Кузнецов В.Г., Куренный Э.Г., Лютый А.П. Электромагнитная совместимость. Несимметрия и несинусоидальность напряжения

Подождите немного. Документ загружается.

62 Раздел 2

()

(

)

()

12 с

22 12

aBB T

waBB

aB B

−

Γλ +

=⋅

π−Γλ

⎧

⎡⎤

−+

⎪⎪

⋅−

⎨⎬

⎢⎥

−

⎢⎥

⎪⎪

⎣⎦

⎩⎭

⎫

(2.62)

в пределах от

до .

Если длительность ступеней имеет показательные распре-

деления с t

≠ t

или распределения другого вида, то для инер-

ционных процессов можно получить только их характеристики

– с использованием формул из [2].

Характеристики и законы распределения для входных пе-

риодических процессов определяются по рассчитанным графи-

кам инерционных процессов. Проиллюстрируем это на примере

двухступенчатого графика (рис. 2.4), который имеет среднее

значение и дисперсию:

{

}

(

)

(

)

22 2 2 22 22

э 11 22 12 1 2

=, ,

y y Bt Bt Dy tt B B=λ + =λ −

где М – оператор нахождения среднего значения, λ = 1

Согласно (2.59) среднее значение квадратичного инерци-

онного процесса в а раз отличается от среднего значения вход-

ного процесса. Дисперсию определим по формуле

() ,

Dw w t dt ay=λ −

∫

подстановка в которую выражений (2.57) дает

(

)

(

)

()

212

12 ц

222

12 1 2 Мм

Dw Dy

ttT b

tt B B w w a T

⎡−−⎤

=− =

⎢⎥

λ−

⎣⎦

λ−−−λ

(2.63)

Методы расчета показателей электромагнитной совместимости 63

Для определения функции распределения

(

)

на гра-

фике квадратичного инерционного процесса проведем горизон-

таль с текущим значением w

(рис. 2.5). Соответствующая ор-

дината функции распределения равна отношению суммарной

длительности провалов (затушеванные области) к длительности

цикла. Подставив в оба выражения (2.57) значение w

, найдем

абсциссы точек а и и b

1 мМ2

ln , ln .

aB w w aB

tT ttT

aB w w aB

−−

=− = −

−−

Рис. 2.5. К определению функции распределения

По определению

()

(

)

(

)

()( )

1 м 2

ц 2

1 М 2

Tab

aB w w aB

wtttT

aB w w aB

⎡

⎤

−−

=λ + − =λ +

⎢

⎥

−−

⎢

⎥

⎣

⎦

(2.64)

в пределах

мМTTT

www

≤

. Дифференцируя это выражение по

, получим плотность распределения

b a

64 Раздел 2

(

)

()

()()

(2.65)

кспериментальные исследования показали, что во мно-

гих случаях для аппроксимации опытных данных может быть

использовано бета-распределение [72], которое опред

средним значением w

Tс

, дисперсией Dw

и ограничено предела-

ми

Tм

, w

TМ

ость стандарт

от 0 до 1, имеет вид [37]

fw T

waBaBw

=λ

−−

еляется

Плотн ного бета-распределения случайной

величины х, изменяющейся в пределах

()

() ()

()

fx x

η−

γ−

−

γ−

Γγ+η

−

== −

Βγη ΓγΓη

где γ

в котором κ

– ширина диапазона. Введя обозначение

и η – положительные параметры, Β(γ,η) – бета-функция,

которая выражается через гамма-функции. Для перехода от

инерционного процесса к безразмерной величине х используется

соотношение

()

ммМм

TT w T T T

ww xw w wx=+κ=+ −

(2.66)

()( )

смМс

xw T T T T

cwwww

−−

−

определим параметры

() ()

см Мс

xw xw

TT T T

ww w wγ= − η= −

κκ

ля линейного преобразования (2.66) согласно (2.31) по-

лучим

Методы расчета показателей электромагнитной совместимости 65

()

()( )

мМ

TTTT

fw w w w w

−γ−η

γ−

−

=− −

Βγη

еделения квадратичного инерционного

процесса рассчитывают по стандартной компьютерной про-

грамме, а затем ось абсцисс х преобразуют согласно (2.66).

действующих сетях параметры бета-распределения и

пределы изменения определяют опытным путем. В проектиро-

вании

ет, поэтому для их определения приходится использо-

вать ориентировочные оценки.

2.6. Суммирование случайных процессов

ай,

когда

, коррелированны они или нет,

средние значения суммируются:

Функцию распр

среднее значение и дисперсию находят по формулам

(2.59) и (2.61). В то же время, решение для пределов изменения

отсутству

Задача о суммировании процессов возникает при наличии

нескольких источников помех, использовании метода парциаль-

ных реакций (п. 2.2) или суммировании токов фаз сети. Случ

заданы реализации суммируемых процессов, является три-

виальным. Интерес представляет определение характеристик и

вероятностных распределение суммы Х(t) п случайных процес-

сов х(t).

Вне зависимости от того,

являются ли процессы ком-

плексными или вещественными

сс

∑

(2.67)

Парциальные реакции могут быть комплексными (точка

над обозначениями). Для двух стационарных комплексных про-

цессов (i-го и r-го) справедливы следующие соотношения между

моментами взаимной корреляции и взаимными корреляционны-

ми функциями:

(

)

(

)

ir ri

KK K K

∗∗

ir ri

τ= τ

  

(2.68)

66 Раздел 2

где звездочкой отмечены сопряженные величины. Для вещест-

венных же процессов

(

)

(

)

ir ri ir ri

KK K K

τ= −τ

(2.69)

iirri

iirir

=≠≠

В связи с этим общую формулу

DX Dx K K==+

∑

∑∑





(2.70)

дисперсии суммы для комплексных процессов



(2.71)

можно записать в

виде

()

iir

DX Dx K K

∗

=≠

=+ +

∑∑





Для вещественных процессов

iir

DX Dx K

=≠

∑

(2.72)

ексных

Xxi ir

iir

KK KK

=≠

Аналогично определим корреляционные функции суммы

компл

()

∗

() () ()

⎡

⎤

=τ+ τ+τ

⎣

⎦

(2.73)

∑∑

 

и вещ

Xxi ir

iir

KK K

=≠

ественных процессов

( )

() () ()

⎡

⎤

=τ+ τ+−τ

⎣

⎦

(2.74)

∑∑

суммы проекций слагаемых на действительную и

мним оси.

При суммировании векторов формулы (2.71) и (2.73) при-

меняются для

ую

Методы расчета показателей электромагнитной совместимости 67

В сумма также

параметрами

частном случае нормальных процессов их

подчиняется нормальному закону распределения с

(2.67) (2.71) или (2.72). В общем же случае для определения

ы необходимо знать п-мерную плот-

(формула (III.2) в [54]). Для не-

зависимых процессов достаточно одномерных плотностей. В

этом случае говорят о композиции

законов распредел

Композиция применяется последовательно, начиная с лю-

бых двух процессов х

(t) и х (t), когда плотность распределения

их сум

закона распределения сумм

ность еделения слагаемых распр

ения.

1 2

мы определяется по формуле:

()

() ( )

XffXd

−∞

∞

ξ−ξξ

∫

(2.75)

Обычно суммируемые процессы ограничены по ординате,

поэтому при интегрировании пределы будут конечными. На-

гляднее всего их можно определить графически. Для этого гра-

фики одномерных плотностей направляют в противоположные

стороны, а оси сдвигают на величину текущего значения Х. Пре-

Рис. 2.6. Пределы

интегрирования при

ного выражения (2.75) от минималь-

ного до текущего значения аргумен-

та, либо по формуле

()

() ()

композиции

ляют по границам отрезка,

в пределах которого обе плотности

отличны от нуля (заштрихованные

области).

Функция распределения получа-

ется либо интегрированием получен-

делы интегрирования (точки на рис.

2.6) опреде

X ffdd

−∞ −∞

−ξ

∞

ξηξη

∫∫

(2.76)

При ограничениях по ординате процессов область интег-

рирования определяется графически (рис. 38 в [54]).

68 Раздел 2

С увеличением кол

пределение суммы прибл

при п ≥ 4, но в некоторых

2.7. Расчетные зн казателей режима

В теории вероятн

принцип практической у

расчетах учитывается е в

чений н (х

min

, х

max

) прак-

ытий ( ис. 2.7). Применение этого при-

сти зави е вели-

чина жет ь пу

кается лишь с заданной гранич

ски это условие записывается в

ичества суммируемых процессов рас-

ижается к нормальному: практически

случаях и при меньшем п.

ачения по

остей основополагающим является

веренности [3], согласно которому в

есь диапазон (х н

, х

) возможных зна-

ы, а только диапазон случайной величи

тически достоверных соб р

сит от условий конкретной задачи. Например, е

мо быт определена тем технико-экономических

расчетов: чем она меньше, тем меньше вероятный ущерб от

ухудшения ЭМС, но тем больше затраты на обеспечение ЭМС.

В технических приложениях граничную вероятность обычно

принимают в

пределах от 0,05 до 0,001 [19].

Превышение расчетного максимального значения допус-

ной вероятностью. Математиче-

виде

(

)

max

E=−

(2.77)

пределения расчетного значения

пределения и решить уравнение

деления известен, то расчетное

Отсюда следует, что для о

необходимо найти функцию ра

(2.77). Если вид закона распр

значени

Для определения расчет-

ных значений х

Рис. 2.6. Возможные и

практически достоверные со-

бытия

практически невозможного со-

бытия, которую будем называть

граничной и обозна

нципа позволяет ум

затраты на систему

снабжения.

чать через

оятно-

еньшить

электро-

min

и х

max

вво-

дится понятие вероятности

. Выбор граничной вер

Методы расчета показателей электромагнитной совместимости 69

max с

+βσ

(2.78)

выражают через среднее значение, стандарт и статистический

коэффициент β, величина которого определяется по граничной

вероятности.

Аналогичным образом определяется расч тное минималь-

ное значение – из уравнения

(

)

min

xE=

(2.79)

ри известном законе распределенП ия

min с

.xx

−βσ

(2.80)

В случае несимметричных относительно средних значе-

ний плотностей распределения статистические коэффициенты в

(2.78) (2.80) и етричных – равны между не совпадают, а для симм

собой табл. 2.3). (

Таблица 2.3 – Статистические коэффициенты для нор-

мального и равномерного законов распределения

F(х)

0,05 0,04 0,02 0,01 0,008 0,006 0,004 0,001 0

(1.4)

1,75 2,06 2,33 2,41 1,65 2,51 2,65 3,09

∞

(1.5) 1,56 1,59 1,66 1,70 1,70 1,71 1,72 1,73

Э ческой уверенности кос-

за коэффициентов при

ффективность принципа практи

венно висит от отношения статистических

нулевой и заданной граничных вероятностях: для нормального

закона оно бесконечно, а для закона равномерной плотности

составляет всего

31,56 = 1,11.

Так как в общем случае случайный процесс задается ан-

самбл м реализаций, то и понятие вероятности относится к ан-

самбл

допускается

ю. Применительно к задачам ЭМС граничная вероятность

«по ансамблю» означает, что из N реализаций

70 Раздел 2

иметь

году

всего Е

N реализаций с нар ениями ЭМС: например, в

можно не ь д ≈ 18

суток. н в н т е р

и к ош е а д ь провало

л и и и

ринцип практической уверенности реализован в [6] пу-

тем н

уш

соблю

о же

дат

ероят

ЭМС

ость

только

рактуе

в пре

тся при

елах0,0

менит

5⋅365

льно кОбыч еа-

лизац и: ка отн ени сумм рной лител ности в к

длите ьност реал заци .

ормирования интегральной вероятности Е

ин

= 95 % для по-

казателей ЭМС в нормальном режиме (индекс «н»). Эта вероят-

ность связана с граничной соотношением

нин

1100

−

Следовательно, стандарт допускает нарушение нормы в

течение 72 мин за каждые сутки. Помимо этого устанавливают-

ся нормы для пре о режимдельног а (индекс «п»), которые не -

гут нарушаться, т.е. Е

мо

ния.

й вероятности практи-

чески

ских задач, особенно нелинейных. К тому же получить необхо-

ип

= 0. Это требование в какой-то мере

корректно при экспериментальной записи параметров режимов.

Однако, если в экспериментах зарегистрировано некоторое мак-

симальное значение параметра, это еще не означает, что в по-

следующих экспериментах оно не будет превзойдено. Дело в

том, что экспериментальные данные дают статистические веро-

ятности, которые, в свою очередь, являются

случайными вели-

чинами. Поэтому в принципе практической уверенности надо

использовать теоретические, а не статистические распределе-

В [30] для предельного режима предложено принять гра-

ничную вероятность Е

хп

= 0,001, которая соответствует правилу

«трех сигм»: для нормального закона тако

соответствует значение β = 3. Если же требование [6]

применить к теоретическому закону, то принцип практической

уверенности будет нарушен: например, для нормального закона

расчетные значения были бы бесконечно большими, что проти-

воречит физике задачи.

2.8. Статистическое моделирование

Аналитические методы позволяют определять расчетные

значения показателей ЭМС без использования реализаций про-

цессов, однако они не всегда достаточны для решения практиче-

Методы расчета показателей электромагнитной совместимости 71

димую исходную информацию бывает не менее сложно, чем

само решение задачи. В связи с этим переходят к имитации реа-

лизац

только при нулевом значении ее аргу-

мента Такую последовательность с малым шагом дискретиза-

ции можно с е [33

]. Если

требование некоррелированности не выполняется, то реализация

или о

колебательное звено [25]: формулы (2.21)-(2.23).

ий случайных процессов, что позволяет определять пара-

метры ЭМС не по вероятностным характеристикам, а по реали-

зациям.

Методы имитации

хорошо разработаны. При их приме-

нении основным является вопрос качества полученных реализа-

ций. Генератор случайных чисел должен давать последователь-

ность некоррелированных ординат, корреляционная функция

которой отлична от нуля

читать белым шумом в широком смысл

тбрасывается или корректируется [27].

Для получения реализаций с заданной корреляционной

функцией последовательность некоррелированных ординат

пропускается через линейную систему, параметры которой оп-

ределяются по параметрам корреляционной функции. Для экс-

поненциальной КФ (1.8) белый шум пропускается через инер-

ционное звено, для КФ вида (1.9) – через

последовательно

включенные форсирующее и колебательное звенья, для КФ

(1.10) – через

Метод имитации целесообразно выбирать таким образом,

чтобы он отражал структуру случайного процесса. Например,

нормальный процесс можно представить как сумму большого

количества п некоррелированных «элементных» процессов, ка-

ждый из которых имеет корреляционную функцию

() ()

=τ

в п ра

имитацию.

з меньшую заданной. Вид элементного процесса выбира-

ется по возможности простым

, что существенно упрощает

В литературе методы получения реализаций именуются по-разному:

Монте-Карло [45], статистических испытаний [34], статистического

моделирования [54].