Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
§ 28. Ïåðïåíäèêóëÿð. è ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå
383
382
ÃÅÎÌÅÒÐÈßÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
íû; ñóììà âíóòðåííèõ (è âíåøíèõ) îäíîñòîðîí-
íèõ óãëîâ ðàâíà 180°.
Îòìåòèì ñëåäóþùåå ñâîéñòâî ïàðàëëåëüíûõ ïðÿ-
ìûõ:
Ò.8.12. Ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, ïåðåñåêàþùèå ñòîðî-
íû óãëà (ðèñ. 144), îòñåêàþò îò ýòèõ ñòîðîí ïðî-
ïîðöèîíàëüíûå îòðåçêè, ò. å.
.
32
32
21
21
1
1
CC
BB
CC
BB
AC
AB
==
 ÷àñòíîñòè, ñïðàâåäëèâî òàêîå óòâåðæäåíèå:
Ò.8.13. Åñëè ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, ïåðåñåêàþùèå
ñòîðîíû óãëà, îòñåêàþò íà îäíîé åãî ñòîðîíå ðàâ-
íûå îòðåçêè, òî îíè îòñåêàþò ðàâíûå îòðåçêè è
íà äðóãîé åãî ñòîðîíå (òåîðåìà Ôàëåñà).
261. Óãëû ñ ïàðàëëåëüíûìè è ïåðïåíäèêóëÿð-
íûìè ñòîðîíàìè. Ðàññìîòðèì óãëû, ñòîðîíû êîòî-
ðûõ ïàðàëëåëüíû èëè ïåðïåíäèêóëÿðíû. Ñïðàâåä-
ëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
Ò.8.14. Åñëè ñòîðîíû îäíîãî óãëà ñîîòâåòñòâåííî
ïàðàëëåëüíû ñòîðîíàì äðóãîãî óãëà, òî òàêèå óãëû
ëèáî ðàâíû, ëèáî äîïîëíÿþò äðóã äðóãà äî 180°
(ðèñ. 145, à è á).
Ò.8.15. Åñëè ñòîðîíû îäíîãî óãëà ñîîòâåòñòâåííî
ïåðïåíäèêóëÿðíû ñòîðîíàì äðóãîãî óãëà, òî òà-
êèå óãëû ëèáî ðàâíû, ëèáî äîïîëíÿþò äðóã äðóãà
äî 180° (ðèñ. 146, à è á).
Î÷åâèäíî, ÷òî ðàâåíñòâî óãëîâ ïîëó÷àåòñÿ â òîì
ñëó÷àå, êîãäà îíè ëèáî îáà îñòðûå, ëèáî îáà òóïûå.
Åñëè æå îäèí èç óãëîâ îñòðûé, à äðóãîé òóïîé, òî îíè
äîïîëíÿþò äðóã äðóãà äî 180° (ïðÿìûå óãëû, êîíå÷-
íî, è ðàâíû, è äîïîëíÿþò äðóã äðóãà äî 180° ).
Ðèñ. 143 Ðèñ. 144
Ðèñ. 146
Ðèñ. 145
a)
á)
a) á)
§ 28. Ïåðïåíäèêóëÿð. è ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå
383
382
ÃÅÎÌÅÒÐÈßÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
íû; ñóììà âíóòðåííèõ (è âíåøíèõ) îäíîñòîðîí-
íèõ óãëîâ ðàâíà 180°.
Îòìåòèì ñëåäóþùåå ñâîéñòâî ïàðàëëåëüíûõ ïðÿ-
ìûõ:
Ò.8.12. Ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, ïåðåñåêàþùèå ñòîðî-
íû óãëà (ðèñ. 144), îòñåêàþò îò ýòèõ ñòîðîí ïðî-
ïîðöèîíàëüíûå îòðåçêè, ò. å.
.
32
32
21
21
1
1
CC
BB
CC
BB
AC
AB
==
 ÷àñòíîñòè, ñïðàâåäëèâî òàêîå óòâåðæäåíèå:
Ò.8.13. Åñëè ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, ïåðåñåêàþùèå
ñòîðîíû óãëà, îòñåêàþò íà îäíîé åãî ñòîðîíå ðàâ-
íûå îòðåçêè, òî îíè îòñåêàþò ðàâíûå îòðåçêè è
íà äðóãîé åãî ñòîðîíå (òåîðåìà Ôàëåñà).
261. Óãëû ñ ïàðàëëåëüíûìè è ïåðïåíäèêóëÿð-
íûìè ñòîðîíàìè. Ðàññìîòðèì óãëû, ñòîðîíû êîòî-
ðûõ ïàðàëëåëüíû èëè ïåðïåíäèêóëÿðíû. Ñïðàâåä-
ëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
Ò.8.14. Åñëè ñòîðîíû îäíîãî óãëà ñîîòâåòñòâåííî
ïàðàëëåëüíû ñòîðîíàì äðóãîãî óãëà, òî òàêèå óãëû
ëèáî ðàâíû, ëèáî äîïîëíÿþò äðóã äðóãà äî 180°
(ðèñ. 145, à è á).
Ò.8.15. Åñëè ñòîðîíû îäíîãî óãëà ñîîòâåòñòâåííî
ïåðïåíäèêóëÿðíû ñòîðîíàì äðóãîãî óãëà, òî òà-
êèå óãëû ëèáî ðàâíû, ëèáî äîïîëíÿþò äðóã äðóãà
äî 180° (ðèñ. 146, à è á).
Î÷åâèäíî, ÷òî ðàâåíñòâî óãëîâ ïîëó÷àåòñÿ â òîì
ñëó÷àå, êîãäà îíè ëèáî îáà îñòðûå, ëèáî îáà òóïûå.
Åñëè æå îäèí èç óãëîâ îñòðûé, à äðóãîé òóïîé, òî îíè
äîïîëíÿþò äðóã äðóãà äî 180° (ïðÿìûå óãëû, êîíå÷-
íî, è ðàâíû, è äîïîëíÿþò äðóã äðóãà äî 180° ).
Ðèñ. 143 Ðèñ. 144
Ðèñ. 146
Ðèñ. 145
a)
á)
a) á)
§ 29. Ïðîñòåéøèå çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå
385
384
ÃÅÎÌÅÒÐÈßÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
§ 29. Ïðîñòåéøèå çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå
Âî âñåõ çàäà÷àõ, ðàññìàòðèâàåìûõ â äàííîì ïà-
ðàãðàôå, èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî äâà ÷åðòåæíûõ èíñò-
ðóìåíòà ëèíåéêà è öèðêóëü.
262. Äåëåíèå îòðåçêà ïîïîëàì.
Çàäà÷à I. Ðàçäåëèòü äàííûé îòðåçîê ïîïîëàì.
q 1. Ïðîâîäèì äóãè îêðóæíîñòåé îäíîãî è òîãî
æå ðàäèóñà (áîëüøåãî ïîëîâèíû ÀÂ) ñ öåíòðàìè â
çàäàííûõ òî÷êàõ À è  (ðèñ. 147).
2. ×åðåç òî÷êè C è D (òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ
äóã) ïðîâîäèì ïðÿìóþ. Îíà ïåðåñåêàåò îòðåçîê ÀÂ
â åãî ñåðåäèíå F. n
Ýòî æå ïîñòðîåíèå èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ
ñëåäóþùåé çàäà÷è.
Çàäà÷à II. Âîññòàâèòü ïåðïåíäèêóëÿð â ñåðåäèíå
äàííîãî îòðåçêà.
Ïðÿìàÿ CD è åñòü èñêîìûé ïåðïåíäèêóëÿð.
263. Ïîñòðîåíèå ïåðïåíäèêóëÿðîâ.
Çàäà÷à III. Îïóñòèòü ïåðïåíäèêóëÿð èç äàííîé
òî÷êè íà äàííóþ ïðÿìóþ.
q 1. Ïðîâîäèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â çàäàí-
íîé òî÷êå Ñ, ïåðåñåêàþùóþ äàííóþ ïðÿìóþ â òî÷-
êàõ À è Â (ðèñ. 148).
2. Ïðîâîäèì äóãè îêðóæíîñòåé îäíîãî è òîãî æå
ðàäèóñà (áîëüøåãî ïîëîâèíû ÀÂ) ñ öåíòðàìè À
è Â. Ïóñòü îíè ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå D.
3. Ïðÿìàÿ CD è åñòü èñêîìûé ïåðïåíäèêóëÿð.n
Çàäà÷à IV. Âîññòàâèòü ïåðïåíäèêóëÿð ê äàííîìó
îòðåçêó â åãî êîíöå.
q 1. Ïðîâîäèì îêðóæíîñòü, êîòîðàÿ ïðîõîäèò ÷å-
ðåç çàäàííûé êîíåö À, à åå öåíòðîì ÿâëÿåòñÿ ïðîèç-
âîëüíàÿ òî÷êà Ñ, ëåæàùàÿ âíå äàííîé ïðÿìîé. Ïóñòü
ýòà îêðóæíîñòü ïåðåñåêàåò äàííûé îòðåçîê (èëè åãî
ïðîäîëæåíèå) â òî÷êå F (ðèñ. 149).
2. Ïðîâîäèì äèàìåòð, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç òî÷êè F
è Ñ. Ïóñòü D âòîðîé êîíåö ýòîãî äèàìåòðà. Òîãäà
DA èñêîìûé ïåðïåíäèêóëÿð (
DABÐ
ïðÿìîé,
òàê êàê îí îïèðàåòñÿ íà äèàìåòð). n
264. Ïîñòðîåíèå óãëîâ.
Çàäà÷à V. Ïîñòðîèòü óãîë, ðàâíûé äàííîìó.
q 1. Ïðîâîäèì äóãó ïðîèçâîëüíîãî ðàäèóñà ñ öåí-
òðîì â âåðøèíå À äàííîãî óãëà, ïåðåñåêàþùóþ åãî
ñòîðîíû â òî÷êàõ  è Ñ (ðèñ. 150).
Ðèñ. 149 Ðèñ. 150Ðèñ. 147 Ðèñ. 148
§ 29. Ïðîñòåéøèå çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå
385
384
ÃÅÎÌÅÒÐÈßÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
§ 29. Ïðîñòåéøèå çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå
Âî âñåõ çàäà÷àõ, ðàññìàòðèâàåìûõ â äàííîì ïà-
ðàãðàôå, èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî äâà ÷åðòåæíûõ èíñò-
ðóìåíòà ëèíåéêà è öèðêóëü.
262. Äåëåíèå îòðåçêà ïîïîëàì.
Çàäà÷à I. Ðàçäåëèòü äàííûé îòðåçîê ïîïîëàì.
q 1. Ïðîâîäèì äóãè îêðóæíîñòåé îäíîãî è òîãî
æå ðàäèóñà (áîëüøåãî ïîëîâèíû ÀÂ) ñ öåíòðàìè â
çàäàííûõ òî÷êàõ À è  (ðèñ. 147).
2. ×åðåç òî÷êè C è D (òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ
äóã) ïðîâîäèì ïðÿìóþ. Îíà ïåðåñåêàåò îòðåçîê ÀÂ
â åãî ñåðåäèíå F. n
Ýòî æå ïîñòðîåíèå èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ
ñëåäóþùåé çàäà÷è.
Çàäà÷à II. Âîññòàâèòü ïåðïåíäèêóëÿð â ñåðåäèíå
äàííîãî îòðåçêà.
Ïðÿìàÿ CD è åñòü èñêîìûé ïåðïåíäèêóëÿð.
263. Ïîñòðîåíèå ïåðïåíäèêóëÿðîâ.
Çàäà÷à III. Îïóñòèòü ïåðïåíäèêóëÿð èç äàííîé
òî÷êè íà äàííóþ ïðÿìóþ.
q 1. Ïðîâîäèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â çàäàí-
íîé òî÷êå Ñ, ïåðåñåêàþùóþ äàííóþ ïðÿìóþ â òî÷-
êàõ À è Â (ðèñ. 148).
2. Ïðîâîäèì äóãè îêðóæíîñòåé îäíîãî è òîãî æå
ðàäèóñà (áîëüøåãî ïîëîâèíû ÀÂ) ñ öåíòðàìè À
è Â. Ïóñòü îíè ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå D.
3. Ïðÿìàÿ CD è åñòü èñêîìûé ïåðïåíäèêóëÿð.n
Çàäà÷à IV. Âîññòàâèòü ïåðïåíäèêóëÿð ê äàííîìó
îòðåçêó â åãî êîíöå.
q 1. Ïðîâîäèì îêðóæíîñòü, êîòîðàÿ ïðîõîäèò ÷å-
ðåç çàäàííûé êîíåö À, à åå öåíòðîì ÿâëÿåòñÿ ïðîèç-
âîëüíàÿ òî÷êà Ñ, ëåæàùàÿ âíå äàííîé ïðÿìîé. Ïóñòü
ýòà îêðóæíîñòü ïåðåñåêàåò äàííûé îòðåçîê (èëè åãî
ïðîäîëæåíèå) â òî÷êå F (ðèñ. 149).
2. Ïðîâîäèì äèàìåòð, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç òî÷êè F
è Ñ. Ïóñòü D âòîðîé êîíåö ýòîãî äèàìåòðà. Òîãäà
DA èñêîìûé ïåðïåíäèêóëÿð (
DABÐ
ïðÿìîé,
òàê êàê îí îïèðàåòñÿ íà äèàìåòð). n
264. Ïîñòðîåíèå óãëîâ.
Çàäà÷à V. Ïîñòðîèòü óãîë, ðàâíûé äàííîìó.
q 1. Ïðîâîäèì äóãó ïðîèçâîëüíîãî ðàäèóñà ñ öåí-
òðîì â âåðøèíå À äàííîãî óãëà, ïåðåñåêàþùóþ åãî
ñòîðîíû â òî÷êàõ  è Ñ (ðèñ. 150).
Ðèñ. 149 Ðèñ. 150Ðèñ. 147 Ðèñ. 148
§ 29. Ïðîñòåéøèå çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå
387
386
ÃÅÎÌÅÒÐÈßÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
2. Ïðîâîäèì ïðîèçâîëüíóþ ïðÿìóþ, ôèêñèðóåì
íà íåé òî÷êó K è ïðîâîäèì äóãó òîãî æå ðàäèóñà,
÷òî è â ï. 1, ñ öåíòðîì K. Ïóñòü ýòà äóãà ïåðåñåêàåò
ïðÿìóþ â òî÷êå L.
3. Ïðîâîäèì äóãó ðàäèóñà ÂÑ ñ öåíòðîì L. Ïóñòü
ýòà äóãà ïåðåñåêàåò ïåðâóþ äóãó â òî÷êå Ì. Òîãäà
óãîë MKL è åñòü èñêîìûé. n
Çàäà÷à VI. Ðàçäåëèòü äàííûé óãîë ïîïîëàì.
q 1. Ïðîâîäèì äóãó ïðîèçâîëüíîãî ðàäèóñà ñ öåí-
òðîì â âåðøèíå À äàííîãî óãëà, ïåðåñåêàþùóþ åãî
ñòîðîíû â òî÷êàõ  è Ñ (ðèñ. 151).
2. Ïðîâîäèì äóãè îäíîãî è òîãî æå ðàäèóñà (áîëü-
øåãî ïîëîâèíû ÂÑ) ñ öåíòðàìè Â è Ñ. Ïóñòü îíè
ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå D.
3. Ïðîâîäèì AD. Òîãäà
.DACBAD Ð=Ð
n
265. Ïîñòðîåíèå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé äàííîé
è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷êó.
Çàäà÷à VII. ×åðåç äàííóþ òî÷êó, íå ïðèíàäëåæà-
ùóþ äàííîé ïðÿìîé, ïðîâåñòè ïðÿìóþ, åé ïàðàëëåëü-
íóþ.
q 1. Ïðîâîäèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â çàäàí-
íîé òî÷êå À è ðàäèóñîì, áXîëüøèì, ÷åì ðàññòîÿíèå îò
òî÷êè À äî äàííîé ïðÿìîé. Ïóñòü ýòà îêðóæíîñòü
ïåðåñåêàåò ïðÿìóþ â òî÷êàõ  è Ñ (ðèñ. 152).
2. Ïðîâîäèì ðàäèóñ ÑÀ è äèàìåòð BD.
3. Ðàçäåëèì óãîë DAC ïîïîëàì (ñì. çàäà÷ó VI):
åãî áèññåêòðèñà è åñòü èñêîìàÿ ïðÿìàÿ.
Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü
;BCAF^
òîãäà AF áèñ-
ñåêòðèñà óãëà ÂÀÑ, à áèññåêòðèñû ñìåæíûõ óãëîâ
âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, îòêóäà è ñëåäóåò òðåáóå-
ìàÿ ïàðàëëåëüíîñòü. n
266. Ïîñòðîåíèå ïðîïîðöèîíàëüíûõ îòðåçêîâ.
Çàäà÷à VIII. Ðàçäåëèòü îòðåçîê íà ïðîïîðöèîíàëü-
íûå ÷àñòè.
Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ðàçäåëèì îòðåçîê ÀÂ â îò-
íîøåíèè 1 : 2 : 3.
q 1. ×åðåç îäèí èç êîíöîâ çàäàííîãî îòðåçêà (íà-
ïðèìåð, À) ïðîâîäèì ïðîèçâîëüíûé ëó÷ (ðèñ. 153).
2. Íà ýòîì ëó÷å îò òî÷êè À îòêëàäûâàåì â ïðî-
èçâîëüíîì ìàñøòàáå îòðåçêè çàäàííîé ïðîïîðöèî-
íàëüíîñòè, ò. å.
.3:2:1:: =LMKLAK
3. Ñîåäèíÿåì òî÷êè  è Ì.
4. ×åðåç êîíöû îòðåçêîâ, ëåæàùèå íà ëó÷å ÀÌ,
ïðîâîäèì ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå ÂÌ. Îòðåçîê ÀÂ
ðàçäåëåí íà òðåáóåìûå ÷àñòè:
.3:2:1:: =DBCDAC
 ÷àñòíîñòè, åñëè íà ëó÷å îòëîæèòü ðàâíûå îòðåç-
êè, òî è îòðåçîê À ðàçäåëèòñÿ íà ðàâíûå ÷àñòè.n
Çàäà÷à IX. Ïîñòðîèòü ÷åòâåðòûé ïðîïîðöèîíàëü-
íûé îòðåçîê.
Äàíû òðè îòðåçêà äëèíîé
ba,
è ñ. Òðåáóåòñÿ ïî-
ñòðîèòü òàêîé îòðåçîê äëèíû õ, ÷òîáû
,
x
c
b
a
=
èëè
.
a
bc
x =
q Ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé çàäà÷è VIII.
Ðèñ. 151 Ðèñ. 152
§ 29. Ïðîñòåéøèå çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå
387
386
ÃÅÎÌÅÒÐÈßÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
2. Ïðîâîäèì ïðîèçâîëüíóþ ïðÿìóþ, ôèêñèðóåì
íà íåé òî÷êó K è ïðîâîäèì äóãó òîãî æå ðàäèóñà,
÷òî è â ï. 1, ñ öåíòðîì K. Ïóñòü ýòà äóãà ïåðåñåêàåò
ïðÿìóþ â òî÷êå L.
3. Ïðîâîäèì äóãó ðàäèóñà ÂÑ ñ öåíòðîì L. Ïóñòü
ýòà äóãà ïåðåñåêàåò ïåðâóþ äóãó â òî÷êå Ì. Òîãäà
óãîë MKL è åñòü èñêîìûé. n
Çàäà÷à VI. Ðàçäåëèòü äàííûé óãîë ïîïîëàì.
q 1. Ïðîâîäèì äóãó ïðîèçâîëüíîãî ðàäèóñà ñ öåí-
òðîì â âåðøèíå À äàííîãî óãëà, ïåðåñåêàþùóþ åãî
ñòîðîíû â òî÷êàõ  è Ñ (ðèñ. 151).
2. Ïðîâîäèì äóãè îäíîãî è òîãî æå ðàäèóñà (áîëü-
øåãî ïîëîâèíû ÂÑ) ñ öåíòðàìè Â è Ñ. Ïóñòü îíè
ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå D.
3. Ïðîâîäèì AD. Òîãäà
.DACBAD Ð=Ð
n
265. Ïîñòðîåíèå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé äàííîé
è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷êó.
Çàäà÷à VII. ×åðåç äàííóþ òî÷êó, íå ïðèíàäëåæà-
ùóþ äàííîé ïðÿìîé, ïðîâåñòè ïðÿìóþ, åé ïàðàëëåëü-
íóþ.
q 1. Ïðîâîäèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â çàäàí-
íîé òî÷êå À è ðàäèóñîì, áXîëüøèì, ÷åì ðàññòîÿíèå îò
òî÷êè À äî äàííîé ïðÿìîé. Ïóñòü ýòà îêðóæíîñòü
ïåðåñåêàåò ïðÿìóþ â òî÷êàõ  è Ñ (ðèñ. 152).
2. Ïðîâîäèì ðàäèóñ ÑÀ è äèàìåòð BD.
3. Ðàçäåëèì óãîë DAC ïîïîëàì (ñì. çàäà÷ó VI):
åãî áèññåêòðèñà è åñòü èñêîìàÿ ïðÿìàÿ.
Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü
;BCAF^
òîãäà AF áèñ-
ñåêòðèñà óãëà ÂÀÑ, à áèññåêòðèñû ñìåæíûõ óãëîâ
âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, îòêóäà è ñëåäóåò òðåáóå-
ìàÿ ïàðàëëåëüíîñòü. n
266. Ïîñòðîåíèå ïðîïîðöèîíàëüíûõ îòðåçêîâ.
Çàäà÷à VIII. Ðàçäåëèòü îòðåçîê íà ïðîïîðöèîíàëü-
íûå ÷àñòè.
Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ðàçäåëèì îòðåçîê ÀÂ â îò-
íîøåíèè 1 : 2 : 3.
q 1. ×åðåç îäèí èç êîíöîâ çàäàííîãî îòðåçêà (íà-
ïðèìåð, À) ïðîâîäèì ïðîèçâîëüíûé ëó÷ (ðèñ. 153).
2. Íà ýòîì ëó÷å îò òî÷êè À îòêëàäûâàåì â ïðî-
èçâîëüíîì ìàñøòàáå îòðåçêè çàäàííîé ïðîïîðöèî-
íàëüíîñòè, ò. å.
.3:2:1:: =LMKLAK
3. Ñîåäèíÿåì òî÷êè  è Ì.
4. ×åðåç êîíöû îòðåçêîâ, ëåæàùèå íà ëó÷å ÀÌ,
ïðîâîäèì ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå ÂÌ. Îòðåçîê ÀÂ
ðàçäåëåí íà òðåáóåìûå ÷àñòè:
.3:2:1:: =DBCDAC
 ÷àñòíîñòè, åñëè íà ëó÷å îòëîæèòü ðàâíûå îòðåç-
êè, òî è îòðåçîê À ðàçäåëèòñÿ íà ðàâíûå ÷àñòè.n
Çàäà÷à IX. Ïîñòðîèòü ÷åòâåðòûé ïðîïîðöèîíàëü-
íûé îòðåçîê.
Äàíû òðè îòðåçêà äëèíîé
ba,
è ñ. Òðåáóåòñÿ ïî-
ñòðîèòü òàêîé îòðåçîê äëèíû õ, ÷òîáû
,
x
c
b
a
=
èëè
.
a
bc
x =
q Ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé çàäà÷è VIII.
Ðèñ. 151 Ðèñ. 152
§ 29. Ïðîñòåéøèå çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå
389
388
ÃÅÎÌÅÒÐÈßÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
1. Ñòðîèì ïðîèçâîëüíûé óãîë (ðèñ. 154, à).
2. Íà îäíîé ñòîðîíå óãëà îòêëàäûâàåì îòðåçêè
ÀÂ = à è BD = b.
3. Íà äðóãîé ñòîðîíå óãëà îòêëàäûâàåì îòðåçîê
ÀÑ = ñ.
4. Ñîåäèíÿåì òî÷êè  è Ñ è ïðîâîäèì DE÷÷ BC.
Îòðåçîê ÑÅ èñêîìûé, ò. å.
.
AB
ACBD
CE
×
=
Çàìåòèì, ÷òî äëèíà ÑÅ íå èçìåíèòñÿ, åñëè îòëî-
æèòü ÀÂ = à, BD = c, AC = b (ðèñ. 154, á). n
267. Ïîñòðîåíèå êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè.
Çàäà÷à Õ. Èç äàííîé òî÷êè, ëåæàùåé âíå îêðóæ-
íîñòè, ïðîâåñòè ê íåé êàñàòåëüíóþ (åñëè òî÷êà ëå-
æèò íà îêðóæíîñòè, òî çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ïîñòðîå-
íèþ ïåðïåíäèêóëÿðà â êîíöå îòðåçêà).
q 1. Ñîåäèíèì äàííóþ òî÷êó À ñ öåíòðîì Î îê-
ðóæíîñòè (ðèñ. 155).
2. Íà ÎÀ êàê íà äèàìåòðå ñòðîèì îêðóæíîñòü,
ïåðåñåêàþùóþ çàäàííóþ â òî÷êàõ  è Ñ.
3. Ïðîâîäèì ïðÿìûå ÀÂ è ÀÑ, êîòîðûå è ÿâëÿþò-
ñÿ èñêîìûìè êàñàòåëüíûìè (óãëû ÀÂÎ è ÀÑÎ
ïðÿìûå, òàê êàê îíè îïèðàþòñÿ íà äèàìåòð). n
268. Ïîñòðîåíèå âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæ-
íîñòåé äëÿ òðåóãîëüíèêà.
Çàäà÷à XI. Âïèñàòü îêðóæíîñòü â äàííûé òðå-
óãîëüíèê.
q 1. Ïðîâîäèì áèññåêòðèñû äâóõ ëþáûõ óãëîâ
òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 156).
2. Èç òî÷êè Î ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ îïóñêàåì
ïåðïåíäèêóëÿð íà êàêóþ-ëèáî ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà.
3. Ïðîâîäèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì Î è ðàäèó-
ñîì, ðàâíûì äëèíå ïåðïåíäèêóëÿðà. n
Çàäà÷à XII. Îïèñàòü îêðóæíîñòü îêîëî äàííîãî
òðåóãîëüíèêà.
q 1. Ïðîâîäèì ïåðïåíäèêóëÿðû ÷åðåç ñåðåäèíû
êàêèõ-ëèáî ñòîðîí òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 157). Ïóñòü
îíè ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Î.
2. Ïðîâîäèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì Î è ðàäèó-
ñîì, ðàâíûì ÎÀ. n
a)
á)
Ðèñ. 153
Ðèñ. 154
Ðèñ. 156 Ðèñ. 157
Ðèñ. 155
§ 29. Ïðîñòåéøèå çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå
389
388
ÃÅÎÌÅÒÐÈßÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
1. Ñòðîèì ïðîèçâîëüíûé óãîë (ðèñ. 154, à).
2. Íà îäíîé ñòîðîíå óãëà îòêëàäûâàåì îòðåçêè
ÀÂ = à è BD = b.
3. Íà äðóãîé ñòîðîíå óãëà îòêëàäûâàåì îòðåçîê
ÀÑ = ñ.
4. Ñîåäèíÿåì òî÷êè  è Ñ è ïðîâîäèì DE÷÷ BC.
Îòðåçîê ÑÅ èñêîìûé, ò. å.
.
AB
ACBD
CE
×
=
Çàìåòèì, ÷òî äëèíà ÑÅ íå èçìåíèòñÿ, åñëè îòëî-
æèòü ÀÂ = à, BD = c, AC = b (ðèñ. 154, á). n
267. Ïîñòðîåíèå êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè.
Çàäà÷à Õ. Èç äàííîé òî÷êè, ëåæàùåé âíå îêðóæ-
íîñòè, ïðîâåñòè ê íåé êàñàòåëüíóþ (åñëè òî÷êà ëå-
æèò íà îêðóæíîñòè, òî çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ïîñòðîå-
íèþ ïåðïåíäèêóëÿðà â êîíöå îòðåçêà).
q 1. Ñîåäèíèì äàííóþ òî÷êó À ñ öåíòðîì Î îê-
ðóæíîñòè (ðèñ. 155).
2. Íà ÎÀ êàê íà äèàìåòðå ñòðîèì îêðóæíîñòü,
ïåðåñåêàþùóþ çàäàííóþ â òî÷êàõ  è Ñ.
3. Ïðîâîäèì ïðÿìûå ÀÂ è ÀÑ, êîòîðûå è ÿâëÿþò-
ñÿ èñêîìûìè êàñàòåëüíûìè (óãëû ÀÂÎ è ÀÑÎ
ïðÿìûå, òàê êàê îíè îïèðàþòñÿ íà äèàìåòð). n
268. Ïîñòðîåíèå âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæ-
íîñòåé äëÿ òðåóãîëüíèêà.
Çàäà÷à XI. Âïèñàòü îêðóæíîñòü â äàííûé òðå-
óãîëüíèê.
q 1. Ïðîâîäèì áèññåêòðèñû äâóõ ëþáûõ óãëîâ
òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 156).
2. Èç òî÷êè Î ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ îïóñêàåì
ïåðïåíäèêóëÿð íà êàêóþ-ëèáî ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà.
3. Ïðîâîäèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì Î è ðàäèó-
ñîì, ðàâíûì äëèíå ïåðïåíäèêóëÿðà. n
Çàäà÷à XII. Îïèñàòü îêðóæíîñòü îêîëî äàííîãî
òðåóãîëüíèêà.
q 1. Ïðîâîäèì ïåðïåíäèêóëÿðû ÷åðåç ñåðåäèíû
êàêèõ-ëèáî ñòîðîí òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 157). Ïóñòü
îíè ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Î.
2. Ïðîâîäèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì Î è ðàäèó-
ñîì, ðàâíûì ÎÀ. n
a)
á)
Ðèñ. 153
Ðèñ. 154
Ðèñ. 156 Ðèñ. 157
Ðèñ. 155
390
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
391
Ðàçäåë IX
ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÔÈÃÓÐÛ
ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
§ 30. Òðåóãîëüíèê
269. Ñòîðîíû è óãëû òðåóãîëüíèêà. Äëèíû ñòî-
ðîí òðåóãîëüíèêà íå ìîãóò áûòü çàäàíû ïðîèçâîëü-
íî: âî âñÿêîì òðåóãîëüíèêå äëèíà ëþáîé ñòîðîíû
ìåíüøå ñóììû äëèí äâóõ äðóãèõ ñòîðîí, íî áîëüøå
èõ ðàçíîñòè.
Íàïðèìåð, ñóùåñòâóåò òðåóãîëüíèê ñ äëèíàìè ñòî-
ðîí 3, 4 è 5, íî íå ñóùåñòâóåò òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðî-
íàìè 3, 4 è 8 (ïîñêîëüêó
438 +>
).
Òàêèì îáðàçîì, åñëè ÀÂ, ÂÑ è ÀÑ äëèíû ñòî-
ðîí òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ, òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
,BCABAC +<
êîòîðîå íàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâîì
òðåóãîëüíèêà.
Îòìåòèì, ÷òî â òðåóãîëüíèêå ïðîòèâ áîëüøåé
ñòîðîíû ëåæèò áîëüøèé óãîë è îáðàòíî, ïðîòèâ
áîëüøåãî óãëà ëåæèò áîëüøàÿ ñòîðîíà.
Åñëè äëèíû âñåõ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ðàâíû ìåæ-
äó ñîáîé, òî òàêîé òðåóãîëüíèê íàçûâàåòñÿ ðàâíî-
ñòîðîííèì (èëè ïðàâèëüíûì); åñëè æå ðàâíû äâå
ñòîðîíû, òî òðåóãîëüíèê íàçûâàåòñÿ ðàâíîáåäðåí-
íûì. Îáû÷íî ó ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà åãî
ðàâíûå ñòîðîíû íàçûâàþò áîêîâûìè ñòîðîíàìè, à
òðåòüþ ñòîðîíó îñíîâàíèåì. Íàïðèìåð, â ðàâíî-
áåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ (ðèñ. 158) ÀÑ îñíî-
âàíèå, à ÀÂ è ÂÑ áîêîâûå ñòîðîíû.
 ðàâíîñòîðîííåì òðåóãîëüíèêå âñå óãëû ðàâíû;
â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ðàâíû óãëû ïðè îñ-
íîâàíèè.
Ò.9.1. Ñóììà óãëîâ ëþáîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà 180°
(äâóì ïðÿìûì óãëàì).
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ìîæåò ñóùåñòâîâàòü òðåóãîëü-
íèê ñ òðåìÿ îñòðûìè óãëàìè, íî ïðÿìîé èëè òóïîé
óãîë â òðåóãîëüíèêå ìîæåò áûòü òîëüêî îäèí.
Òðåóãîëüíèê, ó êîòîðîãî âñå òðè óãëà îñòðûå, íàçû-
âàåòñÿ îñòðîóãîëüíûì; òðåóãîëüíèê, èìåþùèé òóïîé
óãîë, òóïîóãîëüíûì. Òðåóãîëüíèê, èìåþùèé ïðÿ-
ìîé óãîë, íàçûâàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì. Åãî ñòîðîíà,
ëåæàùàÿ ïðîòèâ ïðÿìîãî óãëà, íàçûâàåòñÿ ãèïîòåíó-
çîé, à ñòîðîíû, îáðàçóþùèå ïðÿìîé óãîë, êàòåòà-
ìè. Òàê, â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ (ðèñ. 159)
ÀÂ ãèïîòåíóçà, à ÀÑ è ÂÑ êàòåòû.
Âíåøíèì óãëîì òðåóãîëüíèêà ïðè äàííîé âåð-
øèíå íàçûâàåòñÿ óãîë, ñìåæíûé ñ âíóòðåííèì óã-
ëîì òðåóãîëüíèêà ïðè ýòîé âåðøèíå (íàïðèìåð, íà
ðèñ. 160 ACD âíåøíèé óãîë ïðè âåðøèíå Ñ, ñìåæ-
íûé ñ âíóòðåííèì óãëîì ÀÑÂ).
Ò.9.2. Âíåøíèé óãîë òðåóãîëüíèêà ðàâåí ñóììå äâóõ
âíóòðåííèõ óãëîâ, ñ íèì íå ñìåæíûõ.
Ðèñ. 159 Ðèñ. 160Ðèñ. 158
390
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
391
Ðàçäåë IX
ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÔÈÃÓÐÛ
ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
§ 30. Òðåóãîëüíèê
269. Ñòîðîíû è óãëû òðåóãîëüíèêà. Äëèíû ñòî-
ðîí òðåóãîëüíèêà íå ìîãóò áûòü çàäàíû ïðîèçâîëü-
íî: âî âñÿêîì òðåóãîëüíèêå äëèíà ëþáîé ñòîðîíû
ìåíüøå ñóììû äëèí äâóõ äðóãèõ ñòîðîí, íî áîëüøå
èõ ðàçíîñòè.
Íàïðèìåð, ñóùåñòâóåò òðåóãîëüíèê ñ äëèíàìè ñòî-
ðîí 3, 4 è 5, íî íå ñóùåñòâóåò òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðî-
íàìè 3, 4 è 8 (ïîñêîëüêó
438 +>
).
Òàêèì îáðàçîì, åñëè ÀÂ, ÂÑ è ÀÑ äëèíû ñòî-
ðîí òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ, òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
,BCABAC +<
êîòîðîå íàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâîì
òðåóãîëüíèêà.
Îòìåòèì, ÷òî â òðåóãîëüíèêå ïðîòèâ áîëüøåé
ñòîðîíû ëåæèò áîëüøèé óãîë è îáðàòíî, ïðîòèâ
áîëüøåãî óãëà ëåæèò áîëüøàÿ ñòîðîíà.
Åñëè äëèíû âñåõ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ðàâíû ìåæ-
äó ñîáîé, òî òàêîé òðåóãîëüíèê íàçûâàåòñÿ ðàâíî-
ñòîðîííèì (èëè ïðàâèëüíûì); åñëè æå ðàâíû äâå
ñòîðîíû, òî òðåóãîëüíèê íàçûâàåòñÿ ðàâíîáåäðåí-
íûì. Îáû÷íî ó ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà åãî
ðàâíûå ñòîðîíû íàçûâàþò áîêîâûìè ñòîðîíàìè, à
òðåòüþ ñòîðîíó îñíîâàíèåì. Íàïðèìåð, â ðàâíî-
áåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ (ðèñ. 158) ÀÑ îñíî-
âàíèå, à ÀÂ è ÂÑ áîêîâûå ñòîðîíû.
 ðàâíîñòîðîííåì òðåóãîëüíèêå âñå óãëû ðàâíû;
â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ðàâíû óãëû ïðè îñ-
íîâàíèè.
Ò.9.1. Ñóììà óãëîâ ëþáîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà 180°
(äâóì ïðÿìûì óãëàì).
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ìîæåò ñóùåñòâîâàòü òðåóãîëü-
íèê ñ òðåìÿ îñòðûìè óãëàìè, íî ïðÿìîé èëè òóïîé
óãîë â òðåóãîëüíèêå ìîæåò áûòü òîëüêî îäèí.
Òðåóãîëüíèê, ó êîòîðîãî âñå òðè óãëà îñòðûå, íàçû-
âàåòñÿ îñòðîóãîëüíûì; òðåóãîëüíèê, èìåþùèé òóïîé
óãîë, òóïîóãîëüíûì. Òðåóãîëüíèê, èìåþùèé ïðÿ-
ìîé óãîë, íàçûâàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì. Åãî ñòîðîíà,
ëåæàùàÿ ïðîòèâ ïðÿìîãî óãëà, íàçûâàåòñÿ ãèïîòåíó-
çîé, à ñòîðîíû, îáðàçóþùèå ïðÿìîé óãîë, êàòåòà-
ìè. Òàê, â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ (ðèñ. 159)
ÀÂ ãèïîòåíóçà, à ÀÑ è ÂÑ êàòåòû.
Âíåøíèì óãëîì òðåóãîëüíèêà ïðè äàííîé âåð-
øèíå íàçûâàåòñÿ óãîë, ñìåæíûé ñ âíóòðåííèì óã-
ëîì òðåóãîëüíèêà ïðè ýòîé âåðøèíå (íàïðèìåð, íà
ðèñ. 160 ACD âíåøíèé óãîë ïðè âåðøèíå Ñ, ñìåæ-
íûé ñ âíóòðåííèì óãëîì ÀÑÂ).
Ò.9.2. Âíåøíèé óãîë òðåóãîëüíèêà ðàâåí ñóììå äâóõ
âíóòðåííèõ óãëîâ, ñ íèì íå ñìåæíûõ.
Ðèñ. 159 Ðèñ. 160Ðèñ. 158