Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл

Подождите немного. Документ загружается.

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

413

412

Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

q Òàê êàê

LMKL,

è KM  ñðåäíèå ëèíèè â

ABCD

, òî

2===

,~ KLMABC DD

à â ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêàõ âñå ñîîòâåòñòâóþùèå

îòðåçêè ïðîïîðöèîíàëüíû. Çíà÷èò, îäèí èç ðàäèó-

ñîâ âäâîå áîëüøå äðóãîãî, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî áîëü-

øàÿ îêðóæíîñòü âäâîå äëèííåå. n

Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ïîäîáèÿ ïðÿìîóãîëüíûõ òðåó-

ãîëüíèêîâ äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ó íèõ áûëî ïî îäíîìó

ðàâíîìó îñòðîìó óãëó.

Îòìåòèì, åùå ÷òî ïåðèìåòðû ïîäîáíûõ òðåóãîëü-

íèêîâ îòíîñÿòñÿ êàê ñîîòâåòñòâóþùèå ñòîðîíû,

à ïëîùàäè  êàê êâàäðàòû ýòèõ ñòîðîí. Òàêèì

îáðàçîì, åñëè

111

CBAABC DD

òî

111111111111

CACBBA

ACBCAB

===

111

CBA

ABC

Ï ð è ì å ð 3. Ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà ð = 10 ñì,

à åãî ïëîùàäü S = 3 cì

. Îïðåäåëèòü ïåðèìåòð ïî-

äîáíîãî òðåóãîëüíèêà, èìåþùåãî ïëîùàäü 27 ñì

q Îáîçíà÷èì èñêîìûé ïåðèìåòð ÷åðåç õ. Òàê êàê

ïëîùàäè ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ îòíîñÿòñÿ êàê

êâàäðàòû ïåðèìåòðîâ, òî

îòêóäà õ

= 900 è õ = 30 (ñì). n

§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

279. Ïàðàëëåëîãðàìì, ïðÿìîóãîëüíèê, ðîìá,

êâàäðàò. Ïàðàëëåëîãðàììîì íàçûâàåòñÿ ÷åòûðåõ-

óãîëüíèê, ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû êîòîðîãî ïîïàð-

íî ïàðàëëåëüíû (ðèñ. 185). Èíîãäà êàêèå-íèáóäü äâå

ïàðàëëåëüíûå ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà íàçûâàþò

îñíîâàíèÿìè, òîãäà äâå äðóãèå íàçûâàþò áîêîâûìè

ñòîðîíàìè. Çàêëþ÷åííûé ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëü-

íûìè ñòîðîíàìè ïàðàëëåëîãðàììà îòðåçîê ïðÿìîé,

ïåðïåíäèêóëÿðíûé ýòèì ñòîðîíàì, íàçûâàåòñÿ âû-

ñîòîé ïàðàëëåëîãðàììà. Íà ðèñ. 185 èçîáðàæåí ïà-

ðàëëåëîãðàìì ÀÂÑD, ó êîòîðîãî âûñîòà h

ïðîâåäå-

íà ê ñòîðîíàì ÂÑ è AD, à âûñîòà h

 ê ñòîðîíàì

ÀÂ è CD.

Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ïàðàëëåëîãðàììà ñïðàâåäëè-

âû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:

. Ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà

ðàâíû.

. Ïðîòèâîïîëîæíûå óãëû ïàðàëëåëîãðàììà

ðàâíû.

. Ñîñåäíèå óãëû ïàðàëëåëîãðàììà, ò. å. óãëû,

ïðèëåæàùèå ê îäíîé ñòîðîíå, ñîñòàâëÿþò â ñóììå

180°.

. Äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà äåëÿòñÿ â òî÷êå

ïåðåñå÷åíèÿ ïîïîëàì.

Êàæäîå èç ïåðå÷èñëåííûõ ñâîéñòâ ÿâëÿåòñÿ

õà-

ðàêòåðèñòè÷åñêèì, ò. å. âñÿêèé ÷åòûðåõóãîëüíèê, îá-

ëàäàþùèé õîòÿ áû îäíèì èç ýòèõ ñâîéñòâ, ïðåäñòàâ-

ëÿåò ñîáîé ïàðàëëåëîãðàìì.

Îòìåòèì åùå îäíî ñâîéñòâî ïàðàëëåëîãðàììà.

. Ñóììà êâàäðàòîâ äèàãîíàëåé ïàðàëëåëîãðàì-

ìà ðàâíà ñóììå êâàäðàòîâ åãî ñòîðîí.

Ï ð è ì å ð 1. Ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà ÀÂÑD

îòíîñÿòñÿ êàê 7 : 9, à åãî ïåðèìåòð ðàâåí 64. Íàéòè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

413

412

Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

q Òàê êàê

LMKL,

è KM  ñðåäíèå ëèíèè â

ABCD

, òî

2===

,~ KLMABC DD

à â ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêàõ âñå ñîîòâåòñòâóþùèå

îòðåçêè ïðîïîðöèîíàëüíû. Çíà÷èò, îäèí èç ðàäèó-

ñîâ âäâîå áîëüøå äðóãîãî, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî áîëü-

øàÿ îêðóæíîñòü âäâîå äëèííåå. n

Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ïîäîáèÿ ïðÿìîóãîëüíûõ òðåó-

ãîëüíèêîâ äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ó íèõ áûëî ïî îäíîìó

ðàâíîìó îñòðîìó óãëó.

Îòìåòèì, åùå ÷òî ïåðèìåòðû ïîäîáíûõ òðåóãîëü-

íèêîâ îòíîñÿòñÿ êàê ñîîòâåòñòâóþùèå ñòîðîíû,

à ïëîùàäè  êàê êâàäðàòû ýòèõ ñòîðîí. Òàêèì

îáðàçîì, åñëè

111

CBAABC DD

òî

111111111111

CACBBA

ACBCAB

===

111

CBA

ABC

Ï ð è ì å ð 3. Ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà ð = 10 ñì,

à åãî ïëîùàäü S = 3 cì

. Îïðåäåëèòü ïåðèìåòð ïî-

äîáíîãî òðåóãîëüíèêà, èìåþùåãî ïëîùàäü 27 ñì

q Îáîçíà÷èì èñêîìûé ïåðèìåòð ÷åðåç õ. Òàê êàê

ïëîùàäè ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ îòíîñÿòñÿ êàê

êâàäðàòû ïåðèìåòðîâ, òî

îòêóäà õ

= 900 è õ = 30 (ñì). n

§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

279. Ïàðàëëåëîãðàìì, ïðÿìîóãîëüíèê, ðîìá,

êâàäðàò. Ïàðàëëåëîãðàììîì íàçûâàåòñÿ ÷åòûðåõ-

óãîëüíèê, ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû êîòîðîãî ïîïàð-

íî ïàðàëëåëüíû (ðèñ. 185). Èíîãäà êàêèå-íèáóäü äâå

ïàðàëëåëüíûå ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà íàçûâàþò

îñíîâàíèÿìè, òîãäà äâå äðóãèå íàçûâàþò áîêîâûìè

ñòîðîíàìè. Çàêëþ÷åííûé ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëü-

íûìè ñòîðîíàìè ïàðàëëåëîãðàììà îòðåçîê ïðÿìîé,

ïåðïåíäèêóëÿðíûé ýòèì ñòîðîíàì, íàçûâàåòñÿ âû-

ñîòîé ïàðàëëåëîãðàììà. Íà ðèñ. 185 èçîáðàæåí ïà-

ðàëëåëîãðàìì ÀÂÑD, ó êîòîðîãî âûñîòà h

ïðîâåäå-

íà ê ñòîðîíàì ÂÑ è AD, à âûñîòà h

 ê ñòîðîíàì

ÀÂ è CD.

Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ïàðàëëåëîãðàììà ñïðàâåäëè-

âû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:

. Ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà

ðàâíû.

. Ïðîòèâîïîëîæíûå óãëû ïàðàëëåëîãðàììà

ðàâíû.

. Ñîñåäíèå óãëû ïàðàëëåëîãðàììà, ò. å. óãëû,

ïðèëåæàùèå ê îäíîé ñòîðîíå, ñîñòàâëÿþò â ñóììå

180°.

. Äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà äåëÿòñÿ â òî÷êå

ïåðåñå÷åíèÿ ïîïîëàì.

Êàæäîå èç ïåðå÷èñëåííûõ ñâîéñòâ ÿâëÿåòñÿ

õà-

ðàêòåðèñòè÷åñêèì, ò. å. âñÿêèé ÷åòûðåõóãîëüíèê, îá-

ëàäàþùèé õîòÿ áû îäíèì èç ýòèõ ñâîéñòâ, ïðåäñòàâ-

ëÿåò ñîáîé ïàðàëëåëîãðàìì.

Îòìåòèì åùå îäíî ñâîéñòâî ïàðàëëåëîãðàììà.

. Ñóììà êâàäðàòîâ äèàãîíàëåé ïàðàëëåëîãðàì-

ìà ðàâíà ñóììå êâàäðàòîâ åãî ñòîðîí.

Ï ð è ì å ð 1. Ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà ÀÂÑD

îòíîñÿòñÿ êàê 7 : 9, à åãî ïåðèìåòð ðàâåí 64. Íàéòè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

415

414

Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

äèàãîíàëè ÀÑ è BD, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïåðèìåòð

ABDD

ðàâåí 52 (ðèñ. 186).

q Ïóñòü ÀÂ = 7õ, òîãäà AD = 9õ è ïî óñëîâèþ

.5216,64162

=+==×=

BDxPxP

ABDABCD

Çíà÷èò,

õ = 2, îòêóäà íàõîäèì ÀÂ = 14, AD = 18, BD = 20.

Äëÿ îòûñêàíèÿ äèàãîíàëè ÀÑ âîñïîëüçóåìñÿ ñâîé-

ñòâîì 5

; èìååì

,)(2

2222

ACBDADAB +=+

îòêó-

äà

,640400)324196(2

=-+=AC

ò. å. ÀÑ =

.108=

Ïàðàëëåëîãðàìì, ñìåæíûå ñòîðîíû êîòîðîãî âçà-

èìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, íàçûâàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíè-

êîì (ðèñ. 187). Òàêèì îáðàçîì, ïðÿìîóãîëüíèê 

ýòî ÷åòûðåõóãîëüíèê, âñå óãëû êîòîðîãî ïðÿìûå. Îò-

ìåòèì ñëåäóþùåå âàæíîå ñâîéñòâî ïðÿìîóãîëüíè-

êà: åãî äèàãîíàëè ðàâíû.

Ïàðàëëåëîãðàìì, âñå ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû, íà-

çûâàåòñÿ ðîìáîì (ðèñ. 188). Çàìåòèì, ÷òî ÷åòûðåõ-

óãîëüíèê, âñå ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû, ÿâëÿåòñÿ

ðîìáîì.

Îòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ðîìáà:

. Äèàãîíàëè ðîìáà âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû.

. Äèàãîíàëè ðîìáà ÿâëÿþòñÿ áèññåêòðèñàìè åãî

óãëîâ.

Âåðíû è òàêèå óòâåðæäåíèÿ:

Ïàðàëëåëîãðàìì, äèàãîíàëè êîòîðîãî âçàèìíî ïåð-

ïåíäèêóëÿðíû, åñòü ðîìá.

Ïàðàëëåëîãðàìì, äèàãîíàëè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ

áèññåêòðèñàìè åãî óãëîâ, åñòü ðîìá.

Ï ð è ì å ð 2. Ïåðèìåòð ðîìáà ðàâåí 32, à âûñîòà

ðîìáà ðàâíà 4. Íàéòè óãëû ðîìáà è åãî áîëüøóþ

äèàãîíàëü.

q Òàê êàê ñòîðîíà ðîìáà ðàâíà 8, à åãî âûñîòà

ðàâíà 4, òî â

AHBD

(ðèñ. 189), îòñå÷åííîì îò ðîìáà

åãî âûñîòîé BH, ïðîâåäåííîé èç âåðøèíû òóïîãî óãëà,

êàòåò BH ðàâåí ïîëîâèíå ãèïîòåíóçû ÀÂ è, çíà÷èò,

.30°=Ð BAD

Òîãäà

.150°=Ð ADC

Îñòàåòñÿ íàéòè äèàãîíàëü ÀÑ. Èç

ADCD

ïî

òåîðåìå êîñèíóñîâ ïîëó÷èì

´×-+= 826464

Ðèñ. 185 Ðèñ. 186

Ðèñ. 188Ðèñ. 187

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

415

414

Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

äèàãîíàëè ÀÑ è BD, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïåðèìåòð

ABDD

ðàâåí 52 (ðèñ. 186).

q Ïóñòü ÀÂ = 7õ, òîãäà AD = 9õ è ïî óñëîâèþ

.5216,64162

=+==×=

BDxPxP

ABDABCD

Çíà÷èò,

õ = 2, îòêóäà íàõîäèì ÀÂ = 14, AD = 18, BD = 20.

Äëÿ îòûñêàíèÿ äèàãîíàëè ÀÑ âîñïîëüçóåìñÿ ñâîé-

ñòâîì 5

; èìååì

,)(2

2222

ACBDADAB +=+

îòêó-

äà

,640400)324196(2

=-+=AC

ò. å. ÀÑ =

.108=

Ïàðàëëåëîãðàìì, ñìåæíûå ñòîðîíû êîòîðîãî âçà-

èìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, íàçûâàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíè-

êîì (ðèñ. 187). Òàêèì îáðàçîì, ïðÿìîóãîëüíèê 

ýòî ÷åòûðåõóãîëüíèê, âñå óãëû êîòîðîãî ïðÿìûå. Îò-

ìåòèì ñëåäóþùåå âàæíîå ñâîéñòâî ïðÿìîóãîëüíè-

êà: åãî äèàãîíàëè ðàâíû.

Ïàðàëëåëîãðàìì, âñå ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû, íà-

çûâàåòñÿ ðîìáîì (ðèñ. 188). Çàìåòèì, ÷òî ÷åòûðåõ-

óãîëüíèê, âñå ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû, ÿâëÿåòñÿ

ðîìáîì.

Îòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ðîìáà:

. Äèàãîíàëè ðîìáà âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû.

. Äèàãîíàëè ðîìáà ÿâëÿþòñÿ áèññåêòðèñàìè åãî

óãëîâ.

Âåðíû è òàêèå óòâåðæäåíèÿ:

Ïàðàëëåëîãðàìì, äèàãîíàëè êîòîðîãî âçàèìíî ïåð-

ïåíäèêóëÿðíû, åñòü ðîìá.

Ïàðàëëåëîãðàìì, äèàãîíàëè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ

áèññåêòðèñàìè åãî óãëîâ, åñòü ðîìá.

Ï ð è ì å ð 2. Ïåðèìåòð ðîìáà ðàâåí 32, à âûñîòà

ðîìáà ðàâíà 4. Íàéòè óãëû ðîìáà è åãî áîëüøóþ

äèàãîíàëü.

q Òàê êàê ñòîðîíà ðîìáà ðàâíà 8, à åãî âûñîòà

ðàâíà 4, òî â

AHBD

(ðèñ. 189), îòñå÷åííîì îò ðîìáà

åãî âûñîòîé BH, ïðîâåäåííîé èç âåðøèíû òóïîãî óãëà,

êàòåò BH ðàâåí ïîëîâèíå ãèïîòåíóçû ÀÂ è, çíà÷èò,

.30°=Ð BAD

Òîãäà

.150°=Ð ADC

Îñòàåòñÿ íàéòè äèàãîíàëü ÀÑ. Èç

ADCD

ïî

òåîðåìå êîñèíóñîâ ïîëó÷èì

´×-+= 826464

Ðèñ. 185 Ðèñ. 186

Ðèñ. 188Ðèñ. 187

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

417

416

Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

),32(64364128150cos8 +=+=°´

îòêóäà

=AC

.328 +=

Ïðÿìîóãîëüíèê, ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû, íàçû-

âàåòñÿ êâàäðàòîì (ðèñ. 190). Ñëåäîâàòåëüíî, êâàä-

ðàò ÿâëÿåòñÿ òàêæå è ðîìáîì ñ ïðÿìûìè óãëàìè.

Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî êâàäðàò  ýòî ïàðàëëåëîãðàìì,

ÿâëÿþùèéñÿ îäíîâðåìåííî è ðîìáîì, è ïðÿìîóãîëü-

íèêîì.

Òàêèì îáðàçîì, êâàäðàò îáëàäàåò âñåìè ñâîéñòâà-

ìè ïàðàëëåëîãðàììà, ðîìáà è ïðÿìîóãîëüíèêà.

Ï ð è ì å ð 3. Äèàãîíàëü äàííîãî êâàäðàòà ñëó-

æèò ñòîðîíîé òðåóãîëüíèêà, ó êîòîðîãî óãîë, ïðîòè-

âîëåæàùèé ýòîé ñòîðîíå, ðàâåí 150°. Äîêàçàòü, ÷òî

ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà,

ðàâåí äèàãîíàëè êâàäðàòà.

q Ïóñòü à  ñòîðîíà äàííîãî êâàäðàòà; òîãäà åãî

äèàãîíàëü, ðàâíàÿ

,2a

ÿâëÿåòñÿ îñíîâàíèåì òðåó-

ãîëüíèêà. Ðàäèóñ R îïèñàííîé îêîëî ýòîãî òðåóãîëü-

íèêà îêðóæíîñòè íàéäåì ñ ïîìîùüþ òåîðåìû ñèíó-

ñîâ; èìååì

150sin

îòêóäà =

150sin2

,2a=

ò. å. ýòîò ðàäèóñ ðàâåí äèàãîíàëè êâàäðàòà.n

280. Òðàïåöèÿ. Òðàïåöèåé íàçûâàåòñÿ ÷åòûðåõ-

óãîëüíèê, èìåþùèé òîëüêî îäíó ïàðó ïàðàëëåëü-

íûõ ñòîðîí (ðèñ. 191). Ïðè ýòîì ïàðàëëåëüíûå ñòî-

ðîíû íàçûâàþòñÿ åå îñíîâàíèÿìè, à íåïàðàëëåëü-

íûå  áîêîâûìè ñòîðîíàìè. Îäíî èç îñíîâàíèé

òðàïåöèè íàçûâàåòñÿ áXîëüøèì, à äðóãîå  ìåíü-

øèì. Èç ñâîéñòâ ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ (ñì. ï. 259)

ñëåäóåò, ÷òî ñóììà óãëîâ, ïðèëåæàùèõ ê êàæäîé èç

áîêîâûõ ñòîðîí òðàïåöèè, ðàâíà 180°. Îòðåçîê ïðÿ-

ìîé, ïåðïåíäèêóëÿðíûé îñíîâàíèÿì è çàêëþ÷åí-

íûé ìåæäó íèìè, íàçûâàåòñÿ âûñîòîé òðàïåöèè (îò-

ðåçîê EF íà ðèñ. 191). Òðàïåöèÿ, îäíà èç ñòîðîí

êîòîðîé ïåðïåíäèêóëÿðíà îñíîâàíèÿì, íàçûâàåòñÿ

Ðèñ. 190

Ðèñ. 189

Ðèñ. 191

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

417

416

Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

),32(64364128150cos8 +=+=°´

îòêóäà

=AC

.328 +=

Ïðÿìîóãîëüíèê, ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû, íàçû-

âàåòñÿ êâàäðàòîì (ðèñ. 190). Ñëåäîâàòåëüíî, êâàä-

ðàò ÿâëÿåòñÿ òàêæå è ðîìáîì ñ ïðÿìûìè óãëàìè.

Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî êâàäðàò  ýòî ïàðàëëåëîãðàìì,

ÿâëÿþùèéñÿ îäíîâðåìåííî è ðîìáîì, è ïðÿìîóãîëü-

íèêîì.

Òàêèì îáðàçîì, êâàäðàò îáëàäàåò âñåìè ñâîéñòâà-

ìè ïàðàëëåëîãðàììà, ðîìáà è ïðÿìîóãîëüíèêà.

Ï ð è ì å ð 3. Äèàãîíàëü äàííîãî êâàäðàòà ñëó-

æèò ñòîðîíîé òðåóãîëüíèêà, ó êîòîðîãî óãîë, ïðîòè-

âîëåæàùèé ýòîé ñòîðîíå, ðàâåí 150°. Äîêàçàòü, ÷òî

ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà,

ðàâåí äèàãîíàëè êâàäðàòà.

q Ïóñòü à  ñòîðîíà äàííîãî êâàäðàòà; òîãäà åãî

äèàãîíàëü, ðàâíàÿ

,2a

ÿâëÿåòñÿ îñíîâàíèåì òðåó-

ãîëüíèêà. Ðàäèóñ R îïèñàííîé îêîëî ýòîãî òðåóãîëü-

íèêà îêðóæíîñòè íàéäåì ñ ïîìîùüþ òåîðåìû ñèíó-

ñîâ; èìååì

150sin

îòêóäà =

150sin2

,2a=

ò. å. ýòîò ðàäèóñ ðàâåí äèàãîíàëè êâàäðàòà.n

280. Òðàïåöèÿ. Òðàïåöèåé íàçûâàåòñÿ ÷åòûðåõ-

óãîëüíèê, èìåþùèé òîëüêî îäíó ïàðó ïàðàëëåëü-

íûõ ñòîðîí (ðèñ. 191). Ïðè ýòîì ïàðàëëåëüíûå ñòî-

ðîíû íàçûâàþòñÿ åå îñíîâàíèÿìè, à íåïàðàëëåëü-

íûå  áîêîâûìè ñòîðîíàìè. Îäíî èç îñíîâàíèé

òðàïåöèè íàçûâàåòñÿ áXîëüøèì, à äðóãîå  ìåíü-

øèì. Èç ñâîéñòâ ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ (ñì. ï. 259)

ñëåäóåò, ÷òî ñóììà óãëîâ, ïðèëåæàùèõ ê êàæäîé èç

áîêîâûõ ñòîðîí òðàïåöèè, ðàâíà 180°. Îòðåçîê ïðÿ-

ìîé, ïåðïåíäèêóëÿðíûé îñíîâàíèÿì è çàêëþ÷åí-

íûé ìåæäó íèìè, íàçûâàåòñÿ âûñîòîé òðàïåöèè (îò-

ðåçîê EF íà ðèñ. 191). Òðàïåöèÿ, îäíà èç ñòîðîí

êîòîðîé ïåðïåíäèêóëÿðíà îñíîâàíèÿì, íàçûâàåòñÿ

Ðèñ. 190

Ðèñ. 189

Ðèñ. 191

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

419

418

Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ïðÿìîóãîëüíîé (ðèñ. 192). Òðàïåöèÿ, ó êîòîðîé

ðàâíû áîêîâûå ñòîðîíû, íàçûâàåòñÿ ðàâíîáî÷íîé

(èíîãäà åå íàçûâàþò òàêæå ðàâíîáîêîé èëè ðàâíî-

áåäðåííîé). Íà ðèñ. 193 èçîáðàæåíà ðàâíîáî÷íàÿ

òðàïåöèÿ ÀÂÑD.

Îòìåòèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ðàâíîáî÷íîé òðà-

ïåöèè:

. Óãëû, ïðèëåæàùèå ê êàæäîìó èç îñíîâàíèé

òðàïåöèè, ðàâíû.

. Äèàãîíàëè ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè ðàâíû.

. Åñëè ïðîäîëæèòü áîêîâûå ñòîðîíû ðàâíîáî÷-

íîé òðàïåöèè äî èõ ïåðåñå÷åíèÿ, òî âìåñòå ñ áîëü-

øèì îñíîâàíèåì îíè îáðàçóþò ðàâíîáåäðåííûé òðå-

óãîëüíèê.

Êàæäîå èç ïåðå÷èñëåííûõ ñâîéñòâ âûäåëÿåò ðàâ-

íîáî÷íóþ òðàïåöèþ èç âñåõ äðóãèõ òðàïåöèé.

Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé ñåðåäèíû áîêîâûõ ñòîðîí

ïðîèçâîëüíîé òðàïåöèè, íàçûâàåòñÿ ñðåäíåé ëèíè-

åé òðàïåöèè (îòðåçîê MN íà ðèñ. 191).

Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:

Ò.9.24. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðàïåöèè ïàðàëëåëüíà åå îñ-

íîâàíèÿì è ðàâíà èõ ïîëóñóììå.

Ï ð è ì å ð 1. Äëèíà áîëüøåãî îñíîâàíèÿ òðàïå-

öèè ðàâíà 24. Íàéòè äëèíó åå ìåíüøåãî îñíîâàíèÿ,

åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó ñåðåäèíàìè äèàãîíàëåé òðà-

ïåöèè ðàâíî 4.

q Â òðàïåöèè

ABCD

èçâåñòíî, ÷òî

,24=AD

4,, === EFFDBFECAE

(ðèñ. 194). Ïóñòü ÂÑ = õ.

Òîãäà

xFLxKE 5,0,5,0 ==

(òàê êàê



ñðåäíèå ëèíèè â

ABCD

DBCD

). Çíà÷èò, += KEKL

.4+=++ xFLEF

Ñ äðóãîé ñòîðîíû,

 ñðåäíÿÿ

ëèíèÿ òðàïåöèè ÀÂÑD, ò. å.

).24(5,0 += xKL

Ðåøèâ

óðàâíåíèå õ + 4 = 0,5(õ + 24), íàéäåì

õ = 16.n

Ï ð è ì å ð 2. Ìåíüøåå îñíîâàíèå ðàâíîáî÷íîé

òðàïåöèè ðàâíî áîêîâîé ñòîðîíå, à äèàãîíàëü ïåð-

ïåíäèêóëÿðíà áîêîâîé ñòîðîíå (ðèñ. 195). Íàéòè

óãëû òðàïåöèè.

q Ïî óñëîâèþ, â òðàïåöèè ÀÂÑD èìååì

., CDACBCCDAB ^==

Ïóñòü

;xBCA =Ð

òîãäà

Ðèñ. 193Ðèñ. 192

Ðèñ. 194 Ðèñ. 195

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

419

418

Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ïðÿìîóãîëüíîé (ðèñ. 192). Òðàïåöèÿ, ó êîòîðîé

ðàâíû áîêîâûå ñòîðîíû, íàçûâàåòñÿ ðàâíîáî÷íîé

(èíîãäà åå íàçûâàþò òàêæå ðàâíîáîêîé èëè ðàâíî-

áåäðåííîé). Íà ðèñ. 193 èçîáðàæåíà ðàâíîáî÷íàÿ

òðàïåöèÿ ÀÂÑD.

Îòìåòèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ðàâíîáî÷íîé òðà-

ïåöèè:

. Óãëû, ïðèëåæàùèå ê êàæäîìó èç îñíîâàíèé

òðàïåöèè, ðàâíû.

. Äèàãîíàëè ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè ðàâíû.

. Åñëè ïðîäîëæèòü áîêîâûå ñòîðîíû ðàâíîáî÷-

íîé òðàïåöèè äî èõ ïåðåñå÷åíèÿ, òî âìåñòå ñ áîëü-

øèì îñíîâàíèåì îíè îáðàçóþò ðàâíîáåäðåííûé òðå-

óãîëüíèê.

Êàæäîå èç ïåðå÷èñëåííûõ ñâîéñòâ âûäåëÿåò ðàâ-

íîáî÷íóþ òðàïåöèþ èç âñåõ äðóãèõ òðàïåöèé.

Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé ñåðåäèíû áîêîâûõ ñòîðîí

ïðîèçâîëüíîé òðàïåöèè, íàçûâàåòñÿ ñðåäíåé ëèíè-

åé òðàïåöèè (îòðåçîê MN íà ðèñ. 191).

Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:

Ò.9.24. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðàïåöèè ïàðàëëåëüíà åå îñ-

íîâàíèÿì è ðàâíà èõ ïîëóñóììå.

Ï ð è ì å ð 1. Äëèíà áîëüøåãî îñíîâàíèÿ òðàïå-

öèè ðàâíà 24. Íàéòè äëèíó åå ìåíüøåãî îñíîâàíèÿ,

åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó ñåðåäèíàìè äèàãîíàëåé òðà-

ïåöèè ðàâíî 4.

q Â òðàïåöèè

ABCD

èçâåñòíî, ÷òî

,24=AD

4,, === EFFDBFECAE

(ðèñ. 194). Ïóñòü ÂÑ = õ.

Òîãäà

xFLxKE 5,0,5,0 ==

(òàê êàê



ñðåäíèå ëèíèè â

ABCD

DBCD

). Çíà÷èò, += KEKL

.4+=++ xFLEF

Ñ äðóãîé ñòîðîíû,

 ñðåäíÿÿ

ëèíèÿ òðàïåöèè ÀÂÑD, ò. å.

).24(5,0 += xKL

Ðåøèâ

óðàâíåíèå õ + 4 = 0,5(õ + 24), íàéäåì

õ = 16.n

Ï ð è ì å ð 2. Ìåíüøåå îñíîâàíèå ðàâíîáî÷íîé

òðàïåöèè ðàâíî áîêîâîé ñòîðîíå, à äèàãîíàëü ïåð-

ïåíäèêóëÿðíà áîêîâîé ñòîðîíå (ðèñ. 195). Íàéòè

óãëû òðàïåöèè.

q Ïî óñëîâèþ, â òðàïåöèè ÀÂÑD èìååì

., CDACBCCDAB ^==

Ïóñòü

;xBCA =Ð

òîãäà

Ðèñ. 193Ðèñ. 192

Ðèñ. 194 Ðèñ. 195

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

421

420

Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

xBAC =Ð

(êàê óãëû ïðè îñíîâàíèè ðàâíîáåä-

ðåííîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ),

,90°+=Ð xBCD

xxCDA -°=°+-°=Ð 90)90(180

(ïîñêîëüêó ñóììà

óãëîâ, ïðèëåæàùèõ ê áîêîâîé ñòîðîíå òðàïåöèè, ðàâ-

íà 180° ). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

-°=Ð 90CAD

,xCDA =-Ð

è, çíà÷èò, =Ð+Ð=Ð CADBACBAD 2x.

Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî óãëîâ

BAD

,CDA

ïðèëå-

æàùèõ ê îñíîâàíèþ AD ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè, èìå-

åì

,902 xx -°=

îòêóäà õ = 30°. Èòàê, óãëû òðàïå-

öèè ðàâíû 60° è 120°. n

281. Ïëîùàäè ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ. Ïðèâåäåì

âàæíåéøèå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäåé ÷å-

òûðåõóãîëüíèêîâ.

1. Ïëîùàäü êâàäðàòà ðàâíà êâàäðàòó åãî ñòî-

ðîíû èëè ïîëîâèíå êâàäðàòà åãî äèàãîíàëè (ðèñ.

196):

;

aS =

(1)

.5,0

dS =

(2)

2. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ

åãî ñòîðîí èëè ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ êâàäðàòà

åãî äèàãîíàëè íà ñèíóñ óãëà ìåæäó äèàãîíàëÿìè

(ðèñ. 197):

;abS =

(3)

.sin5,0

j= dS

(4)

Ï ð è ì å ð 1. Ïóñòü äèàãîíàëü ïðÿìîóãîëüíèêà

ðàâíà 5, à ñèíóñ óãëà ìåæäó äèàãîíàëÿìè ðàâåí 0,96.

Òîãäà

.1296,0255,0 =××=S

3. Ïëîùàäü ðîìáà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ åãî ñòî-

ðîíû íà âûñîòó, ïðîâåäåííóþ ê íåé, ëèáî ïðîèçâåäå-

íèþ êâàäðàòà åãî ñòîðîíû íà ñèíóñ óãëà ìåæäó

ñìåæíûìè ñòîðîíàìè (ðèñ. 198, à), ëèáî ïîëîâèíå

ïðîèçâåäåíèÿ åãî äèàãîíàëåé (ðèñ. 198, á):

;

ahS

(5)

;sin

a= aS

(6)

.5,0

ddS =

(7)

4. Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíà ïðîèçâåäå-

íèþ åãî îñíîâàíèÿ íà âûñîòó, ëèáî ïðîèçâåäåíèþ åãî

ñìåæíûõ ñòîðîí íà ñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè

Ðèñ. 197

Ðèñ. 196

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

421

420

Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

xBAC =Ð

(êàê óãëû ïðè îñíîâàíèè ðàâíîáåä-

ðåííîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ),

,90°+=Ð xBCD

xxCDA -°=°+-°=Ð 90)90(180

(ïîñêîëüêó ñóììà

óãëîâ, ïðèëåæàùèõ ê áîêîâîé ñòîðîíå òðàïåöèè, ðàâ-

íà 180° ). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

-°=Ð 90CAD

,xCDA =-Ð

è, çíà÷èò, =Ð+Ð=Ð CADBACBAD 2x.

Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî óãëîâ

BAD

,CDA

ïðèëå-

æàùèõ ê îñíîâàíèþ AD ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè, èìå-

åì

,902 xx -°=

îòêóäà õ = 30°. Èòàê, óãëû òðàïå-

öèè ðàâíû 60° è 120°. n

281. Ïëîùàäè ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ. Ïðèâåäåì

âàæíåéøèå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäåé ÷å-

òûðåõóãîëüíèêîâ.

1. Ïëîùàäü êâàäðàòà ðàâíà êâàäðàòó åãî ñòî-

ðîíû èëè ïîëîâèíå êâàäðàòà åãî äèàãîíàëè (ðèñ.

196):

;

aS =

(1)

.5,0

dS =

(2)

2. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ

åãî ñòîðîí èëè ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ êâàäðàòà

åãî äèàãîíàëè íà ñèíóñ óãëà ìåæäó äèàãîíàëÿìè

(ðèñ. 197):

;abS =

(3)

.sin5,0

j= dS

(4)

Ï ð è ì å ð 1. Ïóñòü äèàãîíàëü ïðÿìîóãîëüíèêà

ðàâíà 5, à ñèíóñ óãëà ìåæäó äèàãîíàëÿìè ðàâåí 0,96.

Òîãäà

.1296,0255,0 =××=S

3. Ïëîùàäü ðîìáà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ åãî ñòî-

ðîíû íà âûñîòó, ïðîâåäåííóþ ê íåé, ëèáî ïðîèçâåäå-

íèþ êâàäðàòà åãî ñòîðîíû íà ñèíóñ óãëà ìåæäó

ñìåæíûìè ñòîðîíàìè (ðèñ. 198, à), ëèáî ïîëîâèíå

ïðîèçâåäåíèÿ åãî äèàãîíàëåé (ðèñ. 198, á):

;

ahS

(5)

;sin

a= aS

(6)

.5,0

ddS =

(7)

4. Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíà ïðîèçâåäå-

íèþ åãî îñíîâàíèÿ íà âûñîòó, ëèáî ïðîèçâåäåíèþ åãî

ñìåæíûõ ñòîðîí íà ñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè

Ðèñ. 197

Ðèñ. 196