Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл

Подождите немного. Документ загружается.

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

433

432

Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

1. Ïóñòü öåíòðû îêðóæíîñòåé ñîâïàäàþò (òàêèå

îêðóæíîñòè íàçûâàþòñÿ êîíöåíòðè÷åñêèìè). Åñëè

èõ ðàäèóñû íå ðàâíû, òî îäíà îêðóæíîñòü ëåæèò âíóò-

ðè äðóãîé (ðèñ. 210, à). Åñëè æå ðàäèóñû ðàâíû, òî

îêðóæíîñòè ñîâïàäàþò.

2. Ïóñòü öåíòðû îêðóæíîñòåé íå ñîâïàäàþò. Ïðÿ-

ìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòðû îêðóæíîñòåé, íàçû-

âàåòñÿ ëèíèåé öåíòðîâ. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå îê-

ðóæíîñòåé çàâèñèò îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó äëèíîé

îòðåçêà, ñîåäèíÿþùåãî öåíòðû, è âåëè÷èíàìè ðà-

äèóñîâ îêðóæíîñòåé

:)( rRr >

rRd -<

 îäíà èç îêðóæíîñòåé ëåæèò âíóòðè

äðóãîé (ðèñ. 210, á);

rRd -=

 îêðóæíîñòè êàñàþòñÿ âíóòðåííèì

îáðàçîì (ðèñ. 210, â);

rRdrR +<<-

 îêðóæíîñòè ïåðåñåêàþòñÿ â

äâóõ òî÷êàõ, ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî ëèíèè öåí-

òðîâ (ðèñ. 210, ã);

rRd +=

 îêðóæíîñòè êàñàþòñÿ âíåøíèì îá-

ðàçîì (ðèñ. 210, ä);

rRd +>

 îêðóæíîñòè íå èìåþò îáùèõ òî÷åê,

êàæäàÿ îêðóæíîñòü öåëèêîì ëåæèò âíå äðóãîé

(ðèñ. 210, å).

Åñëè ðàäèóñû îêðóæíîñòåé ðàâíû, òî âîçìîæíû

òîëüêî òðè ïîñëåäíèõ ñëó÷àÿ: ïåðåñå÷åíèå, âíåøíåå

êàñàíèå, âíåøíåå ðàñïîëîæåíèå.

§ 33. Óãëû è ïðîïîðöèîíàëüíûå

îòðåçêè â êðóãå

286. Óãëû ñ âåðøèíîé íà îêðóæíîñòè. Óãîë, ñî-

ñòàâëåííûé äâóìÿ õîðäàìè, èñõîäÿùèìè èç îäíîé

òî÷êè îêðóæíîñòè, íàçûâàåòñÿ âïèñàííûì (ðèñ. 211).

Ò.9.26. Óãîë, âïèñàííûé â îêðóæíîñòü, èçìåðÿåòñÿ

ïîëîâèíîé äóãè, íà êîòîðóþ îí îïèðàåòñÿ.

Íàïðèìåð, åñëè äóãà, íà êîòîðóþ îïèðàåòñÿ

âïèñàííûé óãîë, ðàâíà 60° , òî ýòîò óãîë ðàâåí

30° (ðèñ. 212).

Ðèñ. 210

a) ã)

á)

ä)

å)

â)

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

433

432

Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

1. Ïóñòü öåíòðû îêðóæíîñòåé ñîâïàäàþò (òàêèå

îêðóæíîñòè íàçûâàþòñÿ êîíöåíòðè÷åñêèìè). Åñëè

èõ ðàäèóñû íå ðàâíû, òî îäíà îêðóæíîñòü ëåæèò âíóò-

ðè äðóãîé (ðèñ. 210, à). Åñëè æå ðàäèóñû ðàâíû, òî

îêðóæíîñòè ñîâïàäàþò.

2. Ïóñòü öåíòðû îêðóæíîñòåé íå ñîâïàäàþò. Ïðÿ-

ìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòðû îêðóæíîñòåé, íàçû-

âàåòñÿ ëèíèåé öåíòðîâ. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå îê-

ðóæíîñòåé çàâèñèò îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó äëèíîé

îòðåçêà, ñîåäèíÿþùåãî öåíòðû, è âåëè÷èíàìè ðà-

äèóñîâ îêðóæíîñòåé

:)( rRr >

rRd -<

 îäíà èç îêðóæíîñòåé ëåæèò âíóòðè

äðóãîé (ðèñ. 210, á);

rRd -=

 îêðóæíîñòè êàñàþòñÿ âíóòðåííèì

îáðàçîì (ðèñ. 210, â);

rRdrR +<<-

 îêðóæíîñòè ïåðåñåêàþòñÿ â

äâóõ òî÷êàõ, ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî ëèíèè öåí-

òðîâ (ðèñ. 210, ã);

rRd +=

 îêðóæíîñòè êàñàþòñÿ âíåøíèì îá-

ðàçîì (ðèñ. 210, ä);

rRd +>

 îêðóæíîñòè íå èìåþò îáùèõ òî÷åê,

êàæäàÿ îêðóæíîñòü öåëèêîì ëåæèò âíå äðóãîé

(ðèñ. 210, å).

Åñëè ðàäèóñû îêðóæíîñòåé ðàâíû, òî âîçìîæíû

òîëüêî òðè ïîñëåäíèõ ñëó÷àÿ: ïåðåñå÷åíèå, âíåøíåå

êàñàíèå, âíåøíåå ðàñïîëîæåíèå.

§ 33. Óãëû è ïðîïîðöèîíàëüíûå

îòðåçêè â êðóãå

286. Óãëû ñ âåðøèíîé íà îêðóæíîñòè. Óãîë, ñî-

ñòàâëåííûé äâóìÿ õîðäàìè, èñõîäÿùèìè èç îäíîé

òî÷êè îêðóæíîñòè, íàçûâàåòñÿ âïèñàííûì (ðèñ. 211).

Ò.9.26. Óãîë, âïèñàííûé â îêðóæíîñòü, èçìåðÿåòñÿ

ïîëîâèíîé äóãè, íà êîòîðóþ îí îïèðàåòñÿ.

Íàïðèìåð, åñëè äóãà, íà êîòîðóþ îïèðàåòñÿ

âïèñàííûé óãîë, ðàâíà 60° , òî ýòîò óãîë ðàâåí

30° (ðèñ. 212).

Ðèñ. 210

a) ã)

á)

ä)

å)

â)

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

435

434

Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Âïèñàííûé óãîë, îïèðàþùèéñÿ íà äèàìåòð,  ïðÿ-

ìîé, ïîñêîëüêó äóãà, ñòÿãèâàåìàÿ äèàìåòðîì, ðàâíà

180° (ðèñ. 213).

Ðàíåå (ñì. ï. 256) ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ãåîìåòðè-

÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, èç êîòîðûõ äàííûé îòðåçîê ÀÂ

âèäåí ïîä äàííûì óãëîì

,  ýòî äóãà, â êîòîðóþ

âïèñàí óãîë

(è äóãà, ñèììåòðè÷íàÿ ñ íåé îòíîñè-

òåëüíî ÀÂ). Îòðåçîê ÀÂ ÿâëÿåòñÿ õîðäîé, ñòÿãèâàþ-

ùåé ýòó äóãó (ñì. ðèñ. 132, á).

Ï ð è ì å ð 1. Õîðäà äåëèò îêðóæíîñòü íà äâå

äóãè, îäíà èç êîòîðûõ ñîñòàâëÿåò 125% äðóãîé. Íàé-

òè âåëè÷èíû âïèñàííûõ óãëîâ, îïèðàþùèõñÿ íà ýòó

õîðäó.

q Ïóñòü ìåíüøàÿ äóãà ñîäåðæèò õ°, òîãäà áîëü-

øàÿ äóãà ñîäåðæèò

°x

÷òî â ñóììå äàåò

°x

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñóììà ýòèõ äóã ðàâíà 360°, ïîýòîìó

ìåíüøàÿ èç íèõ ðàâíà

,160360

°=°×

à áXîëüøàÿ

ðàâíà 200° . Îòñþäà,èñïîëüçóÿ òåîðåìó 9.26, íàõî-

äèì èñêîìûå âåëè÷èíû âïèñàííûõ óãëîâ: 80° è

100°. n

Ò.9.27. Óãîë ìåæäó êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè â

íåêîòîðîé åå òî÷êå è õîðäîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òó

æå òî÷êó, èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé äóãè îêðóæíîñ-

òè, ëåæàùåé âíóòðè ýòîãî óãëà.

Òàê, óãîë ÂÌÀ (ðèñ. 214) èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé

äóãè

.AnM

Ï ð è ì å ð 2. ×åðåç òî÷êó, ëåæàùóþ íà îêðóæ-

íîñòè, ïðîâåäåíû õîðäà è êàñàòåëüíàÿ. Íàéòè îñò-

ðûé óãîë ìåæäó íèìè, åñëè öåíòðàëüíûé óãîë, îïè-

ðàþùèéñÿ íà ýòó õîðäó, ðàâåí 140° (ðèñ. 215).

Ðèñ. 212Ðèñ. 211

Ðèñ. 213 Ðèñ. 214

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

435

434

Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Âïèñàííûé óãîë, îïèðàþùèéñÿ íà äèàìåòð,  ïðÿ-

ìîé, ïîñêîëüêó äóãà, ñòÿãèâàåìàÿ äèàìåòðîì, ðàâíà

180° (ðèñ. 213).

Ðàíåå (ñì. ï. 256) ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ãåîìåòðè-

÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, èç êîòîðûõ äàííûé îòðåçîê ÀÂ

âèäåí ïîä äàííûì óãëîì

,  ýòî äóãà, â êîòîðóþ

âïèñàí óãîë

(è äóãà, ñèììåòðè÷íàÿ ñ íåé îòíîñè-

òåëüíî ÀÂ). Îòðåçîê ÀÂ ÿâëÿåòñÿ õîðäîé, ñòÿãèâàþ-

ùåé ýòó äóãó (ñì. ðèñ. 132, á).

Ï ð è ì å ð 1. Õîðäà äåëèò îêðóæíîñòü íà äâå

äóãè, îäíà èç êîòîðûõ ñîñòàâëÿåò 125% äðóãîé. Íàé-

òè âåëè÷èíû âïèñàííûõ óãëîâ, îïèðàþùèõñÿ íà ýòó

õîðäó.

q Ïóñòü ìåíüøàÿ äóãà ñîäåðæèò õ°, òîãäà áîëü-

øàÿ äóãà ñîäåðæèò

°x

÷òî â ñóììå äàåò

°x

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñóììà ýòèõ äóã ðàâíà 360°, ïîýòîìó

ìåíüøàÿ èç íèõ ðàâíà

,160360

°=°×

à áXîëüøàÿ

ðàâíà 200° . Îòñþäà,èñïîëüçóÿ òåîðåìó 9.26, íàõî-

äèì èñêîìûå âåëè÷èíû âïèñàííûõ óãëîâ: 80° è

100°. n

Ò.9.27. Óãîë ìåæäó êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè â

íåêîòîðîé åå òî÷êå è õîðäîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òó

æå òî÷êó, èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé äóãè îêðóæíîñ-

òè, ëåæàùåé âíóòðè ýòîãî óãëà.

Òàê, óãîë ÂÌÀ (ðèñ. 214) èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé

äóãè

.AnM

Ï ð è ì å ð 2. ×åðåç òî÷êó, ëåæàùóþ íà îêðóæ-

íîñòè, ïðîâåäåíû õîðäà è êàñàòåëüíàÿ. Íàéòè îñò-

ðûé óãîë ìåæäó íèìè, åñëè öåíòðàëüíûé óãîë, îïè-

ðàþùèéñÿ íà ýòó õîðäó, ðàâåí 140° (ðèñ. 215).

Ðèñ. 212Ðèñ. 211

Ðèñ. 213 Ðèñ. 214

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

437

436

Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

q Äóãè FH è GE â ñóììå ñîäåðæàò 218°, ïîýòîìó

äóãè HE è FG äàþò â ñóììå 142°. Ñîãëàñíî òåîðåìå

9.28, óãîë FKG èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé ýòîé âåëè÷è-

íû, ò. å. îí ðàâåí 71°. n

Ðàññìîòðèì òåïåðü óãîë, îáðàçîâàííûé äâóìÿ ñå-

êóùèìè, ïðîâåäåííûìè èç òî÷êè, ëåæàùåé âíå êðó-

ãà (íà ðèñ. 218  ýòî óãîë

BMA

¢¢

Ò.9.29. Óãîë, îáðàçîâàííûé äâóìÿ ñåêóùèìè, ïðîâå-

äåííûìè èç âíåøíåé òî÷êè, èçìåðÿåòñÿ ïîëóðàç-

íîñòüþ äóã, ëåæàùèõ âíóòðè íåãî.

Òàê, óãîë

BMA

¢¢

èçìåðÿåòñÿ ïîëóðàçíîñòüþ äóã

¢¢

è ÀÂ (ðèñ. 218).

Òåîðåìà 9.28 îñòàåòñÿ âåðíîé è â òîì ñëó÷àå, êîã-

äà îäíà èç ñòîðîí óãëà èëè îáå ÿâëÿþòñÿ êàñàòåëü-

íûìè ê îêðóæíîñòè.

Ï ð è ì å ð 2. Èç òî÷êè Ì, ëåæàùåé âíå êðóãà

(ðèñ. 219), ïðîâåäåíû ñåêóùèå MDA è ÌÅÑ, îáðàçó-

þùèå óãîë ÀÌÑ, ðàâíûé 33°. Ñêîëüêî ãðàäóñîâ ñî-

äåðæàò äóãè ÀÑ è DE, åñëè ïåðâàÿ èç íèõ â 2,5 ðàçà

áîëüøå âòîðîé?

q Ñîãëàñíî òåîðåìå 9.27, îñòðûé óãîë ÂÌÀ ìåæ-

äó êàñàòåëüíîé ÂÌ è õîðäîé ÀÌ èçìåðÿåòñÿ ïîëî-

âèíîé äóãè

.AnM

Íî öåíòðàëüíûé óãîë ÀÎÌ èç-

ìåðÿåòñÿ äóãîé

,AnM

ïîýòîìó èñêîìûé óãîë ÂÌÀ

âäâîå ìåíüøå óãëà ÀÎÌ, ò. å. îí ðàâåí 70° . n

287. Óãëû ñ âåðøèíîé âíóòðè è âíå êðóãà. Ðàñ-

ñìîòðèì óãîë, êîòîðûé îáðàçîâàí äâóìÿ õîðäàìè,

ïåðåñåêàþùèìèñÿ âíóòðè êðóãà (íà ðèñ. 216 ýòî óãîë

ÀÌÂ).

Ò.9.28. Óãîë, îáðàçîâàííûé äâóìÿ õîðäàìè, ïåðåñåêà-

þùèìèñÿ âíóòðè êðóãà, èçìåðÿåòñÿ ïîëóñóììîé

äóã, ëåæàùèõ âíóòðè äàííîãî óãëà è óãëà ñ íèì

âåðòèêàëüíîãî.

Òàê, óãîë ÀÌÂ èçìåðÿåòñÿ ïîëóñóììîé äóã ÀÂ è

¢¢

(ðèñ. 216).

Ï ð è ì å ð 1. Äèàìåòð FE è õîðäà HG ïåðåñåêà-

þòñÿ â òî÷êå K, ïðè÷åì äóãà FH ñîäåðæèò 120°, à

äóãà GE  98°. Íàéòè óãîë FKG (ðèñ. 217).

Ðèñ. 216Ðèñ. 215

Ðèñ. 217

Ðèñ. 218

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

437

436

Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

q Äóãè FH è GE â ñóììå ñîäåðæàò 218°, ïîýòîìó

äóãè HE è FG äàþò â ñóììå 142°. Ñîãëàñíî òåîðåìå

9.28, óãîë FKG èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé ýòîé âåëè÷è-

íû, ò. å. îí ðàâåí 71°. n

Ðàññìîòðèì òåïåðü óãîë, îáðàçîâàííûé äâóìÿ ñå-

êóùèìè, ïðîâåäåííûìè èç òî÷êè, ëåæàùåé âíå êðó-

ãà (íà ðèñ. 218  ýòî óãîë

BMA

¢¢

Ò.9.29. Óãîë, îáðàçîâàííûé äâóìÿ ñåêóùèìè, ïðîâå-

äåííûìè èç âíåøíåé òî÷êè, èçìåðÿåòñÿ ïîëóðàç-

íîñòüþ äóã, ëåæàùèõ âíóòðè íåãî.

Òàê, óãîë

BMA

¢¢

èçìåðÿåòñÿ ïîëóðàçíîñòüþ äóã

¢¢

è ÀÂ (ðèñ. 218).

Òåîðåìà 9.28 îñòàåòñÿ âåðíîé è â òîì ñëó÷àå, êîã-

äà îäíà èç ñòîðîí óãëà èëè îáå ÿâëÿþòñÿ êàñàòåëü-

íûìè ê îêðóæíîñòè.

Ï ð è ì å ð 2. Èç òî÷êè Ì, ëåæàùåé âíå êðóãà

(ðèñ. 219), ïðîâåäåíû ñåêóùèå MDA è ÌÅÑ, îáðàçó-

þùèå óãîë ÀÌÑ, ðàâíûé 33°. Ñêîëüêî ãðàäóñîâ ñî-

äåðæàò äóãè ÀÑ è DE, åñëè ïåðâàÿ èç íèõ â 2,5 ðàçà

áîëüøå âòîðîé?

q Ñîãëàñíî òåîðåìå 9.27, îñòðûé óãîë ÂÌÀ ìåæ-

äó êàñàòåëüíîé ÂÌ è õîðäîé ÀÌ èçìåðÿåòñÿ ïîëî-

âèíîé äóãè

.AnM

Íî öåíòðàëüíûé óãîë ÀÎÌ èç-

ìåðÿåòñÿ äóãîé

,AnM

ïîýòîìó èñêîìûé óãîë ÂÌÀ

âäâîå ìåíüøå óãëà ÀÎÌ, ò. å. îí ðàâåí 70° . n

287. Óãëû ñ âåðøèíîé âíóòðè è âíå êðóãà. Ðàñ-

ñìîòðèì óãîë, êîòîðûé îáðàçîâàí äâóìÿ õîðäàìè,

ïåðåñåêàþùèìèñÿ âíóòðè êðóãà (íà ðèñ. 216 ýòî óãîë

ÀÌÂ).

Ò.9.28. Óãîë, îáðàçîâàííûé äâóìÿ õîðäàìè, ïåðåñåêà-

þùèìèñÿ âíóòðè êðóãà, èçìåðÿåòñÿ ïîëóñóììîé

äóã, ëåæàùèõ âíóòðè äàííîãî óãëà è óãëà ñ íèì

âåðòèêàëüíîãî.

Òàê, óãîë ÀÌÂ èçìåðÿåòñÿ ïîëóñóììîé äóã ÀÂ è

¢¢

(ðèñ. 216).

Ï ð è ì å ð 1. Äèàìåòð FE è õîðäà HG ïåðåñåêà-

þòñÿ â òî÷êå K, ïðè÷åì äóãà FH ñîäåðæèò 120°, à

äóãà GE  98°. Íàéòè óãîë FKG (ðèñ. 217).

Ðèñ. 216Ðèñ. 215

Ðèñ. 217

Ðèñ. 218

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

439

438

Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

q Ñîãëàñíî òåîðåìå 9.29, óãîë ÀÌÑ èçìåðÿåòñÿ

ïîëóðàçíîñòüþ äóã ÀÑ è DE, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ðàç-

íîñòü äóã ÀÑ è DE ðàâíà 66°. Ïóñòü äóãà DE ñîäåð-

æèò õ°, çíà÷èò äóãà ÀÑ ñîäåðæèò 2,5õ°, à èõ ðàçíîñòü

ðàâíà 1,5õ° . Òîãäà ïîëó÷àåì óðàâíåíèå 1,5õ =

= 66, îòêóäà õ = 44, 2,5õ = 110. Èòàê, »AC = 110°,

» DE = 44°.n

288. ×åòûðåõóãîëüíèêè, âïèñàííûå â îêðóæ-

íîñòü è îïèñàííûå îêîëî íåå. Êàê èçâåñòíî, âî âñÿ-

êèé òðåóãîëüíèê ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü è îêî-

ëî âñÿêîãî òðåóãîëüíèêà ìîæíî îïèñàòü îêðóæ-

íîñòü. Â ñëó÷àå ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ ýòî íå òàê, à

èìåííî, äëÿ âïèñàííûõ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ ñïðàâåä-

ëèâî óòâåðæäåíèå:

Ò.9.30. Åñëè ÷åòûðåõóãîëüíèê âïèñàí â îêðóæíîñòü,

òî ñóììà åãî ïðîòèâîïîëîæíûõ óãëîâ ðàâíà 180°.

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî èç âñåõ ïàðàëëåëîãðàììîâ

îêðóæíîñòü ìîæíî îïèñàòü òîëüêî îêîëî ïðÿìîóãîëü-

íèêà, à èç âñåõ òðàïåöèé  òîëüêî îêîëî ðàâíîáî÷-

íîé òðàïåöèè.

Îòìåòèì åùå îäíî ñâîéñòâî âïèñàííîãî ÷åòûðåõ-

óãîëüíèêà. Ïóñòü â ïðîèçâîëüíîì âïèñàííîì ÷åòû-

ðåõóãîëüíèêå ïðîâåäåíû äèàãîíàëè. Òîãäà ïðîèçâå-

äåíèÿ îòðåçêîâ, íà êîòîðûå äèàãîíàëè ðàçáèâàþò-

ñÿ òî÷êîé èõ ïåðåñå÷åíèÿ, ðàâíû (ñì. òåîðåìó

9.33 â ï. 289). Íàïðèìåð, äëÿ âïèñàííîãî ÷åòûðåõ-

óãîëüíèêà ABCD (ðèñ. 220) âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

.FDBFFCAF ×=×

Íàêîíåö, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ñâîéñòâî (òåî-

ðåìà Ïòîëåìåÿ): âî âïèñàííîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå

ïðîèçâåäåíèå äèàãîíàëåé ðàâíî ñóììå ïðîèçâåäåíèé

åãî ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí (ðèñ. 220), ò. å.

.ADBCCDABBDAC ×+×=×

Ï ð è ì å ð 1. Â ÷åòûðåõóãîëüíèêå ABCD äèàãî-

íàëü ÀÑ ñëóæèò äèàìåòðîì îïèñàííîé îêîëî íåãî

îêðóæíîñòè, à äèàãîíàëü BD  õîðäîé, ñîñòàâëÿþ-

ùåé ñ ÀÑ óãîë 30°. Òî÷êà Ð ïåðåñå÷åíèÿ õîðäû è

äèàìåòðà äåëèò ÀÑ íà îòðåçêè ÀÐ = 16 ñì, ÐÑ = 6 ñì.

Íàéòè îòðåçêè DP è ÐÂ, åñëè ïëîùàäü ÷åòûðåõ-

óãîëüíèêà ðàâíà 110 ñì

(ðèñ. 221).

q Èìååì

°×= 30sin5,0 BDACS

(ñì. ï. 277), èëè

,5,0225,0110 BD××=

îòêóäà BD = 20 (ñì). Òåïåðü

ïîëîæèì DP = õ, ÐÂ = 20  õ è âîñïîëüçóåìñÿ òåì,

÷òî âî âïèñàííîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå

=× PCAP

.PBDP ×=

Òîãäà

),20(616 xx -=×

îòêóäà íàõîäèì

12=DP

ñì, ÐÂ = 8 ñì. n

Ðèñ. 219 Ðèñ. 220

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

439

438

Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

q Ñîãëàñíî òåîðåìå 9.29, óãîë ÀÌÑ èçìåðÿåòñÿ

ïîëóðàçíîñòüþ äóã ÀÑ è DE, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ðàç-

íîñòü äóã ÀÑ è DE ðàâíà 66°. Ïóñòü äóãà DE ñîäåð-

æèò õ°, çíà÷èò äóãà ÀÑ ñîäåðæèò 2,5õ°, à èõ ðàçíîñòü

ðàâíà 1,5õ° . Òîãäà ïîëó÷àåì óðàâíåíèå 1,5õ =

= 66, îòêóäà õ = 44, 2,5õ = 110. Èòàê, »AC = 110°,

» DE = 44°.n

288. ×åòûðåõóãîëüíèêè, âïèñàííûå â îêðóæ-

íîñòü è îïèñàííûå îêîëî íåå. Êàê èçâåñòíî, âî âñÿ-

êèé òðåóãîëüíèê ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü è îêî-

ëî âñÿêîãî òðåóãîëüíèêà ìîæíî îïèñàòü îêðóæ-

íîñòü. Â ñëó÷àå ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ ýòî íå òàê, à

èìåííî, äëÿ âïèñàííûõ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ ñïðàâåä-

ëèâî óòâåðæäåíèå:

Ò.9.30. Åñëè ÷åòûðåõóãîëüíèê âïèñàí â îêðóæíîñòü,

òî ñóììà åãî ïðîòèâîïîëîæíûõ óãëîâ ðàâíà 180°.

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî èç âñåõ ïàðàëëåëîãðàììîâ

îêðóæíîñòü ìîæíî îïèñàòü òîëüêî îêîëî ïðÿìîóãîëü-

íèêà, à èç âñåõ òðàïåöèé  òîëüêî îêîëî ðàâíîáî÷-

íîé òðàïåöèè.

Îòìåòèì åùå îäíî ñâîéñòâî âïèñàííîãî ÷åòûðåõ-

óãîëüíèêà. Ïóñòü â ïðîèçâîëüíîì âïèñàííîì ÷åòû-

ðåõóãîëüíèêå ïðîâåäåíû äèàãîíàëè. Òîãäà ïðîèçâå-

äåíèÿ îòðåçêîâ, íà êîòîðûå äèàãîíàëè ðàçáèâàþò-

ñÿ òî÷êîé èõ ïåðåñå÷åíèÿ, ðàâíû (ñì. òåîðåìó

9.33 â ï. 289). Íàïðèìåð, äëÿ âïèñàííîãî ÷åòûðåõ-

óãîëüíèêà ABCD (ðèñ. 220) âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

.FDBFFCAF ×=×

Íàêîíåö, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ñâîéñòâî (òåî-

ðåìà Ïòîëåìåÿ): âî âïèñàííîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå

ïðîèçâåäåíèå äèàãîíàëåé ðàâíî ñóììå ïðîèçâåäåíèé

åãî ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí (ðèñ. 220), ò. å.

.ADBCCDABBDAC ×+×=×

Ï ð è ì å ð 1. Â ÷åòûðåõóãîëüíèêå ABCD äèàãî-

íàëü ÀÑ ñëóæèò äèàìåòðîì îïèñàííîé îêîëî íåãî

îêðóæíîñòè, à äèàãîíàëü BD  õîðäîé, ñîñòàâëÿþ-

ùåé ñ ÀÑ óãîë 30°. Òî÷êà Ð ïåðåñå÷åíèÿ õîðäû è

äèàìåòðà äåëèò ÀÑ íà îòðåçêè ÀÐ = 16 ñì, ÐÑ = 6 ñì.

Íàéòè îòðåçêè DP è ÐÂ, åñëè ïëîùàäü ÷åòûðåõ-

óãîëüíèêà ðàâíà 110 ñì

(ðèñ. 221).

q Èìååì

°×= 30sin5,0 BDACS

(ñì. ï. 277), èëè

,5,0225,0110 BD××=

îòêóäà BD = 20 (ñì). Òåïåðü

ïîëîæèì DP = õ, ÐÂ = 20  õ è âîñïîëüçóåìñÿ òåì,

÷òî âî âïèñàííîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå

=× PCAP

.PBDP ×=

Òîãäà

),20(616 xx -=×

îòêóäà íàõîäèì

12=DP

ñì, ÐÂ = 8 ñì. n

Ðèñ. 219 Ðèñ. 220

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

441

440

Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Äëÿ îïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ñïðàâåäëèâî

óòâåðæäåíèå:

Ò.9.31. Åñëè ÷åòûðåõóãîëüíèê îïèñàí îêîëî îêðóæ-

íîñòè, òî ñóììû äëèí åãî ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòî-

ðîí ðàâíû.

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî èç âñåõ ïàðàëëåëîãðàììîâ îê-

ðóæíîñòü ìîæíî âïèñàòü òîëüêî â ðîìá, à èç âñåõ

òðàïåöèé  òîëüêî â òàêóþ ðàâíîáî÷íóþ òðàïåöèþ,

ó êîòîðîé ñóììà äëèí îñíîâàíèé ðàâíà ñóììå äëèí

áîêîâûõ ñòîðîí.

Íàïðèìåð, â ðàâíîáî÷íóþ òðàïåöèþ ñ îñíîâàíèÿ-

ìè 2 è 12 è ñ áîêîâîé ñòîðîíîé 7 ìîæíî âïèñàòü

îêðóæíîñòü, à â ðàâíîáî÷íóþ òðàïåöèþ ñ òåìè æå

îñíîâàíèÿìè è ñ áîêîâîé ñòîðîíîé 5  íåëüçÿ (õîòÿ

îêîëî íåå ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü).

Ï ð è ì å ð 2. Îêîëî îêðóæíîñòè îïèñàí ÷åòû-

ðåõóãîëüíèê ÀÂÑD (ðèñ. 222), â êîòîðîì

,90°=ÐC

14=AD

ñì, BF = 2 ñì è

,25,0

OFCGOFB

ãäå OF

è OG  ðàäèóñû îêðóæíîñòè, ïðîâåäåííûå â òî÷êè

êàñàíèÿ. Íàéòè S

ABCD

q Ïóñòü OF = x; òîãäà ïëîùàäü êâàäðàòà OFCG

ðàâíà õ

, ÷òî ïî óñëîâèþ ñîñòàâëÿåò =

DOFB

,225,04 xBFOF ×=××=

îòêóäà õ = 4 (ñì). Çíà÷èò,

ÂÑ = BF + FC = 6 (ñì). Òàê êàê ÷åòûðåõóãîëüíèê

âïèñàí â îêðóæíîñòü, òî ÀÂ + CD = AD + BC =

= 20 ñì. Èñêîìóþ ïëîùàäü íàõîäèì ïî ôîðìóëå

prS =

(ñì. ï. 277), ãäå ð = 20 ñì, r = 4 ñì. Èòàê,

80=

ABCD

ñì

. n

289. Ïðîïîðöèîíàëüíûå îòðåçêè â êðóãå. Ïóñòü

èç îäíîé òî÷êè, ëåæàùåé âíå êðóãà, ïðîâåäåíû ñåêó-

ùàÿ ÀÂ è êàñàòåëüíàÿ ÀÒ (ðèñ. 223). Áóäåì íàçû-

âàòü îòðåçîê ìåæäó òî÷êîé À è áëèæàéøåé ê íåé

òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ ñ îêðóæíîñòüþ âíåøíåé ÷àñòüþ

ñåêóùåé (îòðåçîê ÀÑ íà ðèñ. 223). Òîãäà ñïðàâåäëè-

âî òàêîå óòâåðæäåíèå:

Ò.9.32. Êâàäðàò êàñàòåëüíîé ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ

ñåêóùåé íà åå âíåøíþþ ÷àñòü, ò. å.

ATACAB =×

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ðàâíà ñðåäíåìó

ãåîìåòðè÷åñêîìó ìåæäó ñåêóùåé, ïðîâåäåííîé èç òîé

æå òî÷êè, è âíåøíåé ÷àñòüþ ýòîé ñåêóùåé.

Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîé ñåêóùåé, ïðîõîäÿùåé ÷å-

ðåç äàííóþ òî÷êó, ïðîèçâåäåíèå äëèíû ñåêó-

ùåé íà åå âíåøíþþ ÷àñòü ïîñòîÿííî:

=×

ACAB

ACAB ×=

(ðèñ. 224).

Ðèñ. 222Ðèñ. 221

Ðèñ. 223 Ðèñ. 224

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

441

440

Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Äëÿ îïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ñïðàâåäëèâî

óòâåðæäåíèå:

Ò.9.31. Åñëè ÷åòûðåõóãîëüíèê îïèñàí îêîëî îêðóæ-

íîñòè, òî ñóììû äëèí åãî ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòî-

ðîí ðàâíû.

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî èç âñåõ ïàðàëëåëîãðàììîâ îê-

ðóæíîñòü ìîæíî âïèñàòü òîëüêî â ðîìá, à èç âñåõ

òðàïåöèé  òîëüêî â òàêóþ ðàâíîáî÷íóþ òðàïåöèþ,

ó êîòîðîé ñóììà äëèí îñíîâàíèé ðàâíà ñóììå äëèí

áîêîâûõ ñòîðîí.

Íàïðèìåð, â ðàâíîáî÷íóþ òðàïåöèþ ñ îñíîâàíèÿ-

ìè 2 è 12 è ñ áîêîâîé ñòîðîíîé 7 ìîæíî âïèñàòü

îêðóæíîñòü, à â ðàâíîáî÷íóþ òðàïåöèþ ñ òåìè æå

îñíîâàíèÿìè è ñ áîêîâîé ñòîðîíîé 5  íåëüçÿ (õîòÿ

îêîëî íåå ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü).

Ï ð è ì å ð 2. Îêîëî îêðóæíîñòè îïèñàí ÷åòû-

ðåõóãîëüíèê ÀÂÑD (ðèñ. 222), â êîòîðîì

,90°=ÐC

14=AD

ñì, BF = 2 ñì è

,25,0

OFCGOFB

ãäå OF

è OG  ðàäèóñû îêðóæíîñòè, ïðîâåäåííûå â òî÷êè

êàñàíèÿ. Íàéòè S

ABCD

q Ïóñòü OF = x; òîãäà ïëîùàäü êâàäðàòà OFCG

ðàâíà õ

, ÷òî ïî óñëîâèþ ñîñòàâëÿåò =

DOFB

,225,04 xBFOF ×=××=

îòêóäà õ = 4 (ñì). Çíà÷èò,

ÂÑ = BF + FC = 6 (ñì). Òàê êàê ÷åòûðåõóãîëüíèê

âïèñàí â îêðóæíîñòü, òî ÀÂ + CD = AD + BC =

= 20 ñì. Èñêîìóþ ïëîùàäü íàõîäèì ïî ôîðìóëå

prS =

(ñì. ï. 277), ãäå ð = 20 ñì, r = 4 ñì. Èòàê,

80=

ABCD

ñì

. n

289. Ïðîïîðöèîíàëüíûå îòðåçêè â êðóãå. Ïóñòü

èç îäíîé òî÷êè, ëåæàùåé âíå êðóãà, ïðîâåäåíû ñåêó-

ùàÿ ÀÂ è êàñàòåëüíàÿ ÀÒ (ðèñ. 223). Áóäåì íàçû-

âàòü îòðåçîê ìåæäó òî÷êîé À è áëèæàéøåé ê íåé

òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ ñ îêðóæíîñòüþ âíåøíåé ÷àñòüþ

ñåêóùåé (îòðåçîê ÀÑ íà ðèñ. 223). Òîãäà ñïðàâåäëè-

âî òàêîå óòâåðæäåíèå:

Ò.9.32. Êâàäðàò êàñàòåëüíîé ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ

ñåêóùåé íà åå âíåøíþþ ÷àñòü, ò. å.

ATACAB =×

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ðàâíà ñðåäíåìó

ãåîìåòðè÷åñêîìó ìåæäó ñåêóùåé, ïðîâåäåííîé èç òîé

æå òî÷êè, è âíåøíåé ÷àñòüþ ýòîé ñåêóùåé.

Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîé ñåêóùåé, ïðîõîäÿùåé ÷å-

ðåç äàííóþ òî÷êó, ïðîèçâåäåíèå äëèíû ñåêó-

ùåé íà åå âíåøíþþ ÷àñòü ïîñòîÿííî:

=×

ACAB

ACAB ×=

(ðèñ. 224).

Ðèñ. 222Ðèñ. 221

Ðèñ. 223 Ðèñ. 224