Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
443
442
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ï ð è ì å ð 1. Èç òî÷êè, ëåæàùåé âíå îêðóæíî-
ñòè, ïðîâåäåíû êàñàòåëüíàÿ è ñåêóùàÿ. Êàñàòåëüíàÿ
ìåíüøå ñåêóùåé íà
m
è áîëüøå âíåøíåé ÷àñòè ñå-
êóùåé íà
.n
Íàéòè äëèíó êàñàòåëüíîé.
q Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèÿ, ïðèâåäåííûå íà ðèñ.
223, èìååì:
., nACATmATAB =-=-
Ïóñòü ÀÒ =
= õ; òîãäà
., nxACxmAB -=+=
Ñîãëàñíî òåîðåìå
9.32, ÀB · ÀC = ÀÒ
2
, ò. å.
,)()(
2
xnxxm =-+
îòêóäà
.
nm
mn
x
-
=
n
Ðàññìîòðèì òåïåðü õîðäû, ïåðåñåêàþùèåñÿ âíóò-
ðè êðóãà. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Ò.9.33. Åñëè äâå õîðäû ïåðåñåêàþòñÿ, òî ïðîèçâåäå-
íèå îòðåçêîâ îäíîé õîðäû ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ
îòðåçêîâ äðóãîé õîðäû.
Íàïðèìåð, õîðäû AB è CD (ðèñ. 225) ïåðåñåêàþò-
ñÿ â òî÷êå Ì è âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
=× MBAM
.MDCM ×=
Äðóãèìè ñëîâàìè, äëÿ äàííîé òî÷êè
ïðîèçâåäåíèå îòðåçêîâ, íà êîòîðûå îíà ðàçáèâàåò
ëþáóþ ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç íåå õîðäó, ïîñòîÿííî.
Ï ð è ì å ð 2. ×åðåç òî÷êó Ð äèàìåòðà äàííîé
îêðóæíîñòè ïðîâåäåíà õîðäà ÀÂ, îáðàçóþùàÿ ñ äèà-
ìåòðîì óãîë 60°. Íàéòè ðàäèóñ îêðóæíîñòè, åñëè
ÀÐ = 6, ÂÐ = 4 (ðèñ. 226).
q Ïóñòü Î öåíòð îêðóæíîñòè, à MN äèà-
ìåòð, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç òî÷êó Ð. Ïðîâåäåì
;ABOK^
òîãäà ÂÊ = 0,5ÀÂ = 5, ÐÊ = 1. Â
D
ÎÊÐ
èìååì
=ÐKOP
,30°
ïîýòîìó ÎÐ = 2ÐÊ = 2, ÌÐ =
= õ + 2, PN = õ 2, ãäå õ èñêîìûé ðàäèóñ. Ñîãëàñ-
íî òåîðåìå 9.33,
,PBAPPNMP ×=×
èëè
(õ + 2) (õ 2) = 24, îòêóäà õ
2
= 28, ò. å.
.72=x
n
290. Äëèíà îêðóæíîñòè. Äëèíîé îêðóæíîñòè
íàçûâàåòñÿ îáùèé ïðåäåë, ê êîòîðîìó ñòðåìÿòñÿ ïå-
ðèìåòðû âïèñàííûõ è îïèñàííûõ ïðàâèëüíûõ ìíî-
ãîóãîëüíèêîâ ïðè íåîãðàíè÷åííîì óäâîåíèè ÷èñëà
èõ ñòîðîí.
Ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
,2 RC p=
(1)
ãäå Ñ äëèíà îêðóæíîñòè, R åå ðàäèóñ,
p èð-
ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî, ðàâíîå îòíîøåíèþ äëèíû îê-
ðóæíîñòè ê åå äèàìåòðó:
p
= 3,14159... .
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè äëèíó îêðóæíîñòè, îïèñàí-
íîé îêîëî ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, êàòåòû êî-
òîðîãî ðàâíû à è 3à.
q Íàéäåì äëèíó ãèïîòåíóçû:
.109
22
aaa =+
Òàê êàê öåíòðîì îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðÿ-
Ðèñ. 225 Ðèñ. 226
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
443
442
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ï ð è ì å ð 1. Èç òî÷êè, ëåæàùåé âíå îêðóæíî-
ñòè, ïðîâåäåíû êàñàòåëüíàÿ è ñåêóùàÿ. Êàñàòåëüíàÿ
ìåíüøå ñåêóùåé íà
m
è áîëüøå âíåøíåé ÷àñòè ñå-
êóùåé íà
.n
Íàéòè äëèíó êàñàòåëüíîé.
q Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèÿ, ïðèâåäåííûå íà ðèñ.
223, èìååì:
., nACATmATAB =-=-
Ïóñòü ÀÒ =
= õ; òîãäà
., nxACxmAB -=+=
Ñîãëàñíî òåîðåìå
9.32, ÀB · ÀC = ÀÒ
2
, ò. å.
,)()(
2
xnxxm =-+
îòêóäà
.
nm
mn
x
-
=
n
Ðàññìîòðèì òåïåðü õîðäû, ïåðåñåêàþùèåñÿ âíóò-
ðè êðóãà. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Ò.9.33. Åñëè äâå õîðäû ïåðåñåêàþòñÿ, òî ïðîèçâåäå-
íèå îòðåçêîâ îäíîé õîðäû ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ
îòðåçêîâ äðóãîé õîðäû.
Íàïðèìåð, õîðäû AB è CD (ðèñ. 225) ïåðåñåêàþò-
ñÿ â òî÷êå Ì è âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
=× MBAM
.MDCM ×=
Äðóãèìè ñëîâàìè, äëÿ äàííîé òî÷êè
ïðîèçâåäåíèå îòðåçêîâ, íà êîòîðûå îíà ðàçáèâàåò
ëþáóþ ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç íåå õîðäó, ïîñòîÿííî.
Ï ð è ì å ð 2. ×åðåç òî÷êó Ð äèàìåòðà äàííîé
îêðóæíîñòè ïðîâåäåíà õîðäà ÀÂ, îáðàçóþùàÿ ñ äèà-
ìåòðîì óãîë 60°. Íàéòè ðàäèóñ îêðóæíîñòè, åñëè
ÀÐ = 6, ÂÐ = 4 (ðèñ. 226).
q Ïóñòü Î öåíòð îêðóæíîñòè, à MN äèà-
ìåòð, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç òî÷êó Ð. Ïðîâåäåì
;ABOK^
òîãäà ÂÊ = 0,5ÀÂ = 5, ÐÊ = 1. Â
D
ÎÊÐ
èìååì
=ÐKOP
,30°
ïîýòîìó ÎÐ = 2ÐÊ = 2, ÌÐ =
= õ + 2, PN = õ 2, ãäå õ èñêîìûé ðàäèóñ. Ñîãëàñ-
íî òåîðåìå 9.33,
,PBAPPNMP ×=×
èëè
(õ + 2) (õ 2) = 24, îòêóäà õ
2
= 28, ò. å.
.72=x
n
290. Äëèíà îêðóæíîñòè. Äëèíîé îêðóæíîñòè
íàçûâàåòñÿ îáùèé ïðåäåë, ê êîòîðîìó ñòðåìÿòñÿ ïå-
ðèìåòðû âïèñàííûõ è îïèñàííûõ ïðàâèëüíûõ ìíî-
ãîóãîëüíèêîâ ïðè íåîãðàíè÷åííîì óäâîåíèè ÷èñëà
èõ ñòîðîí.
Ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
,2 RC p=
(1)
ãäå Ñ äëèíà îêðóæíîñòè, R åå ðàäèóñ,
p èð-
ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî, ðàâíîå îòíîøåíèþ äëèíû îê-
ðóæíîñòè ê åå äèàìåòðó:
p
= 3,14159... .
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè äëèíó îêðóæíîñòè, îïèñàí-
íîé îêîëî ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, êàòåòû êî-
òîðîãî ðàâíû à è 3à.
q Íàéäåì äëèíó ãèïîòåíóçû:
.109
22
aaa =+
Òàê êàê öåíòðîì îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðÿ-
Ðèñ. 225 Ðèñ. 226
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
445
444
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíà ãèïî-
òåíóçû, òî
.105,0 aR =
Òåïåðü ïî ôîðìóëå (1) ïîëó-
÷èì
.10105,02 aaC p=×p=
n
Ïðèâåäåì òåïåðü ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ äëè-
íû l ïðîèçâîëüíîé äóãè îêðóæíîñòè ðàäèóñà R. Ïóñòü
ýòà äóãà ñîîòâåòñòâóåò öåíòðàëüíîìó óãëó
°a
(â ãðà-
äóñíîé ìåðå) èëè
a
(â ðàäèàííîé ìåðå). Òîãäà
;
180°
°ap
=
R
l
(2)
.a= Rl
(3)
Èç ïîñëåäíåé ôîðìóëû âèäíî, ÷òî äëèíà äóãè îê-
ðóæíîñòè ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ åå ðàäèóñà íà öåíò-
ðàëüíûé óãîë, âûðàæåííûé â ðàäèàíàõ.
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè äëèíó äóãè â îäíó ìèíóòó
íà ýêâàòîðå Çåìëè, ñ÷èòàÿ ýêâàòîðèàëüíûé ðàäèóñ
Çåìëè ðàâíûì 6300 êì.
q Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (3), íàõîäèì
1830
60360
2
6300 »
×
p
×=a= Rl
(ì). n
291. Ïëîùàäü êðóãà è åãî ÷àñòåé. Ïëîùàäüþ êðó-
ãà íàçûâàåòñÿ îáùèé ïðåäåë, ê êîòîðîìó ñòðåìÿòñÿ
ïëîùàäè âïèñàííûõ è îïèñàííûõ ïðàâèëüíûõ ìíî-
ãîóãîëüíèêîâ ïðè íåîãðàíè÷åííîì óäâîåíèè ÷èñëà
èõ ñòîðîí.
Ïëîùàäü êðóãà íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
S
êðóãà
,
2
Rp=
(1)
ò. å. îíà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ äëèíû åãî
îêðóæíîñòè íà ðàäèóñ.
Åñëè âìåñòî ðàäèóñà R âçÿòü äèàìåòð D = 2R, òî
äëÿ ïëîùàäè êðóãà ïîëó÷èì ôîðìóëó
S
êðóãà
.
4
2
Dp
=
(2)
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè ïëîùàäü êðóãà, âïèñàííîãî
â ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê, êàòåòû êîòîðîãî ðàâ-
íû 20 è 21 ñì.
q Ãèïîòåíóçà òðåóãîëüíèêà ðàâíà
=+
22
2120
= 29 (ñì), åãî ïîëóïåðèìåòð p = 0,5 (20 + 21 +
+ 29)=35 (ñì), à ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà
21021205,0 =××
(ñì
2
). Òåïåðü ïî ôîðìóëå
p
S
r =
íàé-
äåì
6
35
210
==r
(ñì). Íàêîíåö, ñîãëàñíî ôîðìóëå (1)
ïîëó÷èì S
êðóãà
= p36
(ñì
2
). n
Ïëîùàäü ñåêòîðà ñ öåíòðàëüíûì óãëîì
°a
è ðà-
äèóñîì R âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
S
ñåêò
=
.
360
2
°
°apR
(3)
Åñëè æå óãîë âûðàæåí â ðàäèàíàõ, òî ïîëó÷èì
ôîðìóëó
S
ñåêò
=
,5,0
2
aR
(4)
ò. å. ïëîùàäü ñåêòîðà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ
êâàäðàòà ðàäèóñà íà öåíòðàëüíûé óãîë, âûðàæåí-
íûé â ðàäèàíàõ.
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
445
444
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíà ãèïî-
òåíóçû, òî
.105,0 aR =
Òåïåðü ïî ôîðìóëå (1) ïîëó-
÷èì
.10105,02 aaC p=×p=
n
Ïðèâåäåì òåïåðü ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ äëè-
íû l ïðîèçâîëüíîé äóãè îêðóæíîñòè ðàäèóñà R. Ïóñòü
ýòà äóãà ñîîòâåòñòâóåò öåíòðàëüíîìó óãëó
°a
(â ãðà-
äóñíîé ìåðå) èëè
a
(â ðàäèàííîé ìåðå). Òîãäà
;
180°
°ap
=
R
l
(2)
.a= Rl
(3)
Èç ïîñëåäíåé ôîðìóëû âèäíî, ÷òî äëèíà äóãè îê-
ðóæíîñòè ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ åå ðàäèóñà íà öåíò-
ðàëüíûé óãîë, âûðàæåííûé â ðàäèàíàõ.
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè äëèíó äóãè â îäíó ìèíóòó
íà ýêâàòîðå Çåìëè, ñ÷èòàÿ ýêâàòîðèàëüíûé ðàäèóñ
Çåìëè ðàâíûì 6300 êì.
q Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (3), íàõîäèì
1830
60360
2
6300 »
×
p
×=a= Rl
(ì). n
291. Ïëîùàäü êðóãà è åãî ÷àñòåé. Ïëîùàäüþ êðó-
ãà íàçûâàåòñÿ îáùèé ïðåäåë, ê êîòîðîìó ñòðåìÿòñÿ
ïëîùàäè âïèñàííûõ è îïèñàííûõ ïðàâèëüíûõ ìíî-
ãîóãîëüíèêîâ ïðè íåîãðàíè÷åííîì óäâîåíèè ÷èñëà
èõ ñòîðîí.
Ïëîùàäü êðóãà íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
S
êðóãà
,
2
Rp=
(1)
ò. å. îíà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ äëèíû åãî
îêðóæíîñòè íà ðàäèóñ.
Åñëè âìåñòî ðàäèóñà R âçÿòü äèàìåòð D = 2R, òî
äëÿ ïëîùàäè êðóãà ïîëó÷èì ôîðìóëó
S
êðóãà
.
4
2
Dp
=
(2)
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè ïëîùàäü êðóãà, âïèñàííîãî
â ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê, êàòåòû êîòîðîãî ðàâ-
íû 20 è 21 ñì.
q Ãèïîòåíóçà òðåóãîëüíèêà ðàâíà
=+
22
2120
= 29 (ñì), åãî ïîëóïåðèìåòð p = 0,5 (20 + 21 +
+ 29)=35 (ñì), à ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà
21021205,0 =××
(ñì
2
). Òåïåðü ïî ôîðìóëå
p
S
r =
íàé-
äåì
6
35
210
==r
(ñì). Íàêîíåö, ñîãëàñíî ôîðìóëå (1)
ïîëó÷èì S
êðóãà
= p36
(ñì
2
). n
Ïëîùàäü ñåêòîðà ñ öåíòðàëüíûì óãëîì
°a
è ðà-
äèóñîì R âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
S
ñåêò
=
.
360
2
°
°apR
(3)
Åñëè æå óãîë âûðàæåí â ðàäèàíàõ, òî ïîëó÷èì
ôîðìóëó
S
ñåêò
=
,5,0
2
aR
(4)
ò. å. ïëîùàäü ñåêòîðà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ
êâàäðàòà ðàäèóñà íà öåíòðàëüíûé óãîë, âûðàæåí-
íûé â ðàäèàíàõ.
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 34. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
447
446
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ï ð è ì å ð 2. Â êðóãå ðàäèóñà 36 ñì íàéòè
ïëîùàäü ñåêòîðà, ñîîòâåòñòâóþùåãî öåíòðàëüíîìó
óãëó: à) 40°; á)
.
2
p
q à) Ïî ôîðìóëå (3) íàõîäèì
S
ñåêò
p=
°
°××p
= 144
360
4036
2
(ñì
2
).
á) Ïî ôîðìóëå (4) èìååì
S
ñåêò
p=
×
×p
=
324
22
36
2
(ñì
2
). n
Ðàññìîòðèì òåïåðü ñåãìåíò êðóãà ðàäèóñà R, ñî-
îòâåòñòâóþùèé öåíòðàëüíîìó óãëó
,a
âûðàæåííî-
ìó â ðàäèàííîé ìåðå (ðèñ. 227). Ïëîùàäü òàêîãî ñåã-
ìåíòà (íà ðèñóíêå îí çàøòðèõîâàí) ðàâíà ðàçíîñòè
ïëîùàäåé ñåêòîðà ÎÀÂ è òðåóãîëüíèêà ÀÎÂ è âûðà-
æàåòñÿ ôîðìóëîé
S
ñåãì
).sin(5,0
2
a-a= R
(5)
Ýòà æå ôîðìóëà âåðíà è äëÿ ñåãìåíòà, ñîîòâåò-
ñòâóþùåãî öåíòðàëüíîìó óãëó
,
a
áîëüøåìó ðàçâåð-
íóòîãî (ñåãìåíòà, äîïîëíÿþùåãî çàøòðèõîâàííûé íà
ðèñ. 227 äî ïîëíîãî êðóãà).
Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ïëîùàäü ÷àñòè êðóãà ðàäè-
óñà R, ðàñïîëîæåííîé âíå âïèñàííîãî â íåãî ïðàâèëü-
íîãî òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 228).
q Èñêîìàÿ ïëîùàäü ðàâíà ñóììå ïëîùàäåé òðåõ
ñåãìåíòîâ, çàøòðèõîâàííûõ íà ðèñ. 228. Íàéäåì ïëî-
ùàäü îäíîãî òàêîãî ñåãìåíòà: S
ñåãì
= S
ñåêò.ÎÀÂ
S
OAB
, ãäå S
ñåêò.ÎÀÂ
=
33
2
2
1
2
2
R
R
p
=
p
×
ñîãëàñíî
ôîðìóëå (4), à
.
4
3
3
2
sin
2
22
RR
S
OAB
=
p
=
D
Çíà÷èò,
S
ñåãì
=
),
4
3
3
(
2
-
p
R
îòêóäà èñêîìàÿ ïëîùàäü
).
4
33
()
4
3
3
(3
22
-p=-
p
= RRS
n
§ 34. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè
292. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è ñâîéñòâà. Ìíîãî-
óãîëüíèê íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíûì, åñëè âñå åãî ñòî-
ðîíû è âñå óãëû ðàâíû. Ñðåäè òðåóãîëüíèêîâ òàêèì
Ðèñ. 227 Ðèñ. 228
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 34. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
447
446
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ï ð è ì å ð 2. Â êðóãå ðàäèóñà 36 ñì íàéòè
ïëîùàäü ñåêòîðà, ñîîòâåòñòâóþùåãî öåíòðàëüíîìó
óãëó: à) 40°; á)
.
2
p
q à) Ïî ôîðìóëå (3) íàõîäèì
S
ñåêò
p=
°
°××p
= 144
360
4036
2
(ñì
2
).
á) Ïî ôîðìóëå (4) èìååì
S
ñåêò
p=
×
×p
=
324
22
36
2
(ñì
2
). n
Ðàññìîòðèì òåïåðü ñåãìåíò êðóãà ðàäèóñà R, ñî-
îòâåòñòâóþùèé öåíòðàëüíîìó óãëó
,a
âûðàæåííî-
ìó â ðàäèàííîé ìåðå (ðèñ. 227). Ïëîùàäü òàêîãî ñåã-
ìåíòà (íà ðèñóíêå îí çàøòðèõîâàí) ðàâíà ðàçíîñòè
ïëîùàäåé ñåêòîðà ÎÀÂ è òðåóãîëüíèêà ÀÎÂ è âûðà-
æàåòñÿ ôîðìóëîé
S
ñåãì
).sin(5,0
2
a-a= R
(5)
Ýòà æå ôîðìóëà âåðíà è äëÿ ñåãìåíòà, ñîîòâåò-
ñòâóþùåãî öåíòðàëüíîìó óãëó
,
a
áîëüøåìó ðàçâåð-
íóòîãî (ñåãìåíòà, äîïîëíÿþùåãî çàøòðèõîâàííûé íà
ðèñ. 227 äî ïîëíîãî êðóãà).
Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ïëîùàäü ÷àñòè êðóãà ðàäè-
óñà R, ðàñïîëîæåííîé âíå âïèñàííîãî â íåãî ïðàâèëü-
íîãî òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 228).
q Èñêîìàÿ ïëîùàäü ðàâíà ñóììå ïëîùàäåé òðåõ
ñåãìåíòîâ, çàøòðèõîâàííûõ íà ðèñ. 228. Íàéäåì ïëî-
ùàäü îäíîãî òàêîãî ñåãìåíòà: S
ñåãì
= S
ñåêò.ÎÀÂ
S
OAB
, ãäå S
ñåêò.ÎÀÂ
=
33
2
2
1
2
2
R
R
p
=
p
×
ñîãëàñíî
ôîðìóëå (4), à
.
4
3
3
2
sin
2
22
RR
S
OAB
=
p
=
D
Çíà÷èò,
S
ñåãì
=
),
4
3
3
(
2
-
p
R
îòêóäà èñêîìàÿ ïëîùàäü
).
4
33
()
4
3
3
(3
22
-p=-
p
= RRS
n
§ 34. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè
292. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è ñâîéñòâà. Ìíîãî-
óãîëüíèê íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíûì, åñëè âñå åãî ñòî-
ðîíû è âñå óãëû ðàâíû. Ñðåäè òðåóãîëüíèêîâ òàêèì
Ðèñ. 227 Ðèñ. 228
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 34. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
449
448
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
óñëîâèÿì óäîâëåòâîðÿåò ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê,
ñðåäè ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ ïðàâèëüíûì ÿâëÿåòñÿ
òîëüêî êâàäðàò.
Ñóùåñòâóþò ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè ñ ïðî-
èçâîëüíûì ÷èñëîì ñòîðîí.
Îòìåòèì ðÿä ñâîéñòâ ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíè-
êîâ:
1
0
. Äâà ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêà ñ îäèíàêî-
âûì ÷èñëîì ñòîðîí ïîäîáíû.
2
0
. Äâà ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêà ðàâíû, åñëè
ðàâíû èõ ñòîðîíû.
3
0
. Îêîëî âñÿêîãî ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà
ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü.
4
0
. Â ëþáîé ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê ìîæíî
âïèñàòü îêðóæíîñòü.
Î÷åâèäíî, ÷òî ýòè âïèñàííàÿ è îïèñàííàÿ îêðóæ-
íîñòè èìåþò îáùèé öåíòð. Îí íàçûâàåòñÿ öåíòðîì
ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà. Ðàäèóñ îïèñàííîé îê-
ðóæíîñòè íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì ïðàâèëüíîãî ìíîãî-
óãîëüíèêà, à ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè åãî
àïîôåìîé. ßñíî, ÷òî àïîôåìà âñåãäà ìåíüøå ðàäèó-
ñà.
293. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ñòîðîíîé, ðàäèóñîì è
àïîôåìîé â ïðàâèëüíîì ìíîãîóãîëüíèêå. Ñîîòíî-
øåíèÿ ìåæäó ñòîðîíîé, ðàäèóñîì è àïîôåìîé ïðà-
âèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà çàâèñÿò òîëüêî îò ÷èñëà
åãî ñòîðîí n. Îáîçíà÷èì ñòîðîíó, ðàäèóñ è àïîôåìó
ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç a
n
,
R
n
è r
n
(ðèñ. 229).
Èìååì
.
4
2
22
n
nn
a
rR
+=
Óãîë ìåæäó ðàäèóñàìè,
ïðîâåäåííûìè â ñîñåäíèå âåðøèíû ìíîãîóãîëüíèêà,
ðàâåí
.
360
n
n
°
=a
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå âûðàæå-
íèÿ r
n
è à
n
÷åðåç R
n
:
.
180
sin2,
180
cos
n
Ra
n
Rr
nnnn
°
=
°
=
(1)
Âûðàçèì, â ÷àñòíîñòè, ÷åðåç ðàäèóñ R ñòîðîíû è
àïîôåìû ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, êâàäðàòà è ïðà-
âèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà. Èìååì
;
2
,3
33
R
rRa ==
(2)
;
2
2
,2
44
R
rRa ==
(3)
.
2
3
,
66
R
rRa ==
(4)
Ñòîðîíû ïðàâèëüíîãî ïÿòèóãîëüíèêà è ïðàâèëü-
íîãî äåñÿòèóãîëüíèêà âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ðàäèóñ òàê:
.
2
15
;
2
55
105
-
=
-
= RaRa
(5)
Ðèñ. 229
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 34. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
449
448
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
óñëîâèÿì óäîâëåòâîðÿåò ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê,
ñðåäè ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ ïðàâèëüíûì ÿâëÿåòñÿ
òîëüêî êâàäðàò.
Ñóùåñòâóþò ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè ñ ïðî-
èçâîëüíûì ÷èñëîì ñòîðîí.
Îòìåòèì ðÿä ñâîéñòâ ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíè-
êîâ:
1
0
. Äâà ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêà ñ îäèíàêî-
âûì ÷èñëîì ñòîðîí ïîäîáíû.
2
0
. Äâà ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêà ðàâíû, åñëè
ðàâíû èõ ñòîðîíû.
3
0
. Îêîëî âñÿêîãî ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà
ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü.
4
0
. Â ëþáîé ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê ìîæíî
âïèñàòü îêðóæíîñòü.
Î÷åâèäíî, ÷òî ýòè âïèñàííàÿ è îïèñàííàÿ îêðóæ-
íîñòè èìåþò îáùèé öåíòð. Îí íàçûâàåòñÿ öåíòðîì
ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà. Ðàäèóñ îïèñàííîé îê-
ðóæíîñòè íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì ïðàâèëüíîãî ìíîãî-
óãîëüíèêà, à ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè åãî
àïîôåìîé. ßñíî, ÷òî àïîôåìà âñåãäà ìåíüøå ðàäèó-
ñà.
293. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ñòîðîíîé, ðàäèóñîì è
àïîôåìîé â ïðàâèëüíîì ìíîãîóãîëüíèêå. Ñîîòíî-
øåíèÿ ìåæäó ñòîðîíîé, ðàäèóñîì è àïîôåìîé ïðà-
âèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà çàâèñÿò òîëüêî îò ÷èñëà
åãî ñòîðîí n. Îáîçíà÷èì ñòîðîíó, ðàäèóñ è àïîôåìó
ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç a
n
,
R
n
è r
n
(ðèñ. 229).
Èìååì
.
4
2
22
n
nn
a
rR
+=
Óãîë ìåæäó ðàäèóñàìè,
ïðîâåäåííûìè â ñîñåäíèå âåðøèíû ìíîãîóãîëüíèêà,
ðàâåí
.
360
n
n
°
=a
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå âûðàæå-
íèÿ r
n
è à
n
÷åðåç R
n
:
.
180
sin2,
180
cos
n
Ra
n
Rr
nnnn
°
=
°
=
(1)
Âûðàçèì, â ÷àñòíîñòè, ÷åðåç ðàäèóñ R ñòîðîíû è
àïîôåìû ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, êâàäðàòà è ïðà-
âèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà. Èìååì
;
2
,3
33
R
rRa ==
(2)
;
2
2
,2
44
R
rRa ==
(3)
.
2
3
,
66
R
rRa ==
(4)
Ñòîðîíû ïðàâèëüíîãî ïÿòèóãîëüíèêà è ïðàâèëü-
íîãî äåñÿòèóãîëüíèêà âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ðàäèóñ òàê:
.
2
15
;
2
55
105
-
=
-
= RaRa
(5)
Ðèñ. 229
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 34. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
451
450
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ï ð è ì å ð 1. Â îêðóæíîñòü ðàäèóñà 4 âïèñàí
ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê, íà ñòîðîíå êîòîðîãî ïîñò-
ðîåí êâàäðàò. ×åìó ðàâåí ðàäèóñ îêðóæíîñòè, âïè-
ñàííîé â ýòîò êâàäðàò?
q Ñòîðîíà ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, âïèñàííî-
ãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà 4, âûðàæàåòñÿ ïåðâîé èç
ôîðìóë (2):
.34
3
=a
Ýòî äëèíà ñòîðîíû êâàäðàòà,
îïèñàííîãî îêîëî îêðóæíîñòè èñêîìîãî ðàäèóñà r
4
.
Ñîãëàñíî ïåðâîé èç ôîðìóë (3),
,234
4
R
=
îòêóäà
.622:34
4
==R
Íàêîíåö, èñïîëüçóÿ âòîðóþ èç
ôîðìóë (3), ïîëó÷èì
.3225,062
4
=×=r n
Ïðèâåäåì ôîðìóëó, ñâÿçûâàþùóþ ñòîðîíû à
n
è
b
n
âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà R è îïèñàííîãî
îêîëî íåå ïðàâèëüíûõ n-óãîëüíèêîâ:
.
4
2
2
n
n
n
a
R
Ra
b
-
=
(6)
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè ñòîðîíó ïðàâèëüíîãî øå-
ñòèóãîëüíèêà, îïèñàííîãî îêîëî îêðóæíîñòè ðàäè-
óñà R.
q Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñòîðîíà ïðàâèëüíîãî øåñòè-
óãîëüíèêà, âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà R, ðàâíà
ðàäèóñó ýòîé îêðóæíîñòè, è èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (6),
ïîëó÷èì
.
3
32
3
2
4
2
2
2
6
RR
R
R
R
b ==
-
=
n
Âûðàæåíèÿ äëÿ ðàäèóñîâ âïèñàííîé è îïèñàí-
íîé îêðóæíîñòåé ÷åðåç ñòîðîíó a
n
ïðàâèëüíîãî ìíî-
ãîóãîëüíèêà èìåþò âèä
.
180
ctg
2
,
180
sin2
n
a
r
n
a
R
n
n
n
n
°
=
°
=
(7)
Îòñþäà ïîëó÷àþòñÿ âûðàæåíèÿ äëÿ ðàäèóñà R
îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðàâèëüíîãî òðåóãîëü-
íèêà, êâàäðàòà è ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà, ÷åðåç
ñòîðîíû ýòèõ ôèãóð:
.
2
2
3
3
6
43
a
aa
R ===
(8)
Àïîôåìû ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, êâàäðàòà è
ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ñòî-
ðîíû ýòèõ ôèãóð òàê:
.
2
3
,
2
,
6
3
6
6
4
4
3
3
a
r
a
r
a
r ===
(9)
Ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà, ñâÿçûâàþùàÿ äëèíû ñòî-
ðîí ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà è ïðàâèëüíîãî 2n-óãîëü-
íèêà, âïèñàííûõ â îäíó è òó æå îêðóæíîñòü ðàäèóñà
R (ôîðìóëà óäâîåíèÿ):
.
4
122
2
2
2
R
a
Ra
n
n
--= (10)
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 34. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
451
450
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ï ð è ì å ð 1. Â îêðóæíîñòü ðàäèóñà 4 âïèñàí
ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê, íà ñòîðîíå êîòîðîãî ïîñò-
ðîåí êâàäðàò. ×åìó ðàâåí ðàäèóñ îêðóæíîñòè, âïè-
ñàííîé â ýòîò êâàäðàò?
q Ñòîðîíà ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, âïèñàííî-
ãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà 4, âûðàæàåòñÿ ïåðâîé èç
ôîðìóë (2):
.34
3
=a
Ýòî äëèíà ñòîðîíû êâàäðàòà,
îïèñàííîãî îêîëî îêðóæíîñòè èñêîìîãî ðàäèóñà r
4
.
Ñîãëàñíî ïåðâîé èç ôîðìóë (3),
,234
4
R
=
îòêóäà
.622:34
4
==R
Íàêîíåö, èñïîëüçóÿ âòîðóþ èç
ôîðìóë (3), ïîëó÷èì
.3225,062
4
=×=r n
Ïðèâåäåì ôîðìóëó, ñâÿçûâàþùóþ ñòîðîíû à
n
è
b
n
âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà R è îïèñàííîãî
îêîëî íåå ïðàâèëüíûõ n-óãîëüíèêîâ:
.
4
2
2
n
n
n
a
R
Ra
b
-
=
(6)
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè ñòîðîíó ïðàâèëüíîãî øå-
ñòèóãîëüíèêà, îïèñàííîãî îêîëî îêðóæíîñòè ðàäè-
óñà R.
q Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñòîðîíà ïðàâèëüíîãî øåñòè-
óãîëüíèêà, âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà R, ðàâíà
ðàäèóñó ýòîé îêðóæíîñòè, è èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (6),
ïîëó÷èì
.
3
32
3
2
4
2
2
2
6
RR
R
R
R
b ==
-
=
n
Âûðàæåíèÿ äëÿ ðàäèóñîâ âïèñàííîé è îïèñàí-
íîé îêðóæíîñòåé ÷åðåç ñòîðîíó a
n
ïðàâèëüíîãî ìíî-
ãîóãîëüíèêà èìåþò âèä
.
180
ctg
2
,
180
sin2
n
a
r
n
a
R
n
n
n
n
°
=
°
=
(7)
Îòñþäà ïîëó÷àþòñÿ âûðàæåíèÿ äëÿ ðàäèóñà R
îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðàâèëüíîãî òðåóãîëü-
íèêà, êâàäðàòà è ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà, ÷åðåç
ñòîðîíû ýòèõ ôèãóð:
.
2
2
3
3
6
43
a
aa
R ===
(8)
Àïîôåìû ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, êâàäðàòà è
ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ñòî-
ðîíû ýòèõ ôèãóð òàê:
.
2
3
,
2
,
6
3
6
6
4
4
3
3
a
r
a
r
a
r ===
(9)
Ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà, ñâÿçûâàþùàÿ äëèíû ñòî-
ðîí ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà è ïðàâèëüíîãî 2n-óãîëü-
íèêà, âïèñàííûõ â îäíó è òó æå îêðóæíîñòü ðàäèóñà
R (ôîðìóëà óäâîåíèÿ):
.
4
122
2
2
2
R
a
Ra
n
n
--= (10)