Кубрин С.С. Теория анализа и синтеза информационно-аналитических систем оптимальной отработки шахтных полей и месторождений
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ɡɚɦɟɪɟɧɧɵɯ ɭɝɥɨɜ ɜ ɤɨɧɟɱɧɨɣ ɬɨɱɤɟ (ɥɢɧɢɹ ɩɨɤɚɡɚɧɚ ɬɨɱɤɚɦɢ), ɢɢɡɩɚɪ
ɨɬɪɟɡɤɨɜ ɪɚɜɧɨɣ ɞɥɢɧɵ (ɨɬɪɟɡɨɤ ɦɟɠɞɭ ɡɚɦɟɪɚɦɢ ɞɟɥɢɬɫɹ ɩɨɩɨɥɚɦ),
ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɧɵɯ ɩɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦ ɭɝɥɨɜ ɜ ɩɪɢɥɟɝɚɸɳɢɯ ɤ ɨɬɪɟɡɤɭ ɬɨɱɤɚɯ
(ɩɭɧɤɬɢɪɧɚɹ ɥɢɧɢɹ). Ʌɟɝɤɨ ɜɢɞɟɬɶ, ɱɬɨ ɨɲɢɛɤɚ ɜ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɢ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ
ɬɨɱɤɢ ɩɨɞɫɟɱɤɢ ɩɥɚɫɬɨɜ (ɬɨɱɤɢ 1, 2, 3) ɛɭɞɟɬ ɜ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɨɣ ɢ ɜ
ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɹɯ ɢ ɫɨɫɬɚɜɢɬ 2-3 ɦ.
ɇɟ ɬɪɭɞɧɨ ɜɢɞɟɬɶ, ɱɬɨ ɪɚɡɪɚɛɨɬɚɧɧɭɸ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɭɸ ɦɨɞɟɥɶ ɥɟɝɤɨ
ɬɪɚɧɫɮɨɪɦɢɪɨɜɚɬɶ ɜ ɭɧɢɜɟɪɫɚɥɶɧɭɸ ɦɨɞɟɥɶ, ɤɨɬɨɪɚɹ ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɫɬɪɨɢɬɶ
ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɸ ɛɭɪɨɜɨɣ ɬɪɚɫɵ ɪɚɡɜɟɞɨɱɧɨɣ ɫɤɜɚɠɢɧɵ ɜ ɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ, ɟɫɥɢ ɜ
ɧɟɤɨɬɨɪɵɯ ɬɨɱɤɚɯ ɡɚɦɟɪɚ ɢɫɤɪɢɜɥɟɧɢɹ ɫɤɜɚɠɢɧɵ ɢɡɦɟɪɹɥɢɫɶ ɬɨɥɶɤɨ
ɡɟɧɢɬɧɵɟ ɭɝɥɵ ɧɚɤɥɨɧɚ, ɜ ɞɪɭɝɢɯ ɬɨɥɶɤɨ ɚɡɢɦɭɬɵ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɹ ɨɫɢ
ɫɤɜɚɠɢɧɵ, ɚ ɜ ɨɫɬɚɥɶɧɵɯ ɡɟɧɢɬɧɵɟ ɭɝɥɵ ɧɚɤɥɨɧɚ ɢ ɚɡɢɦɭɬɵ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɹ.
Ɋɢɫ. 4.1.
Ɋɚɫɱɟɬ ɝɟɨɦɟɬɪɢɢ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ ɛɭɪɨɜɨɣ ɬɪɚɫɫɵ ɪɚɡɜɟɞɨɱɧɨɣ ɫɤɜɚɠɢɧɵ ɉɄ
ʋ 5317 ɲ. ɋɟɜɟɪɧɚɹ
202
4.2 Ɋɚɡɪɚɛɨɬɤɚ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɦɨɞɟɥɢ ɝɟɨɥɨɝɢɱɟɫɤɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ
ɧɚ ɛɚɡɟ ɧɟɥɢɧɟɣɧɨɣ ɚɩɩɪɨɤɫɢɦɚɰɢɹ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɦɟɬɨɞɨɦ
ɬɪɢɚɧɝɭɥɹɰɢɢ.
ɇɚ ɨɫɧɨɜɟ ɪɚɧɟɟ ɩɪɨɜɟɞɟɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ ɛɵɥɚ ɜɵɹɜɥɟɧɚ
ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨɫɬɶ ɜ ɪɚɡɪɚɛɨɬɤɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɦɨɞɟɥɢ ɝɟɨɥɨɝɢɱɟɫɤɨɣ
ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ, ɩɨɡɜɨɥɹɸɳɟɣ ɭɱɢɬɵɜɚɬɶ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɡɚɥɟɝɚɧɢɹ ɫɥɨɹ.
ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɪɚɡɪɚɛɨɬɚɬɶ ɦɟɬɨɞ, ɧɚ ɨɫɧɨɜɟ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɦɨɠɧɨ
ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɢɫɤɨɦɭɸ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɭɸ ɦɨɞɟɥɶ.
ɉɨɫɬɪɨɟɧɢɟ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɝɟɨɥɨɝɢɱɟɫɤɨɝɨ ɫɥɨɹ ɩɨ ɞɚɧɧɵɦ ɪɚɡɜɟɞɤɢ
ɢɥɢ ɝɟɨɥɨɝɢɱɟɫɤɢɯ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɣ ɜ ɝɨɪɧɵɯ ɜɵɪɚɛɨɬɤɚɯ - ɧɚɢɛɨɥɟɟ ɱɚɫɬɨ
ɪɟɲɚɟɦɚɹ ɡɚɞɚɱɚ ɜ ɝɨɪɧɨɦ ɞɟɥɟ [13, 170]. ȼ ɛɨɥɶɲɢɧɫɬɜɟ ɫɥɭɱɚɟɜ, ɞɥɹ ɟɟ
ɪɟɲɟɧɢɹ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɤɨɦɩɶɸɬɟɪɚ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬ ɦɟɬɨɞ ɬɪɢɚɧɝɭɥɹɰɢɢ. ɉɪɢ
ɷɬɨɦ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɬɫɹ, ɱɬɨ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɬɨɩɨɝɪɚɮɢɱɟɫɤɨɣ
(ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɣ). Ⱦɪɭɝɢɦɢ ɫɥɨɜɚɦɢ, ɨɬɜɟɫɧɚɹ ɥɢɧɢɹ,
ɩɪɨɯɨɞɹɳɚɹ ɱɟɪɟɡ ɨɛɥɚɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ, ɩɟɪɟɫɟɤɚɟɬ ɨɧɭɸ
ɬɨɥɶɤɨ ɜ ɨɞɧɨɣ ɬɨɱɤɟ. Ʉɪɨɦɟ ɬɨɝɨ, ɬɨɩɨɝɪɚɮɢɱɟɫɤɚɹ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ ɨɛɥɚɞɚɟɬ
ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ ɤɨɧɟɱɧɨɫɬɢ (ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɨɬɦɟɬɤɢ ɞɥɹ ɬɨɱɤɢ ɫ ɡɚɞɚɧɧɵɦɢ
ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɦɢ ɤɨɧɟɱɧɨ), ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɫɬɢ ɢ ɩɥɚɜɧɨɫɬɢ (ɩɪɢ ɦɚɥɨɦ
ɢɡɦɟɧɟɧɢɢ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ
x
ɢ
y
ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚ
z
ɬɚɤɠɟ ɢɡɦɟɧɹɟɬɫɹ
ɧɟɡɧɚɱɢɬɟɥɶɧɨ, ɩɥɚɜɧɨ ɢ ɛɟɡ ɫɤɚɱɤɨɜ) [13].
ɂɡɨɛɪɚɠɟɧɧɚɹ ɧɚ ɪɢɫ. 4.2 ɢɡɨɝɧɭɬɚɹ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ ABC (ɜɵɞɟɥɟɧɚ ɩɨ
ɤɨɧɬɭɪɭ ɠɢɪɧɨɣ ɥɢɧɢɟɣ) ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɬɨɩɨɝɪɚɮɢɱɟɫɤɨɣ ɧɚ ɨɛɥɚɫɬɢ
ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ Acȼcɋc (ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤ ɜ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ
x
y
). Ɉɬɜɟɫɧɚɹ ɥɢɧɢɹ NNc
ɩɟɪɟɫɟɤɚɟɬ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɭɸ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ ɬɨɥɶɤɨ ɜ ɨɞɧɨɣ ɬɨɱɤɟ N (ɤɚɤ ɢ
ɜɫɟ ɨɫɬɚɥɶɧɵɟ ɨɬɜɟɫɧɵɟ ɥɢɧɢɢ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɦɨɠɧɨ ɩɪɨɜɟɫɬɢ ɜ ɩɪɟɞɟɥɚɯ
ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ Acȼcɋc). Ɂɧɚɱɟɧɢɹ ɚɩɩɥɢɤɚɬ (ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ
z
) ɤɨɧɟɱɧɵ, ɢ
ɦɟɧɹɸɬɫɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨ ɢ ɩɥɚɜɧɨ. ɗɬɨ ɧɚɝɥɹɞɧɨ ɢɥɥɸɫɬɪɢɪɭɸɬ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɹ,
ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɧɵɟ ɭ ɬɨɱɟɤ A, B ɢ C. ɂɡɦɟɧɟɧɢɹ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ
x
ɢ
y
ɧɚ
dx
ɢ
dy
ɜɵɡɵɜɚɸɬ ɢɡɦɟɧɟɧɢɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ
z
ɧɚ ɤɨɧɟɱɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ
dz
.
203
Ɋɢɫ. 4.2.
Ƚɟɨɥɨɝɢɱɟɫɤɚɹ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ ɩɨɱɜɵ (ɤɪɨɜɥɢ).
ɂɫɯɨɞɧɵɦɢ ɞɚɧɧɵɦɢ ɞɥɹ ɬɪɢɚɧɝɭɥɹɰɢɢ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɦɚɫɫɢɜ ɬɨɱɟɤ
ɩɨɞɫɟɱɟɤ ɫɥɨɹ ɫ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɦɢ
x
,
y
,
z
. ɇɚ ɪɢɫɭɧɤɟ - ɷɬɨ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ
ɬɨɱɟɤ A, B ɢ C. Ʉ ɛɨɥɶɲɨɦɭ ɫɨɠɚɥɟɧɢɸ, ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɡɚɥɟɝɚɧɢɹ ɫɥɨɹ
(ɚɡɢɦɭɬɵ ɢ ɭɝɥɵ ɩɚɞɟɧɢɹ) ɢɝɧɨɪɢɪɭɸɬɫɹ, ɯɨɬɹ ɨɧɢ ɢ ɧɟɫɭɬ ɜɚɠɧɵɟ
ɫɜɟɞɟɧɢɹ ɨ ɯɚɪɚɤɬɟɪɟ ɡɚɥɟɝɚɧɢɹ ɩɨɞɨɲɜɵ ɢɥɢ ɤɪɨɜɥɢ. Ƚɟɨɥɨɝɢɱɟɫɤɚɹ
ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ ɦɨɞɟɥɢɪɭɟɬɫɹ ɧɚɛɨɪɨɦ ɩɥɨɫɤɨɫɬɟɣ (ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤ ABC).
ȼɩɨɥɧɟ ɨɱɟɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɬɚɤɨɣ ɩɨɞɯɨɞ ɤ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɸ ɝɟɨɥɨɝɢɱɟɫɤɨɣ
ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɡɚɜɟɞɨɦɨ ɜɤɥɸɱɚɟɬ ɜ ɫɟɛɹ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɦɟɬɨɞɚ. ɗɬɨ ɜɟɞɟɬ ɤ
ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɸ ɚɩɩɥɢɤɚɬ ɬɨɱɟɤ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɫ ɨɲɢɛɤɨɣ, ɤ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɸ
ɧɟɜɟɪɧɵɯ ɝɟɨɥɨɝɢɱɟɫɤɢɯ ɪɚɡɪɟɡɨɜ, ɚ ɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɢ ɤɨɧɮɢɝɭɪɚɰɢɹ ɢɡɨɥɢɧɢɣ
ɦɨɝɭɬ ɢɡɦɟɧɢɬɶɫɹ ɧɟɭɡɧɚɜɚɟɦɨ.
Ɉɩɢɫɚɧɧɵɣ ɩɨɞɯɨɞ ɤ ɦɨɞɟɥɢɪɨɜɚɧɢɸ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɜ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɟ
ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ
ɩɪɹɦɨɥɢɧɟɣɧɨɣ ɬɪɢɚɧɝɭɥɹɰɢɟɣ. Ɉɧ ɡɚɤɥɸɱɚɟɬɫɹ ɜ
204
ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɢ (ɜ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɨɦ ɤɨɧɬɟɤɫɬɟ) ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɫɥɨɹ ɜ ɜɢɞɟ
ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɝɨ ɫɢɦɩɥɟɤɫɧɨɝɨ ɤɨɦɩɥɟɤɫɚ
.
. Ʉɨɦɩɥɟɤɫ ɞɨɥɠɟɧ ɫɨɫɬɨɹɬɶ
ɢɡ ɡɚɦɤɧɭɬɵɯ ɫɢɦɩɥɟɤɫɨɜ ɬɚɤ, ɱɬɨ ɤɚɠɞɵɟ ɞɜɚ ɫɢɦɩɥɟɤɫɚ ɥɢɛɨ ɧɟ
ɩɟɪɟɫɟɤɚɸɬɫɹ, ɥɢɛɨ ɩɟɪɟɫɟɤɚɸɬɫɹ (ɬɨɱɧɟɟ ɫɨɩɪɢɤɚɫɚɸɬɫɹ) ɩɨ ɢɯ ɨɛɳɟɣ
ɝɪɚɧɢɰɟ. Ʉɚɠɞɵɣ ɫɢɦɩɥɟɤɫ (ɜɵɩɭɤɥɚɹ ɨɛɨɥɨɱɤɚ) ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬɫɹ
ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɨɦ.
Ɉɬɦɟɬɢɦ ɟɳɟ ɨɞɧɭ ɨɫɨɛɟɧɧɨɫɬɶ ɩɪɹɦɨɥɢɧɟɣɧɨɣ ɬɪɢɚɧɝɭɥɹɰɢɢ. Ɉɧɚ
ɡɚɤɥɸɱɚɟɬɫɹ ɜ ɬɨɦ, ɱɬɨ ɥɢɧɢɢ, ɩɨɥɭɱɚɟɦɵɟ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɫɟɱɟɧɢɹ
ɫɢɦɩɥɟɤɫɧɨɝɨ ɤɨɦɩɥɟɤɫɚ ɩɥɨɫɤɨɫɬɶɸ, ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɥɨɦɚɧɧɵɦɢ. ɑɚɳɟ ɜɫɟɝɨ
ɷɬɨ ɢɡɨɥɢɧɢɢ (ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɵɟ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ), ɥɢɧɢɢ ɤɪɨɜɥɢ ɢ ɩɨɱɜɵ ɧɚ
ɪɚɡɪɟɡɚɯ (ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɟ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ). Ʉɚɤ ɩɪɚɜɢɥɨ, ɞɥɹ ɭɥɭɱɲɟɧɢɹ ɜɢɞɚ, ɢɯ
ɫɝɥɚɠɢɜɚɸɬ. ɇɨ ɷɬɨ ɧɟ ɭɫɬɪɚɧɹɟɬ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɦɟɬɨɞɚ, ɚ ɢɧɨɝɞɚ ɞɚɠɟ
ɭɜɟɥɢɱɢɜɚɟɬ ɨɲɢɛɤɭ.
ɉɨɩɵɬɚɟɦɫɹ ɪɚɡɪɚɛɨɬɚɬɶ ɦɟɬɨɞ ɢ ɧɚ ɟɝɨ ɛɚɡɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɭɸ
ɦɨɞɟɥɶ, ɤɨɬɨɪɚɹ ɩɨɡɜɨɥɢɬ ɭɱɢɬɵɜɚɬɶ ɩɪɢ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɢ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ
ɝɟɨɥɨɝɢɱɟɫɤɨɝɨ ɫɥɨɹ, ɩɥɚɫɬɚ, ɧɟ ɬɨɥɶɤɨ ɨɬɦɟɬɤɢ, ɧɨ ɭɝɥɵ ɢ ɚɡɢɦɭɬɵ
ɩɚɞɟɧɢɹ. Ɉɬɦɟɬɢɦ ɫɪɚɡɭ, ɱɬɨ ɩɨɥɭɱɟɧɧɚɹ ɜ ɢɬɨɝɟ ɪɚɫɱɟɬɨɜ ɦɨɞɟɥɶ
ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ, ɤɨɧɟɱɧɨ, ɧɟ ɛɭɞɟɬ ɜ ɬɨɱɧɨɫɬɢ ɫɨɜɩɚɞɚɬɶ ɫ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨɣ
ɝɟɨɥɨɝɢɱɟɫɤɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶɸ, ɧɨ, ɨɱɟɜɢɞɧɨ, ɛɭɞɟɬ ɡɧɚɱɢɬɟɥɶɧɨ ɛɥɢɠɟ ɤ
ɢɫɤɨɦɨɣ, ɱɟɦ ɧɚɛɨɪ ɩɥɨɫɤɨɫɬɟɣ, ɩɨɥɭɱɚɟɦɵɯ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɩɪɹɦɨɥɢɧɟɣɧɨɣ
ɬɪɢɚɧɝɭɥɹɰɢɢ.
Ȼɭɞɟɦ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ
ɤɪɢɜɨɥɢɧɟɣɧɭɸ ɢɥɢ ɧɟɥɢɧɟɣɧɭɸ ɬɪɢɚɧɝɭɥɹɰɢɸ
ɬɨɩɨɥɨɝɢɱɟɫɤɨɝɨ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɚ. Ɉɧɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬɫɹ ɭɠɟ ɜ ɜɢɞɟ ɩɚɪɵ:
ɫɢɦɩɥɟɤɫɧɨɝɨ ɤɨɦɩɥɟɤɫɚ ɢ ɝɨɦɟɨɦɨɪɮɢɡɦɚ (
.
,
f
). Ⱦɪɭɝɢɦɢ ɫɥɨɜɚɦɢ, ɧɚ
ɨɞɧɨɦ ɢ ɬɨɦ ɠɟ ɫɢɦɩɥɟɤɫɧɨɦ ɤɨɦɩɥɟɤɫɟ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɡɚɦɟɧɵ ɥɢɧɟɣɧɨɣ
ɮɭɧɤɰɢɢ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɚɩɩɥɢɤɚɬɵ
cbyaxz
ɨɬ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɬɨɱɤɢ ɧɚ
ɧɟɥɢɧɟɣɧɭɸ
),( yxzz
ɦɨɠɧɨ ɢɫɤɥɸɱɢɬɶ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɦɟɬɨɞɚ
ɩɪɹɦɨɥɢɧɟɣɧɨɣ ɬɪɢɚɧɝɭɥɹɰɢɢ, ɢ, ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɩɨɜɵɫɢɬɶ ɞɨɫɬɨɜɟɪɧɨɫɬɶ
ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɨɜ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ
z
ɬɨɱɤɢ ɢ ɜɫɟɯ ɩɨɫɥɟɞɭɸɳɢɯ
205
ɪɚɫɱɟɬɨɜ (ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɹ ɢɡɨɥɢɧɢɣ, ɫɟɱɟɧɢɣ, ɨɛɴɟɦɨɜ ɢ ɬɚɤ ɞɚɥɟɟ). Ʉ ɬɨɦɭ ɠɟ
ɞɥɹ ɩɨɥɭɱɟɧɢɹ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɦɟɬɨɞɨɦ ɧɟɥɢɧɟɣɧɨɣ ɬɪɢɚɧɝɭɥɹɰɢɢ,
ɫɨɩɨɫɬɚɜɢɦɨɣ ɩɨ ɞɟɬɚɥɢɡɚɰɢɢ ɫ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶɸ, ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɣ ɦɟɬɨɞɨɦ
ɩɪɹɦɨɥɢɧɟɣɧɨɣ ɬɪɢɚɧɝɭɥɹɰɢɢ, ɬɪɟɛɭɟɬɫɹ ɦɟɧɶɲɟɟ ɱɢɫɥɨ ɢɫɯɨɞɧɵɯ ɬɨɱɟɤ.
ɇɚ ɪɢɫ. 4.2 ɨɬɪɟɡɨɤ LN ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɟɬ ɦɟɪɭ ɪɚɡɥɢɱɢɹ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɢ
ɧɟɥɢɧɟɣɧɨɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɯ ɦɨɞɟɥɟɣ ɝɟɨɥɨɝɢɱɟɫɤɢɯ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɟɣ.
Ɂɚɞɚɱɚ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɹ ɫɢɦɩɥɟɤɫɧɨɝɨ ɤɨɦɩɥɟɤɫɚ ɫɚɦɚ ɩɨ ɫɟɛɟ ɧɟ
ɬɪɢɜɢɚɥɶɧɚ. ɉɨɞɪɨɛɧɨɟ ɨɩɢɫɚɧɢɟ ɟɺ ɪɟɲɟɧɢɣ ɫ ɞɟɬɚɥɶɧɵɦɢ ɪɚɫɱɟɬɧɵɦɢ
ɫɯɟɦɚɦɢ ɦɨɠɧɨ ɧɚɣɬɢ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɜ ɤɧɢɝɟ ȼ.ȼ. ȿɪɲɨɜɚ [39]. Ɉɱɟɜɢɞɧɨ,
ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɣ ɫɢɦɩɥɟɤɫɧɵɣ ɤɨɦɩɥɟɤɫ ɢɧɜɚɪɢɚɧɬɟɧ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɜɢɞɚ
(ɥɢɧɟɣɧɚɹ, ɧɟɥɢɧɟɣɧɚɹ) ɬɪɢɚɧɝɭɥɹɰɢɢ. ɉɨɷɬɨɦɭ ɡɚɞɚɱɭ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɹ
ɤɨɦɩɥɟɤɫɚ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɧɟ ɛɭɞɟɦ.
Ⱦɥɹ ɪɟɲɟɧɢɹ ɡɚɞɚɱɢ ɧɟɥɢɧɟɣɧɨɣ ɬɪɢɚɧɝɭɥɹɰɢɢ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɧɚɣɬɢ
ɜɢɞ ɮɭɧɤɰɢɢ
),( yxz
ɫ ɭɱɟɬɨɦ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɡɚɥɟɝɚɧɢɹ. Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ
ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤ ABC (ɪɢɫ. 4.2). ȼɟɤɬɨɪɚ
V
&
ɧɚ ɪɢɫɭɧɤɟ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɜɟɤɬɨɪɚɦɢ,
ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɳɢɦɢ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɹ ɢ ɜɟɥɢɱɢɧɭ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɝɨ ɫɤɚɬɚ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ.
ɋ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɶɸ ɨɧɢ ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɭɝɥɵ ɩɚɞɟɧɢɹ
U
.
ɉɪɨɟɤɰɢɟɣ ɜɟɤɬɨɪɚ
V
&
ɧɚ ɩɥɨɫɤɨɫɬɶ
x
y
ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɜɟɤɬɨɪ, ɪɚɜɧɵɣ ɩɨ
ɜɟɥɢɱɢɧɟ ɝɪɚɞɢɟɧɬɭ ɢ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɧɵɣ ɜ ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɭɸ ɫɬɨɪɨɧɭ,
ɨɛɪɚɡɭɸɳɢɣ ɭɝɨɥ
A
ɫɨɫɶɸ
x
, ɤɨɬɨɪɵɣ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɚɡɢɦɭɬɨɦ ɩɚɞɟɧɢɹ
ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɜ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɨɣ ɬɨɱɤɟ (ɝɪɚɞɢɟɧɬ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧ ɜ ɫɬɨɪɨɧɭ
ɭɜɟɥɢɱɟɧɢɹ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ
z
). Ɂɞɟɫɶ ɢ ɞɚɥɟɟ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɝɟɨɞɟɡɢɱɟɫɤɢɟ
ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ.
ɉɭɫɬɶ ɝɪɚɧɢɱɧɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ ɜ ɜɟɪɲɢɧɚɯ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ ɡɚɞɚɧɵ
ɡɧɚɱɟɧɢɹɦɢ ɚɩɩɥɢɤɚɬ ɨɬɦɟɬɨɤ, ɭɝɥɨɜ ɢ ɚɡɢɦɭɬɨɜ ɩɚɞɟɧɢɹ. Ɉɬɦɟɬɢɦ
ɯɚɪɚɤɬɟɪɧɭɸ ɨɫɨɛɟɧɧɨɫɬɶ ɡɚɞɚɱɢ. Ƚɪɚɧɢɱɧɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ ɢɡɜɟɫɬɧɵ ɧɟ ɩɨ ɜɫɟɣ
ɝɪɚɧɢɰɟ ɨɛɥɚɫɬɢ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɚ ɬɨɥɶɤɨ ɥɢɲɶ ɜ ɬɪɟɯ ɬɨɱɤɚɯ. ȼ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ
ɛɭɞɟɦ ɫɱɢɬɚɬɶ, ɱɬɨ ɮɭɧɤɰɢɹ
),( yxz
, ɦɨɞɟɥɢɪɭɸɳɚɹ ɝɟɨɥɨɝɢɱɟɫɤɭɸ
206
ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ, ɱɟɬɵɪɟɠɞɵ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɭɟɦɚ ɩɨ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦ (ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɦ)
x
ɢ
y
.
Ƚɪɚɞɢɟɧɬ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ (ɝɪɚɞɢɟɧɬ ɫɤɚɥɹɪɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ
),( yxz
) ɜ
ɥɸɛɨɣ ɟɟ ɬɨɱɤɟ (ɜ ɩɪɟɞɟɥɚɯ ɨɛɥɚɫɬɢ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ) ɡɚɞɚɟɬɫɹ ɥɢɧɟɣɧɵɦ
ɨɩɟɪɚɬɨɪɨɦ Ƚɚɦɢɥɶɬɨɧɚ (ɧɚɛɥɚ)
j
y
z
i
x
z
zyxgradz
&
&
w
w
w
w
,
,
ɥɟɠɢɬ ɜ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɢ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧ, ɤɚɤ ɭɠɟ ɨɬɦɟɱɚɥɨɫɶ, ɜ
ɫɬɨɪɨɧɭ ɭɜɟɥɢɱɟɧɢɹ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɮɭɧɤɰɢɢ. ɇɚɣɞɟɦ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɝɪɚɞɢɟɧɬɚ
ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɨɬ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɡɚɥɟɝɚɧɢɹ ɝɟɨɥɨɝɢɱɟɫɤɨɝɨ ɫɥɨɹ, ɚɡɢɦɭɬɚ ɢ ɭɝɥɚ
ɩɚɞɟɧɢɹ (ɜɫɟ ɷɬɨ ɜɪɟɦɹ ɢ ɜ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɩɨɞ ɭɝɥɨɦ ɩɚɞɟɧɢɹ
ɩɨɞɪɚɡɭɦɟɜɚɟɬɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɢɫɬɢɧɧɵɣ ɭɝɨɥ ɩɚɞɟɧɢɹ).
Ⱥɡɢɦɭɬ ɩɚɞɟɧɢɹ
A
ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɟɧ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɤ
ɝɪɚɞɢɟɧɬɭ ɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ, ɤɚɤ ɚɪɤɬɚɧɝɟɧɫ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɩɪɨɟɤɰɢɢ ɝɪɚɞɢɟɧɬɚ
ɧɚ ɨɫɶ
y
ɤ ɩɪɨɟɤɰɢɢ ɧɚ ɨɫɶ
x
(ɪɢɫ. 4.2), ɜɡɹɬɵɣ ɫ ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɵɦ
ɡɧɚɤɨɦ
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§
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z
y
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arctg
dx
dy
arctgA
.
ɍɝɨɥ ɩɚɞɟɧɢɹ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɜ ɬɨɱɤɟ ɫ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɦɢ
0
x
ɢ
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ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɭɝɥɨɦ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɹ ɞɜɭɯ ɩɥɨɫɤɨɫɬɟɣ. ɉɟɪɜɚɹ ɹɜɥɹɟɬɫɹ
ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɶɸ, ɩɨɫɬɪɨɟɧɧɨɣ ɤ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɜ
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ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɟ ɢɫɤɨɦɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɩɨ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɣ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɟ
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ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɣ ɬɨɱɤɟ, ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɳɟɣ ɨɛɥɚɫɬɢ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɢ ɧɚ ɝɪɚɧɢɰɟ (ɜ
ɭɝɥɨɜɵɯ ɬɨɱɤɚɯ). Ƚɪɚɞɢɟɧɬ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɡɚɥɟɝɚɧɢɹ ɫɥɨɹ
ɜɵɱɢɫɥɹɟɬɫɹ ɩɨ ɫɥɟɞɭɸɳɟɣ ɮɨɪɦɭɥɟ:
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ɇɚɥɨɠɢɦ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɞɨɩɨɥɧɢɬɟɥɶɧɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ ɧɚ ɜɢɞ ɢɫɤɨɦɨɣ
ɮɭɧɤɰɢɢ
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),( yxz
, ɦɨɞɟɥɢɪɭɸɳɭɸ ɝɟɨɥɨɝɢɱɟɫɤɭɸ
ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ ɩɨɱɜɵ (ɤɪɨɜɥɢ) ɩɥɚɫɬɚ ɢɥɢ ɩɨɪɨɞɧɨɝɨ ɫɥɨɹ ɛɭɞɟɦ ɢɫɤɚɬɶ ɜ
ɤɥɚɫɫɟ ɮɭɧɤɰɢɣ ɢɦɟɸɳɢɯ ɛɥɢɡɨɫɬɶ ɩɨɪɹɞɤɚ ɛɨɥɶɲɟ ɱɟɦ ɜɬɨɪɨɝɨ. Ⱦɥɹ
ɢɥɥɸɫɬɪɚɰɢɢ ɢɡɥɨɠɟɧɧɨɝɨ ɧɚ ɪɢɫ. 4.3 ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɵ ɞɜɟ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ
ɛɥɢɡɤɢɟ ɦɟɠɞɭ ɫɨɛɨɣ ɜ ɫɦɵɫɥɟ ɛɥɢɡɨɫɬɢ ɧɭɥɟɜɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ, ɧɨ ɧɟ ɛɥɢɡɤɢɟ ɜ
208
ɫɦɵɫɥɟ ɛɥɢɡɨɫɬɢ ɧɢ ɩɟɪɜɨɝɨ ɢ ɧɢ ɜɬɨɪɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ, ɬɚɤ ɤɚɤ ɚɩɩɥɢɤɚɬɵ ɭ
ɧɢɯ ɛɥɢɡɤɢ, ɚ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɹ ɝɪɚɞɢɟɧɬɨɜ ɧɟ ɛɥɢɡɤɢ ɢ ɧɟ ɛɥɢɡɤɢ ɜɟɤɬɨɪɚ
ɨɩɢɫɵɜɚɸɳɢɟ ɢɡɦɟɧɟɧɢɹ ɝɪɚɞɢɟɧɬɨɜ. Ʌɨɝɢɱɧɨ ɩɨɬɪɟɛɨɜɚɬɶ, ɱɬɨɛɵ
ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɢɡɦɟɧɟɧɢɹ ɝɪɚɞɢɟɧɬɚ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ
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ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɨɣ.
Ɋɢɫ. 4.3.
Ȼɥɢɡɤɢɟ ɦɟɠɞɭ ɫɨɛɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɩɨ ɚɩɩɥɢɤɚɬɚɦ.
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɡɚɞɚɱɚ ɫɜɟɥɚɫɶ ɤ ɜɚɪɢɚɰɢɨɧɧɨɣ ɡɚɞɚɱɟ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹ
ɷɤɫɬɪɟɦɭɦɚ ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɚ, ɡɚɜɢɫɹɳɟɝɨ ɨɬ ɜɬɨɪɵɯ ɱɚɫɬɧɵɯ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ
ɮɭɧɤɰɢɢ ɞɜɭɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ:
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ɞɨɥɠɧɚ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ ɗɣɥɟɪɚ – ɉɭɚɫɫɨɧɚ ɜɢɞɚ
209
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ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɬɶ ɪɟɲɟɧɢɸ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɜ
ɱɚɫɬɧɵɯ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ ɱɟɬɜɟɪɬɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɜɢɞɚ
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ɂɬɚɤ, ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ
),( yxz
, ɫɜɟɥɨɫɶ, ɤ ɪɟɲɟɧɢɸ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ
ɛɢɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɫ ɡɚɞɚɧɧɵɦɢ ɤɪɚɟɜɵɦɢ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ.
ɂɧɬɟɪɟɫɧɨ ɨɬɦɟɬɢɬɶ, ɱɬɨ ɤ ɚɧɚɥɨɝɢɱɧɨɦɭ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ ɫɜɨɞɹɬɫɹ ɝɪɚɧɢɱɧɵɟ
ɡɚɞɚɱɢ ɢɡɝɢɛɚ ɬɨɧɤɢɯ ɩɥɚɫɬɢɧɨɤ. ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɮɢɡɢɱɟɫɤɚɹ ɫɭɬɶ ɪɟɲɟɧɢɹ
ɛɢɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɛɭɞɟɬ ɮɨɪɦɚ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ, ɫɦɨɞɟɥɢɪɨɜɚɧɧɚɹ
ɭɩɪɭɝɨɣ ɩɥɚɫɬɢɧɤɨɣ, ɩɨɞɜɟɪɠɟɧɧɨɣ ɞɟɣɫɬɜɢɸ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɣ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɣ
ɧɚɝɪɭɡɤɢ. ȿɫɥɢ ɜɜɟɫɬɢ ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɭɸ ɩɟɪɟɦɟɧɧɭɸ
p
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ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɛɢɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɛɭɞɟɬ
))()(Re(
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- ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɟ ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ, ɬɨ ɟɫɬɶ
ɮɭɧɤɰɢɢ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɵ
ɫɬɟɩɟɧɧɵɦ ɪɹɞɨɦ, ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ D;
210
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ɫɨɩɪɹɠɟɧɧɵɟ ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɵɟ ɱɢɫɥɚ (
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Re
- ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɚɹ ɱɚɫɬɶ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ.
Ɂɚɞɚɱɚ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɣ
)
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ɜ ɹɜɧɨɦ ɜɢɞɟ ɧɟ ɬɪɢɜɢɚɥɶɧɚ.
ɂɡɜɟɫɬɧɵ ɟɺ ɪɟɲɟɧɢɹ ɞɥɹ ɧɟɤɨɬɨɪɨɝɨ ɜɢɞɚ ɨɛɥɚɫɬɟɣ, ɫɜɨɞɹɳɢɟɫɹ ɤ
ɢɧɬɟɝɪɚɥɭ ɉɭɚɫɫɨɧɚ [54, 93, 132]. ȼ ɫɥɭɱɚɟ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɣ ɨɛɥɚɫɬɢ
ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɛɭɞɟɦ ɞɨɜɨɥɶɫɬɜɨɜɚɬɶɫɹ ɱɚɫɬɧɵɦɢ ɪɟɲɟɧɢɹɦɢ ɜ ɜɢɞɟ
ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ.
Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɞɥɹ ɛɢɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɞɨɩɭɫɬɢɦɵ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ
ɱɚɫɬɧɵɟ ɪɟɲɟɧɢɹ. ȼ ɜɢɞɟ ɷɤɫɩɨɧɟɧɰɢɚɥɶɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ
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ɪɟɲɟɧɢɟ ɛɢɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɜ ɜɢɞɟ ɤɭɛɢɱɟɫɤɨɝɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ.
Ⱦɥɹ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɜ ɩɨɥɢɧɨɦɚ ɜɨɫɩɨɥɶɡɭɟɦɫɹ
ɝɪɚɧɢɱɧɵɦɢ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ ɜ ɜɟɪɲɢɧɚɯ ɬɪɢɚɧɝɭɥɹɰɢɨɧɧɨɝɨ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ.
ɉɭɫɬɶ ɜ ɜɟɪɲɢɧɟ 1 ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ ɫ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɦɢ
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ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵ ( (4.1) ɞɚɟɬ ɟɳɟ ɬɪɢ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹ