Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
403
402
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
(òàê, äëÿ
,ABCD
èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 174, á, èìå-
åì ÂÑ = 0,5ÀÂ).
Ò.9.16. Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå êâàäðàò ãè-
ïîòåíóçû ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ êàòåòîâ (òåî-
ðåìà Ïèôàãîðà):
.
222
bac +=
Âåðíà è îáðàòíàÿ òåîðåìà: åñëè â òðåóãîëüíèêå
êâàäðàò ñòîðîíû ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ äâóõ äðó-
ãèõ ñòîðîí, òî òàêîé òðåóãîëüíèê ïðÿìîóãîëüíûé.
Íàïðèìåð, òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè 5, 12 è 13
ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì, òàê êàê
.12513
222
+=
 ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå èìååì
=ca :
,sin a=
a= cos: cb
(ðèñ. 175), ïîýòîìó òðèãîíîìåò-
ðè÷åñêîå òîæäåñòâî
1cossin
22
=a+a ýòî òåîðå-
ìà Ïèôàãîðà, çàïèñàííàÿ äëÿ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåó-
ãîëüíèêà ñ ãèïîòåíóçîé, ðàâíîé 1.
Îòìåòèì åùå íåêîòîðûå ñâîéñòâà ïðÿìîóãîëüíî-
ãî òðåóãîëüíèêà.
Ò.9.17. Êàæäûé êàòåò ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíè-
êà åñòü ñðåäíåå ïðîïîðöèîíàëüíîå ìåæäó ãèïîòå-
íóçîé è ïðîåêöèåé ýòîãî êàòåòà íà ãèïîòåíóçó
(ðèñ. 176), ò. å.
.;
AB
AC
AC
AD
AB
BC
BC
BD
==
(1)
Ï ð è ì å ð. Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ
èçâåñòíû êàòåò ÀÑ = 20 è âûñîòà CD = 12 (ðèñ. 177).
Íàéòè êàòåò ÂÑ è ãèïîòåíóçó ÀÂ.
q Ñíà÷àëà èç
ADCD
íàéäåì
=-=
22
1220
AD
.16=
Òåïåðü âîñïîëüçóåìñÿ âòîðûì èç ðàâåíñòâ (1);
èìååì ,
AB
AC
AC
AD
=
îòêóäà
,
2
AD
AC
AB =
ò. å. ÀÂ =
.25
16
400
==
Çíà÷èò,
.152025
22
=-=BC
n
Ò.9.18. Âûñîòà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, ïðî-
âåäåííàÿ èç âåðøèíû ïðÿìîãî óãëà, åñòü ñðåäíåå
ïðîïîðöèîíàëüíîå ìåæäó ïðîåêöèÿìè êàòåòîâ íà
ãèïîòåíóçó (ñì. ðèñ. 176), ò. å.
.
BD
CD
CD
AD
=
(2)
Íàïðèìåð, â ðàññìîòðåííîì âûøå ABCD
(ñì. ðèñ. 177) èìååì CD = 12, AD = 16, BD = AB
AD = 9, òàê ÷òî ñîîòíîøåíèå (2) âûïîëíÿåòñÿ
(16 : 12 = 12 : 9).
276. Òåîðåìà êîñèíóñîâ. Òåîðåìà ñèíóñîâ. Äëÿ
ïðîèçâîëüíîãî òðåóãîëüíèêà âåðíà òåîðåìà êîñè-
íóñîâ, êîòîðóþ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáîáùåíèå
òåîðåìû Ïèôàãîðà.
Ðèñ. 176Ðèñ. 175
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
403
402
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
(òàê, äëÿ
,ABCD
èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 174, á, èìå-
åì ÂÑ = 0,5ÀÂ).
Ò.9.16. Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå êâàäðàò ãè-
ïîòåíóçû ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ êàòåòîâ (òåî-
ðåìà Ïèôàãîðà):
.
222
bac +=
Âåðíà è îáðàòíàÿ òåîðåìà: åñëè â òðåóãîëüíèêå
êâàäðàò ñòîðîíû ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ äâóõ äðó-
ãèõ ñòîðîí, òî òàêîé òðåóãîëüíèê ïðÿìîóãîëüíûé.
Íàïðèìåð, òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè 5, 12 è 13
ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì, òàê êàê
.12513
222
+=
 ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå èìååì
=ca :
,sin a=
a= cos: cb
(ðèñ. 175), ïîýòîìó òðèãîíîìåò-
ðè÷åñêîå òîæäåñòâî
1cossin
22
=a+a ýòî òåîðå-
ìà Ïèôàãîðà, çàïèñàííàÿ äëÿ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåó-
ãîëüíèêà ñ ãèïîòåíóçîé, ðàâíîé 1.
Îòìåòèì åùå íåêîòîðûå ñâîéñòâà ïðÿìîóãîëüíî-
ãî òðåóãîëüíèêà.
Ò.9.17. Êàæäûé êàòåò ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíè-
êà åñòü ñðåäíåå ïðîïîðöèîíàëüíîå ìåæäó ãèïîòå-
íóçîé è ïðîåêöèåé ýòîãî êàòåòà íà ãèïîòåíóçó
(ðèñ. 176), ò. å.
.;
AB
AC
AC
AD
AB
BC
BC
BD
==
(1)
Ï ð è ì å ð. Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ
èçâåñòíû êàòåò ÀÑ = 20 è âûñîòà CD = 12 (ðèñ. 177).
Íàéòè êàòåò ÂÑ è ãèïîòåíóçó ÀÂ.
q Ñíà÷àëà èç
ADCD
íàéäåì
=-=
22
1220
AD
.16=
Òåïåðü âîñïîëüçóåìñÿ âòîðûì èç ðàâåíñòâ (1);
èìååì ,
AB
AC
AC
AD
=
îòêóäà
,
2
AD
AC
AB =
ò. å. ÀÂ =
.25
16
400
==
Çíà÷èò,
.152025
22
=-=BC
n
Ò.9.18. Âûñîòà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, ïðî-
âåäåííàÿ èç âåðøèíû ïðÿìîãî óãëà, åñòü ñðåäíåå
ïðîïîðöèîíàëüíîå ìåæäó ïðîåêöèÿìè êàòåòîâ íà
ãèïîòåíóçó (ñì. ðèñ. 176), ò. å.
.
BD
CD
CD
AD
=
(2)
Íàïðèìåð, â ðàññìîòðåííîì âûøå ABCD
(ñì. ðèñ. 177) èìååì CD = 12, AD = 16, BD = AB
AD = 9, òàê ÷òî ñîîòíîøåíèå (2) âûïîëíÿåòñÿ
(16 : 12 = 12 : 9).
276. Òåîðåìà êîñèíóñîâ. Òåîðåìà ñèíóñîâ. Äëÿ
ïðîèçâîëüíîãî òðåóãîëüíèêà âåðíà òåîðåìà êîñè-
íóñîâ, êîòîðóþ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáîáùåíèå
òåîðåìû Ïèôàãîðà.
Ðèñ. 176Ðèñ. 175
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
405
404
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ìè óãëàìè °=а=Ð 60,30 BA è ñî ñòîðîíàìè
ñ = 8, a = 4 è
34=b
(ñì. ðèñ. 174, á). Ïî ôîðìóëå (2)
èìååì
,8
1
8
35,0
34
5,0
4
90sin
8
60sin
34
30sin
4
====
°
=
°
=
°
êàê è äîëæíî áûòü, ïîñêîëüêó â ïðÿìîóãîëüíîì òðå-
óãîëüíèêå ãèïîòåíóçà ðàâíà äèàìåòðó îïèñàííîé îê-
ðóæíîñòè.
277. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà. Ïðèâåäåì âàæíåé-
øèå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè òðåóãîëü-
íèêà.
1. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèç-
âåäåíèÿ åãî ñòîðîíû íà âûñîòó, ïðîâåäåííóþ ê ýòîé
ñòîðîíå:
.5,0
a
ahS
=
(1)
Ï ð è ì å ð 1. Ïóñòü ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà ðàâ-
íà 10, à âûñîòà, ïðîâåäåííàÿ ê ýòîé ñòîðîíå, ðàâíà 8;
òîãäà
.408105,0 =××=S
Çàìåòèì, ÷òî ïëîùàäè âñåõ òðåóãîëüíèêîâ, èìåþ-
ùèõ ðàâíûå îñíîâàíèÿ è ðàâíûå âûñîòû, îäèíàêî-
âû. Òàê, íà ðèñ. 179 èçîáðàæåíû òðåóãîëüíèêè ÀÂÑ
è ADC, èìåþùèå îáùåå îñíîâàíèå ÀÑ è ðàâíûå âûñî-
òû; çíà÷èò,
ADCABC
SS
DD
=
.
2. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèç-
âåäåíèÿ äâóõ ëþáûõ åãî ñòîðîí íà ñèíóñ óãëà ìåæäó
íèìè:
.sin5,0 a= bcS
(2)
Ò.9.19. Â ëþáîì òðåóãîëüíèêå êâàäðàò ñòîðîíû
ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ äâóõ äðóãèõ ñòîðîí ìèíóñ
èõ óäâîåííîå ïðîèçâåäåíèå íà êîñèíóñ óãëà, çàêëþ-
÷åííîãî ìåæäó íèìè:
.cos2
222
Cabbac -+=
(1)
Óáåäèìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ýòîé òåîðåìû, íàïðè-
ìåð, äëÿ ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà. Èìååì
,5,02260cos2
222222
aaaaaaac =×-=°××-+=
ò. å.
òðåòüÿ ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà òàêæå ðàâíà à.
Çàìåòèì, ÷òî ñòîðîíû è óãëû òðåóãîëüíèêà ñâÿ-
çàíû òåîðåìîé ñèíóñîâ.
Ò.9.20. Ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ïðîïîðöèîíàëüíû
ñèíóñàì ïðîòèâîëåæàùèõ óãëîâ (ðèñ. 178), ò. å.
,2
sinsinsin
R
C
c
B
b
A
a
===
(2)
ãäå R ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè.
Óáåäèìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ýòîé òåîðåìû, íàïðè-
ìåð, äëÿ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ñ îñòðû-
Ðèñ. 178Ðèñ. 177
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
405
404
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ìè óãëàìè °=а=Ð 60,30 BA è ñî ñòîðîíàìè
ñ = 8, a = 4 è
34=b
(ñì. ðèñ. 174, á). Ïî ôîðìóëå (2)
èìååì
,8
1
8
35,0
34
5,0
4
90sin
8
60sin
34
30sin
4
====
°
=
°
=
°
êàê è äîëæíî áûòü, ïîñêîëüêó â ïðÿìîóãîëüíîì òðå-
óãîëüíèêå ãèïîòåíóçà ðàâíà äèàìåòðó îïèñàííîé îê-
ðóæíîñòè.
277. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà. Ïðèâåäåì âàæíåé-
øèå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè òðåóãîëü-
íèêà.
1. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèç-
âåäåíèÿ åãî ñòîðîíû íà âûñîòó, ïðîâåäåííóþ ê ýòîé
ñòîðîíå:
.5,0
a
ahS
=
(1)
Ï ð è ì å ð 1. Ïóñòü ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà ðàâ-
íà 10, à âûñîòà, ïðîâåäåííàÿ ê ýòîé ñòîðîíå, ðàâíà 8;
òîãäà
.408105,0 =××=S
Çàìåòèì, ÷òî ïëîùàäè âñåõ òðåóãîëüíèêîâ, èìåþ-
ùèõ ðàâíûå îñíîâàíèÿ è ðàâíûå âûñîòû, îäèíàêî-
âû. Òàê, íà ðèñ. 179 èçîáðàæåíû òðåóãîëüíèêè ÀÂÑ
è ADC, èìåþùèå îáùåå îñíîâàíèå ÀÑ è ðàâíûå âûñî-
òû; çíà÷èò,
ADCABC
SS
DD
=
.
2. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèç-
âåäåíèÿ äâóõ ëþáûõ åãî ñòîðîí íà ñèíóñ óãëà ìåæäó
íèìè:
.sin5,0 a= bcS
(2)
Ò.9.19. Â ëþáîì òðåóãîëüíèêå êâàäðàò ñòîðîíû
ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ äâóõ äðóãèõ ñòîðîí ìèíóñ
èõ óäâîåííîå ïðîèçâåäåíèå íà êîñèíóñ óãëà, çàêëþ-
÷åííîãî ìåæäó íèìè:
.cos2
222
Cabbac -+=
(1)
Óáåäèìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ýòîé òåîðåìû, íàïðè-
ìåð, äëÿ ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà. Èìååì
,5,02260cos2
222222
aaaaaaac =×-=°××-+=
ò. å.
òðåòüÿ ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà òàêæå ðàâíà à.
Çàìåòèì, ÷òî ñòîðîíû è óãëû òðåóãîëüíèêà ñâÿ-
çàíû òåîðåìîé ñèíóñîâ.
Ò.9.20. Ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ïðîïîðöèîíàëüíû
ñèíóñàì ïðîòèâîëåæàùèõ óãëîâ (ðèñ. 178), ò. å.
,2
sinsinsin
R
C
c
B
b
A
a
===
(2)
ãäå R ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè.
Óáåäèìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ýòîé òåîðåìû, íàïðè-
ìåð, äëÿ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ñ îñòðû-
Ðèñ. 178Ðèñ. 177
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
407
406
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
4. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà åãî ïîëóïåðèìåò-
ðó, óìíîæåííîìó íà ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè:
S = pr. (4)
5. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ
òðåõ åãî ñòîðîí, äåëåííîìó íà ó÷åòâåðåííûé ðàäè-
óñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè:
.
4R
abc
S =
(5)
6. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ñ âåðøèíàìè À (x
1
;y
1
),
B (x
2
; y
2
) è C (x
3
; y
3
) ðàâíà ïîëîâèíå àáñîëþòíîé
âåëè÷èíû îïðåäåëèòåëÿ
,
111
321
321
yyy
xxx=D
ò. å.
.5,0 D=S
(6)
Ï ð è ì å ð 4. Ïóñòü
)1;1(),1;4(),5;1( -CBA
êîîðäèíàòû âåðøèí òðåóãîëüíèêà. Òîãäà, ðàçëàãàÿ
îïðåäåëèòåëü ïî ýëåìåíòàì ïåðâîé ñòðîêè, èìååì
,20
)
201
(
1
)
51
(
1
)
14
(
1
115
141
111
-=-×++×-+×=-=D
îòêóäà ïî ôîðìóëå (6) íàõîäèì
.10205,0 =-=S
7. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, ïîñòðîåííîãî íà âåê-
òîðàõ a
è
b
, ðàâíà ïîëîâèíå ìîäóëÿ âåêòîðíîãî
ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ
a
è
b
(ñì. ï. 301).
Ðèñ. 180Ðèñ. 179
Ï ð è ì å ð 2. Ïóñòü ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâ-
íû
3
è 4, à óãîë ìåæäó íèìè ðàâåí
o
60
. Òîãäà
.335,0435,060sin435,0 =××=×=
o
S
3. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè a, b è c
âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé Ãåðîíà:
,
)
)(
)(
(
cpbpappS ---=
(3)
ãäå
)(5,0 cbap ++=
ïîëóïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà.
Ï ð è ì å ð 3. Ïóñòü à = 13, b = 14, ñ = 15; òîãäà
p = 0,5 (13 + 14 + 15) = 21, p a = 8, p b = 7, p c =
= 6 è ïî ôîðìóëå Ãåðîíà íàõîäèì
=×××= 67821S
ÖÖ
ÖÖ
Ö
3 · 7 · 2 · 4 · 7 · 2 · 3 =
= 7 · 3 · 4 = 84.
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
407
406
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
4. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà åãî ïîëóïåðèìåò-
ðó, óìíîæåííîìó íà ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè:
S = pr. (4)
5. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ
òðåõ åãî ñòîðîí, äåëåííîìó íà ó÷åòâåðåííûé ðàäè-
óñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè:
.
4R
abc
S =
(5)
6. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ñ âåðøèíàìè À (x
1
;y
1
),
B (x
2
; y
2
) è C (x
3
; y
3
) ðàâíà ïîëîâèíå àáñîëþòíîé
âåëè÷èíû îïðåäåëèòåëÿ
,
111
321
321
yyy
xxx=D
ò. å.
.5,0 D=S
(6)
Ï ð è ì å ð 4. Ïóñòü
)1;1(),1;4(),5;1( -CBA
êîîðäèíàòû âåðøèí òðåóãîëüíèêà. Òîãäà, ðàçëàãàÿ
îïðåäåëèòåëü ïî ýëåìåíòàì ïåðâîé ñòðîêè, èìååì
,20
)
201
(
1
)
51
(
1
)
14
(
1
115
141
111
-=-×++×-+×=-=D
îòêóäà ïî ôîðìóëå (6) íàõîäèì
.10205,0 =-=S
7. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, ïîñòðîåííîãî íà âåê-
òîðàõ a
è
b
, ðàâíà ïîëîâèíå ìîäóëÿ âåêòîðíîãî
ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ
a
è
b
(ñì. ï. 301).
Ðèñ. 180Ðèñ. 179
Ï ð è ì å ð 2. Ïóñòü ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâ-
íû
3
è 4, à óãîë ìåæäó íèìè ðàâåí
o
60
. Òîãäà
.335,0435,060sin435,0 =××=×=
o
S
3. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè a, b è c
âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé Ãåðîíà:
,
)
)(
)(
(
cpbpappS ---=
(3)
ãäå
)(5,0 cbap ++=
ïîëóïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà.
Ï ð è ì å ð 3. Ïóñòü à = 13, b = 14, ñ = 15; òîãäà
p = 0,5 (13 + 14 + 15) = 21, p a = 8, p b = 7, p c =
= 6 è ïî ôîðìóëå Ãåðîíà íàõîäèì
=×××= 67821S
ÖÖ
ÖÖ
Ö
3 · 7 · 2 · 4 · 7 · 2 · 3 =
= 7 · 3 · 4 = 84.
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
409
408
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
8. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà
ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî êàòåòîâ:
.5,0 abS =
(7)
9. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà
ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî ãèïîòåíóçû íà âûñîòó,
ïðîâåäåííóþ ê íåé:
.5,0
c
chS
=
(8)
Ï ð è ì å ð 5. Íàéòè ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî
òðåóãîëüíèêà ñ êàòåòàìè à = 3, b = 4 ïî ôîðìóëàì
(7) è (8), à òàêæå ïî îáùèì ôîðìóëàì (4) è (5) (ðèñ.
180).
q Ïî ôîðìóëå (7):
.6435,05,0 =××== abS
Ïî ôîðìóëå (8):
,5,0
c
chS
=
ãäå
,543
22
=+=c
BDADCDh
c
×==
22
(ñîãëàñíî òåîðåìå 9.18). Íî
AB
BC
BD
2
=
(â ñèëó òåîðåìû 9.17), ò. å.
8,1
5
9
==BD
è, çíà÷èò,
.2,3=AD
Îòñþäà
4,22,38,1 =×=
c
h
è
.64,255,0 =××=S
Ïî ôîðìóëå (4):
,prS =
ãäå ð =
=++ )(5,0 cba
,6)543(5,0 =++=
à äëÿ íàõîæäåíèÿ r âîñïîëüçó-
åìñÿ òåì, ÷òî
raBKBF -==
(îòðåçêè êàñàòåëüíûõ,
ïðîâåäåííûõ ê îêðóæíîñòè èç îäíîé òî÷êè, ðàâíû)
è àíàëîãè÷íî
.rbAKAE -==
Òîãäà
=-+- rbra
,c=
îòêóäà
1)543(5,0)(5,0 =-+=-+= cbar
è, ñëå-
äîâàòåëüíî,
.616 =×=S
Ïî ôîðìóëå (5):
,
4R
abc
S =
ãäå
2
c
R =
(â ïðÿìîó-
ãîëüíîì òðåóãîëüíèêå öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñ-
òè ëåæèò íà ñåðåäèíå ãèïîòåíóçû). Òàêèì îáðàçîì,
.6
5,24
543
=
×
××
=S
n
10. Ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñî ñòî-
ðîíîé à íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
.
4
3
2
a
S =
(9)
Ï ð è ì å ð 6. Íàéòè ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî òðå-
óãîëüíèêà, åñëè èçâåñòåí ðàäèóñ r âïèñàííîé â íåãî
îêðóæíîñòè.
q Èçâåñòíî, ÷òî â ïðàâèëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ
(ðèñ. 181) öåíòðîì âïèñàííîé îêðóæíîñòè ÿâëÿåòñÿ
òî÷êà Î ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí (ñì. ï. 273), à êàæäàÿ
ìåäèàíà äåëèòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ â îòíîøåíèè
ÂÎ : ÎÌ = 2 : 1 (ñì. ï. 271). Ïîýòîìó åñëè à
ñòîðîíà
,ABCD
òî
,
2
3a
BM =
ò. å.
,
6
3a
rOM ==
îòêóäà
.
3
6r
a
=
Òåïåðü ïî ôîðìóëå (9) íàõîäèì
.33
43
336
4
3
2
22
r
ra
S =
×
==
n
278. Ïðèçíàêè ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ. Ïîäîáè-
åì íàçûâàåòñÿ òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå ôèãóðû F
1
â
ôèãóðó F
2
, ïðè êîòîðîì ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ëþáûìè
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
409
408
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
8. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà
ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî êàòåòîâ:
.5,0 abS =
(7)
9. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà
ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî ãèïîòåíóçû íà âûñîòó,
ïðîâåäåííóþ ê íåé:
.5,0
c
chS
=
(8)
Ï ð è ì å ð 5. Íàéòè ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî
òðåóãîëüíèêà ñ êàòåòàìè à = 3, b = 4 ïî ôîðìóëàì
(7) è (8), à òàêæå ïî îáùèì ôîðìóëàì (4) è (5) (ðèñ.
180).
q Ïî ôîðìóëå (7):
.6435,05,0 =××== abS
Ïî ôîðìóëå (8):
,5,0
c
chS
=
ãäå
,543
22
=+=c
BDADCDh
c
×==
22
(ñîãëàñíî òåîðåìå 9.18). Íî
AB
BC
BD
2
=
(â ñèëó òåîðåìû 9.17), ò. å.
8,1
5
9
==BD
è, çíà÷èò,
.2,3=AD
Îòñþäà
4,22,38,1 =×=
c
h
è
.64,255,0 =××=S
Ïî ôîðìóëå (4):
,prS =
ãäå ð =
=++ )(5,0 cba
,6)543(5,0 =++=
à äëÿ íàõîæäåíèÿ r âîñïîëüçó-
åìñÿ òåì, ÷òî
raBKBF -==
(îòðåçêè êàñàòåëüíûõ,
ïðîâåäåííûõ ê îêðóæíîñòè èç îäíîé òî÷êè, ðàâíû)
è àíàëîãè÷íî
.rbAKAE -==
Òîãäà
=-+- rbra
,c=
îòêóäà
1)543(5,0)(5,0 =-+=-+= cbar
è, ñëå-
äîâàòåëüíî,
.616 =×=S
Ïî ôîðìóëå (5):
,
4R
abc
S =
ãäå
2
c
R =
(â ïðÿìîó-
ãîëüíîì òðåóãîëüíèêå öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñ-
òè ëåæèò íà ñåðåäèíå ãèïîòåíóçû). Òàêèì îáðàçîì,
.6
5,24
543
=
×
××
=S
n
10. Ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñî ñòî-
ðîíîé à íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
.
4
3
2
a
S =
(9)
Ï ð è ì å ð 6. Íàéòè ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî òðå-
óãîëüíèêà, åñëè èçâåñòåí ðàäèóñ r âïèñàííîé â íåãî
îêðóæíîñòè.
q Èçâåñòíî, ÷òî â ïðàâèëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ
(ðèñ. 181) öåíòðîì âïèñàííîé îêðóæíîñòè ÿâëÿåòñÿ
òî÷êà Î ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí (ñì. ï. 273), à êàæäàÿ
ìåäèàíà äåëèòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ â îòíîøåíèè
ÂÎ : ÎÌ = 2 : 1 (ñì. ï. 271). Ïîýòîìó åñëè à
ñòîðîíà
,ABCD
òî
,
2
3a
BM =
ò. å.
,
6
3a
rOM ==
îòêóäà
.
3
6r
a
=
Òåïåðü ïî ôîðìóëå (9) íàõîäèì
.33
43
336
4
3
2
22
r
ra
S =
×
==
n
278. Ïðèçíàêè ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ. Ïîäîáè-
åì íàçûâàåòñÿ òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå ôèãóðû F
1
â
ôèãóðó F
2
, ïðè êîòîðîì ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ëþáûìè
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
411
410
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
äâóìÿ òî÷êàìè èçìåíÿþòñÿ â îäíî è òî æå ÷èñëî
ðàç. Ýòî ÷èñëî íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ïîäî-
áèÿ. Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïîäîáèÿ èñïîëüçóåòñÿ çíàê ~.
Ó ïîäîáíûõ ôèãóð ñîîòâåòñòâóþùèå óãëû ðàâíû, à
ñîîòâåòñòâóþùèå îòðåçêè ïðîïîðöèîíàëüíû.  ÷àñ-
òíîñòè, åñëè
,~
111
CBAABC DD
òî
=ÐÐ=Ð BAA ,
1
,,
11
CCB =Ð=
111111
CB
BC
CA
AC
BA
AB
==
(ðèñ. 182).
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå
ïðèçíàêè ïîäîáèÿ òðå-
óãîëüíèêîâ:
Ò.9.21. Åñëè äâà óãëà îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû
äâóì óãëàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåó-
ãîëüíèêè ïîäîáíû (ïî äâóì óãëàì).
Ï ð è ì å ð 1. Â
ABCD
ïðîâåäåíû ñðåäíÿÿ ëè-
íèÿ DF è ìåäèàíû AF è CD (ðèñ. 183). Óáåäèòüñÿ â
òîì, ÷òî ìåäèàíû äåëÿòñÿ òî÷êîé èõ ïåðåñå÷åíèÿ â
îòíîøåíèè 2 : 1, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû.
q Òàê êàê
,~ ODFAOC DD
òî == ODCOOFAO ::
.: DFAC=
Íî
2
1
: =DFAC
(ïî òåîðåìå 9.7), ñëåäî-
âàòåëüíî, ìåäèàíû äåëÿòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ â îò-
íîøåíèè 2 : 1, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû, ÷òî è óòâåðæäàåò-
ñÿ â òåîðåìå 9.6. n
Ò.9.22. Åñëè äâå ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà ïðî-
ïîðöèîíàëüíû äâóì ñòîðîíàì äðóãîãî òðåóãîëüíè-
êà è óãëû, çàêëþ÷åííûå ìåæäó ýòèìè ñòîðîíàìè,
ðàâíû, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ïîäîáíû
(ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè).
Ò.9.23. Åñëè ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà ïðîïîð-
öèîíàëüíû ñòîðîíàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî
òàêèå òðåóãîëüíèêè ïîäîáíû (ïî òðåì ñòîðîíàì).
Ï ð è ì å ð 2. Òî÷êè K, L è Ì ÿâëÿþòñÿ ñåðåäè-
íàìè ñòîðîí
ABCD
(ðèñ. 184). Âî ñêîëüêî ðàç äëè-
íà îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî
ABCD
, áîëüøå äëè-
íû îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî
?KLMD
Ðèñ. 182Ðèñ. 181
Ðèñ. 184Ðèñ. 183
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
411
410
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
äâóìÿ òî÷êàìè èçìåíÿþòñÿ â îäíî è òî æå ÷èñëî
ðàç. Ýòî ÷èñëî íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ïîäî-
áèÿ. Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïîäîáèÿ èñïîëüçóåòñÿ çíàê ~.
Ó ïîäîáíûõ ôèãóð ñîîòâåòñòâóþùèå óãëû ðàâíû, à
ñîîòâåòñòâóþùèå îòðåçêè ïðîïîðöèîíàëüíû.  ÷àñ-
òíîñòè, åñëè
,~
111
CBAABC DD
òî
=ÐÐ=Ð BAA ,
1
,,
11
CCB =Ð=
111111
CB
BC
CA
AC
BA
AB
==
(ðèñ. 182).
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå
ïðèçíàêè ïîäîáèÿ òðå-
óãîëüíèêîâ:
Ò.9.21. Åñëè äâà óãëà îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû
äâóì óãëàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåó-
ãîëüíèêè ïîäîáíû (ïî äâóì óãëàì).
Ï ð è ì å ð 1. Â
ABCD
ïðîâåäåíû ñðåäíÿÿ ëè-
íèÿ DF è ìåäèàíû AF è CD (ðèñ. 183). Óáåäèòüñÿ â
òîì, ÷òî ìåäèàíû äåëÿòñÿ òî÷êîé èõ ïåðåñå÷åíèÿ â
îòíîøåíèè 2 : 1, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû.
q Òàê êàê
,~ ODFAOC DD
òî == ODCOOFAO ::
.: DFAC=
Íî
2
1
: =DFAC
(ïî òåîðåìå 9.7), ñëåäî-
âàòåëüíî, ìåäèàíû äåëÿòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ â îò-
íîøåíèè 2 : 1, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû, ÷òî è óòâåðæäàåò-
ñÿ â òåîðåìå 9.6. n
Ò.9.22. Åñëè äâå ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà ïðî-
ïîðöèîíàëüíû äâóì ñòîðîíàì äðóãîãî òðåóãîëüíè-
êà è óãëû, çàêëþ÷åííûå ìåæäó ýòèìè ñòîðîíàìè,
ðàâíû, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ïîäîáíû
(ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè).
Ò.9.23. Åñëè ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà ïðîïîð-
öèîíàëüíû ñòîðîíàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî
òàêèå òðåóãîëüíèêè ïîäîáíû (ïî òðåì ñòîðîíàì).
Ï ð è ì å ð 2. Òî÷êè K, L è Ì ÿâëÿþòñÿ ñåðåäè-
íàìè ñòîðîí
ABCD
(ðèñ. 184). Âî ñêîëüêî ðàç äëè-
íà îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî
ABCD
, áîëüøå äëè-
íû îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî
?KLMD
Ðèñ. 182Ðèñ. 181
Ðèñ. 184Ðèñ. 183