Куликов В.П., Кузин А.В. Инженерная графика

Подождите немного. Документ загружается.

Рисунок 199

этому фронтальная проекция линий пересечения поверхностей этих тел

совпадает с фронтальной проекцией основания призмы. Горизонталь-

ные проекции линий пересечения поверхностей совпадают с горизон-

тальной проекцией цилиндра и являются окружностью. Профильные

проекции точек А и D находим по горизонтальным и фронтальным

проекциям при помощи линий связи. Для построения проекций про-

межуточных точек Д С используем вспомогательные секущие плоско-

сти аире помощью которых находим фронтальные проекции С", В"

точек В я С.

В данном примере можно обойтись без вспомогательных секу-

щих плоскостей, намечая произвольно на фронтальной проекции

точки В'\ С".

Опуская линии связи на горизонтальную проекцию, находим гори-

зонтальные проекции С, В' точек С и В. На профильной проекции с

помощью линий связи находим проекции В"\ С".

На рисунке 200 показано построение изометрической проекции.

После построения изометрической проекции цилиндра, используя раз-

меры тип (рисунок 199), строят изометрическую проекцию основания

151

Рисунок

200

призмы, на котором находят точки 7, 2, J, 4. От этих точек откладыва-

ют расстояния l'"D"\

2"'С"'

и т. д., взятые с профильной проекции

комплексного чертежа, и находят точки А

5, С, D.

На изометрической проекции линия пересечения поверхностей ци-

линдра и призмы получается соединением точек А

В, С, Д которые

строятся по координатам, взятым с комплексного чертежа.

2.49

Пересечение цилиндрических поверхностей

При выполнении машиностроительных чертежей наиболее часто

встречается случай пересечения двух цилиндрических поверхностей,

оси которых расположены под углом 90°.

Разберем пример построения линии пересечения поверхностей двух

прямых круговых цилиндров, оси которых перпендикулярны к плоско-

стям проекций (рисунок 201).

В начале построения, как известно, находят проекции очевидных

точек 7, J и 5.

152

Рисунок 201

Построение проекции промежуточных точек показано на рисун-

ке 201. Если в данном примере применить общий способ построения

линий пересечения с помощью вспомогательных взаимно параллель-

ных плоскостей, пересекающих обе цилиндрические поверхности по

образующим, то на пересечении этих образующих будут найдены иско-

мые промежуточные точки линии пересечения (например, точки 2, 4 на

рисунке 201).

Однако в данном случае выполнять такое построение нет необходи-

мости по следующим соображениям.

Горизонтальная проекция искомой линии пересечения поверхно-

стей совпадает с окружностью — горизонтальной проекцией большого

цилиндра. Профильная проекция линии пересечения также совпадает

с окружностью — профильной проекцией малого цилиндра. Таким об-

разом, фронтальную проекцию искомой линии пересечения легко най-

ти по общему правилу построения кривой линии по точкам, когда две

проекции точек известны. Например, по горизонтальной проекции

точки 2' находят профильную проекцию 2"'. По двум проекциям 2'

и 2'" определяют фронтальную проекцию 2" точки 2, принадлежащей

линии пересечения цилиндров.

Построение изометрической проекции пересекающихся цилиндров

(рисунок 202) начинают с построения изометрической проекции верти-

153

Рисунок 202

кального цилиндра. Далее через точку О

параллельно оси х проводят

ось горизонтального цилиндра. Положение точки О

определяется ве-

личиной Л, взятой с комплексного чертежа (рисунок 201). Отрезок, рав-

ный h, откладывают от точки О вверх по оси z- Откладывая от точки О

по оси горизонтального цилиндра отрезок /, получим точку 0

— центр

основания горизонтального цилиндра.

Изометрическая проекция линии пересечения поверхностей строит-

ся по точкам при помощи трех координат. Однако в данном примере

искомые точки можно построить несколько иначе.

Так, например, точку 2 строят следующим образом. От центра 0

вверх, параллельно оси z, откладывают отрезок т, взятый с комплекс-

ного чертежа. Через конец этого отрезка проводят прямую, параллель-

ную оси у, до пересечения с основанием горизонтального цилиндра в

точке 2

. Затем из точки 2

проводят прямую, параллельную оси х, и на

ней откладывают отрезок, равный расстоянию от основания горизон-

тального цилиндра до линии пересечения, взятый с фронтальной или

горизонтальной проекции комплексного чертежа. Конечные точки

этих отрезков будут принадлежать линии пересечения. Через получен-

ные точки проводят по лекалу кривую, выделяя ее видимые и невиди-

мые части.

Если диаметры пересекающихся цилиндрических поверхностей

одинаковы, то фронтальная проекция линии пересечения представляет

собой две пересекающиеся прямые.

154

Если пересекающиеся цилиндрические поверхности имеют оси,

расположенные под углом, отличным от прямого угла, то линию их пе-

ресечения строят при помощи вспомогательных секущих плоскостей

или другими способами (например, способом сфер).

2.50

Пересечение поверхностей призм

При пересечении двух многогранников линия пересечения поверх-

ностей представляет собой ломаную линию.

Если ребра двух призм взаимно перпендикулярны (рисунок 203), то

линия пересечения призм строится следующим образом.

Горизонтальная и профильная проекции линии пересечения совпа-

дают соответственно с горизонтальной проекцией пятиугольника (ос-

нования одной призмы) и с профильной проекцией части четырех-

угольника (основания другой призмы). Фронтальную проекцию лома-

ной линии пересечения строят по точкам пересечения ребер одной

призмы с гранями другой.

Например, взяв горизонтальную V и профильную /'" проекции

точки 1 пересечения ребра пятиугольной призмы с гранью четырех-

Рисунок

203

155

угольной и пользуясь известным приемом построения, с помощью ли-

нии связи можно легко найти фронтальную проекцию 7" точки 7, при-

надлежащей линии пересечения призм.

Изометрическая проекция двух пересекающихся призм (рису-

нок 204) может быть построена по координатам соответствующих точек.

Рисунок 204

Например, изометрическую проекцию точки 5, расположенную на

грани пятиугольной призмы, строят так. Принимая для удобства по-

строений за начало координат точку О, лежащую на верхнем основании

пятиугольной призмы, откладываем влево от О по направлению, парал-

лельному изометрической оси х, отрезок ОЕ, равный координате Х

взятой с комплексного чертежа на фронтальной или горизонтальной

проекции (рисунок 203). Далее из точки Е вниз параллельно оси z от-

кладываем отрезок ЕЕ, равный второй координате Z

= а, и, наконец, от

точки F вправо параллельно оси у откладываем отрезок F5, равный

третьей координате: F5=c/2.

Далее от точки F параллельно оси х откладываем отрезок я, взятый

с комплексного чертежа. Через его конец проводим прямую, парал-

лельную оси у, и откладываем на ней отрезок, равный с. Вниз парал-

лельно оси z откладываем отрезок, равный Ь, и параллельно у — отре-

зок, равный к. В результате получаем изометрию основания четырех-

угольной призмы.

Точки 1 и 4 из. ребрах пятиугольной призмы можно построить, ис-

пользуя только одну координату z.

156

2.51 Построение линий пересечения поверхностей

способом вспомогательных сфер

Для построения линии пересечения поверхностей вместо вспомога-

тельных секущих плоскостей при определенных условиях удобно при-

менять вспомогательные сферические поверхности.

По сравнению с методом вспомогательных секущих плоскостей ме-

тод вспомогательных сфер имеет то преимущество, что, например,

фронтальная проекция линии пересечения поверхностей строится без

применения двух других проекций пересекающихся поверхностей (ри-

сунок 205).

Рисунок

205

Вспомогательные сферические поверхности для построения линий

пересечения поверхностей тел можно применять лишь при следующих

условиях:

—

пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вра-

щения;

—

оси поверхностей вращения должны пересекаться; точка пересе-

чения осей является центром вспомогательных сфер;

—

оси поверхностей вращения должны быть параллельны какой-ли-

бо плоскости проекций.

На рисунке 205 дано построение фронтальной проекции линии пе-

ресечения поверхностей цилиндра и усеченного конуса оси которых

пересекаются под прямым углом.

157

Вспомогательные сферические поверхности проводят из точки О"

пересечения осей цилиндров.

Построим, например, фронтальную проекцию некоторой промежу-

точной точки линии пересечения. Для этого из точки О" проводят сфе-

рическую поверхность радиуса R, которая на данной проекции изобра-

зится в виде окружности этого же радиуса. Окружность радиуса R пере-

сечет горизонтальный цилиндр по окружностям диаметра СД а

конус — по окружностям диаметра АВ.

В пересечении полученных проекций окружностей — отрезков

CD" и

А"

В"

— находят проекцию 2" и 4" промежуточных точек ли-

нии пересечения.

Вводя еще целый ряд вспомогательных сферических поверхностей,

можно построить необходимое число точек линии пересечения.

Пределы радиусов сферических поверхностей находят следующим

образом: наибольшая окружность сферической поверхности должна

пересекаться с контурными образующими L—L и К— К цилиндра и ко-

нуса и наименьшая должна быть касательной к одной из данных пере-

секающихся поверхностей и пересекаться с образующими другой по-

верхности.

Вопросы

для

самопроверки

Как

строится линия пересечения поверхностей?

В чем

заключается общий прием решения

задач

на

взаимное пересечение

по-

верхностей?

3. Что

лежит

основе способа вспомогательных сфер

для

определения линии

пересечения поверхностей?

2.52

Кривые линии.

Общие

сведения

кривых линиях

их

проецировании

Кривую линию можно представить себе как траекторию движущейся

точки на плоскости или в пространстве. Примером служат известные

из курса черчения средней школы спираль Архимеда и цилиндрическая

винтовая линия. Кривая линия может быть также получена в результате

взаимного пересечения поверхностей (например, двух цилиндрических)

или при пересечении поверхности плоскостью (например, эллипс, по-

лучающийся при пересечении боковой поверхности прямого кругового

цилиндра плоскостью, составляющей с осью цилиндра некоторый ост-

рый угол). Кривая линия в ряде случаев представляет собой геометриче-

ское место точек, отвечающих определенным для этой кривой услови-

ям (окружность, эллипс, парабола и т. п.).

Кривая линия определяется положениями составляющих ее точек.

Точки кривой определяются их координатами.

158

Кривые линии могут быть плоские, т. е. такие, которые всеми своими

точками лежат в одной плоскости, и пространственные, т. е. такие, точ-

ки которых не принадлежат одной плоскости. Примерами плоских кри-

вых линий являются окружность, эллипс, парабола, спираль Архимеда;

примерами пространственных кривых — винтовая линия, линия пересе-

чения боковых поверхностей прямых круговых цилиндра и конуса.

Для построения проекций кривой линии (плоской или пространст-

венной) необходимо построить проекции ряда принадлежащих ей точек

(рисунок 206).

Рисунок 206

Пространственная кривая проецируется в виде плоской, плоская

кривая — также в виде плоской или в виде прямой линии, если кривая

находится в плоскости, перпендикулярной к плоскости проекций.

Линия считается закономерной, если в своем образовании она под-

чинена какому-либо геометрическому закону. Если при этом кривая

определяется в декартовых координатах алгебраическим уравнением, то

она называется алгебраической. Примером может служить эллипс, его

уравнение

—г-

= 1. Степень уравнения определяет «порядок» кри-

а Ъ

вой: эллипс — кривая второго порядка. Кривая, представляющая собой

проекцию кривой некоторого порядка, сохраняет тот же порядок или

оказывается кривой более низкого порядка.

159

Касательная к кривой проецируется в общем случае в виде каса-

тельной к проекции этой кривой. Если, например, к окружности, рас-

положенной в плоскости, составляющей с плоскостью проекций ост-

рый угол, проведена касательная, то она проецируется в касательную к

эллипсу, представляющему собой проекцию этой окружности. На ри-

сунке 206 изображены пространственная кривая, ее проекции на тс, и

на

касательная к кривой в ее точке К и проекции этой касательной.

Проецирующая плоскость, проходящая через касательную к проекции

кривой, касается кривой в пространстве.

Чтобы отчетливее представить себе кривую в пространстве, следует

при задании плоской или пространственной кривой ее проекциями

указать на проекциях некоторые точки, характерные для самой кривой

или для ее расположения относительно плоскостей проекций.

Например, могут быть отмечены точки кривой, наиболее удаленные

относительно плоскостей проекции и наиболее близкие к ним; для это-

го надо проводить плоскости, касательные к кривой и параллельные

соответствующим плоскостям проекций: на рисунке 207 плоскость а,

параллельная плоскости к

позволяет установить, что точка G на кри-

вой в пространстве наиболее удалена от плоскости

7г

Рисунок 207

Искривленность кривой линии, плоской или пространственной, мо-

жет быть неизменной (на всем протяжении кривой или на отдельных ее

участках) или изменяться в разных точках кривой. Например, искрив-

ленность окружности или искривленность цилиндрической винтовой

160