Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы

Подождите немного. Документ загружается.

Модели с дискретными объясняемыми переменными…

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -2075.806 104.7679 -19.81338 0.0000

X 5.130473 0.109904 46.68158 0.0000

Для значений 470≤

x подобранная модель прогнозирует

отрицательные

значения объясняемой переменной.

При подгонке такой модели методом наименьших квадратов по

582 наблюдениям получаем:

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -3037.189 274.4903 -11.06483 0.0000

X 6.119677 0.233812 26.17353 0.0000

Оцененная модель прогнозирует отрицательные значения

объясняемой переменной для значений

498≤

x .

Это положение иллюстрирует следующий график:

-4000

-2000

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

0 600 1200 1800

Y YF_OLS_1000 YF_OLS_582

Одним из показателей качества прогноза произвольного

временного ряда

z , ni ,,1 K= , является средняя абсолютная

процентная ошибка (MAPE – mean squared absolute error),

Глава 1

определяемая следующим образом. Если

– прогнозное значение

для

z , то

∑

−

MAPE

100

Cравним качество полученных альтернативных прогнозов для

y с

точки зрения средней абсолютной процентной ошибки.

Модель OLS_582 OLS_1000 Truncated Censored

MAPE % 118.46 99.86 126.69 71.96

Как видно из этой таблицы, наилучшее качество имеют прогнозы,

полученные с использованием цензурированной модели регрессии

Обратим внимание на еще одно обстоятельство. Мы уже

отмечали, что

() ()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

λσθ

iii

xyE

xxyE ΦΦ

где

()

xyE

– условное математическое ожидание значения

y в

усеченной модели. Отсюда мы получаем следующее разложение:

() ()

()

xyE

∂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

⋅+

∂

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

Первое слагаемое отражает изменение в ожидаемых значениях

y , взвешенное с весом

{}

0>=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Φ , а второе –

изменение вероятности

{}

yP , взвешенное с весом, равным

()

xyE

. Заметим в этой связи, что

Модели с дискретными объясняемыми переменными…

{}

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

>∂ 10

В нашем примере

()

xyE

изменяется следующим образом (по

оси абсцисс на этом и на следующих 5 графиках откладываются

значения среднемесячного дохода на одного члена семьи):

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

0 600 1200 1800

E_Y E_Y>0

Производная

{}

∂

>∂ 0

изменяется следующим образом:

Глава 1

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.001

0.0012

0 600 1200 1800

D_PROB

Входящие в разложение для

()

xyE

∂

слагаемые имеют вид:

0 600 1200 1800

TERM1

Модели с дискретными объясняемыми переменными…

0.5

1.5

2.5

0 600 1200 1800

TERM2

В сумме они дают функцию

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅=

∂

xyE

0 600 1200 1800

D_EXPECTED_Y

Глава 1

Следующий график позволяет сравнить влияние единичного

возрастания дохода на ожидаемые значения

y во всей популяции

(D_EXPECTED_Y) и среди семей с

y (D_E_Y>0).

0 600 1200 1800

D_EXPECTED_Y D_E_Y>0

1.8. Модель Тобит-II

В предыдущем разделе мы рассмотрели линейную модель

наблюдений

xprice

εσβα

++=

∗

, ni ,,1 K= ,

в которой

∗

price – цена, которую уплатила за покупку автомобиля

(автомобилей) i-я семья, если эта семья имеет автомобиль, или цена,

которую уплатила бы

за покупку автомобиля i-я семья, не имеющая

автомобиля, если бы эта семья решила приобрести автомобиль. При

Модели с дискретными объясняемыми переменными…

этом мы предполагали, что i-я семья покупает автомобиль по цене

∗

price , если

∗

price . Таким образом, в этой модели решение о

приобретении или неприобретении собственного автомобиля

определяется самой ценой, по которой предполагается приобрести

автомобиль. В то же время мы могли бы рассмотреть и другую

модель, в которой процесс принятия решения о стоимости

покупаемого автомобиля отделен

от процесса принятия решения о

покупке автомобиля.

Пусть мы имеем дело с некоторым показателем

∗

y , значения

которого наблюдаются не для всех i . Значение

∗

y наблюдается,

если выполнено условие

∗

h , где

∗

h – некоторая функция

полезности. Мы будем предполагать, что

111

εθ

∗

, ni ,,1 K= ,

222

εθ

∗

, ni ,,1 K= ,

где

()

ipii

xxx

,1,111

,, K= – вектор значений

p объясняющих

переменных в уравнении для

∗

y ,

()

1111

θθθ

K= – вектор коэффициентов при этих переменных,

()

ipii

xxx

,2,212

,, K= – вектор значений

p объясняющих

переменных в уравнении для

∗

h ,

()

2212

θθθ

K= – вектор коэффициентов при этих

переменных.

Случайные составляющие

могут быть

коррелированными

, так что

()

≠

Cov

εε

. Следуя обычной

практике, мы будем предполагать, что двумерные случайные

Глава 1

векторы

()

ii 21

εε

, ni ,,1 K= , независимы в совокупности и имеют

одинаковое двумерное нормальное распределение

()

Σ,0

N с

нулевым вектором математических ожиданий и ковариационной

матрицей

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

212

σσ

Σ ,

т.е.

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

~ i.i.d.

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

212

σσ

N .

Для нормализации функции полезности полагаем

Наблюдаемыми являются

• значения объясняющих переменных

pjxx

ijij

,,1,,

,2,1

K= ,

ni ,,1 K= ;

• значения переменной

h ,

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤

∗

;0если,0

,0если,1

• значения переменной

y ,

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

∗

.0если,0

,1если,

Определенную таким образом модель называют стандартной

Тобит-II моделью. Соответственно, о модели рассмотренной в

предыдущем разделе, в этом контексте говорят как о стандартной

Тобит-I модели.

Модели с дискретными объясняемыми переменными…

З а м е ч а н и е

Объясняющие переменные в уравнениях для

∗

y и

∗

h могут

быть как одинаковыми, так и различными. В ряде ситуаций

экономическая аргументация указывает на необходимость

включения в правую часть уравнения для

∗

h (уравнение выбора)

всех

переменных, включенных в правую часть уравнения для

∗

y .

При этом коэффициенты при одной и той же переменной в

уравнениях для

∗

y и

∗

h могут быть различными.

Если предположить, что

2211

θθ

xx = и

ii 21

εε

= , то мы

возвращаемся к стандартной Тобит-модели, рассмотренной в

предыдущем разделе (модель Тобит-I).

Обращаясь опять к примеру с автомобилями, мы могли бы

расмотреть, например, модели, в которых значение

∗

price

определяется по той же формуле

xprice

εσβα

++=

∗

, ni ,,1 K= ,

но наличие автомобиля соответствует выполнению соотношения

∗

h ,

в котором

uxh

++=

∗

δγ

или, например,

imani

udxh

+++=

∗

κδγ

где

man

d , если главой семьи является мужчина, и 0=

man

d , если

главой семьи является женщина.

Прежде всего заметим, что (при фиксированных значениях

)

{} {}

{

}

=−>+==+==

222111111

θεεθεθ

iii

xExhExhyE

Глава 1

{}

()

2212112221

θλσθθεε

iii

xxxEx +=−>+= ,

где, как и ранее,

() ()

zzz Φ

ϕλ

=)( .

Если

, то

{}

iii

xhyE == .

Это означает, что если

не коррелированы, то можно,

игнорируя уравнение для

∗

h , производить непосредственное

оценивание уравнения регрессии

111

εθ

методом наименьших квадратов по наблюдениям с

h . Это

приводит к состоятельному

оцениванию значений .

Однако если

≠

, то при таком оценивании возникает

смещение

оценки ,

x пропорциональное величине

(

)

θλ

x ,

которую называют в этом контексте лямбдой Хекмана.

Получить состоятельные и асимптотически эффективные оценки

параметров модели Тобит-II можно, используя метод максимального

правдоподобия, при котором соответствующая функция

правдоподобия максимизируется по всем возможным значениям

параметров модели

.,,,

12121

σσθθ

Однако чаще такую модель

оценивают, используя двухшаговую процедуру Хекмана. Она проста

в вычислительном отношении и дает хорошие стартовые значения

для итерационной процедуры максимизации функции

правдоподобия.

Идея Хекмана состоит в использовании уже приводившегося

выше соотношения

{}

(

)

221211

θλσθ

iii

xxhyE +==

и построения на его основе модели регрессии