Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика

Подождите немного. Документ загружается.

121

тельность x

 называется ограниченной, если ∃M >0 такое, что

∀

n ∈N : x

≤M.

С геометрической точки зрения это означает, что все члены

последовательности находятся в некоторой окрестности (М–окрест-

ности) точки x =0 (рис. 1) (ε–окрестностью точки x=a назовем интер-

вал

()

ε+ε−

aa ;

Последовательность x

 называется неограниченной, если

MxnM

>∈∃>∀ :0 N

Например: а) последовательность

()

$$ ,

−

ограничена,

так как

: ≤=∈∀

;

б) последовательность 1 ,2

,..., n

,.. является неограниченной,

так как каково бы ни было число M >0 ∃x

такое, что x

> M.

. Бесконечно малые и бесконечно большие

последовательности.

Последовательность x

 называется бесконечно малой (БМП), если

для любого положительного числа ε существует номер N

такой, что для

любого n > N

выполняется неравенство x

< ε, т.е.

∀

ε>0 ∃N

∈N такой,

что

∀

n>N

: x

< ε.

Геометрически определение БМП можно истолковать так:

∀

ε>0,

сколько угодно малое оно ни было, ∃N

∈N такое, что все члены последо-

вательно сти, начиная c (N

+ 1)-го , принадлежат

ε-окрестности точки x=0.

Рассмотрим основные свойства бесконечно малых последова-

тельностей.

1. Сумма конечного числа бесконечно малых последо-

вательностей есть БМП.

Рис. 1

122

Доказательство. Достаточно получить свойство для суммы

двух БМП. Пусть x

 и y

 есть БМП. Зададим произвольное число

ε> 0. В соответствии с определением БМП для числа

существуют

номера N

и N

такие, что

∀

n > N

: x

<

∀

n>N

: y

<

Полагаем N

= max N

.Тогда

∀

n > N

будем иметь, что

x

≤ x

+ y

<

= ε. Таким образом,

∀

ε>0∃N

∈N, т.е.

такой, что

∀

n > N

: x

< ε. По определению это означает, что

последовательность x

 есть БМП.

Приведем другие свойства БМП.

2. Бесконечно малая последовательность является ограниченной.

3. Произв едение бесконечно ма лой последовательности и ограни-

ченной последовательности есть БМП.

4. Произведение нескольких БМП есть БМП.

5. Если БМП x

 имеет постоянное значение a, т.е .

∀

∈

N : x

=a,

то a=0.

Последовательность x

 называется бесконечно большой

(ББП), если

∀

A>0 ∃N

∈N такой, что

∀

n>N

: x

> A.

Теорема.

Если x

 есть ББП и все ее члены отличны от нуля, то последо-

вательность













eсть БМП и, обратно, если

x

 – БМП,

∀

n ∈N :x

≠0, то













– ББП.

Для ББП можно сформулировать свойства, аналогичные свой-

ствам 1, 3, 4.

. Сходящиеся последовательности.

Число а называется пределом последовательности x

, если

∀

ε>0 ∃N

∈N такой, что

∀

n > N

: x

– a < ε.

Геометрически это означает, что в любой ε-окрестности точки а

находятся все члены последовательности, начиная с некоторого но-

мера (зависящего, вообще говоря, от ε ).

123

Для обозначения предела используется выражение

∞→

lim

После дов а тельность, имеющая конечный предел, называется сходя-

щейся, а последовательность, не имеющая предела, – расходящейся.

Простейшим примером сходящейся последовательности является БМП

x

, a =0.

Если последовательность x

 есть ББП, то пишут

∞=

∞→

lim

Приведем основные свойства сходящихся последовательностей.

1. Для того, чтобы последовательность x

 имела своим преде-

лом число а, необходимо и достаточно, чтобы последовательность

x

–a была БМП.

Доказательство. Необходимость. Пусть

∞→

lim

. Тогда

∀

ε>0 ∃N

∈N, т.е . такой, что

∀

n > N

: x

–a< ε. Это означает, что

последовательность x

–a есть БМП .

Достаточность. Пусть последовательность x

–a есть БМП.

Тогда

∀

ε>0∃N

∈N, т.е. такой, что

∀

n > N

: x

–a< ε. Это озна-

чает, что последовательность x

 сходится к а.

2. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство. Предположим противное. Пусть

∞→

lim

∞→

lim

, a≠b. Тогда последовательности x

–a и x

–b есть

БМП. Обозначим x

– a = α

, x

– b = β

. Последовательности α

 и

β

 – БМП. Имеем x

= a +α

, x

= b + β

. Отсюда получим, что

a + α

= b + β

и a – b = β

–α

. Так как β

– α

 есть БМП, то в соответ-

ствии со свойством 5 БМП имеем b – a = 0, т.е. b = a.

3. Сходящаяся последовательность ограничена.

Действительно, пусть

{}

– сходящаяся последовательность,

∞→

lim

. Зададим произвольное число ε> 0. Пусть N

– номер, на-

чиная с которого выполняется неравенство x

–a < ε. Тогда

∀

n > N

: x

= (x

–a) +a≤x

–a+ a< a+ ε.

Пусть

{}

,,,max

xxaM

ε+=

. Тогда

∀

n ∈N : x

≤M.

Значит, последовательно сть

{}

ограничена. Свойство 3

доказано.

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Ограниченная пос-

ледовательность может быть и расходящейся. Рассмотрим, например,

124

последовательность 1,–1, 1,..., (–1)

n–1

, .... Очевидно, она является огра-

ниченной и расходящейся.

4. Пусть

∞→

lim

∞→

lim

Тогда:a)

()

bayx

±=±

∞→

lim

;

б)

abyx

∞→

lim

;

в)

∞→

lim

( при условии, что b

≠

0).

Докажем, например, что

()

bayx

+=+

∞→

lim

. Действительно, из

того, что

∞→

lim

∞→

lim

следует: x

–a= α

, y

–b= β

, где

α

,  β

 – БМП. Поэтому имеем, что x

+ y

–(a + b)=α

+ β

. Так

как последовательность α

+ β

есть БМП, отсюда и получается тре-

буемое равенство.

Пример 1. Пользуясь определением предела последова-

тельности, доказать, что

lim =

−

∞→

Решение. Зададим произвольное ε>0 и рассмотрим модуль

разности между n-ым членом последовательности и числом

()

122

−

−−

=−

−

В соответствии с определением предела последовательности мы

должны указать номер N

такой, что

∀

n > N

выполняется неравен-

ство

()

ε<

−

122

Для отыскания номера N

решим это неравенство относительно n:

()













>⇒

>−

122 nn

Таким образом, в качестве номера N

можно взять целую часть

числа













, т.е.

























= 1

125

Пример 2. Найти

lim

−

∞→

Решение. При n →∞ числитель и знаменатель стремятся к бес-

конечности (являются ББП). Следовательно, непосредственно приме-

нить свойство о пределе частного нельзя. Поэтому необходимо пре-

образовать общий член этой последовательности, разделив числитель

и знаменатель на n

(на n в максимальной степени). Получим













−













−

∞→

∞→∞→

1lim

2lim

lim

002

lim1lim

lim

lim2lim

−

∞→∞→

∞→∞→∞→

nnn

! Задания для самостоятельной работы

1. Ограничены ли последовательности:

а)

()

−

; б)

()

sin

; в)

; г)

()

2. Пользуясь определением предела последовательности,

докажите, что:

а)

lim

∞→

; б)

lim =

∞→

; в)

cos

lim =

∞→

3. Найти пределы:

а)

()()

212

lim

+−

∞→

; б)

()

∞→

lim

; в)

()

lim

−−

−+

∞→

г)

lim

∞→

; д)

()

−+

∞→

1lim

;

4. Пусть последовательность x

 сходится. Следует ли

отсюда, что последовательности x

, y

 сходятся?

126

Лекция 22

Предельный переход в неравенствах.

Монотонные последовательности

Рассматривается предельный переход в неравенствах.

Приводится теорема о сжатой последовательности.

Изучаются монотонные последовательности.

. Предельный переход в неравенствах.

Теорема 1.

Если

∞→

lim

и , начиная с некоторого номера, x

≥b, то а ≥b.

Доказательство. Предположим противное, пусть a<b. Тогда

возьмем ε= b–a. По определению предела последовательности для

данного числа ε >0∃ N

∈ N такой, что

∀

n > N

:|x

– a|<ε, т.е.

– a|<b – a или –(b – a)<x

– a < b – a. Из правого неравенства

получаем:

∀

n > N

: x

<b, что противоречит условию теоремы.

Следствие. Если элементы сходящихся последовательностей

{}

, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству

≤y

то и их пределы удовлетворяют неравенству

∞→∞→

limlim

Действительно, начиная с некоторого номера, будем иметь, что

0≥−

. Следовательно, по теореме 1

()

0lim

≥−

∞→

0limlim ≥−

∞→∞→

. Теорема доказана.

С помощью настоящего следствия можно доказать следующую

теорему.

Теорема 2 (о сжатой последовательности).

Пусть даны три последовательности

{}

и, начи-

ная с некоторого номера x

≤y

≤ z

, пусть последовательности

{}

имеют один и тот же предел а. Тогда последовательность

} также имеет предел а.

. Монотонные последовательности. Последователь-

ность

{}

называется неубывающей, если

∀

n ∈N : x

≤x

n+1

, невозрас-

тающей, если

∀

n ∈N : x

n+1

≤ x

127

Неубывающие и невозрастающие последовательности называют-

ся монотонными.

Если

∀

n ∈N : x

n+1

то последовательность

{}

называется

возрастающей, если же

∀

n∈N : x

n+1

, то убывающей. Возрастающие

и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Рассмотрим примеры монотонных последовательностей:

а)

$$ ,

n −

– возрастающая ограниченная после-

довательность. Очевидно, она сходится,

lim =

−

∞→

б) 2, 4, 8,..., 2

,... – возрастающая неограниченная последо-

вательность. Эта последовательность является ББП.

в)

$$ ,

sin,,

,1 π

– убывающая ограниченная последо-

вательность,

sinlim

sinlim =













−π=π

∞→∞→∞→

nnn

Оказывается, что все монотонные ограниченные последовательности

обладают общим свойством – они сходятся.

Теорема 3.

Монотонная ограниченная последовательность сходится.

Таким образом, ограниченность монотонной последовательности явля-

ется необходимым и достаточным условием сходимости (докажите !).

Пример 1. Важным примером монотонной ограниченной после-

довательности яв ляется последовательность

{}

, где













По-

кажем, что эта последовательность возрастающая. Действительно, с по-

мощью формулы бинона Ньютона можно записать:

() ()()

−−

−

++=

211

nnn

128

()() ()()

nnnnn

121

−−−−

Преобразуем полученное выражение следующим образом:













−













−













−+…+













−













−+













−+=

nnnnnn

(1)

Теперь запишем по этой же форм уле (n+1)-ый член:













−













−+













−+=

nnn













−













−













−++

nnn

()













−













−













−

nnn

Сравним члены последовательности x

и x

n+1

. Очевидно, что

1,,2,1,

11 −=

−<− nk

. Поэтому первые n слагаемых x

n+1

не

меньше соответствующих слагаемых х

. Учитывая, что x

n+1

содержит

еще одно дополнительное неотрицательное слагаемое, получим, что

∀

n ∈N : x

n+1

Далее докажем, что рассматриваемая последовательность

































ограничена. Снова воспользуемся формулой (1). Очевид-

но, имеет место неравенство 2

n–1

<n!, n = 3, 4,... .

Поэтому из соотношения (1 ) будем иметь:

−

+++++<++++<

Применим формулу суммы геометрической прогрессии

N∈<−=

−

. (2)

129

Следовательно, последовательность

































возрастающая и

ограничена и по теореме 3 имеет предел. Этот предел обозначает ся

буквой е,













∞→

1lim

Число е известно как основание натуральных логарифмов. Из

соотношений (1) и (2) вытекает, что 2<e < 3. Можно доказать, что

число е является иррациональным, e = 2,7182...

. Это число играет важ-

ную роль в математике и ее приложениях.

. Теорема о вложенных отрезках.

Пусть дана последовательность отрезков [a

; b

], [a

; b

], ...,

; b

], … , обладающая следующими свойствами:

∀

n ∈N : a

≤a

n+1

≤b

, т.е. [a

n+1

; b

n+1

] ⊂[a

; b

];

()

0lim

=−

∞→

, т .е. последовательность длин отрезков схо-

дится к нулю. В этом случае говорят, что задана последователь-

ность вложенных отрезков.

Теорема 4.

Для любой последовательности вложенных отрезков существу-

ет единственная точка, принадлежащая всем отрезкам этой после-

довательности.

Доказательство. Из первого свойства последовательности

вложенных отрезков следует, что

≤a

≤... ≤a

≤a

n+1

≤... (3)

и b

≥b

≥... ≥b

≥b

n+1

≥... , (4)

т.е. левые концы отрезков образуют неубывающую последо-

вательность, а правые – невозрастающую. Более того, эти последова-

тельности ограничены, так как

∀

n ∈N : a

≤a

≤b

и a

≤b

Следовательно, по теореме 3 имеем, что

bbaa

∞→∞→

lim,lim

Тогда из второго свойства последовательности вложенных

отрезков получим

130

()

bababa

−=−=−=

∞→∞→∞→

limlimlim0

, т. е. a = b.

Последовательности

{}

имеют один и тот же предел,

обозначим его буквой с. Получим

∀

n ∈N : a

≤c ≤b

, т.е. точка с при-

надлежит всем отрезкам последовательности.

Покажем, что эта точка единственная. Предположим, что име-

ется еще одна точка с

, принадлежащая всем отрезкам последова-

тельности. В этом случае будем иметь, что

∀

n ∈N : |b

–a

| ≥|c – c

Следовательно, по теореме 1

()

0lim

>−≥−

∞→

ccab

, что проти-

воречит свойству 2 последовательности вложенных отрезков.

Теорема доказана.

Пример 2. Доказать, что последовательность

{}

, где

∑

, сходится.

Решение. Выясним, является ли эта последовательность моно-

тонной. Действительно, запишем (n + 1)-ый член:

∑

Сравним члены x

и х

n+1

. С этой целью преобразуем их следую-

щим образом:

() ()

∑∑

−

nnknkn

() ()

∑∑∑

−

knnknkn

Остается заметить, что

()

nnn

Таким образом,

∀

n ∈N : x

< x

n+1

, т.е. последовательность воз-

растающая. Покажем, что она ограничена. Во-первых, очевидно, что

∀

n ∈N : x

> 0.

Во-вторых,

111

==<

=∈∀

∑∑

nnkn