Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл

Подождите немного. Документ загружается.

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

373

372

Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

Ò.8.2. Ñóììà âíóòðåííèõ óãëîâ âûïóêëîãî n-óãîëü-

íèêà ðàâíà 180°(n2).

Òàê, ñóììà âíóòðåííèõ óãëîâ âûïóêëîãî ïÿòè-

óãîëüíèêà ðàâíà 540°, à ñóììà âíóòðåííèõ óãëîâ âû-

ïóêëîãî øåñòèóãîëüíèêà ðàâíà 720°.

Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè âíóòðåííèå óãëû âûïóêëî-

ãî ïÿòèóãîëüíèêà, åñëè

:2:2::::

54321

=aaaaa

2:3:6.

q Ïóñòü

x=a

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñóììà âíóòðåí-

íèõ óãëîâ âûïóêëîãî ïÿòèóãîëüíèêà ðàâíà 540°, èìå-

åì

,54063222 =++++ xxxxx

.36,54015 == xx

Èòàê,

.216,108,72

54321

°=a°=a°=a=a=a n

Ò.8.3. Ñóììà âíåøíèõ óãëîâ âûïóêëîãî n-óãîëüíèêà

ðàâíà 360° (ò. å. íå çàâèñèò îò ÷èñëà ñòîðîí).

Ñôîðìóëèðóåì

ïðèçíàêè ðàâåíñòâà è ïîäîáèÿ

ìíîãîóãîëüíèêîâ (ñì. òàêæå ïï. 274 è 278):

Ò.8.4. Åñëè ó äâóõ ìíîãîóãîëüíèêîâ ðàâíû ñîîòâåò-

ñòâåííûå ñòîðîíû è óãëû, çàêëþ÷åííûå ìåæäó

ýòèìè ñòîðîíàìè, òî òàêèå ìíîãîóãîëüíèêè ðàâ-

íû.

Ò.8.5. Åñëè ó äâóõ ìíîãîóãîëüíèêîâ ñîîòâåòñòâåí-

íûå ñòîðîíû ïðîïîðöèîíàëüíû, à óãëû, çàêëþ÷åí-

íûå ìåæäó ýòèìè ñòîðîíàìè, ðàâíû, òî òàêèå

ìíîãîóãîëüíèêè ïîäîáíû.

Íåçàìêíóòàÿ ëîìàíàÿ íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé, åñëè

åå ìîæíî äîïîëíèòü çàìûêàþùèì çâåíîì äî âû-

ïóêëîãî ìíîãîóãîëüíèêà. Íàïðèìåð, íà ðèñ. 127, à

èçîáðàæåíà âûïóêëàÿ ëîìàíàÿ, à íà ðèñ. 127, á 

íåâûïóêëàÿ.

Ðàññìîòðèì äâå ëîìàíûå, ñîåäèíÿþùèå êàêèå-ëèáî

äâå òî÷êè À è Â (ðèñ. 128). Åñëè ïðè ýòîì îäíà èç

ëîìàíûõ öåëèêîì ëåæèò âíóòðè äðóãîé, òî âíóòðåí-

íÿÿ ëîìàíàÿ íàçûâàåòñÿ îáúåìëåìîé, à âíåøíÿÿ 

îáúåìëþùåé. Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:

Ò.8.6. Îáúåìëþùàÿ ëîìàíàÿ äëèíåå âñÿêîé âûïóê-

ëîé îáúåìëåìîé ëîìàíîé.

Ï ð è ì å ð 2. Äëèíû îòðåçêîâ ÀÑ, CD è DB

ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 2, 4 è 3 (ñì. ðèñ. 128). Ìîæíî

Ðèñ. 126

Ðèñ. 127

á)

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

373

372

Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

Ò.8.2. Ñóììà âíóòðåííèõ óãëîâ âûïóêëîãî n-óãîëü-

íèêà ðàâíà 180°(n2).

Òàê, ñóììà âíóòðåííèõ óãëîâ âûïóêëîãî ïÿòè-

óãîëüíèêà ðàâíà 540°, à ñóììà âíóòðåííèõ óãëîâ âû-

ïóêëîãî øåñòèóãîëüíèêà ðàâíà 720°.

Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè âíóòðåííèå óãëû âûïóêëî-

ãî ïÿòèóãîëüíèêà, åñëè

:2:2::::

54321

=aaaaa

2:3:6.

q Ïóñòü

x=a

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñóììà âíóòðåí-

íèõ óãëîâ âûïóêëîãî ïÿòèóãîëüíèêà ðàâíà 540°, èìå-

åì

,54063222 =++++ xxxxx

.36,54015 == xx

Èòàê,

.216,108,72

54321

°=a°=a°=a=a=a n

Ò.8.3. Ñóììà âíåøíèõ óãëîâ âûïóêëîãî n-óãîëüíèêà

ðàâíà 360° (ò. å. íå çàâèñèò îò ÷èñëà ñòîðîí).

Ñôîðìóëèðóåì

ïðèçíàêè ðàâåíñòâà è ïîäîáèÿ

ìíîãîóãîëüíèêîâ (ñì. òàêæå ïï. 274 è 278):

Ò.8.4. Åñëè ó äâóõ ìíîãîóãîëüíèêîâ ðàâíû ñîîòâåò-

ñòâåííûå ñòîðîíû è óãëû, çàêëþ÷åííûå ìåæäó

ýòèìè ñòîðîíàìè, òî òàêèå ìíîãîóãîëüíèêè ðàâ-

íû.

Ò.8.5. Åñëè ó äâóõ ìíîãîóãîëüíèêîâ ñîîòâåòñòâåí-

íûå ñòîðîíû ïðîïîðöèîíàëüíû, à óãëû, çàêëþ÷åí-

íûå ìåæäó ýòèìè ñòîðîíàìè, ðàâíû, òî òàêèå

ìíîãîóãîëüíèêè ïîäîáíû.

Íåçàìêíóòàÿ ëîìàíàÿ íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé, åñëè

åå ìîæíî äîïîëíèòü çàìûêàþùèì çâåíîì äî âû-

ïóêëîãî ìíîãîóãîëüíèêà. Íàïðèìåð, íà ðèñ. 127, à

èçîáðàæåíà âûïóêëàÿ ëîìàíàÿ, à íà ðèñ. 127, á 

íåâûïóêëàÿ.

Ðàññìîòðèì äâå ëîìàíûå, ñîåäèíÿþùèå êàêèå-ëèáî

äâå òî÷êè À è Â (ðèñ. 128). Åñëè ïðè ýòîì îäíà èç

ëîìàíûõ öåëèêîì ëåæèò âíóòðè äðóãîé, òî âíóòðåí-

íÿÿ ëîìàíàÿ íàçûâàåòñÿ îáúåìëåìîé, à âíåøíÿÿ 

îáúåìëþùåé. Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:

Ò.8.6. Îáúåìëþùàÿ ëîìàíàÿ äëèíåå âñÿêîé âûïóê-

ëîé îáúåìëåìîé ëîìàíîé.

Ï ð è ì å ð 2. Äëèíû îòðåçêîâ ÀÑ, CD è DB

ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 2, 4 è 3 (ñì. ðèñ. 128). Ìîæíî

Ðèñ. 126

Ðèñ. 127

á)

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

375

374

Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

ëè ïîñòðîèòü òàêóþ âûïóêëóþ ëîìàíóþ

321

BFFAF

÷òîáû åå äëèíà áûëà ðàâíà 10?

q Äëèíà îáúåìëþùåé ëèíèè

,9342 =++=L

ñëåäîâàòåëüíî, íåëüçÿ ïîñòðîèòü îáúåìëåìóþ âûïóê-

ëóþ ëîìàíóþ, äëèíà êîòîðîé ðàâíà 10. n

256. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê. Ãåîìåòðè÷åñ-

êèì ìåñòîì òî÷åê íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ òî-

÷åê, îáëàäàþùèõ êàêèì-ëèáî ñâîéñòâîì.

Ï ð è ì å ð 1. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, ðàâ-

íîóäàëåííûõ îò äâóõ äàííûõ òî÷åê À è Â,  ýòî ïåð-

ïåíäèêóëÿð, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç ñåðåäèíó îòðåçêà ÀÂ

(ðèñ. 129); åãî íàçûâàþò ñåðåäèííûì ïåðïåíäèêó-

ëÿðîì ê îòðåçêó ÀÂ.

Ï ð è ì å ð 2. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, óäà-

ëåííûõ îò äàííîé ïðÿìîé íà ðàññòîÿíèå l,  ýòî äâå

ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå äàííîé è îòñòîÿùèå îò íåå íà

ðàññòîÿíèå l (ðèñ. 130).

Ï ð è ì å ð 3. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, ðàâ-

íîóäàëåííûõ îò äâóõ ïåðåñåêàþùèõñÿ ïðÿìûõ, ñî-

ñòîèò èç äâóõ áèññåêòðèñ óãëîâ, îáðàçîâàííûõ ýòèìè

ïðÿìûìè (ðèñ. 131).

Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê,

èç êîòîðûõ äàííûé îòðåçîê âèäåí ïîä äàííûì óãëîì.

q Óãëîì

ïîä êîòîðûì âèäåí äàííûé îòðåçîê

ÀÂ, íàçûâàåòñÿ óãîë ïðè âåðøèíå òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ,

ãäå ÀÂ ÿâëÿåòñÿ îñíîâàíèåì (ðèñ. 132, à). Èñêîìûì

ãåîìåòðè÷åñêèì ìåñòîì ñëóæèò äóãà ÀÑÂ, îïèðàþ-

ùàÿñÿ íà îòðåçîê ÀÂ, â êîòîðóþ âïèñàí óãîë

ñèììåòðè÷íàÿ åé îòíîñèòåëüíî îòðåçêà ÀÂ äóãà

BCA

(ðèñ. 132, á). n

Ï ð è ì å ð 5. Íà äàííîé ïðÿìîé l íàéòè òî÷êó,

ðàâíîóäàëåííóþ îò äâóõ çàäàííûõ òî÷åê À è Â.

q Òàê êàê ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, ðàâíîóäà-

ëåííûõ îò òî÷åê À è Â,  ýòî ñåðåäèííûé ïåðïåíäè-

êóëÿð ê îòðåçêó ÀÂ (ñì. ïðèìåð 1), òî èñêîìàÿ òî÷êà

Ì åñòü ïåðåñå÷åíèå ýòîãî ïåðïåíäèêóëÿðà è ïðÿìîé

l (ðèñ. 133). n

257. Ñèììåòðèÿ. Ðàçëè÷àþò ïîíÿòèÿ ñèììåòðèè

îòíîñèòåëüíî òî÷êè è îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé.

Ïóñòü äàíû ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà Î è íåêîòîðàÿ

òî÷êà Ì. Òî÷êà

íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé òî÷-

êå Ì îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î, åñëè òî÷êè Ì, Î è

ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé è

MOMO

(ðèñ. 134).

Ðèñ. 131

Ðèñ. 130

Ðèñ. 128 Ðèñ. 129

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

375

374

Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

ëè ïîñòðîèòü òàêóþ âûïóêëóþ ëîìàíóþ

321

BFFAF

÷òîáû åå äëèíà áûëà ðàâíà 10?

q Äëèíà îáúåìëþùåé ëèíèè

,9342 =++=L

ñëåäîâàòåëüíî, íåëüçÿ ïîñòðîèòü îáúåìëåìóþ âûïóê-

ëóþ ëîìàíóþ, äëèíà êîòîðîé ðàâíà 10. n

256. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê. Ãåîìåòðè÷åñ-

êèì ìåñòîì òî÷åê íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ òî-

÷åê, îáëàäàþùèõ êàêèì-ëèáî ñâîéñòâîì.

Ï ð è ì å ð 1. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, ðàâ-

íîóäàëåííûõ îò äâóõ äàííûõ òî÷åê À è Â,  ýòî ïåð-

ïåíäèêóëÿð, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç ñåðåäèíó îòðåçêà ÀÂ

(ðèñ. 129); åãî íàçûâàþò ñåðåäèííûì ïåðïåíäèêó-

ëÿðîì ê îòðåçêó ÀÂ.

Ï ð è ì å ð 2. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, óäà-

ëåííûõ îò äàííîé ïðÿìîé íà ðàññòîÿíèå l,  ýòî äâå

ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå äàííîé è îòñòîÿùèå îò íåå íà

ðàññòîÿíèå l (ðèñ. 130).

Ï ð è ì å ð 3. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, ðàâ-

íîóäàëåííûõ îò äâóõ ïåðåñåêàþùèõñÿ ïðÿìûõ, ñî-

ñòîèò èç äâóõ áèññåêòðèñ óãëîâ, îáðàçîâàííûõ ýòèìè

ïðÿìûìè (ðèñ. 131).

Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê,

èç êîòîðûõ äàííûé îòðåçîê âèäåí ïîä äàííûì óãëîì.

q Óãëîì

ïîä êîòîðûì âèäåí äàííûé îòðåçîê

ÀÂ, íàçûâàåòñÿ óãîë ïðè âåðøèíå òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ,

ãäå ÀÂ ÿâëÿåòñÿ îñíîâàíèåì (ðèñ. 132, à). Èñêîìûì

ãåîìåòðè÷åñêèì ìåñòîì ñëóæèò äóãà ÀÑÂ, îïèðàþ-

ùàÿñÿ íà îòðåçîê ÀÂ, â êîòîðóþ âïèñàí óãîë

ñèììåòðè÷íàÿ åé îòíîñèòåëüíî îòðåçêà ÀÂ äóãà

BCA

(ðèñ. 132, á). n

Ï ð è ì å ð 5. Íà äàííîé ïðÿìîé l íàéòè òî÷êó,

ðàâíîóäàëåííóþ îò äâóõ çàäàííûõ òî÷åê À è Â.

q Òàê êàê ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, ðàâíîóäà-

ëåííûõ îò òî÷åê À è Â,  ýòî ñåðåäèííûé ïåðïåíäè-

êóëÿð ê îòðåçêó ÀÂ (ñì. ïðèìåð 1), òî èñêîìàÿ òî÷êà

Ì åñòü ïåðåñå÷åíèå ýòîãî ïåðïåíäèêóëÿðà è ïðÿìîé

l (ðèñ. 133). n

257. Ñèììåòðèÿ. Ðàçëè÷àþò ïîíÿòèÿ ñèììåòðèè

îòíîñèòåëüíî òî÷êè è îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé.

Ïóñòü äàíû ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà Î è íåêîòîðàÿ

òî÷êà Ì. Òî÷êà

íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé òî÷-

êå Ì îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î, åñëè òî÷êè Ì, Î è

ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé è

MOMO

(ðèñ. 134).

Ðèñ. 131

Ðèñ. 130

Ðèñ. 128 Ðèñ. 129

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

377

376

Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

Åñëè ôèãóðà ñîñòîèò èç òî÷åê, ñèììåòðè÷íûõ îò-

íîñèòåëüíî òî÷êè Î, òî òàêàÿ ôèãóðà íàçûâàåòñÿ ñèì-

ìåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î, à òî÷êà

Î  öåíòðîì ñèììåòðèè.

Íàïðèìåð, ïàðàëëåëîãðàìì ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷-

íûì îòíîñèòåëüíî òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ åãî äèàãîíà-

ëåé (ðèñ. 135).

Ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî òî÷êè íàçûâàåòñÿ öåí-

òðàëüíîé ñèììåòðèåé.

Ïóñòü äàíû ôèêñèðîâàííàÿ ïðÿìàÿ l è íåêîòî-

ðàÿ òî÷êà Ì. Òî÷êà

íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé

òî÷êå Ì îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé l, åñëè

lMM ^

,MOMO

ãäå Î  òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ

è l (ðèñ. 136).

Åñëè ôèãóðà ñîñòîèò èç òî÷åê, ñèììåòðè÷íûõ îò-

íîñèòåëüíî ïðÿìîé l, òî ýòà ôèãóðà íàçûâàåòñÿ ñèì-

ìåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé l.

Òàêàÿ ñèììåòðèÿ íàçûâàåòñÿ îñåâîé, à ïðÿìàÿ

l  îñüþ ñèììåòðèè.

Íàïðèìåð, áèññåêòðèñà óãëà ÿâëÿåòñÿ åãî îñüþ

ñèììåòðèè. Ïðÿìîóãîëüíèê èìååò äâå îñè ñèììåò-

ðèè  ýòî ïðÿìûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç òî÷êó ïåðåñå-

÷åíèÿ åãî äèàãîíàëåé è ïàðàëëåëüíûå ñòîðîíàì ïðÿ-

ìîóãîëüíèêà (ðèñ. 137). Îñüþ ñèììåòðèè îêðóæíîñ-

á)

Ðèñ. 133 Ðèñ. 134

Ðèñ. 132

Ðèñ. 136Ðèñ. 135

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

377

376

Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

Åñëè ôèãóðà ñîñòîèò èç òî÷åê, ñèììåòðè÷íûõ îò-

íîñèòåëüíî òî÷êè Î, òî òàêàÿ ôèãóðà íàçûâàåòñÿ ñèì-

ìåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î, à òî÷êà

Î  öåíòðîì ñèììåòðèè.

Íàïðèìåð, ïàðàëëåëîãðàìì ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷-

íûì îòíîñèòåëüíî òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ åãî äèàãîíà-

ëåé (ðèñ. 135).

Ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî òî÷êè íàçûâàåòñÿ öåí-

òðàëüíîé ñèììåòðèåé.

Ïóñòü äàíû ôèêñèðîâàííàÿ ïðÿìàÿ l è íåêîòî-

ðàÿ òî÷êà Ì. Òî÷êà

íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé

òî÷êå Ì îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé l, åñëè

lMM ^

,MOMO

ãäå Î  òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ

è l (ðèñ. 136).

Åñëè ôèãóðà ñîñòîèò èç òî÷åê, ñèììåòðè÷íûõ îò-

íîñèòåëüíî ïðÿìîé l, òî ýòà ôèãóðà íàçûâàåòñÿ ñèì-

ìåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé l.

Òàêàÿ ñèììåòðèÿ íàçûâàåòñÿ îñåâîé, à ïðÿìàÿ

l  îñüþ ñèììåòðèè.

Íàïðèìåð, áèññåêòðèñà óãëà ÿâëÿåòñÿ åãî îñüþ

ñèììåòðèè. Ïðÿìîóãîëüíèê èìååò äâå îñè ñèììåò-

ðèè  ýòî ïðÿìûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç òî÷êó ïåðåñå-

÷åíèÿ åãî äèàãîíàëåé è ïàðàëëåëüíûå ñòîðîíàì ïðÿ-

ìîóãîëüíèêà (ðèñ. 137). Îñüþ ñèììåòðèè îêðóæíîñ-

á)

Ðèñ. 133 Ðèñ. 134

Ðèñ. 132

Ðèñ. 136Ðèñ. 135

§ 28. Ïåðïåíäèêóëÿð. è ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå

379

378

ÃÅÎÌÅÒÐÈßÃÅÎÌÅÒÐÈß

Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

òè ÿâëÿåòñÿ ëþáîé åå äèàìåòð, ò. å. îêðóæíîñòü èìå-

åò áåñêîíå÷íî ìíîãî îñåé ñèììåòðèè (ðèñ. 138).

§ 28. Ïåðïåíäèêóëÿðíûå

è ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå

258. Ïåðïåíäèêóëÿð è íàêëîííàÿ. ×åðåç ïðîèç-

âîëüíóþ òî÷êó ïëîñêîñòè ìîæíî ïðîâåñòè åäèí-

ñòâåííóþ ïðÿìóþ, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ äàííîé. Åñëè

ïðè ýòîì òî÷êà íå ëåæèò íà ïðÿìîé, òî ãîâîðÿò «îïó-

ñòèòü ïåðïåíäèêóëÿð», åñëè æå ëåæèò  «âîññòàâèòü

ïåðïåíäèêóëÿð». Òî÷êà, â êîòîðîé ïåðïåíäèêóëÿð

ïåðåñåêàåò äàííóþ ïðÿìóþ, íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì

ïåðïåíäèêóëÿðà.

Ïóñòü èç òî÷êè Ì îïóùåí ïåðïåíäèêóëÿð íà äàí-

íóþ ïðÿìóþ. Äëèíà ýòîãî ïåðïåíäèêóëÿðà íàçûâà-

åòñÿ ðàññòîÿíèåì îò òî÷êè äî ïðÿìîé. Ëþáàÿ

äðóãàÿ ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó Ì è ïåðå-

ñåêàþùàÿ äàííóþ, íàçûâàåòñÿ íàêëîííîé (íàêëîííîé

òàêæå íàçûâàåòñÿ îòðåçîê îò òî÷êè Ì äî ïåðåñå÷åíèÿ

ñ äàííîé ïðÿìîé). Òî÷êà, â êîòîðîé íàêëîííàÿ ïåðåñå-

êàåò äàííóþ ïðÿìóþ, íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì íàêëîí-

íîé, à îòðåçîê ìåæäó îñíîâàíèÿìè ïåðïåíäèêóëÿðà è

íàêëîííîé  ïðîåêöèåé íàêëîííîé. Òàê, íà ðèñ. 139

èçîáðàæåíû: ÌÀ  ïåðïåíäèêóëÿð, ÌÂ  íàêëîí-

íàÿ, ÀÂ  ïðîåêöèÿ íàêëîííîé. Ïðè ýòîì ïèøóò

.ABMA^

Îòìåòèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà íàêëîííûõ:

. Åñëè èç äàííîé òî÷êè ê îäíîé è òîé æå ïðÿ-

ìîé ïðîâåäåíû ïåðïåíäèêóëÿð è íàêëîííàÿ, òî íà-

êëîííàÿ äëèííåå ïåðïåíäèêóëÿðà.

. Åñëè èç äàííîé òî÷êè ê îäíîé è òîé æå ïðÿ-

ìîé ïðîâåäåíû äâå íàêëîííûå, òî èç íèõ äëèííåå òà,

ó êîòîðîé ïðîåêöèÿ áîëüøå.

. Åñëè äâå ðàçëè÷íûå íàêëîííûå, ïðîâåäåííûå

èç äàííîé òî÷êè ê îäíîé è òîé æå ïðÿìîé, ðàâíû, òî

èõ îñíîâàíèÿ îäèíàêîâî óäàëåíû îò îñíîâàíèÿ ïåð-

ïåíäèêóëÿðà (è ëåæàò ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò íåãî).

. Åñëè ÷åðåç òî÷êó, èç êîòîðîé ê äàííîé ïðÿ-

ìîé ïðîâåäåíû äâå ðàâíûå íàêëîííûå, è ñåðåäèíó

îòðåçêà ìåæäó èõ îñíîâàíèÿìè ïðîâåñòè ïðÿìóþ,

òî îíà ÿâëÿåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðîì ê äàííîé ïðÿ-

ìîé.

Îòìåòèì, ÷òî âñå òî÷êè ñåðåäèííîãî ïåðïåíäèêó-

ëÿðà ê îòðåçêó îäèíàêîâî óäàëåíû îò êîíöîâ ýòîãî

Ì4

Ðèñ. 138Ðèñ. 137

Ðèñ. 140Ðèñ. 139

§ 28. Ïåðïåíäèêóëÿð. è ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå

379

378

ÃÅÎÌÅÒÐÈßÃÅÎÌÅÒÐÈß

Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

òè ÿâëÿåòñÿ ëþáîé åå äèàìåòð, ò. å. îêðóæíîñòü èìå-

åò áåñêîíå÷íî ìíîãî îñåé ñèììåòðèè (ðèñ. 138).

§ 28. Ïåðïåíäèêóëÿðíûå

è ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå

258. Ïåðïåíäèêóëÿð è íàêëîííàÿ. ×åðåç ïðîèç-

âîëüíóþ òî÷êó ïëîñêîñòè ìîæíî ïðîâåñòè åäèí-

ñòâåííóþ ïðÿìóþ, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ äàííîé. Åñëè

ïðè ýòîì òî÷êà íå ëåæèò íà ïðÿìîé, òî ãîâîðÿò «îïó-

ñòèòü ïåðïåíäèêóëÿð», åñëè æå ëåæèò  «âîññòàâèòü

ïåðïåíäèêóëÿð». Òî÷êà, â êîòîðîé ïåðïåíäèêóëÿð

ïåðåñåêàåò äàííóþ ïðÿìóþ, íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì

ïåðïåíäèêóëÿðà.

Ïóñòü èç òî÷êè Ì îïóùåí ïåðïåíäèêóëÿð íà äàí-

íóþ ïðÿìóþ. Äëèíà ýòîãî ïåðïåíäèêóëÿðà íàçûâà-

åòñÿ ðàññòîÿíèåì îò òî÷êè äî ïðÿìîé. Ëþáàÿ

äðóãàÿ ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó Ì è ïåðå-

ñåêàþùàÿ äàííóþ, íàçûâàåòñÿ íàêëîííîé (íàêëîííîé

òàêæå íàçûâàåòñÿ îòðåçîê îò òî÷êè Ì äî ïåðåñå÷åíèÿ

ñ äàííîé ïðÿìîé). Òî÷êà, â êîòîðîé íàêëîííàÿ ïåðåñå-

êàåò äàííóþ ïðÿìóþ, íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì íàêëîí-

íîé, à îòðåçîê ìåæäó îñíîâàíèÿìè ïåðïåíäèêóëÿðà è

íàêëîííîé  ïðîåêöèåé íàêëîííîé. Òàê, íà ðèñ. 139

èçîáðàæåíû: ÌÀ  ïåðïåíäèêóëÿð, ÌÂ  íàêëîí-

íàÿ, ÀÂ  ïðîåêöèÿ íàêëîííîé. Ïðè ýòîì ïèøóò

.ABMA^

Îòìåòèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà íàêëîííûõ:

. Åñëè èç äàííîé òî÷êè ê îäíîé è òîé æå ïðÿ-

ìîé ïðîâåäåíû ïåðïåíäèêóëÿð è íàêëîííàÿ, òî íà-

êëîííàÿ äëèííåå ïåðïåíäèêóëÿðà.

. Åñëè èç äàííîé òî÷êè ê îäíîé è òîé æå ïðÿ-

ìîé ïðîâåäåíû äâå íàêëîííûå, òî èç íèõ äëèííåå òà,

ó êîòîðîé ïðîåêöèÿ áîëüøå.

. Åñëè äâå ðàçëè÷íûå íàêëîííûå, ïðîâåäåííûå

èç äàííîé òî÷êè ê îäíîé è òîé æå ïðÿìîé, ðàâíû, òî

èõ îñíîâàíèÿ îäèíàêîâî óäàëåíû îò îñíîâàíèÿ ïåð-

ïåíäèêóëÿðà (è ëåæàò ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò íåãî).

. Åñëè ÷åðåç òî÷êó, èç êîòîðîé ê äàííîé ïðÿ-

ìîé ïðîâåäåíû äâå ðàâíûå íàêëîííûå, è ñåðåäèíó

îòðåçêà ìåæäó èõ îñíîâàíèÿìè ïðîâåñòè ïðÿìóþ,

òî îíà ÿâëÿåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðîì ê äàííîé ïðÿ-

ìîé.

Îòìåòèì, ÷òî âñå òî÷êè ñåðåäèííîãî ïåðïåíäèêó-

ëÿðà ê îòðåçêó îäèíàêîâî óäàëåíû îò êîíöîâ ýòîãî

Ì4

Ðèñ. 138Ðèñ. 137

Ðèñ. 140Ðèñ. 139

§ 28. Ïåðïåíäèêóëÿð. è ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå

381

380

ÃÅÎÌÅÒÐÈßÃÅÎÌÅÒÐÈß

Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

îòðåçêà. Îáðàòíî, åñëè èçâåñòíî, ÷òî íåêîòîðàÿ òî÷êà

îäèíàêîâî óäàëåíà îò êîíöîâ îòðåçêà, òî òàêàÿ òî÷êà

ëåæèò íà ñåðåäèííîì ïåðïåíäèêóëÿðå ê îòðåçêó.

Çíà÷èò, âåðíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:

Ò.8.7. Ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð ê îòðåçêó åñòü

ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, îäèíàêîâî óäàëåííûõ

îò êîíöîâ îòðåçêà.

259. Ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå. Ïðÿìûå, ëåæàùèå

â îäíîé ïëîñêîñòè, íàçûâàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè,

åñëè îíè íå ïåðåñåêàþòñÿ. Ïðè ýòîì ïèøóò ÀÂ÷÷ CD

(ðèñ. 140).

×åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ïëîñêîñòè, íå ëåæà-

ùóþ íà äàííîé ïðÿìîé, ìîæíî ïðîâåñòè åäèíñòâåí-

íóþ ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ äàííîé. Îòñþäà ñëåäóåò,

÷òî åñëè äâå ïðÿìûå â ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíû òðå-

òüåé, òî îíè ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé.

Îòìåòèì, ÷òî ïðÿìàÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ îäíîé

èç ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ, ïåðïåíäèêóëÿðíà è

îñòàëüíûì. Òàê, åñëè ÀÂ÷÷ CD è

,ABMN^

òî

CDMN^

(ðèñ. 141).

Äâà ïåðïåíäèêóëÿðà, ïðîâåäåííûå ê îäíîé è òîé

æå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé. Íàïðèìåð, åñëè

ABCD^

,ABEF^

òî CD÷÷ EF (ðèñ. 142).

260. Ïðèçíàêè ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìûõ. Ðàññìîò-

ðèì óãëû, îáðàçîâàííûå ïðè ïåðåñå÷åíèè äâóõ ïðÿ-

ìûõ òðåòüåé (ðèñ. 143). Îíè èìåþò ñïåöèàëüíûå íà-

çâàíèÿ:

óãëû

íàçûâàþò-

ñÿ ñîîòâåòñòâåííûìè:

óãëû

 âíóòðåííèìè íàêðåñò

ëåæàùèìè;

óãëû

 âíåøíèìè íàêðåñò ëå-

æàùèìè;

óãëû

b è

 âíóòðåííèìè îäíîñòî-

ðîííèìè;

óãëû

 âíåøíèìè îäíîñòîðîí-

íèìè.

Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:

Ò.8.8. Åñëè ñîîòâåòñòâåííûå óãëû ðàâíû, òî ïðÿ-

ìûå ïàðàëëåëüíû.

Ò.8.9. Åñëè âíóòðåííèå (èëè âíåøíèå) íàêðåñò ëå-

æàùèå óãëû ðàâíû, òî ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû.

Ò.8.10. Åñëè ñóììà âíóòðåííèõ (èëè âíåøíèõ) îä-

íîñòîðîííèõ óãëîâ ðàâíà 180°, òî ïðÿìûå ïàðàë-

ëåëüíû.

Ñïðàâåäëèâî òàêæå óòâåðæäåíèå, îáðàòíîå òåîðå-

ìàì 8.88.10:

Ò.8.11. Åñëè äâå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå ïåðåñå÷åíû

òðåòüåé, òî ñîîòâåòñòâåííûå óãëû ðàâíû; âíóò-

ðåííèå (è âíåøíèå) íàêðåñò ëåæàùèå óãëû ðàâ-

Ðèñ. 141 Ðèñ. 142

§ 28. Ïåðïåíäèêóëÿð. è ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå

381

380

ÃÅÎÌÅÒÐÈßÃÅÎÌÅÒÐÈß

Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

îòðåçêà. Îáðàòíî, åñëè èçâåñòíî, ÷òî íåêîòîðàÿ òî÷êà

îäèíàêîâî óäàëåíà îò êîíöîâ îòðåçêà, òî òàêàÿ òî÷êà

ëåæèò íà ñåðåäèííîì ïåðïåíäèêóëÿðå ê îòðåçêó.

Çíà÷èò, âåðíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:

Ò.8.7. Ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð ê îòðåçêó åñòü

ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, îäèíàêîâî óäàëåííûõ

îò êîíöîâ îòðåçêà.

259. Ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå. Ïðÿìûå, ëåæàùèå

â îäíîé ïëîñêîñòè, íàçûâàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè,

åñëè îíè íå ïåðåñåêàþòñÿ. Ïðè ýòîì ïèøóò ÀÂ÷÷ CD

(ðèñ. 140).

×åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ïëîñêîñòè, íå ëåæà-

ùóþ íà äàííîé ïðÿìîé, ìîæíî ïðîâåñòè åäèíñòâåí-

íóþ ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ äàííîé. Îòñþäà ñëåäóåò,

÷òî åñëè äâå ïðÿìûå â ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíû òðå-

òüåé, òî îíè ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé.

Îòìåòèì, ÷òî ïðÿìàÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ îäíîé

èç ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ, ïåðïåíäèêóëÿðíà è

îñòàëüíûì. Òàê, åñëè ÀÂ÷÷ CD è

,ABMN^

òî

CDMN^

(ðèñ. 141).

Äâà ïåðïåíäèêóëÿðà, ïðîâåäåííûå ê îäíîé è òîé

æå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé. Íàïðèìåð, åñëè

ABCD^

,ABEF^

òî CD÷÷ EF (ðèñ. 142).

260. Ïðèçíàêè ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìûõ. Ðàññìîò-

ðèì óãëû, îáðàçîâàííûå ïðè ïåðåñå÷åíèè äâóõ ïðÿ-

ìûõ òðåòüåé (ðèñ. 143). Îíè èìåþò ñïåöèàëüíûå íà-

çâàíèÿ:

óãëû

íàçûâàþò-

ñÿ ñîîòâåòñòâåííûìè:

óãëû

 âíóòðåííèìè íàêðåñò

ëåæàùèìè;

óãëû

 âíåøíèìè íàêðåñò ëå-

æàùèìè;

óãëû

b è

 âíóòðåííèìè îäíîñòî-

ðîííèìè;

óãëû

 âíåøíèìè îäíîñòîðîí-

íèìè.

Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:

Ò.8.8. Åñëè ñîîòâåòñòâåííûå óãëû ðàâíû, òî ïðÿ-

ìûå ïàðàëëåëüíû.

Ò.8.9. Åñëè âíóòðåííèå (èëè âíåøíèå) íàêðåñò ëå-

æàùèå óãëû ðàâíû, òî ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû.

Ò.8.10. Åñëè ñóììà âíóòðåííèõ (èëè âíåøíèõ) îä-

íîñòîðîííèõ óãëîâ ðàâíà 180°, òî ïðÿìûå ïàðàë-

ëåëüíû.

Ñïðàâåäëèâî òàêæå óòâåðæäåíèå, îáðàòíîå òåîðå-

ìàì 8.88.10:

Ò.8.11. Åñëè äâå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå ïåðåñå÷åíû

òðåòüåé, òî ñîîòâåòñòâåííûå óãëû ðàâíû; âíóò-

ðåííèå (è âíåøíèå) íàêðåñò ëåæàùèå óãëû ðàâ-

Ðèñ. 141 Ðèñ. 142