Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика
Подождите немного. Документ загружается.
3 1
Лекция 6
Векторы
Дается понятие вектора, рассмотрены линейные опера-
ции над векторами, скалярное произведение векторов.
1
0
. Дадим вначале геометрическое толкование вектора, используя
понятие направленного отрезка, данное в лекции 2. Напомним, что на-
правленным отрезк ом называют отрезок определенной длины и опреде-
ленного направления. Направленный отрезок с фиксированным началом
А и концом В называет ся связанным вектором и обозначается
AB
. Если
для направленного от резка фиксируются только его длина и направле-
ние, то он называется свободным вектором (обозначение
a
!
,
b
!
,
x
!
...).
Длиной связанного вектора
AB
(модулем, нормой) называется рас-
стояние между точками А, В и обозначается
AB
; запись
a
!
также озна-
чает длину (связанного или свободного) вектора
a
!
, которую находят как
длину соответствующего направленного отрезка.
Вект ор, начало и конец к от орого совпадают, называется ну левым и обо-
зна чается
0
!
(он имеет произво льное направ ление и для нег о
00 =
!
).
Говорят, что два ненулевых вектора
a
!
,
b
!
есть коллинеарные, если
они параллельны одной и той же прямой; два вектора
a
!
,
b
!
называются
равными
()
ba
!
!
=
, если они одинаково направ лены и имеют равные мо дули.
Углом между векторами
a
!
и
b
!
будем называть наименьший угол
ϕ
, на который нужно повернуть вектор
a
!
, чтобы его направление совпа-
дало с направлением вектора
b
!
, при условии, что оба вектора отнесены
к общему началу (рис. 1).
Рис. 1
32
В этом случае вводится обозначение
=ϕ
∧
ba
!
!
,
. Очевидно, что
π
ϕ
≤≤
0
. Если
2
,
π
=
∧
ba
!
!
, то векторы называются ортогональными
(считаем, что
0
!
ортогонален любому вектору).
По аналогии с лекцией 2 рассмо трим декартову прямоугольную сис-
тему координат в пространстве. Для ее построения выберем точку О (на-
чало системы координат) и проведем через эту точку взаимно перпенди-
кулярные оси: Ox (ось абсцисс), Oy (ось ординат), Oz (ось апликат). На
каждой оси отложим отрезки OE
1
, OE
2
, OE
3
единичной длины. Получен-
ные единичные отрезки рассмотрим как направленные, причем их направ-
ления совпадают соотв е тственно с направлением осей Ox, Oy, Oz. Обозна-
чим
321
,,
OEkOEjOEi ===
!
!!
и назовем их ортами. Вектор
i
!
считаем
первым,
j
!
– вторым,
k
!
– третьим вектором, и условимся, что тройка
векторов
()
kji
!
!!
,,
имеет прав ую ориентацию.
Таким образом, в пространстве R
3
построена декартова прямо-
угольная система координат, которую обозначим Oxyz (рис. 2).
Очевидно, что орты
i
!
,
j
!
,
k
!
в рассматриваемой системе коор-
динат имеют координаты:
()
0;0;1col
=
i
!
,
()
0;1;0col
=
j
!
,
()
1;0;0col
=
k
!
.
Произвольный вектор
a
!
можно разложить по ортам
i
!
,
j
!
,
k
!
(рис. 2):
Рис.2
33
kajajaa
zyx
!
!!
!
++=
,
при этом координаты вектора
a
!
есть проекции этого вектора на оси
координат. Имеет место и обратное: для данной тройки действительных
чисел a
x
, a
y
, a
z
можно построить единственный вектор про ст ранства R
3
(для чисел a
x
, a
y
, a
z
сначала строят соответствующие геометрические про-
екции, а затем сам вектор
a
!
– как диагональ параллелепипеда). Таким
образом, с помощью декартов ой системы координат Oxyz можно за-
дать взаимно однозначное соответствие множества векторов простран-
ства R
3
и множества упорядоченных троек чисел.
Аналогично, в общем случае упорядоченную совокупность
()
=
n
n
a
a
a
aaa
"
2
1
21
;...;;col
n вещественных чисел называют n-мерным век-
тором (обозначение
a
!
), а числа
nia
i
,1, =
– координатами вектора
a
!
.
Правило сложения двух векторов:
()
n
aaaa
;...;;col
21
=
!
и
()
n
bbbb
;...;;col
21
=
!
;
()
nn
babababa
+++=+
;...;;col
2211
!
!
.
Правило вычитания:
()
nn
babababa
−−−=−
;...;;col
2211
!
!
.
Правило умножения на число:
()
n
aaaa
ααα=α
;...;;col
21
!
.
Два вектора
a
!
и
b
!
равны (
a
!
=
b
!
) тогда и только тогда, когда
равны их соответствующие координаты (a
i
=b
i
,
ni ,1=
).
Линейной комбинацией m векторов
m
aaa
!!!
,......,
21
называется век-
тор
m
m
aaaa
!!!
λ++λ+λ= ...
2
2
1
1
, где хотя бы одно из чисел λ
1
, λ
2
,
...,λ
m
отлично от нуля.
Ненулевые векторы
a
!
и
b
!
коллинеарны тогда и только тогда,
когда
()
0
≠λλ=
ab
!
!
, что через координаты записывается так:
n
n
b
a
b
a
b
a
=== ...
2
2
1
1
.
2
0
. Скалярное произведение векторов. Скалярным
произведением двух векторов
a
!
и
b
!
называется число, равное произ-
ведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
34
()
⋅=⋅=
∧
babababa
def
!
!
!
!
!
!
,cos,
. (1)
Проекция вектора
a
!
на ось
e
!
определяется по формуле:
=
∧
eaaanp
e
!!!!
!
,cos
. (2)
Из формул (1) и (2) имеем:
()
anpbbnpaba
b
a
!
!!
!
!
!
!
!
==
,
. (3)
Для скалярного произведения векторов имеют место следующие
свойства:
1)
()()
abba
!
!!
!
,,
=
– коммутативность;
2)
()()
Rbaba
∈αα=α
,,,
!
!
!
!
– ассоциативность;
3)
()
()
()
cbcacba
!
!
!!!
!
!
,,,
+=+
– дистрибутивность;
4)
()
2
,
aaa
!!!
=
> 0,
0
≠
a
!
;
()
0,
=
aa
!!
0=⇔ a
!
.
Здесь R – множество действительных чисел.
Докажем, например, свойство 3). Используя формулу (3), свой-
ство проекции и коммутативность скалярного произведения, получаем
() ()()
=+=+=+=+
bnpcanpcbnpanpcbanpccba
ccccc
!
!!!
!
!!
!
!!!
!
!
!!!!!
,
()
()
cbca
!
!
!!
,,
+=
, что и доказывает свойство 3).
С помощью понятия скалярного произведения можно сформули-
ровать необходимое и достаточное условие ортогональности двух
векторов: два ненулевых вектора являются ортогональными тогда и
только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Из равенства (1) получаем формулу для вычисления косинуса
угла между ненулевыми векторами:
()
ba
ba
ba
!
!
!
!
!
!
⋅
=
∧
,
,cos
. (4)
Из соотношений (3) можно получить также формулы для вычис-
ления проекции одного вектора на второй с помощью скалярного про-
изведения:
35
() ()
.
,
,
,
b
ba
anp
a
ba
bnp
b
a
!
!
!
!
!
!
!
!
#
!
==
(5)
Следующая теорема отвечает на вопрос о представлении скаляр-
ного произведения в координатной форме.
Теорема 1.
Скалярное произведение двух векторов
()
n
aaaa
;...;;col
21
=
!
и
()
n
bbbb
;...;;col
21
=
!
равно сумме произведений соответствующих
координат:
()
nn
babababa
...,
2211
++=
!
!
. (6)
Доказательство проведем для n = 3. Рассмотрим декартову сис-
тему координат Oxyz, и пусть
kji
!
!!
,,
– соответствующие орты. Оче-
видно, что
()()
()
1,,,
===
kkjjii
!!
#!!!
,
(7)
()
()()
0,,,
===
kjkiji
!
!
!
!!!
.
Рассмотрим скалярное произведение векторов
a
!
и
b
!
, записав
их в форме разложения по ортам
kji
!
!!
,,
, и используем свойства ска-
лярного произведения и равенства (7):
(
)
(
)
()
+=++++=
iibakbjbibkajaiaba
xxzyxzyx
!!
!
!!
!
!!
!
!
,,,
()
()
() ()
+++++
jjbaijbakibajiba
yyxyzxyx
!!!!
!
!!!
,,,,
() () () ()
=++++
kkbajkbaikbakjba
zzyzxzzy
!!
!
!
!
!!
!
,,,,
zzyyxx
bababa
++=
,
что и требовалось доказать.
Пример 1. Установить связь между направляющими косинуса-
ми вектора в пространстве R
3
.
Имеем:
()
1 23
cos cos cos
aai j k aiajak
αβγ
=++=++
!!
!! !!
!!
.
321
cos,cos,cos
aakaaajaaaia =γ=⋅=β=⋅=α=⋅
!
!
!!
!
!!
!
!
.
36
Отсюда:
a
a
aaa
a
a
a
i
!
!
!
!
пр
cos
2
3
2
2
2
1
11
=
++
==α
;
a
a
aaa
a
a
a
j
!
!
!
!
пр
cos
2
3
2
2
2
1
22
=
++
==β
;
a
a
aaa
a
a
a
k
!
!
!
!
пр
cos
2
3
2
2
2
1
33
=
++
==γ
;
()
1coscoscoscoscoscos
222
2
222
2
=λ+β+α⇒=γ+β+α=⋅
aaaa
!!!!
.
Пример 2. Даны векторы
()
1;2;3col
−=
a
!
и
()
2;1;1col
−−=
b
!
.
Найти вектор
()
321
;;col
cccc
=
!
, ортогональный векторам
a
!
и
b
!
, если
его длина равна
35
.
Решение. По условию ортогональности векторов имеем
3с
1
–2с
2
+ с
3
=0 и –с
1
+ с
2
–2с
3
= 0. Кроме того, по условию
(с
1
)
2
+(с
2
)
2
+(с
3
)
2
= 35. Решая систему полученных трех уравнений, находим
1,5,3
321
±=±=±= ccc
. Итак, имеем два вектора
()
1;5;3col
1
=
c
!
,
()
1;5;3col
2
−−−=
c
!
, которые удовлетворяют условиям примера 2.
Рис.3
37
3
0
. Проекции двумерного вектора в повернутой си-
стеме координат. Пусть задан вектор в декартовой системе коор-
динат Ox
1
x
2
в двумерном про ст ранстве :
jaiaa
!!
!
21
+=
.
Нужно найти проекции (координаты)
1
a
′
и
2
a
′
этого вектора в по-
вернутой на угол ϕ системе координат
21
xxO
′′
(рис. 4):
,
21
jaiaa
′′
+
′′
=
!!
!
где
i
′
!
,
j
′
!
– орты новых координатных осей.
Из рис. 5 видно, что
jiOBOAi
′
ϕ−
′
ϕ=+=
!!!
sincos
, т.к.
ϕ=ϕ= sin,cos OBOA
,
1=
′
=
′
ji
!!
. Аналогично,
jij
′
ϕ+
′
ϕ=
!!!
cossin
.
Таким образом,
()()
()
+ϕ+ϕ
′
=
′
ϕ+
′
ϕ+
′
ϕ−
′
ϕ=
sincossincossincos
2121
aaiijajiaa
!!!!!
!
()
jaiaaaj
′′
+
′′
=ϕ−ϕ
′
+
!!!
2112
sincos
.
Векторы равны, если равны их соответствующие проекции на
оси
i
′
!
и
j
′
!
:
ϕ+ϕ=
′
sincos
211
aaa
,
ϕ−ϕ=
′
sincos
122
aaa
.
Рис.4 Рис.5
38
! Задания для самостоятельной работы
1. Даны точки А (–1;5;–10), В (5; –7; 8), С (2; 2; –7), D(5; –4; 2).
Проверить, что векторы
AB
и
CD
коллинеарны. Во сколько раз один
из этих векторов длиннее другого?
2. Найти
AB
CD
пр
, если А (1; –2; 3), В (4; –4; –3), С (2; 4; 3),
D (8; 6; 6).
3. Найти направляющие косинусы вектора
()
2;1;2col
−=
a
!
.
4. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построен-
ного на векторах
()
0;1;2col
=
a
!
и
()
1;2;0col
−=
b
!
.
5. Убедиться, что
() () () ()
2
2
2
1
2
2
2
1
aaaa
′
+
′
=+
, т.е. длина отрез-
ка прямой при повороте не меняется.
6. Вычислить косинус тупого угла между медианами, проведен-
ными из вершин острых углов равнобедренного прямоугольного тре-
угольника.
7. Найти вектор
c
!
, коллинеарный вектору
()
3;2;1col
−=
a
!
и
удовлетворяющий условию
5
=⋅
ac
!!
.
Замечание 1. Дальше символ «col» будем опускать, если это не со-
здает недоразумений.
39
Лекция 7
Матрицы и определители
Дается понятие матрицы, определителя квадратной
матрицы, рассмотрены свойства определителей и пра-
вила их вычисления.
1
0
. Понятие матрицы. Матрицей порядка m
×
n (размерно-
сти m
×
n) называют прямоугольную таблицу чисел или буквенных
выражений, содержащую m строк и n столбцов:
()
===
∧
mnmm
n
n
ij
aaa
aaa
aaa
aaA
$
""""
$
$
21
22221
11211
.
Квадратной матрицей называется матрица, у которой число
строк равно числу столбцов.
Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие
элементы этих матриц, т.е. A = B, если а
ij
= b
ij
при
njmi ,1,,1 ==
.
Транспонированной матрицей А
Т
называется такая матрица, у
которой все строки заменены соответствующими столбцами. В об-
щем случае для квадратных матриц А ≠А
Т
. Например,
=≠
=
2221
1211
2221
1211
aa
aa
A
aa
aa
A
T
, если а
12
≠а
21.
Если А = А
Т
, то матрица А называется симметричной. Из Л.6 сле-
дует, что m-мерный вектор – это матрица, содержащая один столбец,
т.е.
a
a
a
m
!
" =
1
. Матрицу, содержащую одну строку, называют транспо-
нированным n–мерным вектором, т.е.
()
T
n
aaaa
!
=
;...;;
21
.
Нулевой называется матрица, у которой все элементы равны
нулю. Например, нулевая
22×
–матрица
=
∧
00
00
0
.
40
2
0
. Понятие определителей второго и третьего по-
рядка. По определенному правилу каждой квадратной матрице А мож-
но поставить в соответствие число, которое называется определителем
(используют обозначения
AA,det,∆
).
Если порядок матрицы равен единице, то она составлена из од-
ного элемента a
11
. Определителем первого порядка, который соответ-
ствует матрице
()
11
aA
=
, назовем число
1111
:
aa =∆
.
Для квадратной матрицы
=
2221
1211
aa
aa
A
назовем определителем
второго порядка число, которое равно разности произведений эле-
ментов главной диагонали и побочной:
12212211
2221
1211
aaaa
aa
aa
⋅−⋅==∆
. (1)
Дальше будем называть э лементами, строками, ст о лбцами те элемен-
ты опре делителя
A
произвольного порядка, кот орые сто ят на том же
месте, что и соответствующие элементы, строки и ст олбцы матрицы А.
Для матрицы
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
определителем третьего поряд-
ка назовем число, определяемое равенством:
3231
2221
13
3331
2321
12
3312
2322
11
333231
232221
131211
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
a
aaa
aaa
aaa
⋅+⋅−⋅==∆
. (2)
Отметим, что для вычисления определителя третьего порядка
используют алгебраическую сумму произведений элементов первой
строки и определителей второго порядка из элементов второй и третьей
строк.
Используя равенство (1), определение определителя третьего по-
рядка (2) можно записать в другом виде: