Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл

Подождите немного. Документ загружается.

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

423

422

Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

(ðèñ. 199, à), ëèáî ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî äèàãî-

íàëåé íà ñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè (ðèñ. 199, á):

;

ahS

(8)

;sin a= abS

(9)

.sin5,0

j= ddS

(10)

Çàìåòèì, ÷òî ïëîùàëü òðåóãîëüíèêà ñ òàêèì æå

îñíîâàíèåì à è òàêîé æå âûñîòîé h

, êàê ó ïàðàëëå-

ëîãðàììà, ðàâíà ïîëîâèíå ïëîùàäè ýòîãî ïàðàëëåëîã-

ðàììà, íàïðèìåð

ABCDABD

5,0=

(ñì. ðèñ. 199, à).

Îòìåòèì åùå, ÷òî ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïî-

ñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ

, ðàâíà ìîäóëþ âåê-

òîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ

(ñì. ï. 301).

Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè ïëîùàäü ðîìáà ñî ñòîðîíîé

à = 6 è óãëîì â 30° ìåæäó åãî ñìåæíûìè ñòîðîíàìè

(ðèñ. 200), èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (5), (6) è (7).

q Ïî ôîðìóëå (6):

.1830sin36sin

=°×=a= aS

Ïî ôîðìóëå (5):

,BKADahS

×==

ãäå BK =

35,0 == AB

(òàê êàê

°=Ð 30BAD

). Çíà÷èò, S =

.1836 =×=

Ïî ôîðìóëå (7):

,5,05,0

BDACddS ×==

ãäå BD

íàéäåì ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ èç

,BADD

à ÀÑ  ïî

òîé æå òåîðåìå èç

.ABCD

Èìååì

´-+= 23636

),32(36)30cos1(7230cos36 -=°-=°´

+= 36

).32(36)30cos1(72150cos36236 +=°+=°×-+

Ïîýòîìó

.18

)

(

)

(

665,0 =+-××=S

Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà,

äèàãîíàëè êîòîðîãî ðàâíû 5 è 3, à ñèíóñ óãëà ìåæäó

íèìè ðàâåí 0,8 (ðèñ. 201), èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (8), (9)

è (10).

q Ïî ôîðìóëå (10):

´××=

= 355,0sin5,0

ddS

0,8 = 6.

Ðèñ. 198

Ðèñ. 199

á)

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

423

422

Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

(ðèñ. 199, à), ëèáî ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî äèàãî-

íàëåé íà ñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè (ðèñ. 199, á):

;

ahS

(8)

;sin a= abS

(9)

.sin5,0

j= ddS

(10)

Çàìåòèì, ÷òî ïëîùàëü òðåóãîëüíèêà ñ òàêèì æå

îñíîâàíèåì à è òàêîé æå âûñîòîé h

, êàê ó ïàðàëëå-

ëîãðàììà, ðàâíà ïîëîâèíå ïëîùàäè ýòîãî ïàðàëëåëîã-

ðàììà, íàïðèìåð

ABCDABD

5,0=

(ñì. ðèñ. 199, à).

Îòìåòèì åùå, ÷òî ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïî-

ñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ

, ðàâíà ìîäóëþ âåê-

òîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ

(ñì. ï. 301).

Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè ïëîùàäü ðîìáà ñî ñòîðîíîé

à = 6 è óãëîì â 30° ìåæäó åãî ñìåæíûìè ñòîðîíàìè

(ðèñ. 200), èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (5), (6) è (7).

q Ïî ôîðìóëå (6):

.1830sin36sin

=°×=a= aS

Ïî ôîðìóëå (5):

,BKADahS

×==

ãäå BK =

35,0 == AB

(òàê êàê

°=Ð 30BAD

). Çíà÷èò, S =

.1836 =×=

Ïî ôîðìóëå (7):

,5,05,0

BDACddS ×==

ãäå BD

íàéäåì ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ èç

,BADD

à ÀÑ  ïî

òîé æå òåîðåìå èç

.ABCD

Èìååì

´-+= 23636

),32(36)30cos1(7230cos36 -=°-=°´

+= 36

).32(36)30cos1(72150cos36236 +=°+=°×-+

Ïîýòîìó

.18

)

(

)

(

665,0 =+-××=S

Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà,

äèàãîíàëè êîòîðîãî ðàâíû 5 è 3, à ñèíóñ óãëà ìåæäó

íèìè ðàâåí 0,8 (ðèñ. 201), èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (8), (9)

è (10).

q Ïî ôîðìóëå (10):

´××=

= 355,0sin5,0

ddS

0,8 = 6.

Ðèñ. 198

Ðèñ. 199

á)

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

425

424

Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ïî ôîðìóëå (8):

ahS

ãäå ñòîðîíà

== ADa

13=

áûëà íàéäåíà ðàíåå, à âûñîòó

BHh

íàé-

äåì èç

.AHBD

Èìååì

=×=a=

2sin

ABBH

è, ñëåäîâàòåëüíî,

13 =×=

5. Ïëîùàäü òðàïåöèè ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïîëó-

ñóììû åå îñíîâàíèé íà âûñîòó èëè ïðîèçâåäåíèþ åå

ñðåäíåé ëèíèè íà âûñîòó:

;

S ×

(11)

.lhS =

(12)

Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîé

òðàïåöèè, åñëè åå îñòðûé óãîë ðàâåí 60°, ìåíüøåå îñíî-

âàíèå ðàâíî 6, à áîëüøàÿ áîêîâàÿ ñòîðîíà ðàâíà 8.

q Â òðàïåöèè

ABCD

ïðîâåäåì

ADBH^

(ðèñ. 202). Òîãäà

°=Ð 30ABH

,45,0 == ABAH

.10,3435,0 =+=== HDAHADABBH

Çíà÷èò,

.33234)610(5,0 =×+=S

6. Ïëîùàäü ëþáîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ðàâíà ïî-

ëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî äèàãîíàëåé íà ñèíóñ óãëà

ìåæäó íèìè:

.sin5,0

= ddS

(13)

Ï ð è ì å ð 5. Â ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè äèàãîíàëè

âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, à ñðåäíÿÿ ëèíèÿ ðàâíà 5

Ïî ôîðìóëå (9):

,sin a= abS

ãäå

CDbADa == ,

è asin íàäî íàéòè. Òàê êàê

,8,0sin =j

òî

cos

6,08,01

=-=

è â

CMDD

ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ

èìååì

,cos2

222

j×-+= MDMCMDMCCD

èëè

,46,05,15,225,15,2

222

=×××-+=CD

ò. å.

.2=CD

Íî

),(2

2222

CDADBDAC +=+

èëè

+=+

2925

,42 ×+

îòêóäà

.13=AD

Òåïåðü ïðèìåíèì òåîðåìó

êîñèíóñîâ ê

:BADD

´-+= ABADABBD 2

222

,cos1322134cos a×-+=a´ AD

èëè

-= 179

,cos134 a-

îòêóäà

cos =a

Ïîýòîìó

=asin

1 =-=

è, çíà÷èò,

132 =×=

Ðèñ. 201Ðèñ. 200

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

425

424

Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ïî ôîðìóëå (8):

ahS

ãäå ñòîðîíà

== ADa

13=

áûëà íàéäåíà ðàíåå, à âûñîòó

BHh

íàé-

äåì èç

.AHBD

Èìååì

=×=a=

2sin

ABBH

è, ñëåäîâàòåëüíî,

13 =×=

5. Ïëîùàäü òðàïåöèè ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïîëó-

ñóììû åå îñíîâàíèé íà âûñîòó èëè ïðîèçâåäåíèþ åå

ñðåäíåé ëèíèè íà âûñîòó:

;

S ×

(11)

.lhS =

(12)

Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîé

òðàïåöèè, åñëè åå îñòðûé óãîë ðàâåí 60°, ìåíüøåå îñíî-

âàíèå ðàâíî 6, à áîëüøàÿ áîêîâàÿ ñòîðîíà ðàâíà 8.

q Â òðàïåöèè

ABCD

ïðîâåäåì

ADBH^

(ðèñ. 202). Òîãäà

°=Ð 30ABH

,45,0 == ABAH

.10,3435,0 =+=== HDAHADABBH

Çíà÷èò,

.33234)610(5,0 =×+=S

6. Ïëîùàäü ëþáîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ðàâíà ïî-

ëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî äèàãîíàëåé íà ñèíóñ óãëà

ìåæäó íèìè:

.sin5,0

= ddS

(13)

Ï ð è ì å ð 5. Â ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè äèàãîíàëè

âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, à ñðåäíÿÿ ëèíèÿ ðàâíà 5

Ïî ôîðìóëå (9):

,sin a= abS

ãäå

CDbADa == ,

è asin íàäî íàéòè. Òàê êàê

,8,0sin =j

òî

cos

6,08,01

=-=

è â

CMDD

ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ

èìååì

,cos2

222

j×-+= MDMCMDMCCD

èëè

,46,05,15,225,15,2

222

=×××-+=CD

ò. å.

.2=CD

Íî

),(2

2222

CDADBDAC +=+

èëè

+=+

2925

,42 ×+

îòêóäà

.13=AD

Òåïåðü ïðèìåíèì òåîðåìó

êîñèíóñîâ ê

:BADD

´-+= ABADABBD 2

222

,cos1322134cos a×-+=a´ AD

èëè

-= 179

,cos134 a-

îòêóäà

cos =a

Ïîýòîìó

=asin

1 =-=

è, çíà÷èò,

132 =×=

Ðèñ. 201Ðèñ. 200

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

427

426

Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

(ðèñ. 203). Íàéòè ïëîùàäü òðàïåöèè, èñïîëüçóÿ ôîð-

ìóëó (12) èëè îáùóþ ôîðìóëó (13).

q Ïî ôîðìóëå (12):

,lhS =

ãäå

+== EMEFh

lbaAFBEMF =+=+=+ )(5,0

(a = BC è

ADb =



îñíîâàíèÿ òðàïåöèè). Çíà÷èò,

.25

== lS

Ïî ôîðìóëå (13):

5,0

dS =

(òàê êàê

°=j 90

Ïðîâåäåì

;ADCH^

ðàíåå ìû óñòàíîâèëè, ÷òî

=CH

.5)(5,0 =+= ba

AMDD

èìååì

.45°=ÐMAD

Òîã-

äà èç

CHAD

ñëåäóåò, ÷òî

.5== CHAH

Ïîýòîìó

,502

222

=== CHACd

îòêóäà

.25=S

Çàìåòèì, ÷òî ïëîùàäü ïðîèçâîëüíîãî ÷åòûðåõ-

óãîëüíèêà ìîæíî íàéòè, ðàçáèâ åãî íà òðåóãîëü-

íèêè.

Ï ð è ì å ð 6. Íàéòè ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà

ABCD, â êîòîðîì

===°=Ð CDBCABBAD ,2,3,90

4,5 == AD

(ðèñ. 204).

q Ðàçîáüåì çàäàííûé ÷åòûðåõóãîëüíèê íà òðåó-

ãîëüíèêè

BAD

.BCD

Èìååì

DBAD

(ïîëîâè-

íà ïðîèçâåäåíèÿ êàòåòîâ). Ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà èç

BADD

íàéäåì BD = 5. Òåïåðü â

BCDD

èçâåñòíû

òðè ñòîðîíû. Ïî ôîðìóëå Ãåðîíà íàõîäèì

DBCD

.621416 =×××=

Èòàê,

.626 +=

ABCD

7. Åñëè îêîëî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ìîæíî îïè-

ñàòü îêðóæíîñòü, òî åãî ïëîùàäü S âûðàæàåòñÿ

ôîðìóëîé

)

(

)

(

)

(

)

(

dpcpbpapS ----=

(14)

ãäå

dcba ,,,

 ñòîðîíû ÷åòûðåõóãîëüíèêà,

)(5,0 dcba +++=

 ïîëóïåðèìåòð.

8. Åñëè â ÷åòûðåõóãîëüíèê ìîæíî âïèñàòü îê-

ðóæíîñòü, òî åãî ïëîùàäü ðàâíà ïîëóïåðèìåòðó, óì-

íîæåííîìó íà ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè:

.prS =

(15)

Ðèñ. 203Ðèñ. 202

Ðèñ. 204 Ðèñ. 205

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

427

426

Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

(ðèñ. 203). Íàéòè ïëîùàäü òðàïåöèè, èñïîëüçóÿ ôîð-

ìóëó (12) èëè îáùóþ ôîðìóëó (13).

q Ïî ôîðìóëå (12):

,lhS =

ãäå

+== EMEFh

lbaAFBEMF =+=+=+ )(5,0

(a = BC è

ADb =



îñíîâàíèÿ òðàïåöèè). Çíà÷èò,

.25

== lS

Ïî ôîðìóëå (13):

5,0

dS =

(òàê êàê

°=j 90

Ïðîâåäåì

;ADCH^

ðàíåå ìû óñòàíîâèëè, ÷òî

=CH

.5)(5,0 =+= ba

AMDD

èìååì

.45°=ÐMAD

Òîã-

äà èç

CHAD

ñëåäóåò, ÷òî

.5== CHAH

Ïîýòîìó

,502

222

=== CHACd

îòêóäà

.25=S

Çàìåòèì, ÷òî ïëîùàäü ïðîèçâîëüíîãî ÷åòûðåõ-

óãîëüíèêà ìîæíî íàéòè, ðàçáèâ åãî íà òðåóãîëü-

íèêè.

Ï ð è ì å ð 6. Íàéòè ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà

ABCD, â êîòîðîì

===°=Ð CDBCABBAD ,2,3,90

4,5 == AD

(ðèñ. 204).

q Ðàçîáüåì çàäàííûé ÷åòûðåõóãîëüíèê íà òðåó-

ãîëüíèêè

BAD

.BCD

Èìååì

DBAD

(ïîëîâè-

íà ïðîèçâåäåíèÿ êàòåòîâ). Ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà èç

BADD

íàéäåì BD = 5. Òåïåðü â

BCDD

èçâåñòíû

òðè ñòîðîíû. Ïî ôîðìóëå Ãåðîíà íàõîäèì

DBCD

.621416 =×××=

Èòàê,

.626 +=

ABCD

7. Åñëè îêîëî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ìîæíî îïè-

ñàòü îêðóæíîñòü, òî åãî ïëîùàäü S âûðàæàåòñÿ

ôîðìóëîé

)

(

)

(

)

(

)

(

dpcpbpapS ----=

(14)

ãäå

dcba ,,,

 ñòîðîíû ÷åòûðåõóãîëüíèêà,

)(5,0 dcba +++=

 ïîëóïåðèìåòð.

8. Åñëè â ÷åòûðåõóãîëüíèê ìîæíî âïèñàòü îê-

ðóæíîñòü, òî åãî ïëîùàäü ðàâíà ïîëóïåðèìåòðó, óì-

íîæåííîìó íà ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè:

.prS =

(15)

Ðèñ. 203Ðèñ. 202

Ðèñ. 204 Ðèñ. 205

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 32. Îêðóæíîñòü

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

429

428

Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ï ð è ì å ð 7. Îñíîâàíèÿ òðàïåöèè ðàâíû 4

è 16 ñì. Èçâåñòíî, ÷òî ñóùåñòâóþò îêðóæíîñòè, âïè-

ñàííàÿ â ýòó òðàïåöèþ è îïèñàííàÿ îêîëî íåå. Èñ-

ïîëüçóÿ ôîðìóëû (14) è (15), íàéòè ïëîùàäü òðàïå-

öèè.

q Òàê êàê îêîëî òðàïåöèè ABCD (ðèñ. 205) ìîæ-

íî îïèñàòü îêðóæíîñòü, òî òðàïåöèÿ äîëæíà áûòü ðàâ-

íîáî÷íîé, ò. å. ÀÂ = ÑD. Äàëåå, òàê êàê â òðàïåöèþ

ÀBCD ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü, òî ñóììà îñíîâà-

íèé òðàïåöèè äîëæíà áûòü ðàâíà ñóììå åå áî-

êîâûõ ñòîðîí, ò. å.

,2ABCDABBCAD =+=+

îòêó-

äà ñëåäóåò, ÷òî

.10)(5,0 =+= BCADAB

Ïðîâåäåì

ADBK^

è èç

,AKBD

ãäå ÀÂ = 10,

=-= )416(5,0AK

,6=

íàéäåì

.8610

=-=BK

Çíà÷èò,

.45,0 == BK

Ïî ôîðìóëå (14):

)

(

)

(

)

(

)

(

dpcpbpapS ----=

ãäå ð = 20, ð  à = 16, ð  b = 4, ð  ñ = 10, ð  d = 10.

Òîãäà

.801010416 =×××=S

Ïî ôîðìóëå (15):

.80420 =×== prS

§ 32. Îêðóæíîñòü

282. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìîé è îêðóæ-

íîñòè. Êàñàòåëüíàÿ è ñåêóùàÿ. Îêðóæíîñòüþ íà-

çûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, îäèíàêîâî óäà-

ëåííûõ îò äàííîé òî÷êè Î, íàçûâàåìîé öåíòðîì îê-

ðóæíîñòè (ðèñ. 206). Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè îêðóæíî-

ñòè äî åå öåíòðà íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì îêðóæíîñòè

(îòðåçîê ÎÀ íà ðèñ. 206).

Îêðóæíîñòü äåëèò ïëîñêîñòü íà äâå ÷àñòè: âíóò-

ðåííþþ ïî îòíîøåíèþ ê îêðóæíîñòè è âíåøíþþ.

Âíóòðåííÿÿ ÷àñòü, âêëþ÷àÿ è êîíòóð, åå îãðàíè÷èâà-

þùèé, ò. å. îêðóæíîñòü, íàçûâàåòñÿ êðóãîì. Âñå òî÷-

êè êðóãà óäàëåíû îò öåíòðà íà ðàññòîÿíèå, íå áîëü-

øåå, ÷åì ðàäèóñ îêðóæíîñòè. Âíåøíÿÿ ÷àñòü ñîñòî-

èò èç òî÷åê, óäàëåííûõ îò öåíòðà íà ðàññòîÿíèå, ïðå-

âûøàþùåå ðàäèóñ.

Ïðÿìàÿ, ëåæàùàÿ â òîé æå ïëîñêîñòè, ÷òî è îê-

ðóæíîñòü, ìîæåò íå èìåòü ñ îêðóæíîñòüþ îáùèõ òî-

÷åê, ìîæåò ïåðåñåêàòü îêðóæíîñòü â äâóõ òî÷êàõ (òà-

êàÿ ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ ñåêóùåé; MN íà ðèñ. 206) è

ìîæåò èìåòü ñ îêðóæíîñòüþ îäíó îáùóþ òî÷êó (òà-

êàÿ ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé; KL íà ðèñ.

206).

Ò.9.25. Ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó îêðóæíîñ-

òè, òîãäà è òîëüêî òîãäà ÿâëÿåòñÿ êàñàòåëüíîé

ê ýòîé îêðóæíîñòè, êîãäà îíà ïåðïåíäèêóëÿðíà

ðàäèóñó, ïðîâåäåííîìó â äàííóþ òî÷êó.

283. Õîðäà è äèàìåòð. Ñåêòîð è ñåãìåíò. Îòðå-

çîê ñåêóùåé, çàêëþ÷åííûé âíóòðè îêðóæíîñòè, íà-

Ðèñ. 207Ðèñ. 206

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 32. Îêðóæíîñòü

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

429

428

Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ï ð è ì å ð 7. Îñíîâàíèÿ òðàïåöèè ðàâíû 4

è 16 ñì. Èçâåñòíî, ÷òî ñóùåñòâóþò îêðóæíîñòè, âïè-

ñàííàÿ â ýòó òðàïåöèþ è îïèñàííàÿ îêîëî íåå. Èñ-

ïîëüçóÿ ôîðìóëû (14) è (15), íàéòè ïëîùàäü òðàïå-

öèè.

q Òàê êàê îêîëî òðàïåöèè ABCD (ðèñ. 205) ìîæ-

íî îïèñàòü îêðóæíîñòü, òî òðàïåöèÿ äîëæíà áûòü ðàâ-

íîáî÷íîé, ò. å. ÀÂ = ÑD. Äàëåå, òàê êàê â òðàïåöèþ

ÀBCD ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü, òî ñóììà îñíîâà-

íèé òðàïåöèè äîëæíà áûòü ðàâíà ñóììå åå áî-

êîâûõ ñòîðîí, ò. å.

,2ABCDABBCAD =+=+

îòêó-

äà ñëåäóåò, ÷òî

.10)(5,0 =+= BCADAB

Ïðîâåäåì

ADBK^

è èç

,AKBD

ãäå ÀÂ = 10,

=-= )416(5,0AK

,6=

íàéäåì

.8610

=-=BK

Çíà÷èò,

.45,0 == BK

Ïî ôîðìóëå (14):

)

(

)

(

)

(

)

(

dpcpbpapS ----=

ãäå ð = 20, ð  à = 16, ð  b = 4, ð  ñ = 10, ð  d = 10.

Òîãäà

.801010416 =×××=S

Ïî ôîðìóëå (15):

.80420 =×== prS

§ 32. Îêðóæíîñòü

282. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìîé è îêðóæ-

íîñòè. Êàñàòåëüíàÿ è ñåêóùàÿ. Îêðóæíîñòüþ íà-

çûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, îäèíàêîâî óäà-

ëåííûõ îò äàííîé òî÷êè Î, íàçûâàåìîé öåíòðîì îê-

ðóæíîñòè (ðèñ. 206). Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè îêðóæíî-

ñòè äî åå öåíòðà íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì îêðóæíîñòè

(îòðåçîê ÎÀ íà ðèñ. 206).

Îêðóæíîñòü äåëèò ïëîñêîñòü íà äâå ÷àñòè: âíóò-

ðåííþþ ïî îòíîøåíèþ ê îêðóæíîñòè è âíåøíþþ.

Âíóòðåííÿÿ ÷àñòü, âêëþ÷àÿ è êîíòóð, åå îãðàíè÷èâà-

þùèé, ò. å. îêðóæíîñòü, íàçûâàåòñÿ êðóãîì. Âñå òî÷-

êè êðóãà óäàëåíû îò öåíòðà íà ðàññòîÿíèå, íå áîëü-

øåå, ÷åì ðàäèóñ îêðóæíîñòè. Âíåøíÿÿ ÷àñòü ñîñòî-

èò èç òî÷åê, óäàëåííûõ îò öåíòðà íà ðàññòîÿíèå, ïðå-

âûøàþùåå ðàäèóñ.

Ïðÿìàÿ, ëåæàùàÿ â òîé æå ïëîñêîñòè, ÷òî è îê-

ðóæíîñòü, ìîæåò íå èìåòü ñ îêðóæíîñòüþ îáùèõ òî-

÷åê, ìîæåò ïåðåñåêàòü îêðóæíîñòü â äâóõ òî÷êàõ (òà-

êàÿ ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ ñåêóùåé; MN íà ðèñ. 206) è

ìîæåò èìåòü ñ îêðóæíîñòüþ îäíó îáùóþ òî÷êó (òà-

êàÿ ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé; KL íà ðèñ.

206).

Ò.9.25. Ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó îêðóæíîñ-

òè, òîãäà è òîëüêî òîãäà ÿâëÿåòñÿ êàñàòåëüíîé

ê ýòîé îêðóæíîñòè, êîãäà îíà ïåðïåíäèêóëÿðíà

ðàäèóñó, ïðîâåäåííîìó â äàííóþ òî÷êó.

283. Õîðäà è äèàìåòð. Ñåêòîð è ñåãìåíò. Îòðå-

çîê ñåêóùåé, çàêëþ÷åííûé âíóòðè îêðóæíîñòè, íà-

Ðèñ. 207Ðèñ. 206

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 32. Îêðóæíîñòü

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

431

430

Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

çûâàåòñÿ õîðäîé (îòðåçîê ÀÂ íà ðèñ. 207). Ïåðïåí-

äèêóëÿð, îïóùåííûé íà õîðäó èç öåíòðà îêðóæíîñ-

òè, äåëèò ýòó õîðäó ïîïîëàì.

Õîðäà, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð îêðóæíîñòè, íà-

çûâàåòñÿ äèàìåòðîì (îòðåçîê CD íà ðèñ. 207). Âñå

äèàìåòðû ðàâíû ìåæäó ñîáîé è ðàâíû óäâîåííîìó

ðàäèóñó.

Õîðäà ðàçáèâàåò êðóã íà äâå ÷àñòè, íàçûâàåìûå

ñåãìåíòàìè (íà ðèñ. 208  ýòî ñåãìåíòû I è II).

Åñëè õîðäà ñîâïàäàåò ñ äèàìåòðîì, òî ýòè ñåãìåí-

òû ïðåâðàùàþòñÿ â ïîëóêðóãè.

×àñòü êðóãà, îãðàíè÷åííàÿ äâóìÿ åãî ðàäèóñàìè

ÎÀ è ÎÂ è äóãîé îêðóæíîñòè, ñîåäèíÿþùåé êîíöû

ýòèõ ðàäèóñîâ, íàçûâàåòñÿ ñåêòîðîì (íà ðèñ. 209 

ýòî ñåêòîðû I è II).

Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:

. Ðàâíûå õîðäû ñòÿãèâàþò ðàâíûå äóãè.

. Ðàâíûå äóãè ñòÿãèâàþòñÿ ðàâíûìè õîðäàìè.

. Õîðäû, îäèíàêîâî óäàëåííûå îò öåíòðà,

ðàâíû.

. Ðàâíûå õîðäû îäèíàêîâî óäàëåíû îò öåíòðà.

. Âñÿêèé äèàìåòð ÿâëÿåòñÿ îñüþ ñèììåòðèè

îêðóæíîñòè è äåëèò åå íà äâå ðàâíûå ïîëóîêðóæ-

íîñòè.

284. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè. Óðàâíåíèå îêðóæ-

íîñòè ñ öåíòðîì Ñ (a;b) è ðàäèóñîì R â ïðÿìîóãîëü-

íîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò èìååò âèä

.)()(

222

Rbyax =-+-

(1)

Â ÷àñòíîñòè, åñëè öåíòð îêðóæíîñòè ñîâïàäàåò ñ

íà÷àëîì êîîðäèíàò, òî óðàâíåíèå (1) ïðèìåò âèä

222

Ryx =+

(2)

Ï ð è ì å ð. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå îêðóæíîñòè:

à) ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò è ðàäèóñîì

á) ñ öåíòðîì Ñ (2;6) è ðàäèóñîì 9;

â) ñ öåíòðîì Ñ (3;4), ïðè÷åì îêðóæíîñòü ïðîõî-

äèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò.

q à) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2), ïîëó÷èì

=+ yx

á) Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), èìååì ++- yx ()2(

.81)6

â) Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (1) è çàïèøåì

222

)4()3(

Ryx =-++

 ýòî óðàâíåíèå îêðóæíîñ-

òè ñ äàííûì öåíòðîì è íåèçâåñòíûì ïîêà ðàäèó-

ñîì R.

Òàê êàê îêðóæíîñòü ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîð-

äèíàò, òî çíà÷åíèÿ õ = 0, ó = 0 óäîâëåòâîðÿþò åå óðàâ-

íåíèþ; ïîäñòàâèâ ýòè çíà÷åíèÿ â ïîëó÷åííîå óðàâ-

íåíèå, èìååì

,)4(3

222

R=+

ò. å.

.25

=R Èòàê,

25)4()3(

=-++ yx

 èñêîìîå óðàâíåíèå.n

285. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ îêðóæíîñòåé.

Ðàññìîòðèì âîçìîæíûå ñëó÷àè ðàñïîëîæåíèÿ äâóõ

îêðóæíîñòåé.

Ðèñ. 208 Ðèñ. 209

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 32. Îêðóæíîñòü

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

431

430

Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

çûâàåòñÿ õîðäîé (îòðåçîê ÀÂ íà ðèñ. 207). Ïåðïåí-

äèêóëÿð, îïóùåííûé íà õîðäó èç öåíòðà îêðóæíîñ-

òè, äåëèò ýòó õîðäó ïîïîëàì.

Õîðäà, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð îêðóæíîñòè, íà-

çûâàåòñÿ äèàìåòðîì (îòðåçîê CD íà ðèñ. 207). Âñå

äèàìåòðû ðàâíû ìåæäó ñîáîé è ðàâíû óäâîåííîìó

ðàäèóñó.

Õîðäà ðàçáèâàåò êðóã íà äâå ÷àñòè, íàçûâàåìûå

ñåãìåíòàìè (íà ðèñ. 208  ýòî ñåãìåíòû I è II).

Åñëè õîðäà ñîâïàäàåò ñ äèàìåòðîì, òî ýòè ñåãìåí-

òû ïðåâðàùàþòñÿ â ïîëóêðóãè.

×àñòü êðóãà, îãðàíè÷åííàÿ äâóìÿ åãî ðàäèóñàìè

ÎÀ è ÎÂ è äóãîé îêðóæíîñòè, ñîåäèíÿþùåé êîíöû

ýòèõ ðàäèóñîâ, íàçûâàåòñÿ ñåêòîðîì (íà ðèñ. 209 

ýòî ñåêòîðû I è II).

Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:

. Ðàâíûå õîðäû ñòÿãèâàþò ðàâíûå äóãè.

. Ðàâíûå äóãè ñòÿãèâàþòñÿ ðàâíûìè õîðäàìè.

. Õîðäû, îäèíàêîâî óäàëåííûå îò öåíòðà,

ðàâíû.

. Ðàâíûå õîðäû îäèíàêîâî óäàëåíû îò öåíòðà.

. Âñÿêèé äèàìåòð ÿâëÿåòñÿ îñüþ ñèììåòðèè

îêðóæíîñòè è äåëèò åå íà äâå ðàâíûå ïîëóîêðóæ-

íîñòè.

284. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè. Óðàâíåíèå îêðóæ-

íîñòè ñ öåíòðîì Ñ (a;b) è ðàäèóñîì R â ïðÿìîóãîëü-

íîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò èìååò âèä

.)()(

222

Rbyax =-+-

(1)

Â ÷àñòíîñòè, åñëè öåíòð îêðóæíîñòè ñîâïàäàåò ñ

íà÷àëîì êîîðäèíàò, òî óðàâíåíèå (1) ïðèìåò âèä

222

Ryx =+

(2)

Ï ð è ì å ð. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå îêðóæíîñòè:

à) ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò è ðàäèóñîì

á) ñ öåíòðîì Ñ (2;6) è ðàäèóñîì 9;

â) ñ öåíòðîì Ñ (3;4), ïðè÷åì îêðóæíîñòü ïðîõî-

äèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò.

q à) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2), ïîëó÷èì

=+ yx

á) Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), èìååì ++- yx ()2(

.81)6

â) Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (1) è çàïèøåì

222

)4()3(

Ryx =-++

 ýòî óðàâíåíèå îêðóæíîñ-

òè ñ äàííûì öåíòðîì è íåèçâåñòíûì ïîêà ðàäèó-

ñîì R.

Òàê êàê îêðóæíîñòü ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîð-

äèíàò, òî çíà÷åíèÿ õ = 0, ó = 0 óäîâëåòâîðÿþò åå óðàâ-

íåíèþ; ïîäñòàâèâ ýòè çíà÷åíèÿ â ïîëó÷åííîå óðàâ-

íåíèå, èìååì

,)4(3

222

R=+

ò. å.

.25

=R Èòàê,

25)4()3(

=-++ yx

 èñêîìîå óðàâíåíèå.n

285. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ îêðóæíîñòåé.

Ðàññìîòðèì âîçìîæíûå ñëó÷àè ðàñïîëîæåíèÿ äâóõ

îêðóæíîñòåé.

Ðèñ. 208 Ðèñ. 209