Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика

Подождите немного. Документ загружается.

2 1

Лекция 4

Прямая на плоскости

Рассмотрены различные виды уравнений прямой на

плоскости.

. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Рассмотрим некоторую прямую, не перпендикулярную оси Ох. Назо-

вем углом наклона данной прямой к оси Ох угол α, на который нужно

повернуть ось Ох, чтобы положительное направление совпало с одним из

направлений прямой. Тангенс уг ла наклона прямой к оси Ох называют

угловым коэффициентом этой прямой и обозначают буквой k:

k=tg α. (1)

Из формулы (1), в частности, следует, что если α=

0, т.е. прям ая па-

раллельна оси Ox, то k=0. Если

=α

, т.е. прямая перпендикуляр-

на оси Ox, то выражение k = tg α не имеет смысла. Тогда говорят, что

угловой коэффициент «обращается в бесконечность»(рис. 1).

Выведем уравнение прямой, если известны ее угловой коэффи-

циент и величина отрезка ОВ,

которую она отсекает на оси

Oy.

Пусть М – произвольная

точка плоскости с координата-

ми х и y. Если провести пря-

мые BN и NM, параллельные

осям, то образуется прямо-

угольный тре угольник. Точка

М лежит на прямой тогда и

только тог да, когда величины

BN и NM удовлетворяют ус-

ловию

α= tg

. Но NM = CM – CN = CM – OB = y – b, BN = x. Отсю-

да, с учетом формулы (1), получаем, что точка M лежит на данной

прямой тогда и только тог да, когда ее координаты удовлетворяют урав-

нению

−

, которое по сле преобразования примет вид:

у = kx + b. (2)

Рис. 1

Уравнение (2) называют уравнением прямой с угловым коэффи-

циентом. Если k=0, то прямая параллельна оси Ox, и ее уравнение

имеет вид y=b.

Итак, любая прямая, не перпендикулярная оси Ox, имеет уравнение

вида (2). Верно и обратное: любое уравнение вида (2) определяет пря-

мую, которая имеет угловой коэффициент k и отсекает на оси Oy

отрезок, величина которого b.

Пример 1. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси Oy

отрезок b=2 и образующей с осью Ox угол

=α

Решение. Находим угловой коэффициент:

tgtg =













=α=k

Подставляя k и b в уравнение (2), получаем искомое уравнение прямой:

23 += xy

или

023 =−− xy

. Уравнение прямой, проходящей через данную

точку, с данным угловым коэффициентом. Иногда возни-

кает необходимость составить уравнение прямой, зная одну ее точку

; y

) и угловой коэффициент k. Запишем уравнение прямой в виде

(2), где b, пока неизвестно е число. Так как прямая проходит через точку

; y

), то координаты этой точки удовлетворяют уравнению (2):

=kx

b. От сюда b = y

– kx

Подставляя это в уравнение (2), получаем искомое уравнение

прямой:

–

k (x – x

). (3)

Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку

М (1;2) и образующей с осью Ox угол

=α

Решение. Находим угловой коэффициент:

tgtg =

=α=k

Подставляя данные координаты и значение углового коэффициента k

в уравнение (3), получим искомое уравнение прямой:

y –2=x – 1 или y – x – 1 = 0.

. Уравнение прямой, проходящей через две дан-

ные точки. Пусть даны две точки M

; y

) и M

; y

). Приняв в (3)

точку М (х; y) за M

), получим: y

– y

= k (x

– x

Если

xx ≠

, то, определяя k из последнего равенства и подстав-

ляя его в уравнение (3), получаем искомое уравнение прямой:

()

−

=−

Это уравнение, если y

≠ y

, можно записать в виде:

−

. (4)

Если y

= y

, то уравнение искомой прямой имеет вид y = y

, и такая

прямая параллельна оси Ox. Если x

= x

, то прямая, проходящая через

точки M

и M

, параллельна оси Oy, ее уравнение имеет вид x = x

. Общее уравнение прямой.

Теорема 1.

В прямоугольной системе координат любая прямая задается

уравнением первой степени

Ax + By + C =0, (5)

и, обратно, уравнение (5) при произвольных коэффициентах А, В, С

(А и В одновременно не равны нулю) определяет некоторую прямую в

прямоугольной системе координат Oxy.

Доказательство. Докажем вначале первое утверждение. Если

прямая не перпендикулярна оси Ox, то, как было показано в п. 1, она

определяется уравнением первой степени: y=kx+b, т.е. уравнением

вида (5), где A=k, B=–1 и C = b. Если прямая перпендикулярна оси

Ox, то все ее точки имеют одинаковые абсциссы, равные величине а

отрезка, отсекаемого прямой на оси Ox (рис. 2).

Уравнение такой прямой имеет вид x

a, т.е. также вида (5),

где A=1, B = 0, C = –a. Первое утверждение доказано.

Докажем обратное утверждение. Пусть дано уравнение (5), где

хотя бы один из коэффициентов А или В не равен нулю.

Если B ≠ 0, то (5) можно записать в виде:

y −−=

Полагая

k −=

b −=

, получаем уравнение y = kx + b, т.е.

уравнение вида (2), которое определяет прямую.

Если B=0, то A ≠ 0, и (5) принимает вид

x −=

. Обозначая

a −=

, получаем x = a, т.е.

уравнение прямой, перпендикуляр-

ной оси Ox.

Линии вида (5) называются

линиями первого порядка. Уравне-

ние вида Ax + By + C = 0 называ-

ется общим уравнением прямой,

или полным уравнением прямой.

При различных значениях А, В, С

оно определяет всевозможные

прямые.

. Неполные уравнения первой степени. Уравне-

ние прямой «в отрезках». Рассмотрим три частных случая,

когда уравнение Ax + By + C=0 является неполным, т.е. один из

коэффициентов равен нулю.

1) C = 0; уравнение имеет вид Ax + By =0 и определяет пря-

мую, проходящую через начало координат;

2) B =0 (A ≠0); уравнение имеет вид Ax + C =0 и определяет

прямую, параллельную оси Oy. В частности, уравнение x =0 опреде-

ляет ось ординат;

3) A =0 (B ≠ 0); уравнение имеет вид By + C =0 и определяет

прямую, параллельную оси Ox. В частности, уравнение y = 0 опреде-

ляет ось абсцисс.

Рассмотрим теперь уравнение Ax + By + C =0 при условии, что ни

один из коэффициентов А, В, С не равен нулю. Преобразуем его к виду:

−

Вводя обозначения

a −=

b −=

, получаем

1=+

. (6)

Уравнение (6) называется уравнением прямой «в отрезках». Числа

а и b являются величинами отрезк ов, которые прямая отсекает на о сях

координат. Эта форма уравнения удобна для геометрического пост ро е-

ния прямой.

Рис.2

Пример 3. Прямая задана уравнением 2х –3у + 6 = 0. Составить

для этой прямой уравнение «в отрезках» и построить прямую.

Решение. Для данной пря-

мой уравнение «в отрезках»

имеет вид:

−

Чтобы построить эту пря-

мую, отложим на осях коорди-

нат Ох и Оу отрезки, величины

которых соответственно равны

а = –3, b =2, и проведем прямую

через точки M

(–3; 0) и M

(0; 2)

(рис. 3).

! Задания для самостоятельной работы

1. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси Oy отрезок

b =4 и образующей с осью Ox угол

=α

2. Построить прямую, заданную уравнением

+= xy

3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку

М (2; 1) и образующей с осью Ox угол

=α

4. Составить уравнение прямой, проходящей через точки M

(3; 1)

и M

(5; 4).

5. Дано общее уравнение прямой 12x –5y – 65 = 0. Написать

уравнение прямой с угловым коэффициентом.

6. Прямая задана уравнением 3x –5y + 15 = 0. Составить для

этой прямой уравнение «в отрезках» и построить прямую.

7. Установить, какую линию описывает середина отрезка между

двумя пешеходами, идущими по двум взаимно перпендикулярным

дорогам с одинаковой скоростью.

Рис.3

Лекция 5

Расположение двух прямых на плоскости

Приведены фор мулы тангенса угла между двумя прямы-

ми и расстояния от точки до прямой, условия параллель-

ности и перпендикулярности двух прямых, рассмотрено

взаимное расположение двух прямых на плоскости.

. Угол между двумя прямыми.

Рассмотрим две прямые L

и L

. Пусть уравнение L

имеет вид

y = k

x + b

, где k

=tgα

, а уравнение L

– вид y = k

x + b

, где

=tgα

, а ϕ – угол между прямыми L

и L

, 0 ≤ϕ< π (рис. 1).

Из геометрических соображений (рис. 1) устанавливаем соотно-

шение между углами α

, α

, ϕ : α

+ ϕ или ϕ

= α

– α

, откуда

()

tgtg1

tgtg

αα+

α−α

=α−α=ϕ

, или

−

=ϕ

. (1)

Формула (1) определяет один из углов между прямыми. Второй

угол равен π– ϕ.

Пример 1. Прямые заданы уравнениями у =3х +2 и

у =–2х + 3. Найти угол между этими прямыми.

Рис. 1

Решение. Имеем k

=3, k

= –2. Поэтому по формуле (1) нахо-

дим

3)2(1

tg =

−

⋅−+

−−

=ϕ

Таким образом, один из углов между данными прямыми равен

другой угол

−π

. Условие параллельности и перпендикулярности

двух прямых. Если прямые L

и L

параллельны, то ϕ = 0 и tg ϕ = 0. В

этом случае числитель правой части формулы (1) равен нулю, т.е. k

–

= 0, откуда k

= k

Таким образом, условием параллельности двух прямых является

равенство их угловых коэффициентов.

Если прямые L

и L

перпендикулярны, т.е.

=ϕ

, то из (1) находим

ctg

−

=ϕ

. В этом случае

ctg =

=+ kk

, откуда

k −=

Таким образом, условие перпендикулярности двух прямых состоит

в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противопо-

ложны по знаку.

Пример 2. Показать, что прямые 2х –3у

0 и

6х –9у +2=0 параллельны.

Решение. Приведя каждое из уравнений прямой к виду уравне-

ния с угловым коэффициентом, получаем

+= xy

Угловые коэффициенты этих прямых равны

== kk

. Значит,

прямые параллельны.

. Расстояние от точки до прямой.

Теорема 1.

Расстояние d от данной точки М(х

; у

) до прямой L, заданной

уравнением Ax + By + C = 0, на плоскости определяется формулой:

CByAx

. (2)

Доказательство. Рассмотрим на прямой L две произвольные

точки E и F с координатами (x

; y

) и (x

; y

). Вычислим длину отрезка

EF и площадь S

MEF

треугольника MEF (рис. 2).

Для этого запишем уравнение прямой по формуле (Л.4.4):

−

откуда

()( )()( )

121121

=−−−−−

yyxxxxyy

. (3)

Площадь S

MEF

запишем по формуле (Л.2.3):

()()()()

12101012

yyxxyyxxS

MEF

−−−−−=

()()

yyxxEF

−+−=

Тогда

()()()()

()()

12101012

yyxx

yyxxyyxx

−+−

−−−−−

. (4)

С помощью уравнения (3) выразим ко эффициенты А, В, С уравне-

Рис.2

ния Ax + By + C =0 прямой L чере з координаты точек Е и F. Для этого

перепишем уравнение (3) в виде:

()()()()

1211211221

=−−−+−+−

xxyyyxyxxxyy

откуда получаем A = y

– y

, B = x

– x

, C = x

– y

)–y

– x

Тогда 2S

MEF

=|Ax

+ By

+ C|;

BAEF +=

, и форм улу (4) мож-

но записать в виде

CByAx

, что и требовалось доказать.

Пример 3. Пусть прямая L задана уравнением

2х –3у +5=0 и дана точка М (1;2). Найти расстояние d от точки М

до прямой L.

Решение. По формуле (2) имеем

52312

+⋅−⋅

Таким образом, искомое расстояние равно

. Взаимное расположение двух прямых на плос-

кости. Пусть прямые L

и L

заданы уравнениями:

()







=++

2222

1111

LCyBxA

(5)

Рассмотрим эти уравнения как систему двух уравнений с двумя

неизвестными х и y. Решая эту систему, находим:

1221

BABA

CBCB

−

2 112

1 221

AC AC

AB A B

−

Пусть А

– А

≠ 0. Полученные формулы дают решение систе-

мы (5). Это значит, что прямые L

и L

непараллельны и пересекаются в

одной точке с координатами (х; y).

Пусть теперь А

– А

=0. Возможны два случая:

1) А

– А

=0 и В

– В

=0;

2) А

– А

≠ 0 (В

– В

≠ 0).

В первом случае имеем А

= mА

, В

= mВ

, С

= mС

или

===

где m ≠ 0 – некоторое число. Это означает, что коэффициенты уравне-

ний пропорциональны, отк уда следует, что второе уравнение получается

из первого умножением на число m. В этом случае прямые L

и L

со-

впадают, т.е. их уравнения определяют одну и ту же прямую. Оче-

видно, что система (5) имеет бе сконечно много решений.

Во втором случае, если, например, А

– А

≠ 0 , то, допустив,

что система (5) имеет некоторое решение (х

; у

), получим противоре-

чие. Действительно, подставляя в уравнения вместо х и y значения х

и у

, умножая первое уравнение на А

, второе – на А

и вычитая из

первого уравнения второе, получим А

– А

=0, что противоречит

предположению. Таким образом, система (5) решения не имеет. В этом

случае прямые L

и L

не имеют точек пересечения, т.е. они параллельны.

Итак, две прямые на плоскости либо перес екаются в одной точке,

либо совпадают, либо пара ллельны.

! Задания для самостоятельной работы

1. Две прямые заданы уравнениями у = х – 0,5 и у =2х + 1.

Найти угол между этими прямыми.

2. Показать, что прямые 3х –5у +7=0 и 10х +6у –5=0 пер-

пендикулярны.

3. Показать, что прямые х + у – 1 =0 и 2х +2у –3=0 парал-

лельны.

4. Пусть прямая L задана уравнением х –5у + 11 =0 и дана точ-

ка М (5; 2). Найти расстояние d от точки М до прямой L.

5. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересече-

ния прямых 2х –3у – 1 =0 и 3х – y –2=0 и перпендикулярной прямой

у = х + 1.