Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы

Подождите немного. Документ загружается.

Инструментальные переменные. Системы…

181

и проверять гипотезу :

H 0=

в рамках этого уравнения. В любом

случае отклонение гипотезы

H трактуется как наличие проблемы

эндогенности, вызывающей несостоятельность OLS оценок

параметров i -го структурного уравнения.

Еще один вариант критерия Хаусмана для проверки той же

гипотезы состоит в следующем.

Наряду с остатками

iii

YYW

ˆˆ

−= , определенными выше,

рассмотрим остатки

, получаемые при оценивании i -го

уравнения обычным методом наименьших квадратов (OLS). Пусть

– коэффициент детерминации, получаемый при OLS оценивании

уравнения

iiiii

WZu

ξγδ

++=

. Тогда при выполнении гипотезы

экзогенности статистика

nR имеет асимптотическое (при n → ∞)

распределение )(

, где

g – количество переменных в составе

Y . Эта гипотеза отвергается при

()

gnR

−

> , где

– выбранный

уровень значимости критерия.

Можно указать и некоторые другие варианты реализации

критерия Хаусмана для проверки гипотезы об отсутствии проблемы

эндогенности в i -м уравнении. Но как бы там ни было, прежде чем

производить проверку тех или иных переменных, включенных в

структурное уравнение, на эндогенность, рекомендуется

предварительно провести проверку пригодности самих выбранных

инструментов

. Такую проверку можно провести в том случае,

когда количество имеющихся инструментов превышает их

необходимое количество, и сделать это можно, используя, например,

J-статистику, предложенную в работе [Godfrey, Hutton (1994)].

Пусть для очистки эндогенных переменных, входящих в правую

часть i -го уравнения системы

iiiiiiiii

uZuXYy +=++=

δθα

используется уравнение

Глава 2

182

iii

WXY += Π ,

где

– матрица значений инструментальных переменных.

Применив

к i -му уравнению двухшаговый метод наименьших

квадратов, получим 2SLS-остатки в виде

SLS

iii

SLS

Zyu

−= .

После этого оценим линейную модель регрессии

SLS

на

переменные

, входящие в состав

. Пусть

– полученное при

этом значение коэффициента детерминации. Указанная J -статистика

равна

nRJ = и имеет асимптотическое (при n → ∞) распределение

хи-квадрат с числом степеней свободы, равным разности между

количеством переменных в составе

и количеством объясняющих

переменных в первом уравнении.

Гипотеза пригодности выбранного множества инструментов

отвергается при значениях J -статистики, превышающих

критическое значение, рассчитанное по указанному хи-квадрат

распределению (т.е. при значениях J -статистики, для которых

значение оказывается меньше заданного уровня значимости). Если

это происходит, то тогда нет смысла заниматься IV оцениванием

коэффициентов рассматриваемого уравнения с выбранным

множеством инструментов, поскольку в этом случае или сами эти

инструменты непригодны или уравнение неправильно

специфицировано.

Если указанная гипотеза не отвергается J -критерием, то тогда

переходят ко второму шагу, на котором используется критерий

Хаусмана (в том или ином его варианте) для проверки переменных в

i -м уравнении системы на эндогенность/экзогенность.

В работе [Godfrey, Hutton (1994)] показано, что статистики,

используемые в такой двухступенчатой процедуре, асимптотически

независимы, так что вероятность ошибочного решения в этой

процедуре приближенно равна

()( )

HJHJHJ

αααααα

−+=−−− 111 ,

где

– уровень значимости J -критерия, а

– уровень

значимости критерия Хаусмана, используемого на втором шаге.

Инструментальные переменные. Системы…

183

З а м е ч а н и е 8

Отклонение

нулевой гипотезы при применении критериев

экзогенности означает только, что проблема эндогенности

существует. Однако степень влияния обнаруженной эндогенности

на смещение обычных оценок наименьших квадратов остается при

этом неизвестной. Вместе с тем, мощность критериев типа Хаусмана

становится довольно низкой, если инструменты слабо

коррелированы с эндогенными переменными. И это означает, что

нулевая гипотеза экзогенности может быть не отвергнута, а

смещение OLS оценок в то же время велико. Поэтому во многих

практических исследованиях авторы сообщают и результаты IV-

оценивания и результаты OLS-оценивания.

2.6.7. Примеры оценивания систем одновременных

уравнений.

П р и м е р 1

Рассмотрим

модель спроса-предложения в виде:

⎩

⎨

⎧

++++=

+++=

22322212

112111

uInvestWeatherPQ

uDPIQP

θθθα

θθα

где

– розничная цена свежих фруктов, выраженная в постоянных

ценах с использованием индекса розничных цен,

Q – потребление свежих фруктов на душу населения,

PI – располагаемый доход на душу населения, дефлированный

на индекс потребительских цен (CPI),

Weather – климатическая характеристика, отражающая размер

потенциальных потерь урожая из-за неблагоприятных погодных

условий,

Invest – дефлированный на CPI объем на душу населения чистых

инвестиций производителей свежих фруктов, отражающий

издержки производства.

Глава 2

184

Первое уравнение является уравнением спроса, а второе –

уравнением предложения.

Всего имеется 30 наблюдений; все переменные выражены в

индексной форме с одним и тем же базовым периодом.

Price (P) Quantity (Q) DPI Weather Invest

1 108.9 127.4 97.6 99.1 142.9

2 100.6 105.1 98.2 98.9 123.8

3 109.7 76.7 99.8 110.8 111.9

4 111.6 93.8 100.5 108.2 121.4

5 109.8 88.3 96.6 108.7 92.9

6 104.4 78.4 88.9 100.6 97.6

7 89.6 89.6 84.6 70.9 64.3

8 117.2 75.3 96.4 110.5 78.6

9 109.3 109.1 104.4 92.5 109.5

10 114.9 121.3 110.7 89.3 128.6

11 112.0 106.3 99.1 90.3 95.8

12 112.9 129.1 105.6 95.2 130.9

13 121.0 118.6 116.8 98.6 125.7

14 112.8 94.3 105.3 105.7 109.8

15 102.9 81.0 85.6 107.8 88.4

16 86.0 104.9 84.8 80.4 96.9

17 95.7 94.6 89.8 90.7 90.8

18 104.9 102.9 93.2 88.9 101.7

19 114.0 110.6 105.9 96.9 110.8

20 121.9 111.7 110.8 101.9 117.9

21 127.2 117.6 115.3 104.9 134.8

22 128.3 125.1 120.6 103.6 140.2

23 125.0 87.4 105.7 106.2 78.3

24 117.1 84.6 103.5 100.8 94.7

25 122.7 107.8 110.6 110.5 135.9

26 111.6 120.7 109.3 86.7 126.8

27 114.1 102.8 99.5 93.8 90.5

28 110.4 99.2 105.9 99.9 134.8

29 109.2 107.1 102.7 104 123.8

30 108.9 127.4 97.6 99.1 142.9

Переходя

к обозначениям, использованным ранее при

рассмотрении систем одновременных уравнений, запишем систему в

виде:

Инструментальные переменные. Системы…

185

⎩

⎨

⎧

++++=

+++=

24323221121122

12211112111

tttttt

ttttt

uxxxyy

uxxyy

θθθα

θθα

где

Py =

Qy =

, 1

≡

x ,

()

DPIx =

()

Weatherx =

()

Investx =

. Список эндогенных переменных:

()

yy . Список

экзогенных переменных:

()

432

,,,1

ttt

xxx . Полный список переменных,

включенных в систему:

()

43221

,,,1,,

ttttt

xxxyy . Соответственно, 2=g ,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

Γ ,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

1211

θθ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=Α

1211

θθ

На элементы первого столбца матрицы A помимо нормировочного

накладывается два исключающих ограничения ,0

так

что для этого столбца 0

∗

g , 2

∗

K , и ,1

−>+

∗∗

gKg т.е.

порядковое условие идентифицируемости выполняется. На

элементы второго столбца помимо нормировочного накладывается

одно исключающее ограничение 0

, так что для этого столбца

∗

g , 1

∗

K , и ,1

−=+

∗∗

gKg т.е. порядковое условие

идентифицируемости выполняется.

Для проверки выполнения ранговых условий

идентифицируемости воспользуемся Замечанием 3 из разд. 2.5. В

соответствии с этим замечанием построим таблицу коэффициентов:

1 1

Глава 2

186

При рассмотрении первого уравнения выделяемая матрица сводится

к одной строке с двумя элементами:

()

3222

θθ

. Ранг этой матрицы

равен 1, что совпадает со значением 11 =−g , так что первое

уравнение идентифицируемо. При рассмотрении второго уравнения

выделяемая матрица сводится к одному элементу:

()

. Ранг этой

матрицы равен также равен 1, так что и второе уравнение

идентифицируемо. Разница только в том, что для первого уравнения

−>+

∗∗

gKg а для второго ,1

−=+

∗∗

gKg т.е. первое уравнение

сверхидентифицируемо, а второе идентифицируемо точно.

Соответственно, для оценивания второго уравнения можно

использовать косвенный метод наименьших квадратов, а для

оценивания первого уравнения этот метод не годится.

Чтобы применить косвенный метод наименьших квадратов,

сначала раздельно оценим методом наименьших квадратов

уравнения приведенной формы

1441331221111 ttttt

wxxxy ++++=

ππππ

2442332222122 ttttt

wxxxy ++++=

ππππ

Это дает следующие результаты (в пакете EVIEWS):

Dependent Variable: Y1

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -12.40954 8.192675 -1.514712 0.1419

X2 1.030854 0.090988 11.32951 0.0000

X3 0.361564 0.066508 5.436388 0.0000

X4 -0.152442 0.040203 -3.791820 0.0008

R-squared 0.902361 Mean dependent var 111.1445

Adjusted R-squared 0.891094 S.D. dependent var 9.877858

S.E. of regression 3.259777 Akaike info criterion 5.324760

Sum squared resid 276.2797 Schwarz criterion 5.511587

Log likelihood -75.87140 F-statistic 80.09524

Durbin-Watson stat 2.016289 Prob(F-statistic) 0.000000

Инструментальные переменные. Системы…

187

Dependent Variable: Y2

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 81.78495 17.56752 4.655463 0.0001

X2 0.581396 0.195106 2.979896 0.0062

X3 -0.924096 0.142613 -6.479734 0.0000

X4 0.475229 0.086207 5.512656 0.0000

R-squared 0.824120 Mean dependent var 101.8111

Adjusted R-squared 0.803826 S.D. dependent var 15.78165

S.E. of regression 6.989927 Akaike info criterion 6.850383

Sum squared resid 1270.336 Schwarz criterion 7.037209

Log likelihood -98.75575 F-statistic 40.60943

Durbin-Watson stat 2.084533 Prob(F-statistic) 0.000000

Используем теперь соотношение ΒΠΓ = , которое в нашем примере

принимает вид

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

1211

4241

3231

2221

1211

θθ

ππ

и приводит к уравнениям:

11111211

θαππ

=− ,

12121112

θαππ

=− ,

21112221

θαππ

=− , 0

122122

=−

αππ

113231

=−

αππ

22123132

θαππ

=− ,

114241

=−

αππ

32124142

θαππ

=− .

Поскольку точно идентифицируемо только второе структурное

уравнение системы, интерес для применения косвенного метода

наименьших квадратов представляют только коэффициенты этого

уравнения ,

. Это означает, что из восьми

приведенных уравнений достаточно рассмотреть только четыре

уравнения, стоящие в правом столбце. Решая эти уравнения,

находим:

212212

ππα

Глава 2

188

()

2122121112

ππππθ

−=

()

2122323122

ππππθ

−=

()

2122424132

ππππθ

−= .

Подставляя в правые части оцененные значения коэффициентов

находим оценки для коэффициентов второго структурного

уравнения. Например,

5639945.01.0308540.581396

ˆˆˆ

212212

===

ππα

. В отношении трех

остальных коэффициентов получаем:

,88.78386

,-1.128017

0.561206.

З а м е ч а н и е

таблицах результатов применения косвенного метода

наименьших квадратов обычно не приводятся значения стандартных

ошибок коэффициентов, поскольку из-за нелинейности

соотношений между коэффициентами структурной и приведенной

форм вычисление стандартных ошибок оценок коэффициентов при

конечных n затруднительно. В то же время при применении

двухшагового метода наименьших квадратов для вычисления этих

ошибок имеются соответствующие формулы. Поэтому мы могли бы

вычислить искомые стандартные ошибки оценок коэффициентов

первого уравнения рассматриваемой системы, используя 2SLS и

имея в виду, что в случае точно идентифицируемого уравнения

результаты оценивания его коэффициентов методами ILS и 2SLS

совпадают. Проблема, однако, в том, что (см., например, [Sawa

(1969)])

в этой ситуации у 2SLS оценки не существует конечных

выборочных моментов. Соответственно, по сравнению с

нормальным распределением, оценки более часто далеко

отклоняются от истинных значений параметров, и это затрудняет

интерпретацию полученных результатов.

Имея в виду сделанное замечание, применим все же

двухшаговый метод наименьших квадратов для оценивания обоих

Инструментальные переменные. Системы…

189

структурных уравнений. Результаты применения этого метода

таковы:

System: FRU

Estimation Method: Two-Stage Least Squares

Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C(1) -0.361831 0.081657 -4.431122 0.0000

C(2) 18.16639 9.760145 1.861283 0.0683

C(3) 1.279190 0.126018 10.15089 0.0000

C(4) 0.563994 0.175307 3.217171 0.0022

C(5) 88.78386 15.06578 5.893080 0.0000

C(6) -1.128017 0.158217 -7.129565 0.0000

C(7) 0.561206 0.065442 8.575557 0.0000

Determinant residual covariance 479.5253

Equation: Y1=C(1)*Y2+C(2)+C(3)*X2

Observations: 30

R-squared 0.781184 Mean dependent var 111.1445

Adjusted R-squared 0.764975 S.D. dependent var 9.877858

S.E. of regression 4.788722 Sum squared resid 619.1603

Durbin-Watson stat 2.036078

Equation: Y2=C(4)*Y1+C(5)+C(6)*X3+C(7)*X4

Observations: 30

R-squared 0.849107 Mean dependent var 101.8111

Adjusted R-squared 0.831696 S.D. dependent var 15.78165

S.E. of regression 6.474401 Sum squared resid 1089.865

Durbin-Watson stat 2.152230

Оценки всех коэффициентов кроме постоянной составляющей в

первом уравнении имеют высокую статистическую значимость.

Отрицательное значение оценки коэффициента при переменной

y в

первом уравнении согласуется с тем, что первое уравнение является

уравнением спроса. Положительное значение оценки при переменной

y во втором уравнении согласуется с тем, что второе уравнение

является уравнением предложения. Также соответствуют априорным

Глава 2

190

предположениям знаки оцененных коэффициентов при переменных

x ,

x и

x (увеличение спроса при возрастании дохода,

уменьшение предложения при усилении неблагоприятных погодных

факторов и увеличение предложения при возрастании инвестиций).

Вместе с тем, если обратиться к оцениванию корреляционной

матрицы ошибок в структурных уравнениях, то оцененная на

основании векторов остатков

SLS

iii

SLS

Zyu

−= ковариационная

матрица имеет вид:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

36.32882116.439387

16.43938720.638675

Ей соответствует оцененная корреляционная матрица

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

10.600370

0.6003701

указывающая на наличие заметной корреляции между ошибками в

разных уравнениях. Это означает, что потенциально имеется

возможность повысить эффективность оценивания, учитывая такую

коррелированность и применяя трехшаговый метод наименьших

квадратов или метод максимального правдоподобия с полной

информацией.

При применении 3SLS получаем:

System: FRU

Estimation Method: Iterative Three-Stage Least Squares

Convergence achieved after: 2 weight matricies, 3 total coef iterations

Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C(1) -0.361831 0.077466 -4.670812 0.0000

C(2) 18.16639 9.259287 1.961964 0.0550

C(3) 1.279190 0.119551 10.69998 0.0000

C(4) 0.592909 0.150576 3.937596 0.0002

C(5) 89.91484 13.79846 6.516294 0.0000

C(6) -1.159822 0.130071 -8.916811 0.0000

C(7) 0.550297 0.056107 9.808057 0.0000

Determinant residual covariance 486.0481