Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
393
392
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
270. Áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà. Îêðóæíîñòü,
âïèñàííàÿ â òðåóãîëüíèê. Áèññåêòðèñîé òðåóãîëü-
íèêà íàçûâàåòñÿ ëþáàÿ èç áèññåêòðèñ âíóòðåííèõ
óãëîâ òðåóãîëüíèêà.
Ò.9.3. Òðè áèññåêòðèñû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþò-
ñÿ â îäíîé òî÷êå.
Îêðóæíîñòü íàçûâàåòñÿ âïèñàííîé â òðåóãîëü-
íèê, åñëè îíà êàñàåòñÿ âñåõ åãî ñòîðîí.
Ò.9.4. Â ëþáîé òðåóãîëüíèê ìîæíî âïèñàòü îêðóæ-
íîñòü; åå öåíòðîì ÿâëÿåòñÿ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ
áèññåêòðèñ.
Òàê, íà ðèñ. 161 èçîáðàæåíû òðåóãîëüíèê è âïè-
ñàííàÿ â íåãî îêðóæíîñòü; åå öåíòðîì Î ÿâëÿåòñÿ
òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ AK, BL è ÑÌ.
Âïèñàííàÿ â òðåóãîëüíèê îêðóæíîñòü åäèíñòâåí-
íà, íî ñóùåñòâóþò åùå îêðóæíîñòè, êàñàþùèåñÿ âñåõ
òðåõ ïðÿìûõ, íà êîòîðûõ ëåæàò ñòîðîíû òðåóãîëü-
íèêà (ðèñ. 162). Òàêèå îêðóæíîñòè íàçûâàþòñÿ âíåø-
íå âïèñàííûìè.
Ïóñòü à, b, c äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà,
à l
c
äëèíà áèññåêòðèñû, ïðîâåäåííîé ê ñòîðîíå ñ.
Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
.
)
(
)
(
ba
cbacbaab
l
c
+
-+++
=
(1)
Ï ð è ì å ð 1. Â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå
ÀÂÑ îñíîâàíèå ÂÑ = 5 ñì, à áîêîâàÿ ñòîðîíà ÀÂ =
= 20 ñì. Íàéòè äëèíó áèññåêòðèñû óãëà ïðè îñíîâà-
íèè (ðèñ. 163).
q Çäåñü à = 5 ñì, b = c = 20 ñì. Èñïîëüçóÿ ôîðìó-
ëó (1), íàõîäèì
6
25
1510
25
545100
=
×
=
××
=
c
l
(ñì). n
Îòìåòèì ñëåäóþùåå ñâîéñòâî áèññåêòðèñû âíóò-
ðåííåãî óãëà òðåóãîëüíèêà.
Ò.9.5. Áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà äåëèò ïðîòèâî-
ïîëîæíóþ ñòîðîíó íà ÷àñòè, ïðîïîðöèîíàëüíûå
ïðèëåæàùèì ñòîðîíàì, ò. å.
,
1
1
b
a
b
a
=
(2)
ãäå à è b äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, à
1
è b
1
äëèíû ïðèëåæàùèõ ê íèì îòðåçêîâ ñòîðîíû ñ (ðèñ.
164).
Ï ð è ì å ð 2. Â òðåóãîëüíèêå èç ïðèìåðà 1
íàéòè îòðåçêè, íà êîòîðûå áèññåêòðèñà óãëà ïðè îñ-
íîâàíèè äåëèò áîêîâóþ ñòîðîíó.
q Èìååì (ñì. ðèñ. 163) à = ÂÑ = 5, b = AC = 20, à
1
=
= BD, b
1
= AD. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (2), ïîëó÷èì
à
1
: b
1
=5: 20 = 1 : 4, îòêóäà íàõîäèì BD = 4 ñì,
AD = 16 ñì. n
Ðèñ. 161 Ðèñ. 162
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
393
392
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
270. Áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà. Îêðóæíîñòü,
âïèñàííàÿ â òðåóãîëüíèê. Áèññåêòðèñîé òðåóãîëü-
íèêà íàçûâàåòñÿ ëþáàÿ èç áèññåêòðèñ âíóòðåííèõ
óãëîâ òðåóãîëüíèêà.
Ò.9.3. Òðè áèññåêòðèñû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþò-
ñÿ â îäíîé òî÷êå.
Îêðóæíîñòü íàçûâàåòñÿ âïèñàííîé â òðåóãîëü-
íèê, åñëè îíà êàñàåòñÿ âñåõ åãî ñòîðîí.
Ò.9.4. Â ëþáîé òðåóãîëüíèê ìîæíî âïèñàòü îêðóæ-
íîñòü; åå öåíòðîì ÿâëÿåòñÿ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ
áèññåêòðèñ.
Òàê, íà ðèñ. 161 èçîáðàæåíû òðåóãîëüíèê è âïè-
ñàííàÿ â íåãî îêðóæíîñòü; åå öåíòðîì Î ÿâëÿåòñÿ
òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ AK, BL è ÑÌ.
Âïèñàííàÿ â òðåóãîëüíèê îêðóæíîñòü åäèíñòâåí-
íà, íî ñóùåñòâóþò åùå îêðóæíîñòè, êàñàþùèåñÿ âñåõ
òðåõ ïðÿìûõ, íà êîòîðûõ ëåæàò ñòîðîíû òðåóãîëü-
íèêà (ðèñ. 162). Òàêèå îêðóæíîñòè íàçûâàþòñÿ âíåø-
íå âïèñàííûìè.
Ïóñòü à, b, c äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà,
à l
c
äëèíà áèññåêòðèñû, ïðîâåäåííîé ê ñòîðîíå ñ.
Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
.
)
(
)
(
ba
cbacbaab
l
c
+
-+++
=
(1)
Ï ð è ì å ð 1. Â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå
ÀÂÑ îñíîâàíèå ÂÑ = 5 ñì, à áîêîâàÿ ñòîðîíà ÀÂ =
= 20 ñì. Íàéòè äëèíó áèññåêòðèñû óãëà ïðè îñíîâà-
íèè (ðèñ. 163).
q Çäåñü à = 5 ñì, b = c = 20 ñì. Èñïîëüçóÿ ôîðìó-
ëó (1), íàõîäèì
6
25
1510
25
545100
=
×
=
××
=
c
l
(ñì). n
Îòìåòèì ñëåäóþùåå ñâîéñòâî áèññåêòðèñû âíóò-
ðåííåãî óãëà òðåóãîëüíèêà.
Ò.9.5. Áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà äåëèò ïðîòèâî-
ïîëîæíóþ ñòîðîíó íà ÷àñòè, ïðîïîðöèîíàëüíûå
ïðèëåæàùèì ñòîðîíàì, ò. å.
,
1
1
b
a
b
a
=
(2)
ãäå à è b äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, à
1
è b
1
äëèíû ïðèëåæàùèõ ê íèì îòðåçêîâ ñòîðîíû ñ (ðèñ.
164).
Ï ð è ì å ð 2. Â òðåóãîëüíèêå èç ïðèìåðà 1
íàéòè îòðåçêè, íà êîòîðûå áèññåêòðèñà óãëà ïðè îñ-
íîâàíèè äåëèò áîêîâóþ ñòîðîíó.
q Èìååì (ñì. ðèñ. 163) à = ÂÑ = 5, b = AC = 20, à
1
=
= BD, b
1
= AD. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (2), ïîëó÷èì
à
1
: b
1
=5: 20 = 1 : 4, îòêóäà íàõîäèì BD = 4 ñì,
AD = 16 ñì. n
Ðèñ. 161 Ðèñ. 162
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
395
394
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Àíàëîãè÷íûì ñâîéñòâîì îáëàäàåò è áèññåêòðè-
ñà âíåøíåãî óãëà òðåóãîëüíèêà, åñëè
BCAB ¹
(ðèñ. 165), à èìåííî: îòðåçêè AN è CN îò âåðøèí À è
Ñ äî òî÷êè N åå ïåðåñå÷åíèÿ ñî ñòîðîíîé ÀÑ
ïðîïîðöèîíàëüíû ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà, ò. å.
=CNAN :
.: BCAB
Äëÿ äëèíû áèññåêòðèñû âíóòðåííåãî óãëà òðåó-
ãîëüíèêà ñïðàâåäëèâà òàêæå ôîðìóëà
,
11
baabl
c
-=
(3)
ãäå à
1
è b
1
äëèíû îòðåçêîâ, íà êîòîðûå áèññåêòðè-
ñà äåëèò ñòîðîíó ñ (ñì. ðèñ. 164).
Òàê, â
ABCD
èç ïðèìåðà 1 (ñì. ðèñ. 163) èìååì
5== BCa
ñì,
20== ACb
ñì,
4
1
== BDa
ñì,
=
1
b
16== AD
ñì, îòêóäà ïî ôîðìóëå (3) íàõîäèì
=CD
636164205 ==×-×=
(ñì).
271. Ìåäèàíà òðåóãîëüíèêà. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðå-
óãîëüíèêà. Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé âåðøèíó òðåóãîëü-
íèêà ñ ñåðåäèíîé ïðîòèâîïîëîæíîé ñòîðîíû, íàçû-
âàåòñÿ ìåäèàíîé òðåóãîëüíèêà.
Ò.9.6. Òðè ìåäèàíû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ
â îäíîé òî÷êå, êîòîðàÿ äåëèò êàæäóþ ìåäèàíó
â îòíîøåíèè 2 : 1, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû òðåó-
ãîëüíèêà.
Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì ìàññ
òðåóãîëüíèêà (åñëè ñ÷èòàòü òðåóãîëüíèê òîíêîé îä-
íîðîäíîé ïëàñòèíêîé).
Ïóñòü à, b, ñ äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, à
m
ñ
äëèíà ìåäèàíû, ïðîâåäåííîé ê ñòîðîíå ñ. Òîã-
äà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
.
)
(
25,0
222
cbam
c
-+=
(1)
Ï ð è ì å ð 1. Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå
ÀÂÑ ñ êàòåòàìè ÂÑ = 3 ñì è ÀÑ = 4 ñì íàéòè äëèíû
ìåäèàí ÀÅ è CD (ðèñ. 166).
Ðèñ. 166Ðèñ. 165
Ðèñ. 163 Ðèñ. 164
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
395
394
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Àíàëîãè÷íûì ñâîéñòâîì îáëàäàåò è áèññåêòðè-
ñà âíåøíåãî óãëà òðåóãîëüíèêà, åñëè
BCAB ¹
(ðèñ. 165), à èìåííî: îòðåçêè AN è CN îò âåðøèí À è
Ñ äî òî÷êè N åå ïåðåñå÷åíèÿ ñî ñòîðîíîé ÀÑ
ïðîïîðöèîíàëüíû ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà, ò. å.
=CNAN :
.: BCAB
Äëÿ äëèíû áèññåêòðèñû âíóòðåííåãî óãëà òðåó-
ãîëüíèêà ñïðàâåäëèâà òàêæå ôîðìóëà
,
11
baabl
c
-=
(3)
ãäå à
1
è b
1
äëèíû îòðåçêîâ, íà êîòîðûå áèññåêòðè-
ñà äåëèò ñòîðîíó ñ (ñì. ðèñ. 164).
Òàê, â
ABCD
èç ïðèìåðà 1 (ñì. ðèñ. 163) èìååì
5== BCa
ñì,
20== ACb
ñì,
4
1
== BDa
ñì,
=
1
b
16== AD
ñì, îòêóäà ïî ôîðìóëå (3) íàõîäèì
=CD
636164205 ==×-×=
(ñì).
271. Ìåäèàíà òðåóãîëüíèêà. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðå-
óãîëüíèêà. Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé âåðøèíó òðåóãîëü-
íèêà ñ ñåðåäèíîé ïðîòèâîïîëîæíîé ñòîðîíû, íàçû-
âàåòñÿ ìåäèàíîé òðåóãîëüíèêà.
Ò.9.6. Òðè ìåäèàíû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ
â îäíîé òî÷êå, êîòîðàÿ äåëèò êàæäóþ ìåäèàíó
â îòíîøåíèè 2 : 1, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû òðåó-
ãîëüíèêà.
Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì ìàññ
òðåóãîëüíèêà (åñëè ñ÷èòàòü òðåóãîëüíèê òîíêîé îä-
íîðîäíîé ïëàñòèíêîé).
Ïóñòü à, b, ñ äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, à
m
ñ
äëèíà ìåäèàíû, ïðîâåäåííîé ê ñòîðîíå ñ. Òîã-
äà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
.
)
(
25,0
222
cbam
c
-+=
(1)
Ï ð è ì å ð 1. Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå
ÀÂÑ ñ êàòåòàìè ÂÑ = 3 ñì è ÀÑ = 4 ñì íàéòè äëèíû
ìåäèàí ÀÅ è CD (ðèñ. 166).
Ðèñ. 166Ðèñ. 165
Ðèñ. 163 Ðèñ. 164
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
397
396
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
q Çäåñü
543
22
=+=AB (ñì). Èñïîëüçóÿ ôîð-
ìóëó (1), íàõîäèì
;735,03
)
54
(
25,0
222
=-+=AE (ñì);
5,25
)
43
(
25,0
222
=-+=CD
(ñì)
(êàê è äîëæíî áûòü, ïîñêîëüêó â ïðÿìîóãîëüíîì òðå-
óãîëüíèêå ìåäèàíà, ïðîâåäåííàÿ èç âåðøèíû ïðÿìî-
ãî óãëà, ðàâíà ïîëîâèíå ãèïîòåíóçû, ò. å. ðàäèóñó îïè-
ñàííîé îêðóæíîñòè; ñì. ï. 273). n
Îïðåäåëèì åùå îäíî ïîíÿòèå. Îòðåçîê, ñîåäèíÿþ-
ùèé ñåðåäèíû äâóõ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, íàçûâàåòñÿ
ñðåäíåé ëèíèåé. Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:
Ò.9.7. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðåóãîëüíèêà, ñîåäèíÿþùàÿ
ñåðåäèíû äâóõ åãî ñòîðîí, ïàðàëëåëüíà òðåòüåé
ñòîðîíå è ðàâíà åå ïîëîâèíå.
Ï ð è ì å ð 2. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ ðàâíîáåäðåííîãî
òðåóãîëüíèêà, ïàðàëëåëüíàÿ åãî áîêîâîé ñòîðîíå, ðàâ-
íà 3 ñì. Íàéòè ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, åñëè åãî ïåðè-
ìåòð ðàâåí 17 ñì.
q Òàê êàê FE = 3 ñì (ðèñ. 167), òî ÂÑ = 6 ñì,
à çíà÷èò, è À = 6 ñì. Îñòàåòñÿ íàéòè ÀÑ = 17
12 = 5 (ñì). n
272. Âûñîòà òðåóãîëüíèêà. Âûñîòîé òðåóãîëüíè-
êà íàçûâàåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿð, îïóùåííûé èç åãî âåð-
øèíû íà ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó. Ïóñòü a, b, ñ
äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, h
c
âûñîòà, ïðîâåäåí-
íàÿ ê ñòîðîíå ñ. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
,
)
(
)
(
)
(
2
c
cpbpapp
h
c
---
=
(1)
ãäå
)(5,0 cbap ++=
ïîëóïåðèìåòð. Îòñþäà ñëå-
äóåò, ÷òî
,
1
:
1
:
1
::
cba
hhh
cba
=
ò. å. äëèíû âûñîò
òðåóãîëüíèêà îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíû äëèíàì
ñòîðîí, ê êîòîðûì ïðîâåäåíû ýòè âûñîòû.
Ï ð è ì å ð. Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ
ñ êàòåòàìè à = ÂÑ = 3 è b = ÀÑ = 4 íàéòè äëèíó
âûñîòû CD (ðèñ. 168).
q Èìååì ñ = ÀÂ = 5, ð = 0,5 (3 + 4 + 5) = 6, ð à =
= 3, p b = 2, ð ñ = 1. Òåïåðü ïî ôîðìóëå (1) íàõîäèì
.
5
12
5
12362
=
×××
=
c
h
n
Çàìåòèì, ÷òî â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå áèñ-
ñåêòðèñà, ìåäèàíà è âûñîòà, ïðîâåäåííûå ê îñíîâà-
íèþ, ñîâïàäàþò.
Ò.9.8. Òðè âûñîòû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â
îäíîé òî÷êå.
Ýòà òî÷êà íàçûâàåòñÿ îðòîöåíòðîì.  îñòðî-
óãîëüíîì òðåóãîëüíèêå îðòîöåíòð ëåæèò âíóòðè, â
òóïîóãîëüíîì âíå òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 169, à è á).
 ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå îðòîöåíòð ñîâïàäà-
åò ñ âåðøèíîé ïðÿìîãî óãëà (ðèñ. 169, â).
Ðèñ. 168Ðèñ. 167
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
397
396
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
q Çäåñü
543
22
=+=AB (ñì). Èñïîëüçóÿ ôîð-
ìóëó (1), íàõîäèì
;735,03
)
54
(
25,0
222
=-+=AE (ñì);
5,25
)
43
(
25,0
222
=-+=CD
(ñì)
(êàê è äîëæíî áûòü, ïîñêîëüêó â ïðÿìîóãîëüíîì òðå-
óãîëüíèêå ìåäèàíà, ïðîâåäåííàÿ èç âåðøèíû ïðÿìî-
ãî óãëà, ðàâíà ïîëîâèíå ãèïîòåíóçû, ò. å. ðàäèóñó îïè-
ñàííîé îêðóæíîñòè; ñì. ï. 273). n
Îïðåäåëèì åùå îäíî ïîíÿòèå. Îòðåçîê, ñîåäèíÿþ-
ùèé ñåðåäèíû äâóõ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, íàçûâàåòñÿ
ñðåäíåé ëèíèåé. Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:
Ò.9.7. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðåóãîëüíèêà, ñîåäèíÿþùàÿ
ñåðåäèíû äâóõ åãî ñòîðîí, ïàðàëëåëüíà òðåòüåé
ñòîðîíå è ðàâíà åå ïîëîâèíå.
Ï ð è ì å ð 2. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ ðàâíîáåäðåííîãî
òðåóãîëüíèêà, ïàðàëëåëüíàÿ åãî áîêîâîé ñòîðîíå, ðàâ-
íà 3 ñì. Íàéòè ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, åñëè åãî ïåðè-
ìåòð ðàâåí 17 ñì.
q Òàê êàê FE = 3 ñì (ðèñ. 167), òî ÂÑ = 6 ñì,
à çíà÷èò, è À = 6 ñì. Îñòàåòñÿ íàéòè ÀÑ = 17
12 = 5 (ñì). n
272. Âûñîòà òðåóãîëüíèêà. Âûñîòîé òðåóãîëüíè-
êà íàçûâàåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿð, îïóùåííûé èç åãî âåð-
øèíû íà ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó. Ïóñòü a, b, ñ
äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, h
c
âûñîòà, ïðîâåäåí-
íàÿ ê ñòîðîíå ñ. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
,
)
(
)
(
)
(
2
c
cpbpapp
h
c
---
=
(1)
ãäå
)(5,0 cbap ++=
ïîëóïåðèìåòð. Îòñþäà ñëå-
äóåò, ÷òî
,
1
:
1
:
1
::
cba
hhh
cba
=
ò. å. äëèíû âûñîò
òðåóãîëüíèêà îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíû äëèíàì
ñòîðîí, ê êîòîðûì ïðîâåäåíû ýòè âûñîòû.
Ï ð è ì å ð. Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ
ñ êàòåòàìè à = ÂÑ = 3 è b = ÀÑ = 4 íàéòè äëèíó
âûñîòû CD (ðèñ. 168).
q Èìååì ñ = ÀÂ = 5, ð = 0,5 (3 + 4 + 5) = 6, ð à =
= 3, p b = 2, ð ñ = 1. Òåïåðü ïî ôîðìóëå (1) íàõîäèì
.
5
12
5
12362
=
×××
=
c
h
n
Çàìåòèì, ÷òî â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå áèñ-
ñåêòðèñà, ìåäèàíà è âûñîòà, ïðîâåäåííûå ê îñíîâà-
íèþ, ñîâïàäàþò.
Ò.9.8. Òðè âûñîòû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â
îäíîé òî÷êå.
Ýòà òî÷êà íàçûâàåòñÿ îðòîöåíòðîì.  îñòðî-
óãîëüíîì òðåóãîëüíèêå îðòîöåíòð ëåæèò âíóòðè, â
òóïîóãîëüíîì âíå òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 169, à è á).
 ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå îðòîöåíòð ñîâïàäà-
åò ñ âåðøèíîé ïðÿìîãî óãëà (ðèñ. 169, â).
Ðèñ. 168Ðèñ. 167
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
399
398
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
273. Îêðóæíîñòü, îïèñàííàÿ îêîëî òðåóãîëüíè-
êà. Çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè òðåóãîëüíèêà. Îêðóæíîñòü
íàçûâàåòñÿ îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà, åñëè îíà
ïðîõîäèò ÷åðåç âñå åãî âåðøèíû.
Ò.9.9. Òðè ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðà ê ñòîðîíàì
òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Ýòà
òî÷êà ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì îêðóæíîñòè, îïèñàííîé
îêîëî òðåóãîëüíèêà.
Íà ðèñ. 170 èçîáðàæåíû òðåóãîëüíèê ÀÂÑ è îïè-
ñàííàÿ îêîëî íåãî îêðóæíîñòü; åå öåíòðîì Î ÿâëÿ-
åòñÿ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿ-
ðîâ ÌÎ, KÎ è LO ê ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà.
 ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå öåíòð îïèñàííîé
îêðóæíîñòè ýòî ñåðåäèíà ãèïîòåíóçû (ðèñ. 171).
Òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ (öåíòð âïèñàííîé
îêðóæíîñòè), òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí (öåíòð ìàññ),
òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò (îðòîöåíòð) è òî÷êó ïåðå-
ñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ (öåíòð îïè-
ñàííîé îêðóæíîñòè) íàçûâàþò çàìå÷àòåëüíûìè
òî÷êàìè òðåóãîëüíèêà.
 ðàâíîñòîðîííåì òðåóãîëüíèêå âñå ÷åòûðå çà-
ìå÷àòåëüíûå òî÷êè ñîâïàäàþò (ðèñ. 172).
274.Ðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêîâ. Ñïðàâåäëèâû ñëå-
äóþùèå
ïðèçíàêè ðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêîâ:
Ò.9.10. Åñëè äâå ñòîðîíû è óãîë ìåæäó íèìè îäíîãî
òðåóãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî äâóì ñòî-
ðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè äðóãîãî òðåóãîëüíèêà,
òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû (ïî äâóì ñòîðîíàì
è óãëó).
Ò.9.11. Åñëè ñòîðîíà è ïðèëåæàùèå ê íåé óãëû îä-
íîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî ñòîðî-
íå è ïðèëåæàùèì ê íåé óãëàì äðóãîãî òðåóãîëüíè-
êà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû (ïî ñòîðîíå è
äâóì óãëàì).
Ò.9.12. Åñëè òðè ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà
ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî òðåì ñòîðîíàì äðóãîãî
òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû (ïî
òðåì ñòîðîíàì).
Ðèñ. 171Ðèñ. 170
Ðèñ. 169
a)
á)
â)
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
399
398
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
273. Îêðóæíîñòü, îïèñàííàÿ îêîëî òðåóãîëüíè-
êà. Çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè òðåóãîëüíèêà. Îêðóæíîñòü
íàçûâàåòñÿ îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà, åñëè îíà
ïðîõîäèò ÷åðåç âñå åãî âåðøèíû.
Ò.9.9. Òðè ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðà ê ñòîðîíàì
òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Ýòà
òî÷êà ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì îêðóæíîñòè, îïèñàííîé
îêîëî òðåóãîëüíèêà.
Íà ðèñ. 170 èçîáðàæåíû òðåóãîëüíèê ÀÂÑ è îïè-
ñàííàÿ îêîëî íåãî îêðóæíîñòü; åå öåíòðîì Î ÿâëÿ-
åòñÿ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿ-
ðîâ ÌÎ, KÎ è LO ê ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà.
 ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå öåíòð îïèñàííîé
îêðóæíîñòè ýòî ñåðåäèíà ãèïîòåíóçû (ðèñ. 171).
Òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ (öåíòð âïèñàííîé
îêðóæíîñòè), òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí (öåíòð ìàññ),
òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò (îðòîöåíòð) è òî÷êó ïåðå-
ñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ (öåíòð îïè-
ñàííîé îêðóæíîñòè) íàçûâàþò çàìå÷àòåëüíûìè
òî÷êàìè òðåóãîëüíèêà.
 ðàâíîñòîðîííåì òðåóãîëüíèêå âñå ÷åòûðå çà-
ìå÷àòåëüíûå òî÷êè ñîâïàäàþò (ðèñ. 172).
274.Ðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêîâ. Ñïðàâåäëèâû ñëå-
äóþùèå
ïðèçíàêè ðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêîâ:
Ò.9.10. Åñëè äâå ñòîðîíû è óãîë ìåæäó íèìè îäíîãî
òðåóãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî äâóì ñòî-
ðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè äðóãîãî òðåóãîëüíèêà,
òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû (ïî äâóì ñòîðîíàì
è óãëó).
Ò.9.11. Åñëè ñòîðîíà è ïðèëåæàùèå ê íåé óãëû îä-
íîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî ñòîðî-
íå è ïðèëåæàùèì ê íåé óãëàì äðóãîãî òðåóãîëüíè-
êà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû (ïî ñòîðîíå è
äâóì óãëàì).
Ò.9.12. Åñëè òðè ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà
ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî òðåì ñòîðîíàì äðóãîãî
òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû (ïî
òðåì ñòîðîíàì).
Ðèñ. 171Ðèñ. 170
Ðèñ. 169
a)
á)
â)
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
401
400
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ï ð è ì å ð. Îòðåçêè ÀÑ è BD ïåðåñåêàþòñÿ â
òî÷êå Ì (ðèñ. 173). Äîêàçàòü, ÷òî òðåóãîëüíèêè ÂÀÌ
è DCM ðàâíû, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ÀÌ = ÑÌ è ÷òî
.DCMBAM Ð=Ð
q ßñíî, ÷òî
CMDBMA Ð=Ð
êàê âåðòèêàëü-
íûå óãëû. Ïîýòîìó â òðåóãîëüíèêàõ ÂÀÌ è
DCM ðàâíû ñòîðîíû ÀÌ è ÑÌ, à òàêæå ïðèëåæà-
ùèå ê ýòèì ñòîðîíàì óãëû (
,DCMBAM Ð=Ð
CMDBMA Ð=Ð
). Ñîãëàñíî òåîðåìå 9.11, ýòè òðåó-
ãîëüíèêè ðàâíû. n
Îòìåòèì
ïðèçíàêè ðàâåíñòâà ïðÿìîóãîëüíûõ òðå-
óãîëüíèêîâ:
Ò.9.13. Åñëè ãèïîòåíóçà è êàòåò îäíîãî òðåóãîëü-
íèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî ãèïîòåíóçå è êàòå-
òó äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè
ðàâíû (ïî ãèïîòåíóçå è êàòåòó).
Ò.9.14. Åñëè êàòåò è ïðîòèâîëåæàùèé åìó îñò-
ðûé óãîë îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåò-
ñòâåííî êàòåòó è ïðîòèâîëåæàùåìó åìó îñò-
ðîìó óãëó äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåó-
ãîëüíèêè ðàâíû (ïî êàòåòó è ïðîòèâîëåæàùåìó
óãëó).
Ò.9.15. Åñëè ãèïîòåíóçà è îñòðûé óãîë îäíîãî òðå-
óãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî ãèïîòåíóçå è
îñòðîìó óãëó äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå
òðåóãîëüíèêè ðàâíû (ïî ãèïîòåíóçå è îñòðîìó
óãëó).
275. Ñâîéñòâà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà.
Âûäåëèì äâà ñïåöèàëüíûõ âèäà ïðÿìîóãîëüíûõ òðå-
óãîëüíèêîâ: ðàâíîáåäðåííûé (îñòðûå óãëû ðàâíû 45°)
è òðåóãîëüíèê ñ îñòðûìè óãëàìè 30° è 60°. Âûñîòà
ïåðâîãî èç íèõ, ïðîâåäåííàÿ èç âåðøèíû ïðÿìîãî óãëà,
äåëèò èñõîäíûé òðåóãîëüíèê íà äâà ðàâíîáåäðåííûõ
ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêà (
AKCD
è
BKCD
íà
ðèñ. 174, à). Âî âòîðîì òðåóãîëüíèêå êàòåò, ëåæà-
ùèé ïðîòèâ óãëà â 30°, ðàâåí ïîëîâèíå ãèïîòåíóçû
Ðèñ. 174
a)
á)
Ðèñ. 173Ðèñ. 172
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
401
400
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ï ð è ì å ð. Îòðåçêè ÀÑ è BD ïåðåñåêàþòñÿ â
òî÷êå Ì (ðèñ. 173). Äîêàçàòü, ÷òî òðåóãîëüíèêè ÂÀÌ
è DCM ðàâíû, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ÀÌ = ÑÌ è ÷òî
.DCMBAM Ð=Ð
q ßñíî, ÷òî
CMDBMA Ð=Ð
êàê âåðòèêàëü-
íûå óãëû. Ïîýòîìó â òðåóãîëüíèêàõ ÂÀÌ è
DCM ðàâíû ñòîðîíû ÀÌ è ÑÌ, à òàêæå ïðèëåæà-
ùèå ê ýòèì ñòîðîíàì óãëû (
,DCMBAM Ð=Ð
CMDBMA Ð=Ð
). Ñîãëàñíî òåîðåìå 9.11, ýòè òðåó-
ãîëüíèêè ðàâíû. n
Îòìåòèì
ïðèçíàêè ðàâåíñòâà ïðÿìîóãîëüíûõ òðå-
óãîëüíèêîâ:
Ò.9.13. Åñëè ãèïîòåíóçà è êàòåò îäíîãî òðåóãîëü-
íèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî ãèïîòåíóçå è êàòå-
òó äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè
ðàâíû (ïî ãèïîòåíóçå è êàòåòó).
Ò.9.14. Åñëè êàòåò è ïðîòèâîëåæàùèé åìó îñò-
ðûé óãîë îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåò-
ñòâåííî êàòåòó è ïðîòèâîëåæàùåìó åìó îñò-
ðîìó óãëó äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåó-
ãîëüíèêè ðàâíû (ïî êàòåòó è ïðîòèâîëåæàùåìó
óãëó).
Ò.9.15. Åñëè ãèïîòåíóçà è îñòðûé óãîë îäíîãî òðå-
óãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî ãèïîòåíóçå è
îñòðîìó óãëó äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå
òðåóãîëüíèêè ðàâíû (ïî ãèïîòåíóçå è îñòðîìó
óãëó).
275. Ñâîéñòâà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà.
Âûäåëèì äâà ñïåöèàëüíûõ âèäà ïðÿìîóãîëüíûõ òðå-
óãîëüíèêîâ: ðàâíîáåäðåííûé (îñòðûå óãëû ðàâíû 45°)
è òðåóãîëüíèê ñ îñòðûìè óãëàìè 30° è 60°. Âûñîòà
ïåðâîãî èç íèõ, ïðîâåäåííàÿ èç âåðøèíû ïðÿìîãî óãëà,
äåëèò èñõîäíûé òðåóãîëüíèê íà äâà ðàâíîáåäðåííûõ
ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêà (
AKCD
è
BKCD
íà
ðèñ. 174, à). Âî âòîðîì òðåóãîëüíèêå êàòåò, ëåæà-
ùèé ïðîòèâ óãëà â 30°, ðàâåí ïîëîâèíå ãèïîòåíóçû
Ðèñ. 174
a)
á)
Ðèñ. 173Ðèñ. 172