Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы

Подождите немного. Документ загружается.

Инструментальные переменные. Системы…

171

• векторы

uu ,,

K имеют одинаковое

-мерное нормальное

распределение

()

Σ,0

N с нулевым вектором математических

ожиданий и положительно определенной ковариационной

матрицей Σ ;

•

векторы

uu ,,

K независимы между собой.

При таких предположениях совместная плотность распределения

случайных векторов

uu ,,

K имеет вид:

()

∏

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−⋅=

uuuup

exp

det2

,, Σ

K .

Поскольку ΒΓ

ttt

xyu −= , то переходя от переменных

uu ,,

K к

переменным

yy ,,

K , получаем выражение для совместной

плотности значений векторов

yy ,,

K в виде:

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅=

−n

Jyyp Σdet2,,

()()

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−−−×

−

tttt

xyxy ΒΓΣΒΓ

exp

где

J – якобиан перехода от переменных

uu ,,

K к переменным

yy ,,

K ,

J Γdet= . Для взаимной однозначности такого перехода

требуется, чтобы 0det ≠Γ . Рассматривая правую часть последнего

выражения как функцию от неизвестных параметров, составляющих

матрицы ΣΒΓ ,, , при известных значениях XY, , получаем функцию

правдоподобия

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅=

−n

XYL ΣΓΣΒΓ det2det,,,

()()

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−−−×

∑

−

tttt

xyxy

exp ΒΓΣΒΓ

Глава 2

172

логарифм которой равен

()

() ()

−−−=

2ln

detln

detln,,,ln

ngn

nXYL ΣΓΣΒΓ

()()

∑

−

−−−

tttt

xyxy

ΒΓΣΒΓ .

Продифференцировав последнее выражение по элементам матрицы

1−

Σ и приравнивая найденные производные нулю, приходим к

соотношению:

()()

ΒΓΒΓΣ XYXYn

−−=

−1

Подставляя полученное выражение для Σ в правую часть

выражения для

()

XYL ,,,ln ΣΒΓ и отбрасывая слагаемые, не

зависящие от неизвестных параметров, получаем

концентрированную логарифмическую функцию правдоподобия

() ()()

ΒΓΒΓΓΒΓ XYXYn

−−−=

−∗ 1

detln,ln .

Оценки матриц Γ и Β находятся максимизацией

∗

ln с учетом

всех ограничений, накладываемых на коэффициенты структурных

уравнений. В частности, если используются только исключающие и

нормировочные ограничения, то максимизация проводится только

по неспецифицированным элементам этих матриц. В процессе такой

максимизации матрица

()()

ΒΓΒΓ XYXY

−− должна иметь

полный ранг для всех допустимых значений Γ и Β . Необходимым

условием для этого является условие Kgn +≥ . Такое условие

может быть ограничительным для систем с большим количеством

переменных.

Матрицы

и Β

, получаемые в результате максимизации

∗

ln ,

и матрица

()()

Β−ΓΒ−Γ=Σ

−

ˆˆˆˆˆ

XYXYn

вместе образуют оценку

максимального правдоподобия, учитывающую полную информацию

о структуре модели одновременных уравнений. Поэтому такую

Инструментальные переменные. Системы…

173

оценку называют оценкой максимального правдоподобия с полной

информацией

(FIML – full information maximum likelihood).

Пусть

•

выполнены сделанные выше предположения,

•

ранговое условие идентифицируемости выполняется для

всех структурных уравнений системы,

•

матрица

имеет полный ранг,

•

предельная матрица QXX

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

→∞

lim

имеет конечные

элементы и положительно определена.

Тогда FIML-оценка состоятельна и асимптотически нормальна. При

этом требование нормальности распределения векторов

uu ,,

K не

обязательно. (См., например, [Amemiya (1985), глава 7].)

З а м е ч а н и е 4

Если

при выводе FIML отправляться не от структурной, а от

приведенной формы системы, учитывающей ограничения,

накладываемые на коэффициенты структурной формы, то тогда дело

сводится к максимизации концентрированной функции

правдоподобия

()

()()

111

,ln

−−−∗∗

−−−= ΒΓΒΓΒΓ XYXYn

т.е., с учетом соотношения

1−

= ΒΓΠ , к минимизации целевой

функции

()()( )( )

ΠΠΠΒΓ XYXYQQ

−−==

по элементам матрицы Π с учетом ограничений, накладываемых на

коэффициенты этой матрицы выбранной спецификацией матриц Γ

и Β .

Если не учитывать эти ограничения при минимизации целевой

функции

()

ΠQ

, то при сверхидентифицируемости отдельных

уравнений системы возникает неоднозначность восстановления Γ и

Β по полученной оценке Π

. Если же все уравнения системы

Глава 2

174

идентифицируемы точно, то значения Γ и Β восстанавливаются

однозначно и при этом восстановленные значения

и Β

совпадают

с оценками, полученными при минимизации

()

ΒΓ,Q по Γ и Β .

З а м е ч а н и е 5

При

практической реализации метода FIML приходится

использовать итерационные процедуры. Для обеспечения

состоятельности и асимптотической нормальности FIML-оценки в

качестве начальных значений параметров необходимо использовать

их состоятельные оценки. Их можно получить двухшаговым

методом наименьших квадратов. Если система неидентифицируема,

то итерационный процесс может не сходиться.

З а м е ч а н и е 6

Перед

применением FIML обычно производят исключение из

системы тождеств и недоидентифицируемых уравнений.

З а м е ч а н и е 7

рекурсивной системе с диагональной ковариационной

матрицей Σ оценка FIML получается применением OLS отдельно к

каждому уравнению.

Пусть

первое стохастическое структурное уравнение

111111

uXYy ++=

θα

идентифицируемо, а другие уравнения либо неидентифицируемы

либо имеются сомнения в правильности их спецификации. Пусть

при этом известен список всех предопределенных переменных,

включаемых в систему, и значения этих предопределенных

переменных в n наблюдениях, так что известна матрица

этих

значений и можно говорить о приведенной форме системы:

WXY += Π .

Удалим из приведенной формы часть, относящуюся к

;

y оставшаяся часть принимает вид:

Инструментальные переменные. Системы…

175

111

WXY += Π .

Вместо полной системы структурных уравнений или полной

приведенной системы рассмотрим теперь смешанную систему:

⎩

⎨

⎧

++=

111

111111

WXY

uXYy

θα

Эту систему можно записать в виде

[]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∗

−

и применить к ней метод FIML. Такая процедура приводит к оценке

параметров

, Π , называемой оценкой максимального

правдоподобия с ограниченной информацией

(LIML – limited

information maximum likelihood

При практической реализации этой процедуры итерационными

методами в качестве начальных значений следует использовать

состоятельные оценки параметров

111

,, Π

θα

. Состоятельную оценку

матрицы

Π можно получить непосредственным применением

метода наименьших квадратов к уравнениям системы

111

WXY += Π .

Состоятельные оценки параметров

можно получить,

применяя двухшаговый метод наименьших квадратов.

2.6.5. Связь между различными оценками систем

одновременных уравнений

Пусть интерес представляет оценивание отдельного уравнения

(single equation) структурной формы системы. Тогда:

•

если оно идентифицируемо без запаса (точно), то достаточно

применить косвенный метод наименьших квадратов ILS;

•

если оно сверхидентифицируемо, то можно применить 2SLS,

LIML, 3SLS, FIML.

Глава 2

176

Для применимости 3SLS и FIML необходимо знать структуру всех

уравнений системы и убедиться в идентифицируемости всех этих

уравнений. Для применимости 2SLS и LIML достаточно знать

только структуру рассматриваемого уравнения и список (и

значения) всех предопределенных переменных, включенных в

систему. В 2SLS и LIML ошибка спецификации одного

структурного уравнения системы локализуется в пределах этого

уравнения; в 3SLS и FIML такая ошибка влияет на оценку всех

уравнений.

Предположим теперь, что выполнены указанные ранее условия

состоятельности оценок. Тогда:

•

если i -е структурное уравнение идентифицируемо точно, то

оценки 2SLS, LIML и ILS совпадают; если же оно

сверхидентифицируемо, то тогда оценки 2SLS и LIML

имеют одинаковое асимптотическое распределение, но

оценка LIML предпочтительнее при малом количестве

наблюдений;

•

если i -е структурное уравнение идентифицируемо, то 2SLS

дает состоятельные оценки параметров и

(

)

()

CNn

SLS

⎯→⎯−

δδ

;

•

если все структурные уравнения идентифицируемы, то 3SLS

дает состоятельные оценки параметров и

(

)

()

CNn

SLS

⎯→⎯−

δδ

, причем матрица

CC −

неотрицательно определена (положительно полуопределена),

так что 3SLS приводит к более эффективным оценкам;

•

если

I=Σ и все структурные уравнения идентифицируемы

точно, то

SLS

ˆˆ

δδ

= ;

•

оценки FIML и 3SLS имеют одинаковое асимптотическое

распределение; при конечных n предпочтительнее FIML.

Инструментальные переменные. Системы…

177

З а м е ч а н и е 8

Если

в i -м структурном уравнении системы UXY += ΒΓ

ошибки автокоррелированы, то для учета этой

автокоррелированности можно использовать комбинацию 2SLS и

GLS,

не прибегая к 3SLS. Пусть, например, ошибки в i -м уравнении

следуют процессу авторегрессии первого порядка,

titti

ηρ

− ,1

, 1<

Тогда естественно применить к i -му уравнению авторегрессионное

преобразование (Кохрейна–Оркатта). Состоятельную оценку для

можно получить, оценивая обычным методом наименьших

квадратов (OLS) уравнение

νρ

− ,1

ˆˆ

где

– остатки, полученные в результате применения к i -му

уравнению метода инструментальных переменных. При этом для

повышения эффективности оценивания к используемым в качестве

инструментов в 2SLS переменным

()

tKtt

xxx ,,

K= можно добавить

(

)

gttt

yyy

,11,11

−−−

= K и

(

)

Kttt

xxx

,11,11

−−−

= K .

2.6.6. Проверка правильности спецификации системы

одновременных уравнений

Мы уже говорили выше (Замечание 3 в разд. 2.6.2) о

возможности проверки адекватности i -го структурного уравнения,

опираясь на остатки

SLS

iii

SLS

Zyu

−= , полученные в результате

применения двухшагового метода наименьших квадратов к этому

уравнению, в отношении таких стандартных предположений как

линейность уравнения, нормальность, гомоскедастичность и

некоррелированность ошибок.

Между тем не менее важным является вопрос о правильности

подразделения включенных в систему переменных на эндогенные и

экзогенные переменные, произведенного на основании

Глава 2

178

соответствующих экономических и логических представлений о

связях между переменными. Еще одна проблема спецификации

структурных уравнений состоит в том, что

сверхидентифицируемость i -го уравнения системы

iiiiiiiii

uZuXYy +=++=

δθα

может быть просто следствием того, что на коэффициенты этого

уравнения наложены ограничения, которых в действительности нет.

Например, из i -го уравнения могут быть ошибочно исключены

некоторые предопределенные переменные, включенные в другие

уравнения системы. Хотелось бы иметь какой-то статистический

инструментарий, позволяющий ответить на такие вопросы. Ряд

статистических критериев, служащих этой цели, использует

следующую идею Хаусмана [Hausman (1978)].

Пусть для )1( ×p -вектора параметров

имеются две различные

оценки

, причем оценка

состоятельна и при гипотезе

H и

при альтернативной гипотезе

H , а оценка

состоятельна и

асимптотически эффективна при гипотезе

H , но не является

состоятельной при гипотезе

H . Рассмотрим разность этих двух

оценок

θθ

−=q

. Поскольку при гипотезе

H обе оценки

состоятельны, т.е. сходятся по вероятности к истинному значению

, то их разность q

сходится по вероятности к нулю.

Следовательно, если гипотеза

H верна, то мы не ожидаем больших

отклонений значения q

от нуля, и наличие таковых может

трактоваться как указание на невыполнение гипотезы

H .

Критерий Хаусмана для проверки правильности

спецификации системы одновременных уравнений

([Hausman

(1978)])

использует в качестве

трехшаговую оценку наименьших

квадратов, а в качестве

– двухшаговую оценку наименьших

квадратов. Если все структурные уравнения специфицированы

Инструментальные переменные. Системы…

179

правильно, то 3SLS состоятельна и эффективна; если же хотя бы

одно из уравнений специфицировано неправильно, то 3SLS

перестает быть состоятельной оценкой.

Однако, как было отмечено в [Spencer, Berk (1981)], для

применения этого критерия необходима спецификация всех

структурных уравнений системы, тогда как на практике чаще

представляет интерес правильность спецификации какого-то

отдельного структурного уравнения. В таком случае речь идет о

проверке правильности спецификации i -го структурного уравнения

при ограниченной информации об остальной части системы (как при

построении LIML оценки).

Статистика критерия Хаусмана определяется как

qqvoasCqnH

)]

(

[

1−

= ,

где )

(

qvoasC – состоятельная оценка асимптотической

ковариационной матрицы )

(qasCov разности

θθ

−=q

, и при

выполнении достаточно общих условий гипотезе

H имеет

асимптотическое распределение хи-квадрат. Некоторые трудности

при использовании этой статистики вызывает то обстоятельство, что

компоненты вектора

θθ

−=q

в общем случае линейно зависимы,

вследствие чего матрица )

(qasCov может быть вырожденной и не

иметь обратной в обычном смысле. В связи с этим, в формуле для

статистики

следует использовать не обычную обратную матрицу,

а так называемую обобщенную обратную матрицу.

Указанные трудности можно обойти, используя различные

асимптотически эквивалентные версии критерия Хаусмана,

основанные на оценивании тех или иных уравнений регрессии. В

таких вариантах этого критерия дело сводится к проверке

значимости оцененных коэффициентов соответствующих

уравнений.

Версия критерия Хаусмана, приведенная в [Davidson, MacKinnon

(1993)]

и называемая там критерием Дарбина–Ву–Хаусмана

(Durbin–Wu–Hausman test), состоит в следующем.

Глава 2

180

Пусть

iiiiiiiii

uZuXYy +=++=

δθα

– матрица значений

инструментальных переменных,

Y – матрица значений тех

объясняющих переменных в i -м уравнении, которые не входят в

состав инструментальных переменных и не являются линейными

комбинациями последних. Гипотеза

H : в i -м уравнении

отсутствует проблема эндогенности, т.е. все объясняющие

переменные в составе

Y не коррелированы с

u . Иначе говоря, это

гипотеза экзогенности (предопределенности) переменных,

входящих в состав

Y . Если эта гипотеза выполнена, то оценивание

i -го уравнения можно производить обычным методом наименьших

квадратов (OLS). В противном случае надо применять метод

инструментальных переменных.

Сначала производится OLS оценивание уравнений регрессии

объясняющих переменных, входящих в состав

Y , на

инструментальные переменные:

iii

WXY += Π

и вычисляются прогнозные значения

этих переменных. Затем эти

прогнозные значения добавляются в качестве дополнительных

объясняющих переменных в правую часть i -го уравнения, что

приводит к расширенному уравнению

iiiii

YZy

ηγδ

++=

производится OLS оценивание расширенного уравнения и

проверяется гипотеза :

H 0=

. Для проверки этой гипотезы

используется обычный

-критерий, хотя, вообще говоря, он

является в этой ситуации только приближенным критерием.

Вместо

в расширенном уравнении можно использовать

остатки

iii

YYW

ˆˆ

−= , т.е. оценивать уравнение

iiiii

WZy

ηγδ

++=