Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика
Подождите немного. Документ загружается.
111
Точки А и В лежат в одной плоско сти, перпендикулярной оси вра-
щения Ox.
Тогда X = x, Y
2
+ Z
2
= y
2
. Подставляя выражения для х и у в урав-
нение данной прямой, получим уравнение искомой поверхности
вращения:
42
22
=+± ZYX
или
()
()
044
2
22
=−−+
XZY
или
()
0444
2
22
=−−+
XZY
.
Таким образом, поверхно стью вращения является конус с верши-
ной в точке M (4; 0; 0).
3
0
. Общее уравнение поверхности второго порядка.
Общее уравнение второй степени относительно x, y, z имеет вид
Q (x, y, z)+2Gx +2Hy +2Kz + L =0, (10)
где Q (x, y, z) – квадратичная форма в пространстве R
3
:
Q (x, y, z)=Ax
2
+ By
2
+ Cz
2
+2Dyz +2Exz +2Fxy =
()
=
z
y
x
CDE
DBF
EFA
zyx ;;
. (11)
Это уравнение может определять сферу, эллипсоид, однополост-
ный или двуполостный гиперболоид, эллиптический или гиперболи-
ческий параболоид, цилиндрическую или коническую поверхность
второго порядка. Оно может также определять совокупность двух
плоскостей, точку, прямую или даже не иметь геометрического смыс-
ла, т.е. определять «мнимую» поверхность.
Если D=E=F=0, т.е. квадратичная форма (11) имеет канони-
ческий вид, общее уравнение (10) принимает форму:
Ax
2
+ By
2
+ Cz
2
+2Gx +2Hy +2Kz +L=0. (12)
В этом случае уравнение легко упрощается с помощью парал-
лельного переноса осей координат, что позволяет сразу установить
его геометрический смысл.
В общем случае нужно вначале применить линейное преобразо-
вание, приводящее квадратичную форму (11) к каноническому виду,
как это сделано в Л.16, и получить уравнение второй степени относи-
тельно новых переменных
xyx
′′′
,,
в виде (12).
112
Пример 2. Каков геомет рический смысл уравнения
x
2
+ y
2
+ z
2
– yz – xz – xy =0?
Решение. Умножим на 2 и перепишем уравнение в виде
2x
2
+2y
2
+2z
2
–2yz –2xz –2xy =0
или (x – y)
2
+(y – z)
2
+(x – z)
2
=0.
Этому уравнению удовлетворяют координаты только тех точек,
для которых выполняются равенства x = y, y = z, x = z.
Таким образом, уравнение определяет прямую x=y=z.
Пример 3. Привести к каноническому виду уравнение
x
2
– y
2
–4x +8y –2z =0.
Решение. Сгруппируем члены, содержащие х и у: (x
2
– 4x) –
–(y
2
– 8y) = 2z. Дополним до полных квадратов выражения в скоб-
ках и получим: (x
2
–4x +4)–(y
2
–8y + 16)= 2z +4–16 или (x –2)
2
–
–(y –4)
2
=2(z – 6).
Произведем параллельный перенос осей координат, приняв за
новое начало точку
()
6;4;2O
′
. Тогда
6,4,2 +
′
=+
′
=+
′
= zzyyxx
.
Получим уравнение
() ()
zyx
′
=
′
−
′
2
22
, определяющее гиперболичес-
кий параболоид.
Пример 4. Привести к каноническому виду уравнение
6x
2
+3y
2
+3z
2
+4xy +4xz –8yz + y –2=0. (13)
Используя пример 4 Л.16, применим ортогональное преобразование
′
−
′
+
′
−=
′
+
′
−=
′
+
′
+
′
=
,
53
4
5
1
3
2
,
53
5
3
2
,
53
2
5
2
3
1
zyxz
zxy
zyxx
(14)
которое приводит квадратичную форму 6x
2
+3y
2
+3z
2
+4xy +4xz –
–8yz + y –2 к каноническому виду. Тогда, согласно примеру 4 Л.16,
уравнение (13) с помощью преобразования (14) приведем к виду:
() () ()
02
53
5
3
2
772
222
=−
′
+
′
−
′
+
′
+
′
−
zxzyx
.
)3(1
′
113
Дополняя до полных квадратов выражения, содержащие
x
′
и
z
′
, получаем:
()
63
124
252
496
252
5
18
1
2
542
5
77
6
1
2
2
2
2
==+−=
+
′
+
′
+
+
′
−
zyx
.
Производя параллельный перенос осей координат
,
6
1
−
′′
=
′
xx
,yy
′′
=
′
542
5
−
′′
=
′
zz
, получим уравнение
() () ()
63
124
772
222
=
′′
+
′′
+
′′
−
zyx
или
() () ()
441
62
722
222
=
′′
−
′′
+
′′
xzy
или
() () ()
1
63
62
441
124
441
124
222
=
′′
−
′′
+
′′
xzy
. (15)
Итак, канониче ское уравнение имеет вид (15) и представляет со-
бой однополостный гиперболоид вращения вокруг оси
xO
′′
кривой
() ()
0,1
63
62
441
124
22
=
′′
=
′′
−
′′
z
xy
.
! Задания для самостоятельной работы
1. Выяснить, какие поверхности определяются следующими урав-
нениями:
a) x
2
+2y
2
+2z
2
–4y +4z +4=0;
б) x
2
+ y
2
– z
2
–2х –2y +2z +2=0;
в) 5x
2
– z
2
– 18х – 18y –6z +4=0;
г) 3x
2
+3y
2
– 12х + 12y – 2z + 4 = 0.
2. Привести к каноническому виду уравнения:
а) 4x
2
+9y
2
+36z
2
–8x – 18y –72z + 13=0;
б) 2x
2
+7y
2
+ zy –3x +2=0;
в) x
2
+ z
2
–5xy +3z –2y +3=0.
3. Каков геометрический смысл уравнения
x
2
+4y
2
+9z
2
+ 12yz +6xz+4xy –4x –8y – 12z +3=0?
114
Лекция 20
Системы линейных неравенств
Приводится решение линейных неравенств в простран-
стве R
2
, исследуются смешанные системы линейных урав-
нений и неравенств, рассмотрены эквивалентные преоб-
разования систем линейных уравнений и неравенств.
1
0
. Решение линейных неравенств в R
2
. Рассмотрим
некоторое неравенство относительно переменных x
1,
x
2
,..., x
n
:
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+...+a
n
x
n
≤b. (1)
Переменные x
1
, x
2
,..., x
n
будем толковать как координаты точки
или вектора n-мерного пространства R
n
.
Совокупность точек пространства R
n
, координаты которых удов-
летворяют неравенству (1), назовем областью решений неравенства
(1) . Эта область является полупространством.
Область решений системы линейных неравенств
≤+++
≤+++
≤+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
$
%%%%%%%%%%%%
$
$
2211
22222121
11212111
,
,
(2)
представляет собой пересечение некоторого числа полупространств.
Полупространство – это выпуклое множество, т.е. такое множе-
ство точек n-мерного пространства, которое наряду с любыми свои-
ми двумя точками содержит и весь отрезок, их соединяющий. Выпук-
лым будет и пересечение выпуклых множеств, отсюда вытекает, что
областью решений системы (2) будет выпуклый многогранник (или
выпуклая неограниченная многогранная область), ограниченный ги-
перплоскостями, уравнения которых получаются из неравенств систе-
мы (2) заменой в них знаков неравенств на знаки равенств. Много-
гранник представляет собой пересечение полупространств, ограниченных
этими гиперплоскостями.
В случае n =2 (двумерного пространства) неравенство (1) при-
нимает вид:
a
1
x
1
+ a
2
x
2
≤b. (3)
Область решения неравенства (3) – одна из полуплоскостей, на
которые прямая a
1
x
1
+ a
2
x
2
= b делит плоскость Ox
1
x
2
.
115
В дру гой полуплоскости выполняется противоположное неравен-
ство a
1
x
1
+ a
2
x
2
≥b. Точки граничной прямой удовлетворяют обоим
неравенствам.
Областью решений совместной системы линейных неравенств с
двумя переменными
≤+
≤+
≤+
mmm
bxaxa
bxaxa
bxaxa
2211
2222121
1212111
,
,
%%%%%%%
будет выпуклый многоугольник или выпуклая многоугольная область,
ограниченная прямыми, уравнения которых получаются из неравенств
системы заменой в них знаков неравенства на знаки равенств. Ука-
занный многоугольник или многоугольная область есть пересечение
полуплоскостей, ограниченных этими прямыми.
Пример 1. Найти область решений системы неравенств:
−≥+
≥+
≤
−≥−
.22
,623
,5
,1052
21
21
1
21
xx
xx
x
xx
Решение. Строим граничные прямые 2x
1
–5x
2
=–10(l
1
),
x
1
=5(l
2
), 3x
1
+2x
2
=6(l
3
), x
1
+2x
2
=–2(l
4
), соответствующие данным
неравенствам (рис. 1). Стрелки указывают полуплоскости, являющи-
еся областями решений данных неравенств.
Пересечение отмеченных полуплоскостей – четырехугольник
АВСD – и есть область решений данной системы.
2
0
. Смешанные системы линейных уравнений и не-
равенств. В приложениях, в частности, при решении задач линейного
программирования нужно уметь находить решение систем линейных не-
равенств или смешанных систем, состоящих из линейных уравнений и
неравенств с большим числом неизвестных. Построить графиче ское
изображение множества решений в этих случаях затруднительно. Но за-
дачу можно свести к решению эквива лентной системы, содержащей
только линейные уравнения, а такие системы решить, например, мето-
дом Гаусса. Основанием указанного преобразования является следую-
щее утверждение: любому решению x
1
0
, x
2
0
,..., x
n
0
неравенства
116
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+...+ a
n
x
n
≤, ≥b соответствует вполне определенное реше-
ние x
1
0
, x
2
0
,..., x
n
0
, x
0
n+1
≥0 уравнения a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ ... + + a
n
x
n
+, –x
n+1
= b,
где x
0
n+1
> 0, и наоборот. Поэтому систему (2) можно заменить эквива-
лентной системой линейных уравнений с n + m неизвестными, в которой
будет m дополнительных неотрицательных неизве стных x
n+i
≥0,
i = 1, 2,..., m.
Пример 2. Найти какое-нибудь спорное решение системы
≥+++
≤+−+
=++−−
.823
,642
,5322
5431
4321
5321
xxxx
xxxx
xxxx
(4)
Решение. Используя сформулированное выше правило пере-
хода к эквивалентной системе линейных уравнений, введем неизвест-
ные x
6
, x
7
, получим следующую систему, эквивалентную данной:
=−+++
=++−+
=++−−
.823
,642
,5322
75431
64321
5321
xxxxx
xxxxx
xxxx
)4(
′
Для полученной системы уравнений составим расширенную
матрицу:
Рис. 1
117
[]
−
−
−−
7
6
5
1
0
0
011230
104112
010322
.
Используя алгоритм полного исключения, выделяем диагональную
подматрицу, выбирая разрешающие элементы так, как это делается при
поиске опорных решений. Примем за разрешающий, например, пятый
столбец. Разрешающую строку находим из условия
1
5
1
8
;
1
5
min =
.
Ею будет первая строка, а разрешающим – элемент 1.
Выполним первое исключение и получим матрицу:
[]
−−
−
−−
3
6
5
1
0
0
011152
104112
010322
.
Второе исключение выполним, например, со вторым столбцом.
Для него
5
3
5
3
;
1
6
min =
. Значит, разрешающей будет третья строка,
а разрешающим – элемент 5. В результате получим матрицу
−
−
−
−
−
3
27
31
1
1
2
051152
5019408
0521306
.
переставляя в которой пятый, шестой и второй столбцы, соответству-
ющие базисным переменным x
2
, x
5
, x
6
, можно образовать диагональ-
ную подматрицу. Решение закончено, т.к. на основании последней
матрицы x
1
= x
3
= x
4
= x
7
=0 сразу определяются значения базисных
переменных:
5
3
2
=x
,
5
31
5
=x
,
5
27
6
=x
.
Итак, одно из опорных решений смешанной системы
()
4
′
есть
0;
5
27
;
5
31
;0;0;
5
3
;0
, а системы (3) –
5
31
;0;0;
5
3
;0
.
118
3
0
. Эквивалентные преобразования систем линей-
ных уравнений и неравенств. Переход от системы линейных
уравнений к эквивалентной системе неравенств осуществляется на
основе следующего утверждения, обратного утверждению, сформули-
рованному в п.2: любому решению уравнения x
1
0
, x
2
0
,..., x
n
0
, x
0
n+1
уравнения a
1
x
1
+ a
2
x
2
+...+a
n
x
n
,
x
n+1
= b и неравенства x
n+1
≥0
соответствует единственное решение x
1
0
, x
2
0
,...,x
n
0
неравенства
bxaxaxa
nn
≤
≥
+++ $
2211
.
Пример 3. Привести систему линейных уравнений:
=−++
=++−
1032
,52
4321
4321
xxxx
xxxx
(5)
с условиями неотрицательности переменных x
j
≥0,
ϕ
= 1,2,3,4 к эквива-
лентной системе неравенств.
Решение. Со ст авим для системы (5) расширенную матрицу, пре-
образуем ее по алгоритму полного исключения до выделения единич-
ной подматрицы:
[]
[]
−
−
⇒
−
−
⇒
−
−
0
5
3
4
150
071
0
5
3
1
150
121
10
5
1
1
312
121
.
Последней матрице соответствует система линейных уравнений
=−+
=+−
.035
,547
432
421
xxx
xxx
)5(
′
Опуская в уравнениях системы
)5(
′
неотрицательные слагаемые
x
1
, x
3
, приходим к системе неравенств:
≤−
≤+−
.035
,547
42
42
xx
xx
Присоединяя к полученным неравенствам неиспользованное ус-
ловие неотрицательности для переменных х
2
и х
4
, получим систему
неравенств:
119
≥
≥
≤−
≤+−
.0
,0
,035
,547
4
2
42
42
x
x
xx
xx
эквивалентную системе уравнений (5).
! Задания для самостоятельной работы
1. Построить область решений следующих систем неравенств:
а)
≤+
≤−
;84
,62
21
21
xx
xx
б)
≤+
≥+
−≤−
;164
,6
,1332
21
21
21
xx
xx
xx
в)
≥≥
≤−
≥+
.0,0
,632
,83
21
21
21
xx
xx
xx
2. Найти какое-нибудь опорное решение смешанной системы ли-
нейных уравнений и неравенств:
−≥+
≤+−
=−
−=+−
.3
,53
,22
,32
52
542
43
421
xx
xxx
xx
xxx
3. Преобразовать следующие системы линейных уравнений в
эквивалентные системы линейных неравенств:
а)
=≥
=+−−
=−++
;4,1,0
,12
,452
4321
4321
jx
xxxx
xxxx
j
б)
=≥
−=−−
=+−
=−+−
.4,1,0
,13
,22
,32
431
421
4321
jx
xxx
xxx
xxxx
j
120
Часть II
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
Лекция 21
Числовые последовательности.
Предел числовой последовательности
Вводятся понятия числовой последовательности.
Рассматриваются бесконечно малые и бесконечно боль-
шие последовательности и свойства сходящихся
последовательностей.
1
0
. Числовая последовательность. Пусть N – множе-
ство натуральных чисел. Если каждому натуральному числу n
поставлено в соответствие некоторое число x
n,
то говорят, что опре-
делена числовая последовательность x
1
, x
2
,..., x
n
,... . Числа x
n
, n ∈N,
называют элементами, или членами последовательности. Числовую пос-
ледовательность (в дальнейшем – последовательность) будем еще за-
писывать в виде x
n
, а выражение x
n
называть общим членом последо-
вательности, n – номером члена.
Последовательности встречались в средней школе, например, бес-
конечная геомет риче ская прогре ссия 1, q, q
2
,..., q
n
,..., q< 1 является
числовой последовательностью.
Последовательности x
n
+ y
n
,
x
n
– y
n
, x
n
y
n
, x
n
/y
n
называют-
ся соответственно суммой, разностью, произведением и частным двух
последовательностей x
n
и y
n
(для частного y
n
≠0, n ∈N ).
Последовательность x
n
называется ограниченной, если существу-
ет такое число M > 0, что для любого n ∈N выполняется неравенство
x
n
≤ M.
В этом определении, а также в формулировках многих других
определений и теорем используются слова «существует» и «для любо-
го». Для краткости записи вместо этих терминов будем использовать
символы соответственно ∃ и
∀
. Символ ∃ называют квантором
существования, а символ
∀
– квантором общности.
С помощью указанных символов определение ограниченной
последовательности выглядит следующим образом: последова-