Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы
Подождите немного. Документ загружается.
Модели с дискретными объясняемыми переменными…
91
ii
T
ii
xy
νλσθ
++=
1211
,
где
i
λ
– переменная, определяемая соотношением
(
)
(
)
(
)
222222
θθϕθλλ
T
i
T
i
T
ii
xxx Φ== .
Если
i1
ε
не коррелирована с
i
x
1
и
i
x
2
, то
i
ν
не коррелирована с
i
x
1
и
i
λ
, так что эту модель регрессии можно оценивать методом
наименьших квадратов. Проблема, однако, в том, что значения
i
λ
не
наблюдаются, поскольку неизвестен вектор коэффициентов
2
θ
в
модели выбора.
Оценивание вектора
2
θ
производится в рамках пробит-модели
бинарного выбора. При этом получаем оцененные значения
(
)
22
ˆˆ
θλλ
T
ii
x= (первый шаг процедуры Хекмана). Эти оцененные
значения используются затем на втором шаге процедуры вместо
i
λ
.
Модель
ii
T
ii
xy
νλσθ
++=
ˆ
1211
оценивается методом наименьших
квадратов; в результате получаем состоятельные (хотя и не
эффективные) оценки для
1
θ
и
12
σ
. Используя эти оценки, мы
получаем оцененное ожидаемое значение
i
y при заданных
i
x
1
,
i
x
2
и
1=
i
h в виде
{}
(
)
22121121
ˆ
ˆ
ˆ
1,,
ˆ
θλσθ
T
i
T
iiiii
xxhxxyE +== .
Если же нас интересует ожидаемое значение
i
y при заданных
i
x
1
,
i
x
2
без условия 1=
i
h , то оно оценивается величиной
{}
1121
ˆ
,
ˆ
θ
T
iiii
xxxyE = .
Поскольку смещение при оценивании уравнения для
∗
i
y
методом наименьших квадратов вызывается коррелированностью
i1
ε
и
i2
ε
, представляет интерес проверка гипотезы
0:
120
=
σ
H
Глава 1
92
об отсутствии такой коррелированности в рамках модели,
оцененной на втором шаге. Отметим только, что при проверке этой
гипотезы следует производить коррекцию значений стандартных
ошибок оценок, учитывающую гетероскедастичность модели и тот
факт, что вместо переменной
i
λ
на втором шаге используется
предварительно оцененная переменная
i
λ
ˆ
.
Заметим, наконец, что в описанной выше стандартной Тобит-II
модели функция правдоподобия имеет вид
(){}(){}
()()
∏
=
−
=⋅===
n
i
h
iii
h
i
i
i
hyfhPhPL
1
1
12121
110,,,
σσθθ
,
где
()
1=
ii
hyf – условная плотность распределения случайной
величины
i
y при 1=
i
h . Здесь
{}
(
)
22
10
θ
T
ii
xhP Φ−== ,
{}
(){}
()
iiiiii
yfyhPhyfhP ⋅===⋅= 111 ,
{}
()( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−⋅+
==
2
112
11
2
11222
1
1
σσ
θσσθ
T
ii
T
i
ii
xyx
yhP Φ
,
()
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−=
2
1
2
11
1
2
exp
2
1
σ
θ
πσ
T
ii
i
xy
yf
.
Для начала итерационной процедуры в качестве стартовых можно
взять значения оценок параметров, полученные в процессе
реализации двухшаговой процедуры Хекмана.
Модели с дискретными объясняемыми переменными…
93
П р и м е р 1
Пусть в примере с автомобилями наличие у семьи собственного
автомобиля определяется условием
2000>
∗
i
w , где
ii
xw
i
2
180083600
ε
++−=
∗
,
1000,221
,,
εε
K ~ i.i.d. )1,0(N .
Обозначив
2000−=
∗∗
ii
wh , запишем это условие в виде 0>
∗
i
h , где
ii
xh
i
2
180085600
ε
++−=
∗
,
и нормализуем функцию полезности, разделив обе части последнего
равенства на 1800:
ii
xh
i
2
0.004453.111
ε
++−=
∗
.
Пусть “потенциальная цена” автомобиля для i-й семьи определяется
уравнением
ii
xprice
i
1
64000
ε
++=
∗
,
1000,111
,,
εε
K ~ i.i.d. )1000,0(
2
N .
В смоделированной выборке пары
()
(
)
1000,21000,12111
,,,,
εεεε
K
взаимно независимы, но
()
707,
21
=
ii
Cov
εε
, так что коэффициент
корреляции случайных величин
ii 21
,
εε
равен 707.0
12
=
ρ
.
В принятых выше общих обозначениях модели Тобит-II
получаем:
iiii
xxy
1,1212,1111
*
εθθ
++= ,
iii
xxh
i
2,2222,2121
εθθ
++=
∗
,
где
1
,21,11
==
ii
xx ,
iii
xxx ==
,22,12
, 4000
11
=
θ
, 6
12
=
θ
, 111.3
21
−=
θ
,
00445.0
22
=
θ
; при этом ,1000
1
=
σ
,1
2
=
σ
.707
12
=
σ
Применяя к смоделированным данным двухшаговую процедуру
Хекмана, получаем на первом шаге оцененное уравнение
ii
xh 0.004763.450 +−=
∗
,
а на втором шаге – оцененное уравнение
i
xprice
i
995.52.3936 +=
∗
.
Глава 1
94
Используя полученные оценки параметров в качестве стартовых
значений итерационной процедуры максимального правдоподобия,
приходим к уравнениям
ii
xh 0.004803.483 +−=
∗
,
i
xprice
i
828.53.4159 +=
∗
.
При этом получаем также
,7.1010
ˆ
1
=
σ
598.0
ˆ
12
=
ρ
.
Как видим, оцененные значения параметров достаточно близки к
значениям, при которых производилось порождение данных.
Приведем теперь графики, иллюстрирующие полученные
результаты.
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
100 1600
H_STAR H_STAR_F
Модели с дискретными объясняемыми переменными…
95
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
100 300 500 700 900 1100 1300 1500
H H_F
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
100 300 500 700 900 1100 1300 1500
Y_STAR Y_STAR_F582
Глава 1
96
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
100 300 500 700 900 1100 1300 1500
Y_STAR Y_STAR_F Y_STAR_F582
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
100 300 500 700 900 1100 1300 1500
Y Y_F
Модели с дискретными объясняемыми переменными…
97
П р и м е р 2
В условиях Примера 1 перемоделируем данные с измененной
функцией полезности, полагая теперь
iimani
dxh
i
2
)(20.0034
ε
+++−=
∗
,
где
1=
man
d , если главой семьи является мужчина, и 0=
man
d , если
главой семьи является женщина.
Применяя к новым смоделированным данным двухшаговую
процедуру Хекмана, получаем на первом шаге оцененное уравнение
()
i
manii
dxh 347.20.002974.280 ++−=
∗
,
а на втором шаге – оцененное уравнение
i
xprice
i
124.697.3879 +=
∗
.
При этом получаем также
,2.984
ˆ
1
=
σ
643.0
ˆ
12
=
ρ
.
Как видим, и здесь оцененные значения параметров достаточно
близки к значениям, при которых производилось порождение
данных. Приведем для сравнения наблюдаемые значения
переменной
i
y и оцененные ожидаемые значения этой переменной
(Y_EXPECTED_F).
0
5000
10000
15000
20000
100 600 1100 1600 2100
Y Y_EXPECTED_F
Глава 1
98
Обратим внимание на две ветви графика оцененных ожидаемых
значений
i
y . Верхняя ветвь соответствует семьям, которые
возглавляют мужчины, а нижняя – семьям, которые возглавляют
женщины.
Глава 2. Инструментальные переменные.
Системы одновременных уравнений
2.1. Проблема коррелированности случайных
ошибок с объясняющими переменными
В главе 1 мы встретили модели наблюдений, в которых
естественным образом возникла необходимость использования
вместо метода наименьших квадратов другого метода оценивания –
метода максимального правдоподобия. (В классической линейной
модели с независимыми, нормальными, одинаково
распределенными ошибками эти методы совпадают.)
Теперь мы рассмотрим некоторые ситуации, приводящие к еще
одному популярному методу оценивания – методу
инструментальных
переменных. Общим для такого рода ситуаций
является наличие коррелированности одной или нескольких
объясняющих переменных со случайной ошибкой, входящей в
правую часть уравнения. Поскольку случайные ошибки отражают
наличие неучтенных факторов, не включенных в уравнение в
качестве объясняющих переменных, указанная коррелированность
фактически означает наличие корреляции между некоторыми
учтенными и неучтенными факторами.
В матрично
-векторной форме классическая нормальная
линейная модель наблюдений имеет вид
y = X
θ
+
ε
,
где
()
T
n
yyyy ,,,
21
K= – вектор-столбец значений объясняемой
переменной в n наблюдениях,
X – (n×p)-
матрица значений объясняющих переменных в n
наблюдениях, n > p,
θ
= (
θ
1
,
θ
2
, …,
θ
p
)
T
– вектор-столбец коэффициентов,
Глава 2
100
ε
= (
n
εεε
,,
21
K )
T
– вектор-столбец случайных ошибок
(
возмущений) в n наблюдениях, причем случайный вектор
ε
имеет
n-
мерное нормальное распределение с нулевым вектором
математических ожиданий
E(
ε
) = (E(
ε
1
), E(
ε
2
), …, E(
ε
n
))
T
= (0, 0, ..., 0)
T
(в краткой записи:
E(
ε
) = 0)
и ковариационной матрицей
Var(
ε
) = (Cov(
ε
i
,
ε
j
)) = σ
2
I
n
,
где I
n
– единичная матрица (размера n × n).
Здесь
Cov(
ε
i
,
ε
j
) = E(
ε
i
– E(
ε
i
))(
ε
j
– E(
ε
j
)) –
ковариация
случайных величин
ε
i
и
ε
j
.
Предположение о фиксированности значений объясняющих
переменных в совокупности со стандартными предположениями об
ошибках удобно с чисто математической точки зрения: при таких
предположениях оценки параметров, получаемые методом
наименьших квадратов, имеют нормальное распределение, что, в
свою очередь, дает возможность:
• строить доверительные интервалы для
коэффициентов линейной модели, используя квантили t -
распределения Стьюдента;
• проверять гипотезы о значениях отдельных
коэффициентов, используя квантили t-распределения
Стьюдента;
• проверять гипотезы о выполнении тех или иных
линейных ограничений на коэффициенты модели, используя
квантили F-распределения Фишера;
• строить интервальные прогнозы для “будущих”
значений объясняемой переменной, соответствующих
заданным будущим значениям объясняющих переменных.
Вместе с тем используемое в классической модели
предположение о фиксированности значений объясняющих