векторов
если O – точка пересечения медиан треуголь-
ника ABC.
2.2. Докажите, что если векторы
и
неколлинеарны, то
вектор
компланарен с векторами
и
тогда и только тогда,
когда имеет место разложение
12
=+
2.3. Найдите проекцию вектора
на направление вектора
если
=+
AB
BC =
a
ABa
∧
BCa
∧
2.4. Известно, что
abc
и
abc
Найдите
++
2.5. При каком значении α векторы
+ и
− перпен-
дикулярны, если
ab
III уровень
3.1. Векторы
и
образуют угол 120°. Найдите число k из
условий, что
= и вектор
перпендикулярен вектору
3.2. Пусть
и
– единичные неколлинеарные векторы.
Вычислите
−
если
ab+=
3.3. Определите, при каком значении m векторы
=+− и
=−++ перпендикулярны, если
123
eee
и
121323
eeeeee
∧∧∧
14.2. Линейная зависимость векторов. Действия
над векторами в координатной форме
Векторы
12
называются линейно-независимыми,
если равенство
1
n
ii
i
eα
=
∑
справедливо тогда и только тогда, ко-
гда
12
n
В противном случае эти векторы называ-
ются линейно-зависимыми. Для того чтобы векторы
12
были линейно-зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы хо-
тя бы один из них можно было представить в виде линейной
комбинации остальных.
Упорядоченная тройка
ненулевых линейно-неза-
висимых векторов образует базис в трехмерном пространстве.
Это значит, что любой вектор
этого пространства единствен-
ным образом может быть представлен в виде
=++
где
– координаты вектора
в базисе
За-
писывают:
=
В физическом пространстве линейная независимость векто-
ров равносильна их некомпланарности. Таким образом, любая
тройка ненулевых некомпланарных векторов, взятых в опреде-
ленном порядке, образует базис этого пространства.
Пусть задана тройка
некомпланарных векторов. Со-
вместим начала этих векторов. Если кратчайший поворот векто-
ра
до направления вектора
наблюдаемый с конца вектора
совершается против часовой стрелки, то тройка векторов
называется правой. В противном случае – левой. Всюду
далее будем рассматривать правые тройки базисных векторов.
Совокупность базисных векторов и их общего начала обра-
зует, говорят, аффинную систему координат в пространстве.
Координаты векторов в таком случае называют аффинными.
Если даны два вектора
= и
= в неко-
тором базисе, то
тогда и только тогда, когда