Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы

Подождите немного. Документ загружается.

Инструментальные переменные. Системы…

161

1. Производится оценивание уравнений регрессии каждой из

этих переменных на все предопределенные переменные,

включенные в систему. В качестве очищенных вариантов

переменных

∗∗

1 gtt

yy K берутся предсказанные значения

∗∗

1 gtt

yy K этих переменных. (В этом контексте

предопределенные переменные понимаются как

инструменты для очистки эндогенных переменных.)

Значения

∗∗

1 gtt

yy K эндогенных переменных в первом

уравнении заменяются значениями

∗∗

1 gtt

yy K . Полученное

уравнение оценивается методом наименьших квадратов.

Как и в случае оценивания обычным методом наименьших

квадратов (OLS) единственного уравнения в линейной

множественной регрессии, процедуру 2SLS можно представить в

матричном виде. Для этого будем предполагать, что в левой части

i -го стохастического структурного уравнения находится

единственная эндогенная переменная

y , и обозначим:

()

niii

yyy ,,

K= – вектор-столбец значений i -й эндогенной

переменной в n наблюдениях,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∗∗

ngn

MOM

111

– матрица значений в n наблюдениях

эндогенных переменных, включенных в правую часть i -го

уравнения,

Глава 2

162

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∗∗

Knn

MOM

111

– матрица значений в n наблюдениях

предопределенных переменных, включенных в правую часть i -го

структурного уравнения,

()

niii

uuu ,,

K= – вектор-столбец значений ошибки в i -м

структурном уравнении в n наблюдениях,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

nKn

MOM

111

– матрица значений в n наблюдениях всех

предопределенных переменных, включенных в систему,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

KgK

ππ

MOM

111

Π – матрица коэффициентов приведенной

формы системы,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ngn

MOM

111

– матрица значений в n наблюдениях

ошибок в

уравнениях приведенной формы. (Заметим, во

избежание путаницы, что

()

niii

yyy ,,

K= и

()

niii

uuu ,,

K= –

векторы-столбцы, содержащие значения объясняемой переменной и

случайных ошибок в i -м структурном уравнении в моменты

времени nt ,,1 K= . Их не следует путать с ранее

использовавшимися векторами-строками

(

)

tgtt

yyy ,,

K= и

(

)

tgtt

uuu ,,

K= , содержащими значения объясняемой переменной и

случайных ошибок в

уравнениях, относящиеся к одному и тому

же моменту времени t .)

Инструментальные переменные. Системы…

163

Тогда первый шаг процедуры 2SLS оценивания i -го

структурного уравнения состоит в оценивании методом наименьших

квадратов отдельных уравнений системы

iii

WXY += Π ,

где

Π – подматрица матрицы Π коэффициентов приведенной

формы, образованная теми ее столбцами, которые соответствуют

эндогенным переменным, включенным в правую часть i -го

структурного уравнения, а

W – подматрица матрицы W ,

образованная столбцами матрицы W , соответствующими тем же

эндогенным переменным. Оценив отдельные уравнения методом

наименьших квадратов, мы получаем оценку

матрицы

Π и на

ее основе – оценку матрицы

Y в виде

XY Π=

. Матрица

содержит значения эндогенных переменных, включенных в правую

часть i -го структурного уравнения, “очищенных” от корреляции с

ошибкой в этом уравнении.

Обозначая

– векторы коэффициентов при эндогенных и

предопределенных переменных, включенных в i -е структурное

уравнение, запишем это уравнение в виде:

iiiiiiiii

uZuXYy +=++=

δθα

где

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

[]

iii

XYZ = .

Мы также можем записать это уравнение в следующей форме:

(

)

(

)

iiiiiiiiiiiiii

uYYXYuXYy +−++=++=

αθαθα

ˆˆ

или

iiii

εδ

где

[

]

iii

XYZ

ˆˆ

Глава 2

164

Второй шаг процедуры 2SLS состоит в вычислении оценки

наименьших квадратов вектора

в последнем уравнении. Эта

оценка вычисляется по обычной формуле:

()

SLS

yZZZ

ˆˆˆ

−

При этом, естественно, требуется, чтобы матрица

ˆˆ

была

невырожденной. Заметим, что

(

)

XZZZ

rank

ˆˆ

rank ≤= . Но

матрица

ˆˆ

имеет порядок, равный

Kg + , а KX =rank , так что

необходимо, чтобы

KgK +≥ , т.е.

(

)

1−−=≥−

∗

iii

gggKK , а это

есть не что иное, как известное нам порядковое условие

идентифицируемости. Для состоятельности

SLS

требуется еще,

чтобы предельная матрица

QZZ

p =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∞→

ˆˆ

lim

имела конечные элементы и была невырожденной, а для этого

матрица

Π должна иметь полный столбцовый ранг. Последнее же

выполняется в случае идентифицируемости i -го уравнения (cм.

[Schmidt (1976), p. 150-151]).

Хотя на втором шаге используется OLS, непосредственное

использование для построения t -статистик и доверительных

интервалов вычисленных (по формулам OLS) значений стандартных

ошибок коэффициентов невозможно. Эти значения должны быть

скорректированы. Например, если дело касается первого уравнения,

то на втором шаге оценивается уравнение

11,1111,1111

ˆˆ

tKtKttggtt

uxxyyy ++++++=

∗∗∗∗

θθαα

KK ,

где

∗∗

1 tgt

yy K – очищенные на первом шаге значения эндогенных

переменных. При вычислении стандартных ошибок коэффициентов

по обычным формулам OLS используется оценка дисперсии

случайной ошибки в правой части уравнения в виде:

Инструментальные переменные. Системы…

165

()

1,1111,1111

ˆˆ

ˆˆˆˆ

Kgn

xxyyy

KtKttggtt

−−

−−−−−−

∑

∗∗∗∗

θθαα

;

вместо этого следует использовать другую оценку:

()

1,1111,1111

ˆˆ

Kgn

xxyyy

KtKttggtt

−−

−−−−−−

∑

∗∗∗∗

θθαα

в которой вместо “очищенных” значений

∗∗

1 tgt

yy K используются

“

сырые” значения

∗∗

1 tgt

yy K .

В обеих формулах оценки параметров получены методом 2SLS;

для сокращения записи в обозначениях этих оценок опущен верхний

индекс, указывающий на 2SLS (например,

вместо

SLS2

). В

специализированных программах статистического анализа систем

одновременных уравнений такая коррекция предусмотрена.

З а м е ч а н и е 1

На

втором шаге 2SLS не следует особенно полагаться на

указываемые в распечатках значения t -статистик, поскольку если

данных мало, то асимптотическая теория неприменима и эти

статистики не имеют ни нормального, ни t -распределения.

Напротив, статистики, получаемые на первом шаге, имеют t -

распределения при нормальном распределении ошибок. Однако они

не предназначены для выяснения значимости отдельных

коэффициентов.

З а м е ч а н и е 2

Вернемся

к рассмотренной ранее системе

⎩

⎨

⎧

++++=

++=

3210

tttt

ttt

vSbRbPbbQ

uPaaQ

Глава 2

166

в которой, как мы установили, первое уравнение

сверхидентифицируемо. Следуя методу инструментальных

переменных, мы могли бы произвести “очистку” эндогенной

переменной

P в правой части первого уравнения, используя в

качестве инструмента только одну из переменных

R и

S . В 2SLS в

качестве инструментов для очистки

P используются сразу обе эти

переменные. Очистка с использованием только одной из этих

переменных также приводит к состоятельной оценке, но эта оценка

менее эффективна (ее асимптотическая дисперсия больше, чем у

оценки, полученной с применением пары инструментальных

переменных). В этом смысле 2SLS оценка является наилучшей

инструментальной оценкой среди

этих трех альтернатив.

З а м е ч а н и е 3 (Проверка адекватности)

Получив

в результате применения двухшагового метода

наименьших квадратов к i -му структурному уравнению оценку

SLS

, мы получаем далее оцененное значение

SLS

вектора

y и вектор остатков

SLS

yyu

ˆˆ

−=

. (Заметим, что эти

остатки отличаются от остатков, непосредственно получаемых на

втором шаге 2SLS и равных

SLS

iii

− .) Опираясь на эти остатки,

можно обычным образом проверять адекватность этого уравнения,

используя критерии:

•

нормальности (Харке–Бера, по оцененным асимметрии и

куртозису последовательности остатков);

•

линейности (добавляя степени и перекрестные

произведения предопределенных переменных и проверяя

гипотезу зануления коэффициентов при “лишних”

составляющих);

•

гомоскедастичности (Уайта, Пагана–Холла);

•

независимости – против автокоррелированности остатков

(

Бройша–Годфри).

Инструментальные переменные. Системы…

167

При обнаружении нарушений стандартных предположений

необходимо соответствующим образом изменить спецификацию

модели или, не изменяя спецификации, скорректировать

статистические выводы.

З а м е ч а н и е 3a

Критерий

Пагана–Холла предназначен специально для

выявления гетероскедастичности в отдельном уравнении системы. В

отличие от других критериев гомоскедастичности, он не

предполагает отсутствия гетероскедастичности в других уравнениях

системы. Этот критерий реализован, например, в пакете Stata.

2.6.3. GLS-оценивание систем одновременных уравнений.

Трехшаговый метод наименьших квадратов

Если нас интересует оценивание коэффициентов всех

структурных уравнений, и каждое из уравнений идентифицируемо

(

идентифицируемо точно или сверхидентифицируемо), то тогда мы

можем сразу получить OLS-оценку Π

матрицы коэффициентов

приведенной формы системы и на ее основе сформировать

подматрицы

ΠΠ

K , соответствующие эндогенным переменным,

включенным в отдельные уравнения структурной формы

iiiiiiiii

uZuXYy +=++=

δθα

, gi ,,1 K= .

После этого можно вычислить

XY Π=

и получить 2SLS-оценку

SLS

для

, применяя OLS к уравнению

iiii

εδ

Совокупность оценок

SLS

, gi ,,1 K= , в форме вектора

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

SLS

Глава 2

168

фактически получается как OLS-оценка уравнения регрессии

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ΟΟ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

MOMM

в сокращенной форме

εδ

+= Zy

где

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ΟΟ

MOMM

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Соответственно, вектор

SLS2

находится по обычной формуле:

()

yZZZ

TSLS

ˆˆˆ

Эта оценка неэффективна вследствие коррелированности ошибок

tgt

εε

K (имеющей место даже при некоррелированности ошибок

tgt

uu ,,

K в структурных уравнениях) и различия матриц

K .

Эффективную оценку можно было бы получить, используя здесь

вместо OLS обобщенный метод наименьших квадратов, (GLS), но

для этого надо знать ковариационную матрицу вектора

Поскольку же эта матрица неизвестна, мы можем довольствоваться

только ее оценкой, и такая оценка должна быть состоятельной, если

мы хотим получить в итоге асимптотически эффективную оценку

вектора

Заметим, что ковариационная матрица вектора

при наших

предположениях имеет весьма специфический вид:

Инструментальные переменные. Системы…

169

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ggggggg

gggg

III

CovCov

λλλ

MOMM

22221

11211

или

()

ICov ⊗= Λ

где

I – единичная матрица порядка

(

)

tjtiij

Cov

εελ

,= ,

(

)

=Λ – ковариационная матрица вектора

(

)

tgt

εε

K ,

I⊗Λ – формализованное обозначение матрицы, являющейся

кронекеровским произведением матриц Λ и

I .

Таким

образом, для реализации доступного GLS необходимо

состоятельно оценить ковариации

. Это можно сделать, используя

для

естественную оценку

()

SLS

iij

ˆˆ

Заменяя в выражении для

()

Cov истинные значения

их

оценками

, получаем состоятельную оценку ковариационной

матрицы

()

Cov в виде

I⊗Λ

. В результате приходим к доступной

обобщенной оценке наименьших квадратов (FGLS – feasible

generalized least squares

)

()()()

yIZZIZ

TSLS

⊗Λ⊗Λ=

−

− 1

ˆˆˆˆˆ

Глава 2

170

известной под названием трехшаговой оценки наименьших

квадратов

, или 3SLS-оценки (three-stage least squares).

2.6.4. Оценивание систем одновременных уравнений с

использованием метода максимального правдоподобия

Запишем совокупность

одновременных уравнений для n

наблюдений в виде:

UXY += ΒΓ ,

где

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ngn

MOM

111

– матрица значений в n наблюдениях всех

эндогенных переменных, включенных в систему,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

nKn

MOM

111

– матрица значений в n наблюдениях всех

предопределенных переменных, включенных в систему,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ngn

MOM

111

– матрица значений в n наблюдениях

случайных ошибок в

структурных уравнениях системы,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ggg

γγ

MOM

111

Γ ,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

KgK

ββ

MOM

111

Β – матрицы

коэффициентов.

Сделаем следующие предположения относительно векторов

(

)

tgtt

uuu ,,

K= ошибок в

уравнениях в t -м наблюдении: