Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы
Подождите немного. Документ загружается.
Инструментальные переменные. Системы…
141
накладываемые на них соотношением
1−
= ΒΓΠ . Если Π
ˆ
– оценка
матрицы Π , полученная таким свободным оцениванием, то в
ситуации 2 коэффициенты i -го структурного уравнения
восстанавливаются по матрице Π
ˆ
однозначным образом, тогда как
в ситуации 3 существует несколько вариантов такого
восстановления, приводящих к различным результатам.
Заметим, что разным уравнениям системы могут
соответствовать разные ситуации из трех перечисленных.
Пробежимся теперь по уже рассмотренным в этом разделе
примерам систем одновременных уравнений.
Первой мы рассмотрели систему
⎩
⎨
⎧
++=
++=
.
,
10
10
tt
ttt
vPbbQ
uPaaQ
t
Здесь список эндогенных переменных:
()
tt
PQ , , а список
предопределенных переменных ограничивается переменной,
тождественно равной 1, так что полный список переменных в
системе:
()
1,,
tt
PQ . При этом 1,2 == Kg , матрицы Γ , Β и Α
имеют вид:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
=
11
11
ba
Γ ,
()
00
,ba=Β ,
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Γ
=Α
00
11
11
B
ba
ba
.
На столбцы матрицы А не накладывается никаких ограничений
кроме нормировочных, так что 0
21
==
∗∗
gg , 0
21
==
∗∗
KK , и ни для
одного из двух уравнений не выполнено порядковое условие
1−≥+
∗∗
gKg
ii
. Следовательно система не идентифицируема.
Глава 2
142
Следующий пример:
⎩
⎨
⎧
++=
+++=
,
,
10
210
tt
tttt
vPbbQ
uYaPaaQ
t
т.е.
⎩
⎨
⎧
+=−
++=−
.
,
01
201
tt
tttt
vbPbQ
uYaaPaQ
t
Здесь список эндогенных переменных тот же:
()
tt
PQ , . В список
предопределенных переменных входят две переменные:
()
t
Y,1 .
Полный список переменных в системе:
()
ttt
YPQ ,1,, . При этом
,2=g 2=K , матрицы Γ , Β и А имеют вид:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
=
11
11
ba
Γ ,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
0
2
00
a
ba
Β ,
()
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Γ
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
==
0
11
B
A
2
00
11
4241
3231
2221
1211
21
a
ba
ba
αα
αα
αα
αα
αα
.
На элементы первого столбца матрицы А накладывается только
условие нормировки .1
11
=
α
Поэтому первое уравнение системы
неидентифицируемо. На элементы второго столбца помимо
нормировочного накладывается одно исключающее ограничение
0
42
=
α
, так что для этого столбца 0
2
=
∗
g , 1
2
=
∗
K , и
,11
22
=−=+
∗∗
gKg т.е. порядковое условие идентифицируемости
выполняется.
Заметим далее, что ограничение 0
42
=
α
можно записать в виде
0
22
=
α
Φ , где
()
1000
2
=Φ . Тогда
Инструментальные переменные. Системы…
143
()( )()
220122
,,,11000 aaaa
T
=−=ΑΦ ,
() ( ) ()
1rankrankrank
2222
=== aΑΦΑΦ ,
так что
()
1rank
2
−= gΑΦ и выполнено ранговое условие
идентифицируемости. Наконец, поскольку 1
22
−=+
∗∗
gKg , то
второе уравнение идентифицируемо точно.
Следующая система:
⎩
⎨
⎧
+++=
+++=
,
,
210
210
ttt
tttt
vRbPbbQ
uYaPaaQ
t
т.е.
⎩
⎨
⎧
++=−
++=−
.
,
201
201
ttt
tttt
vRbbPbQ
uYaaPaQ
t
Список эндогенных переменных:
()
tt
PQ , . Список предопределенных
переменных:
()
tt
RY ,,1 . Полный список переменных в системе:
()
tttt
RYPQ ,,1,, . При этом 3,2 == Kg , матрицы Γ , Β и Α имеют
вид:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
=
11
11
ba
Γ ,
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
2
2
00
0
0
b
a
ba
Β ,
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Γ
=Α
2
2
00
11
0
0
11
B
b
a
ba
ba
.
Соответственно, здесь для каждого из столбцов матрицы Α помимо
нормирующего ограничения имеется по одному исключающему
Глава 2
144
ограничению на экзогенные переменные, так что 0
21
==
∗∗
gg ,
1
21
==
∗∗
KK , 1−=+
∗∗
gKg
ii
, и порядковое условие выполнено.
Ограничение 0
41
=
α
в первом столбце можно записать в виде
0
11
=
α
Φ , где
()
10000
1
=Φ . Тогда
()( )()
220111
,0,,,110000 bbbb
T
=−=ΑΦ ,
() ( ) ()
1rankrankrank
2111
=== bΑΦΑΦ ,
так что
()
1rank
1
−= gΑΦ и для первого уравнения выполнено
ранговое условие идентфицируемости. Наконец, поскольку
,1
11
−=+
∗∗
gKg то первое уравнение идентифицируемо точно.
Ограничение 0
32
=
α
во втором столбце можно записать в виде
0
22
=
α
Φ , где
()
01000
2
=Φ . Тогда
()( )()
220122
0,,,,101000 aaaa
T
=−=ΑΦ ,
() ( ) ()
1rankrankrank
2222
=== aΑΦΑΦ ,
так что
()
1rank
2
−= gΑΦ и для второго уравнения также выполнено
ранговое условие идентифицируемости. Наконец, поскольку
,1
22
−=+
∗∗
gKg то второе уравнение идентифицируемо точно.
Таким образом в данной системе одновременных уравнений оба
уравнения идентифицируемы, причем идентифицируемы точно.
Наконец, в системе
⎩
⎨
⎧
++++=
++=
,
,
3210
10
tttt
ttt
vSbRbPbbQ
uPaaQ
t
т.е.
⎩
⎨
⎧
+++=−
+=−
,
,
3201
01
tttt
ttt
vSbRbbPbQ
uaPaQ
t
эндогенные переменные те же, а список предопределенных
переменных:
()
tt
SR ,,1 . Полный список переменных в системе:
Инструментальные переменные. Системы…
145
()
tttt
SRPQ ,,1,, . При этом 3,2 == Kg , матрицы Γ , Β и Α имеют
вид:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
=
11
11
ba
Γ ,
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
3
2
00
0
0
b
b
ba
Β ,
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
3
2
00
11
0
0
11
b
b
ba
ba
Β
Γ
Α
.
На элементы второго столбца накладывается только условие
нормировки. Поэтому второе уравнение системы
неидентифицируемо. На элементы первого столбца помимо условия
нормировки накладываются два исключающих ограничения:
0
41
=
α
, 0
51
=
α
. При этом 0
1
=
∗
g , 2
1
=
∗
K , ,12
11
−>=+
∗∗
gKg так что
первое уравнение идентифицируемо. Исключающие ограничения
можно записать в форме 0
11
=
α
Φ , где
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
10000
01000
1
Φ
.
Тогда
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
3
2
3
2
00
11
1
0
0
0
0
11
10000
01000
b
b
b
b
ba
ba
ΑΦ ,
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
3
2
320111
,,,,1
10000
01000
b
b
bbbb
T
ΑΦ ,
Глава 2
146
() ( )
1rankrankrank
3
2
111
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==
b
b
ΑΦΑΦ ,
так что
()
1rank
1
−= gΑΦ и для первого уравнения выполнено
ранговое условие идентифицируемости. Поскольку ,1
11
−>+
∗∗
gKg
то первое уравнение сверхидентифицируемо.
Приведем теперь пример системы, в которой присутствуют
линейные ограничения неисключающего типа (упрощенный
вариант модели мультипликатора-акселератора):
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
+−+=
+++=
−
−
,
,
,
2110
11210
ttt
ttt
tttt
ICY
uYYbbI
uCaYaaC
t
где
t
C – потребление,
t
I – инвестиции,
t
Y – доход. Подставляя
выражение для
t
Y из последнего тождества во второе уравнение,
запишем систему в виде:
()
⎩
⎨
⎧
+−=−+−
++=−
−
−
.1
,
21101
11201
ttt
tttt
uYbbYbC
uCaaYaC
t
Список эндогенных переменных:
()
tt
YC , . Список предопределенных
переменных:
()
11
,,1
−− tt
YC . Полный список:
()
11
,,1,,
−− tttt
YCYC .
Матрица Α :
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
=
1
2
00
11
0
0
1
11
b
a
ba
ba
Α .
В первом столбце одно исключающее ограничение 0
51
=
α
, т.е.
0
11
=
α
Φ , где
()
10000
1
=Φ . При этом
Инструментальные переменные. Системы…
147
() ( ) ()
11rankrankrank
1111
−==−== gbΑΦΑΦ ,
так что первое уравнение идентифицируемо. Поскольку
,11
11
−==+
∗∗
gKg
это уравнение идентифицируемо точно.
Во
втором столбце одно исключающее ограничение 0
42
=
α
и
одно неисключающее ограничение
522212
ααα
=+ . Эту пару
ограничений можно записать в виде 0
22
=
α
Φ , где
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
10011
01000
2
Φ
.
Тогда
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
01
0
0
0
1
11
10011
01000
1
2
1
2
00
11
2
a
a
b
a
ba
ba
ΑΦ ,
()
1rank
2
=ΑΦ ,
так что
()
1rank
2
−= gΑΦ и для второго уравнения также выполнено
ранговое условие идентифицируемости. Поскольку же ,12
2
−>= gR
то второе уравнение сверхидентифицируемо.
З а м е ч а н и е 1
Константа
играет в проблеме идентифицируемости такую же
роль, что и остальные предопределенные переменные. Это
илюстрирует следующий пример.
Мы уже выяснили ранее, что в системе
⎩
⎨
⎧
++=
++=
tt
ttt
vPbbQ
uPaaQ
t
10
10
,
Глава 2
148
оба уравнения неидентифицируемы. Исключим константу из правой
части второго уравнения:
⎩
⎨
⎧
+=
++=
.
,
1
10
tt
ttt
vPbQ
uPaaQ
t
Для измененной системы имеем те же списки эндогенных и
предопределенных переменных; полный список переменных в
системе:
()
1,,
tt
PQ . При этом 1,2 == Kg , матрица Γ не изменяется,
а матрицы Β и Α принимают вид:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
=
11
11
ba
Γ ,
()
0,
0
a=Β ,
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Γ
=Α
0
11
B
0
11
a
ba
.
На первый столбец матрицы Α не накладывается никаких
ограничений кроме нормировочных, так что 0
1
=
∗
g , 0
1
=
∗
K , и для
первого уравнения не выполнено порядковое условие
1−≥+
∗∗
gKg
ii
. Следовательно первое уравнение не
идентифицируемо. Однако на второй столбец на этот раз
накладывается исключающее ограничение 0
32
=
α
, т.е. 0
22
=
α
Φ , где
()
100
2
=Φ .
При этом
() ( ) ( )()
11rank0rankrank
01202
−===== gaa ΑΦΑΦ ,
так что второе уравнение идентифицируемо. Поскольку
,11
22
−==+
∗∗
gKg
это уравнение идентифицируемо точно.
Инструментальные переменные. Системы…
149
З а м е ч а н и е 2
Критерий
идентифицируемости дает один и тот же результат в
отношении i -го стохастического структурного уравнения
(
содержащего случайные ошибки в правой части) независимо от
того, рассматривается полная система вместе с тождествами или
система, в которой тождества учтены и исключены. Это
илюстрирует следующий пример.
При исследовании вопроса об идентифицируемости модели
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
++=
++=
ds
t
s
t
d
QQ
vPbbQ
uPaaQ
,
,
10
10
и различных ее расширений мы, исключая (и учитывая) тождество,
сводили эти модели к системам без тождеств, так что в правых
частях всех уравнений преобразованных систем присутствовали
случайные ошибки. Поступая, например, таким образом с системой
трех уравнений
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
++=
+++=
,
,
,
10
210
s
t
d
t
tt
s
t
ttt
d
t
QQ
vPbbQ
uYaPaaQ
мы проверяли условия идентифицируемости системы двух
уравнений, полученных на основании этой системы:
⎩
⎨
⎧
++=
+++=
,
,
10
210
ttt
tttt
vPbbQ
uYaPaaQ
и обнаружили, что первое уравнение системы неидентифицируемо, а
второе идентифицируемо точно.
Попоробуем проверить условия идентифицируемости
непосредственно в рамках исходной системы трех уравнений, так
что 3=g . Для этой системы список эндогенных переменных
полнее, чем у преобразованной системы:
(
)
t
s
t
d
t
PQQ ,, , тогда как
Глава 2
150
список предопределенных переменных
()
t
Y,1 не изменяется.
Полный список содержит теперь 5 переменных:
(
)
tt
s
t
d
t
YPQQ ,1,,, .
Перенесем все эндогенные переменные в левые части уравнений:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=−
+=−
++=−
,0
,
,
01
201
s
t
d
t
tt
s
t
ttt
d
t
QQ
vbPbQ
uYaaPaQ
Матрица Α имеет вид:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
=
00
0
0
110
101
2
00
11
a
ba
ba
Α .
На элементы первого столбца накладывается исключающее
ограничение 0
21
=
α
, т.е. 0
11
=
α
Φ , где
()
00010
1
=Φ . При
этом
() ( )
211110rankrank
1
=−<=−= gΑΦ ,
так что первое уравнение неидентифицируемо. На элементы
второго столбца накладывается 2
2
=
∗
K исключающих ограничения:
0
12
=
α
и 0
52
=
α
, т.е. 0
22
=
α
Φ , где
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
10000
00001
2
Φ
.
При этом
()
12
00
101
rankrank
2
2
−==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= g
a
ΑΦ ,
так что второе уравнение идентифицируемо, причем
идентифицируемо точно, поскольку .12
22
−==+
∗∗
gKg Результаты в