Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов
Подождите немного. Документ загружается.
1
Полагая x
1
= c
1
, x
3
= c
2
, x
6
= c
3
, получаем общее решение
x
= (c
1
, 7 - 2c
1
+ 5c
2
- c
3
, c
2
, 8 - c
1
+ c
2
+ 2c
3
, -2 - 3c
1
- 4c
2
+ 3c
3
, c
3
).
Взяв, например, c
1
= 1, c
2
= 0, c
3
= 3, получим одно из частных
решений:
x
1
= 1, x
2
= 2, x
3
= 0, x
4
= 13, x
5
= 4, x
6
= 3.
П р и м е р 4.5. Найти общее решение системы
x x x x x
x x x x
1 2 3 4 5
1 2 3 4
2 4 4
2 5 3 8 3
+ + + + = −
+ + + +
,
xx
x x x x
x x x
5
2 3 4 5
1 2 4
10
2 2 6 1
4 4 16 3
= −
+ + + = −
+ + = −
,
,
.
Р е ш е н и е:
1 2 1 4 1 4
2 5 3 8 3 10
0 1 2 2 6 1
4 4 0 16 0 3
−
−
−
−
l
22 1 4 1
2 4
1 2 1 4 1 4
0 1 1 0 1 2
0 1 2 2 6 1
0
− −
→
−
−
−
−
l l l,
44 4 0 4 13
1 2 3 2 4 2
2 4
− −
→
− − +l l l l l l, ,
→
− −
−
1 0 1 4 1 0
0 1 1 0 1 2
0 0 1 2 5 1
0 0 0 0 0 5
.
Система несовместна.
2. Метод обратной матрицы. Пусть в системе уравнений (4.1)
число уравнений равно числу неизвестных: m = n. Система имеет
вид
a x a x a x b
a x a x a x
n n
n n
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2
+ + + =
+ + + =
…
…
,
bb
a x a x a x b
n n nn n n
2
1 1 2 2
,
.
…+ + + =
(4.6)
Запишем систему (4.6) в матричной форме:
AX = B.
(4.7)
2
Пусть матрица A является невырожденной:
A ≠ 0,
тогда су-
ществует обратная матрица A
–1
.
Умножим обе части уравнения (4.7) на A
–1
слева:
A
–1
AX = A
–1
B,
получаем решение системы (4.6)
X = A
–1
B. (4.8)
П р и м е р 4.6. Решить системы уравнений:
1
2 3 4
2 2 3 5
3 3 4
1 2 3
1 2 3
1 2 3
)
,
,
x x x
x x x
x x x
+ + =
+ + =
+ + = 77
2
2 3 0
2 2 3 1
3
1 2 3
1 2 3
;
)
,
,
+ + =
+ + =
x x x
x x x
x
11 2 3
1 2 3
1
3 4 1
2 3 14
2 2
+ + =
+ + =
+
x x
x x x
x
;
)
,
3 xx x
x x x
2 3
1 2 3
3 15
3 3 4 21
+ =
+ + =
,
.
Р е ш е н и е. Матрица A
–1
найдена в примере 2.7.
1
1 1 0
1 5 3
0 3 2
4
5
7
1
. X =
−
−
−
= 00
1
.
2
1 1 0
1 5 3
0 3 2
0
1
1
1
. X =
−
−
−
= −−
2
1
.
3
1 1 0
1 5 3
0 3 2
14
15
21
. X =
−
−
−
=
1
2
3
.
3. Правило Крамера. В § 3.1 мы уже рассматривали правило
Крамера для решения системы двух уравнений с двумя неизвест-
ными. Обобщим его на случай любого числа неизвестных.
Т е о р е м а 4.1 (теорема Крамера). Пусть дана система n ли-
нейных уравнений с n неизвестными AX = B. Если
A ≠ 0,
то систе-
ма имеет единственное решение:
x
A
A
x
A
A
x
A
A
n
n
1
1
2
2
= = =, , ,,…
(4.9)
где A
i
– матрица, полученная из A заменой ее i-го столбца столб-
цом свободных членов B (i = 1, 2, …, n).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем в развернутом виде с учетом
(3.10) решение X = A
–1
B системы AX = B:
x
x
x
A
A A A
A A A
n
n
n
1
2
11 21 1
12 22 2
1
=
A A A
b
b
b
n n nn n1 2
1
2
.
В соответствии с правилом умножения матриц получаем
x
A
A b A b A b i n
i i i ni n
= + + + =
1
1 2
1 1 2 2
( ), , , .… …,
Однако выражение, стоящее в скобках, есть разложение опре-
делителя
A
i
по i-му столбцу: A
1i
b
1
+ A
2i
b
2
+ … + A
ni
b
n
=
A
i
.
Итак,
x
A
A
i
i
= .
Теорема доказана.
Формулы (4.9) называются формулами Крамера, а правило ре-
шения систем с помощью этих формул – правилом Крамера.
Формулы Крамера имеют в основном теоретическое значение.
Их применение для решения систем с большим числом неизвест-
ных привело бы к очень громоздким вычислениям. Однако эти
формулы имеют весьма важное достоинство: они дают я в н о е
выражение значений всех неизвестных.
.. совМесТНосТь сисТеМ лиНеЙНЫх урАвНеНиЙ
Рассмотрим матрицу A и расширенную матрицу
A
системы (4.1).
Известно, что ранг матрицы равен наибольшему числу ее линейно
независимых столбцов. Потому, присоединяя к матрице A столбец
свободных членов, либо получаем матрицу, ранг которой на едини-
цу больше ранга A, либо не увеличиваем ранг – если столбец сво-
бодных членов есть линейная комбинация остальных столбцов:
a
a
a
k
a
a
a
m m
11
21
1
1
12
22
2
+
+ +
=
k
a
a
a
k
b
b
b
n
n
mn
n
m
2
1
2
1
2
…
.
(4.10)
Легко видеть, что равенство (4.10) равносильно тому, что сис-
тема (4.1) имеет решение x
1
= k
1
, x
2
= k
2
, …, x
n
= k
n
. Вопрос о совмест-
ности системы линейных уравнений решается следующей теоре-
мой.
Т е о р е м а 4.2 (теорема Кронекера – Капелли). С
истема ли-
нейных уравнений (4.1) совместна тогда и только тогда, когда ранг
ее расширенной матрицы
A
равен рангу ее матрицы A.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Пусть система (4.1) совместна и пусть
k
1
, k
2
, …, k
n
– ее решение. Подставим эти числа вместо неизвест-
ных и получим систему тождеств, которая эквивалентна равенст-
ву (4.10), а оно означает, что столбец свободных членов есть
линейная комбинация столбцов матрицы A. Отсюда следует, что
rg A = rg
A
.
2. Пусть теперь дано, что rg A = rg
A
. Тогда любая максимальная
линейно независимая система столбцов матрицы A остается мак-
симальной линейно независимой системой столбцов и в матри-
це
A
. Следовательно, в частности, столбец свободных членов есть
линейная комбинация столбцов этой системы, а отсюда следует,
что столбец свободных членов есть линейная комбинация всех
столбцов матрицы A, т.е. имеет место равенство вида (4.10). Это,
в свою очередь, означает, что числа k
1
, k
2
, …, k
n
(среди которых,
разумеется, некоторые могут быть нулями) составляют решение
системы (4.1). Мы доказали, что из равенства rg A = rg
A
следует
совместность системы (4.1). Доказательство закончено.
Рассмотрим теперь применение теоремы Кронекера – Капел-
ли. Пусть rg A = rg
A
= r. В этом случае будем говорить, что ранг
системы (4.1) равен r. Тогда система (4.1) совместна.
Если r = n, то система определенна. Ее единственное решение
может быть вычислено либо по правилу Крамера, либо путем при-
ведения к виду (4.4).
Если r < n, система приводится к виду (4.5). Неизвестные
x
r +1
, …, x
n
объявляем свободными и переносим в правые части
уравнений. В левых частях остаются слагаемые, содержащие не-
известные x
1
, x
2
, …, x
r
, называемые базисными:
a x a x a x b a x a x
r r r r n n11 1 12 2 1 1 1 1 1 1
+ + + = − − −
′
+ +
… …
,
,
aa x a x b a x a x
r r r r n n22 2 2 2 2 1 1 2
+ +
′
=
′
− − −
′
+ +
… …
,
,
a x b a
rr
r
r r
r
r r
( ) ( )
,
− −
= −
1 1
++
−
+
−
− −
1
1
1
1( ) ( )
.
r
r rn
r
n
x a x…
Из последнего уравнения системы находим x
r
, подставляем его
значение (зависящее от свободных неизвестных) в предпоследнее
уравнение, находим x
r –1
и т.д. Таким образом найдем неизвестные
x
1
, x
2
, …, x
r
, выраженные через свободные неизвестные, которые
могут принимать любые значения. Поэтому система (4.1) в дан-
ном случае имеет бесконечное множество решений.
Придавая свободным неизвестным произвольные значения и
получая соответствующие значения базисных неизвестных, полу-
чим все решения системы (4.1).
П р и м е р 4.7. Решить систему уравнений
x x x
x x x x
x x x x
1 2 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 5
3 5 2 13
3 2
+ + =
+ − + =
+ + +
,
,
==
+ − =
7
3
1 2 3
,
.x x x
Р е ш е н и е. Составим расширенную матрицу и применим
метод Гаусса:
1 2 0 1 5
3 5 1 2 13
1 3 1 2 7
1 1 1 0 3
1 2 0 1 5
0−
−
→
−
11 1 1 2
0 1 1 1 2
0 1 1 1 2
1 2 0 1 5
0 1− − −
− − − −
→
−
−− − −
1 1 2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
.
Видим, что rg A = rg
A
= 2, так как, в частности, минор, состав-
ленный из коэффициентов при x
1
и x
2
в первых двух уравнениях,
отличен от нуля:
1 2
0 1
1 0
−
= − ≠ ,
а все миноры третьего порядка равны нулю. Неизвестные x
1
, x
2
берем в качестве базисных, а остальные, т.е. x
3
, x
4
, объявляем сво-
бодными и переносим направо:
x x x
x x x
1 2 4
2 3 4
2 5
2
+ = −
− = − + +
,
.
Придавая свободным переменным произвольные значения
x
3
= c
1
, x
4
= c
2
, находим бесконечное множество решений системы:
x
1
= 1 + 2c
1
+ c
2
, x
2
= 2 – c
1
– c
2
, x
3
= c
1
, x
4
= c
2
.
.. одНородНЫе сисТеМЫ
лиНеЙНЫх урАвНеНиЙ
Система линейных уравнений называется однородной, если во
всех ее уравнениях свободные члены равны нулю:
a x a x a x
a x a x a x
n n
n n
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
0+ + + =
+ + +
…
…
,
==
⋅⋅
+ + + =
0
0
1 1 2 2
,
,
…a x a x a x
m m mn n
(4.11)
Очевидно, такая система всегда имеет нулевое (или тривиаль-
ное) решение: x
1
= 0, x
2
= 0, …, x
n
= 0. Поэтому однородная система
всегда совместна. (Очевидно также, что rg A = rg
A
.)
Интерес представляет вопрос о существовании ненулевых ре-
шений этой системы. Если m = n и определитель системы (4.11)
отличен от нуля, то система имеет только нулевое решение (это
следует из теоремы Крамера).
Справедливо следующее утверждение (приведем его без дока-
зательства).
Т е о р е м а 4.3. Однородная
система имеет ненулевое реше-
ние тогда и только тогда, когда ранг этой системы меньше числа
неизвестных.
В частности, при m = n система имеет ненулевое решение тогда
и только тогда, когда ее определитель равен нулю.
Будем записывать всякое решение системы (4.11): x
1
= c
1
,
x
2
= c
2
, …, x
n
= c
n
в виде вектора-строки
c
= (c
1
, c
2
, …, c
n
).
Отметим свойства решений однородных систем:
1. Если
вектор
c
= (c
1
, c
2
, …, c
n
) – решение системы (4.11), то
для любого числа k вектор k
c
= (kc
1
, kc
2
, …, kc
n
) также есть реше-
ние этой системы.
2. Если
векторы
c
= (c
1
, c
2
, …, c
n
) и
c
′ = (c′
1
, c′
2
, …, c′
n
) являются
решениями системы (4.11), то их сумма
c
+
c
′ также есть решение
этой системы.
Справедливость этих свойств проверяется непосредственной
подстановкой указанных решений в уравнения системы. (Предла-
гаем читателю проделать это самостоятельно.)
Из сформулированных свойств следует, что всякая линейная
комбинация решений однородной системы также является решением
этой системы.
Очевидно, если однородная система имеет ненулевое решение,
то она имеет бесконечное множество решений. Из множества
векторов-решений однородной системы (4.11) можно выбрать
базис. Этот базис называется фундаментальной системой решений
однородной системы (4.11). Система (4.11) обладает в этом случае
многими различными фундаментальными системами решений.
Т е о р е м а 4.4. Е
сли ранг r системы линейных однородных
уравнений (4.11) меньше числа неизвестных n, то всякая фундамен-
тальная система решений системы (4.11) состоит из n – r решений.
(Теорему 4.4 примем без доказательства.)
Укажем способ нахождения фундаментальных систем решений
системы (4.11).
Надо взять любую систему из n – r линейно независимых
(n – r)-мерных векторов, принять компоненты каждого из этих
векторов за значения свободных неизвестных x
r+1
, …, x
n
и найти
соответствующие значения для r базисных неизвестных. Получим
n – r решений системы уравнений (4.11), составляющих фунда-
ментальную систему.
Обычно удобнее всего в качестве векторов значений для сво-
бодных неизвестных брать (n – r)-мерные единичные векторы:
(1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
П р и м е р 4.8. Решить систему
x x x x x
x x x x x
x
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1
2 3 0
2 3 2 0
2
+ + + − =
+ + + + =
+
,
,
55 3 2 13 0
4 0
2
2 3 4 5
1 2 4 5
1 2
x x x x
x x x x
x x x
+ + − =
+ + + =
− −
,
,
33 4 5
18 0+ + =
x x .
Р е ш е н и е. Преобразуем матрицу системы:
1 2 1 1 3
2 3 1 2 1
2 5 3 2 13
1 1 0 1 4
1 1 2 1 18
−
−
− −
ll l l l
l l l l
2 1 3 1
4 1 5 1
2 2
1 2 1 1 3
0 1
− −
− −
→
−
−
, ,
,
−−
−
− −
− −
→
1 0 7
0 1 1 0 7
0 1 1 0 7
0 3 3 0 21
→
−
− −
1 2 1 1 3
0 1 1 0 7
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
.
Получаем систему, эквивалентную исходной:
x x x x x
x x x
1 2 3 4 5
2 3 5
2 3 0
7 0
+ + + − =
− − + =
,
.
Выберем в качестве базисных неизвестных x
1
и x
2
(коэффици-
енты при них образуют минор, отличный от нуля):
x x x x x
x x x
1 2 3 4 5
2 3 5
2 3
7
+ = − − +
− = −
,
.
Получаем фундаментальную систему решений:
e e
1 2
1 1 1 0= − = −( , , ), ( , , ),1, 0, 0 0, 1, 0 0, 0, 1e
3
11 7= −( , , ).
.. НеодНородНЫе сисТеМЫ.
сТрукТурА оБщеГо решеНия сисТеМЫ
лиНеЙНЫх НеодНородНЫх урАвНеНиЙ
Рассмотрим систему линейных неоднородных уравнений (4.1)
a x a x a x b
a x a x a x
n n
n n
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2
+ + + =
+ + + =
…
…
,
bb
2
,
....................................................
.a x a x a x b
m m mn n m1 1 2 2
+ + + =
…
и соответствующую ей однородную систему (4.11)
a x a x a x
a x a x a x
n n
n n
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
0+ + + =
+ + +
…
…
,
==
⋅⋅
+ + + =
0
0
1 1 2 2
,
,
…a x a x a x
m m mn n
полученную из системы (4.1) заменой свободных членов нулями.
Установим связь между решениями систем (4.1) и (4.11). Спра-
ведливы следующие у т в е р ж д е н и я:
1. Сумма любого решения системы (4.1) с любым решением
соответствующей однородной системы (4.11) снова есть решение
системы (4.1).
2. Разность любых двух решений системы (4.1) есть решение
соответствующей однородной системы (4.11).
Д о к а з а т е л ь с т в а этих утверждений очень просты. Дока-
жем, например, второе.
Пусть
c
= (c
1
, c
2
, …, c
n
) и
c
′ = (c′
1
, c′
2
, …, c′
n
) – два решения систе-
мы (4.1). Подставим разность этих решений
c
–
c
′ = (c
1
– c′
1
, c
2
– c′
2
,
…, c
n
– c′
n
) в левую часть любого i-го уравнения системы (4.11) и
перегруппируем члены:
a
i1
(c
1
– c′
1
) + a
i 2
(c
2
– c′
2
) + … + a
in
(c
n
– c′
n
) =
= (a
i1
c
1
+ a
i 2
c
2
+ … + a
in
c
n
) – (a
i1
c′
1
+ a
i 2
c′
2
+ … + a
in
c′
n
) =
= b
i
– b
i
= 0.
Уравнение превращается в тождество 0 = 0.
Из этих двух утверждений следует, что, найдя одно решение сис-
темы линейных неоднородных уравнений (4.1) и сложив его с каждым
из решений соответствующей однородной системы (4.11), получим
все решения системы (4.1).
Иначе говоря, общее решение системы линейных уравнений (4.1)
есть сумма любого частного решения этой системы с общим решени-
ем соответствующей однородной системы (4.11).
П р и м е р 4.9. Решить систему
x x x x x
x x x x x
x
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1
2 3 4
2 3 2 6
2
+ + + − =
+ + + + =
+
,
,
55 3 2 13 10
4 2
2
2 3 4 5
1 2 4 5
1 2
x x x x
x x x x
x x
+ + − =
+ + + =
− −
,
,
xx x x
3 4 5
18 2+ + = −
.
Р е ш е н и е. Соответствующая данной системе однородная
система рассмотрена в примере 4.8. Преобразовав расширенную
матрицу данной системы, придем к системе
x x x x x
x x x
1 2 3 4 5
2 3 5
2 4 3
2 7
+ = − − +
− = − + −
,
.
Найдем одно из частных решений этой системы. Проще всего
это сделать, положив x
3
=
x
4
=
x
5
=
0. Получаем решение c
0
=
= (0, 2, 0, 0, 0). (Частное решение, в котором все значения свобод-
ных неизвестных равны нулю, иногда называют базисным.)
Фундаментальная система решений соответствующей одно-
родной системы уже найдена в примере 4.8. Воспользуемся ею и
получим общее решение данной неоднородной системы:
(0, 2, 0, 0, 0) + k
1
(1, –1, 1, 0, 0) + k
2
(–1, 0, 0, 1, 0) + k
3
(–11, 7, 0, 0, 1).
Придавая коэффициентам k
1
, k
2
, k
3
все возможные значения,
получим все решения данной системы.
вопросы
Может ли неопределенная система линейных уравнений быть
несовместной?
Что называется общим решением системы линейных уравне-
ний?
Может ли система, содержащая семь уравнений с пятью неиз-
вестными, быть эквивалентной системе четырех уравнений с
пятью неизвестными?
К какой системе линейных уравнений применимо правило
Крамера?
Применим ли метод обратной матрицы к неопределенной
системе линейных уравнений?
Может ли однородная система линейных уравнений быть
несовместной?
Что называется фундаментальной системой решений одно-
родной системы линейных уравнений?
Сколько решений содержит фундаментальная система реше-
ний однородной системы уравнений с шестью неизвестными,
имеющая ранг 4?
Какова структура общего решения системы линейных неод-
нородных уравнений?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.