) + ... + u ′

(x) + ... , (33.13)

составленный из производных его членов, сходится равномерно

на [a, b], то и сумма S(x) ряда (33.1) имеет на [a, b] производную,

причем

S′(x) = u ′

(x) + u ′

(x) + ... + u ′

(x) + ... .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через S

∼

(x) сумму ряда (33.13).

Так как этот ряд сходится равномерно на [a, b], то, в силу замеча-

ния к теореме 33.4, его можно почленно интегрировать на любом

отрезке [a, x], где a < x < b:

S t dt u t dt u t dt u



( ) ( ) ( ) ... (

∫ ∫ ∫

′

+ +

′

1 2

tt dt

) ... .

∫

Очевидно, для всех n

′

= −

∫

u t dt u x u a

n n

( ) ( ) ( ).

Следовательно,

S t dt u x u a u x u a



( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ...

∫

= − + − + +

1 1 2 2

[[ ( ) ( )] ... .u x u a

n n

− +

Но по условию

S(x) = u

(x) + u

(x) + ... + u

(x) + ... ,

S(a) = u

(a) + u

(a) + ... + u

(a) + ... .

Отсюда получаем

S x S t dt S x S a S x

 

( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ).=













′

= −

′

∫