Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы
Подождите немного. Документ загружается.
Панельные данные
221
Wald chi2(2) = 91.72, Prob > chi2 = 0.0000
Het-corrected
invest Coef. Std. Err. z P>z
mvalue .0972395 .0126259 7.70 0.00
kstock .306441 .0561245 5.46 0.00
cons -42.07116 21.02442 -2.00 0.045
rho .8678619
Здесь использовалась оценка, вычисляемая через посредство
статистики Дарбина–Уотсона.
Если использовать второй вариант оценивания коэффициента
ρ
, описанный выше, то это приводит к следующим результатам.
. xtpcse invest mvalue kstock, correlation(ar1) hetonly rhotype(tscorr)
casewise
Prais-Winsten regression, heteroskedastic panels corrected standard
errors
Autocorrelation: common AR(1)
Estimated covariances = 10 R-squared = 0.6904
Estimated autocorrelations = 1
Estimated coefficients = 3
Wald chi2(2) = 192.41, Prob > chi2 = 0.0000
Het-corrected
invest Coef. Std. Err. z P>z
mvalue .1032102 .0112252 9.19 0.000
kstock .2947986 .0459298 6.42 0.000
cons -45.78767 13.97367 -3.28 0.001
rho .7563511
Оцененное значение
ρ
существенно изменилось.
Если допускается перекрестная коррелированность ошибок
между уравнениями и ошибки в уравнениях для разных субъектов
следуют одинаковым AR(1)-моделям (с общим
ρ
), то оценивание
такой модели (по DW-варианту) дает следующие результаты.
Глава 3
222
. xtpcse invest mvalue kstock, correlation(ar1) rhotype(dw)
(note: estimates of rho outside [-1,1] bounded to be in the range [-1,1])
Prais-Winsten regression, heteroskedastic panels corrected standard
errors
Panels: heteroskedastic (balanced)
Estimated covariances = 55, R-squared = 0.5468
Estimated autocorrelations = 1
Estimated coefficients = 3
Wald chi2(2) = 120.05, Prob > chi2 = 0.0000
Panel-corrected
Coef. Std. Err. z P>z
mvalue .0972395 .0124362 7.82 0.000
kstock .306441 .054533 5.62 0.000
cons -42.07116 24.09387 -1.75 0.081
rho .8678619
И опять использование второго варианта оценивания
коэффициента
ρ
приводит к несколько отличным результатам:.
xtpcse invest mvalue kstock, correlation(ar1) rhotype(tscorr) casewise
Prais-Winsten regression, correlated panels corrected standard
errors (PCSEs)
Panels: correlated (balanced
Estimated covariances = 55, R-squared = 0.6904
Estimated autocorrelations = 1
Estimated coefficients = 3
Wald chi2(2)= 215.52, Prob > chi2 = 0.0000
Panel-corrected
Coef. Std. Err. z P>z
mvalue .1032102 .0108656 9.50 0.000
kstock .2947986 .0432809 6.81 0.000
cons -45.78767 15.24513 -3.00 0.003
rho .7563511
Панельные данные
223
Посмотрим, что дает оценивание модели с перекрестной
коррелированностью ошибок между уравнениями, когда ошибки в
уравнениях для разных субъектов могут следовать разным AR(1)-
моделям (с разными
i
ρ
). При оценивании такой модели (по DW-
варианту) получаем:
. xtpcse invest mvalue kstock, correlation(psar1) rhotype(dw) casewise
Prais-Winsten regression, correlated panels corrected standard
errors (PCSEs)
Panels: correlated (balanced)
Autocorrelation: panel-specific AR(1)
Estimated covariances = 55, R-squared = 0.7570
Estimated autocorrelations = 10,
Estimated coefficients = 3,
Wald chi2(2) = 211.38, Prob > chi2 = 0.0000
Panel-corrected
Coef. Std. Err. z P>z
mvalue .1013946 .0108632 9.33 0.000
kstock .3449446 .0478113 7.21 0.000
cons -41.18685 19.33078 -2.13 0.033
rhos = .7427231 .8831453 .9741851 .7277056 .9564705 ...
.9343119
А при оценивании по второму варианту –
.xtpcse invest mvalue kstock, correlation(psar1) rhotype(tscorr) casewise
Prais-Winsten regression, correlated panels corrected standard
errors (PCSEs)
Panels: correlated (balanced)
Autocorrelation: panel-specific AR(1)
Estimated covariances = 55, R-squared = 0.8670
Estimated autocorrelations =10
Estimated coefficients = 3
Wald chi2(2) = 444.53, Prob > chi2 = 0.0000
Panel-corrected
Глава 3
224
Coef. Std. Err. z P>z
mvalue .1052613 .0086018 12.24 0.000
kstock .3386743 .0367568 9.21 0.000
cons -58.18714 12.63687 -4.60 0.000
rhos = .5135627 .87017 .9023497 .63368 .8571502 ... .8752707
Заметим, что и здесь приходится оценивать значительное
количество дисперсий, ковариаций и автокорреляций, используя
всего 20 наблюдений, растянутых во времени.
Для удобства объединим полученные результаты в одну
таблицу, дополнительно указав в последнем столбце 95%
доверительные интервалы для коэффициентов.
invest Coef. Std.Err. z P>z 95% Conf. Int.
Независимые одинаково распределенные ошибки
mvalue .116 .0058 19.95 0.00 .104 .127
kstock .231 .0253 9.12 0.00 .181 .280
Гетероскедастичность – WLS
mvalue .112 .0050 22.41 0.00 .102 .122
kstock .154 .0126 12.23 0.00 .129 .178
SUR – GLS
mvalue .113 .0022 50.42 0.00 .108 .117
kstock .223 .0057 38.90 0.00 .212 .234
AR(1) – common rho (Durbin – Watson) : est rho = .8678619
mvalue .097 .0126 7.70 0.00 .072 .122
kstock .306 .0561 5.46 0.00 .196 .416
AR(1) – common rho (OLS) : est rho = .7563511
mvalue .103 .0112 9.19 0.00 .081 .125
kstock .295 .0460 6.42 0.00 .205 .385
SUR&AR(1) – common rho (D–W) : est rho = .8678619
mvalue .097 .0124 7.82 0.00 .073 .122
kstock .306 .0545 5.62 0.00 .200 .413
SUR&AR(1) – common rho (OLS) : est rho = .7563511
mvalue .103 .0109 9.50 0.00 .082 .125
Панельные данные
225
kstock .295 .0433 6.81 0.00 .210 .388
SUR&AR(1) – different rho (D–W)
mvalue .101 .0109 9.33 0.00
kstock .345 .0478 7.21 0.00
rhos = .7427231 .8831453 .9741851 .7277056 ... .9343119
SUR&AR(1) – different rho (TSCORR)
mvalue .105 .0086 12.24 0.00
kstock .339 .0368 9.21 0.00
rhos = .5135627 .87017 .9023497 .63368 ... .8752707
Здесь SUR&AR(1) означает наличие корреляции между
ошибками в разных уравнениях в совпадающие моменты времени и
AR(1)-модель для ошибок в пределах каждого предприятия.
Обратимся теперь к модели ковариационного анализа
M
0
:
ititiiit
uxy ++=
βα
, TtNi ,,1,,,1 KK == ;
i
α
и
i
β
– неизвестные постоянные,
it
u – случайные ошибки. (Для
простоты переменную
x
будем рассматривать пока как скалярную
переменную.)
Если предполагать, что
it
u ~ i.i.d.
(
)
2
,0
u
N
σ
, TtNi ,,1,,,1 KK == ,
и что
(
)
0=
jsit
uxE для любых TstNji ,,1,,,,1, KK == ,
так что
x
является экзогенной переменной, то мы имеем дело с N
не связанными между собой линейными регрессиями,
удовлетворяющими предположениям классической нормальной
линейной регрессии. Для получения оценок параметров
i
α
и
i
β
эти регрессии можно оценивать в этом случае порознь
, так что
оценки наименьших квадратов для
i
α
и
i
β
имеют вид:
Глава 3
226
()()
()
∑
∑
=
=
−
−−
=
T
t
iit
T
t
iitiit
i
xx
yyxx
1
2
1
ˆ
β
,
iiii
xy
βα
ˆ
ˆ
−=
, Ni ,,1 K= ,
где
∑
=
=
T
t
iti
y
T
y
1
1
,
∑
=
=
T
t
iti
x
T
x
1
1
.
Эти оценки имеют при фиксированных значениях
it
y и
it
x
нормальное распределение и являются наилучшими линейными
несмещенными оценками (BLUE).
Если ошибки
it
u независимы между собой и имеют нормальные
распределения с нулевыми средними, но дисперсии их различны для
разных субъектов, так что
it
u ~ i.i.d.
(
)
2
,0
ui
N
σ
, TtNi ,,1,,,1 KK == ,
то тогда следует использовать взвешенный метод наименьших
квадратов, приписывая каждому наблюдению для
i -го субъекта вес
uii
w
σ
1= . Поскольку же дисперсии
2
ui
σ
в реальных исследованиях
не известны, приходится использовать доступную версию этого
метода, в которой вместо весов
uii
w
σ
1= берутся их оценки
uii
w
σ
ˆ
1=
, где
2
ˆ
ui
σ
– подходящие оценки неизвестных дисперсий. В
качестве таковых можно брать, например, несмещенные оценки
дисперсий
2
ui
σ
:
()
pNRSS
i
ui
−= /
ˆ
)(2
σ
.
Здесь
)(i
RSS – сумма квадратов остатков, получаемых при
оценивании модели регрессии для
i -го субъекта, а
p
– количество
объясняющих переменных в уравнениях регрессии (для парной
регрессии с константой 2=p ).
Панельные данные
227
Несколько более сложная модель возникает, если предположить
коррелированность ошибок для разных субъектов в совпадающие
моменты времени. Это модель кажущихся несвязанными
регрессий
1
(SUR, SURE – seemingly unrelated regressions). При
наличии такой коррелированности следует использовать уже не
взвешенный, а обобщенный метод наименьших квадратов. Если
представить уравнение для
i -го субъекта в векторно-матричной
форме
() () () ()
iiii
uXy +=
θ
,
где
()
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
iT
i
i
y
y
y M
1
,
()
,
1
1
1
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
iT
i
i
x
x
X MM
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
β
α
θ
i
,
()
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
iT
i
i
u
u
u M
1
,
то модель SUR можно записать в следующем виде:
()
()
()
()
()
()
()
()
()
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
NN
N
N
u
u
X
X
X
y
y
MM
L
MOMM
L
L
M
11
2
1
1
00
00
00
θ
θ
,
или (в очевидных обозначениях)
uXy +=
θ
.
При сделанных предположениях ковариационная матрица
1×NT -вектора u равна
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
==
NNNN
N
N
uCov
ΣΣΣ
ΣΣΣ
ΣΣΣ
Ω
L
MOMM
L
L
21
22212
11211
)( ,
1
В некоторых руководствах по эконометрике такую модель называют
системой внешне не связанных между собой уравнений.
Глава 3
228
где
()
TT × -матрица
ij
Σ имеет вид
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
ij
ij
ij
ij
σ
σ
σ
L
MOMM
L
L
00
00
00
Σ
,
(
)
jtitij
uuCov ,=
σ
.
Обобщенная оценка наименьших квадратов (GLS-оценка)
вектора
θ
находится по формуле
()
yXXX
TT
GLSSUR
1
1
1
ˆˆ
−
−
−
ΩΩ==
θθ
.
Заметим, что подлежащая обращению матрица
Ω имеет размер
NTNT × . Однако такого обращения можно избежать вследствие
наличия следующего соотношения:
()
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−−−
−−−
−−−
−
)1()1(
2
)1(
1
)1(
2
)1(
22
1
12
)1(
1
)1(
12
)1(
11
1
NNNN
N
N
ΣΣΣ
ΣΣΣ
ΣΣΣ
Ω
L
MOMM
L
L
,
где
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
−
−
−
)1(
)1(
)1(
)1(
00
00
00
ij
ij
ij
ij
σ
σ
σ
L
MOMM
L
L
Σ
,
а
)1(−
ij
σ
– элементы матрицы
1−
Σ , обратной к матрице
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
NNN
N
σσ
σσ
L
MOM
L
1
111
Σ .
Благодаря этому достаточно произвести обращение матрицы
размера
NN × .
Панельные данные
229
Учет коррелированности ошибок в различных уравнениях
позволяет ожидать определенного выигрыша в точности оценивания
каждого из
()
i
θ
за счет информации, идущей от других уравнений
через указанную коррелированность. Однако реальный выигрыш
зависит от целого ряда факторов. Например, если
ρσσ
2
=
ij
для
j
i
≠
, то предпочтительность SUR-оценки возрастает с ростом
1→
ρ
, когда T велико. С другой стороны, если 0=
ρ
, то SUR- и
OLS-оценки совпадают. Кроме того, непосредственная реализация
SUR-оценивания на практике невозможна из-за того, что значения
ij
σ
не известны исследователю. Доступный (feasible) вариант SUR-
оценивания предусматривает использование адаптивной оценки
FGLS
θ
ˆ
вектора
θ
, при вычислении которой неизвестные значения
ij
σ
заменяются их состоятельными оценками
ij
σ
ˆ
.
Пусть
() () () ()
iiii
Xye
θ
ˆ
−= – вектор остатков, получаемый при
OLS-оценивании уравнения для
i -го субъекта. Тогда естественной
оценкой для
ij
σ
является
()
T
ee
j
T
i
ij
)()(
ˆ
=
σ
.
При
i
j
=
это есть просто TRSS
i)(
, и, как известно, такая
оценка для дисперсии ошибки в
i -м уравнении имеет смещение, а
несмещенной оценкой для этой дисперсии является
()
pTRSS
i
−
)(
,
где
p
– количество объясняющих переменных в уравнении
регрессии. (Конечно, при этом должно выполняться условие
pT > .)
При соответствующих условиях на матрицу
X
, требующихся и в
классической модели линейной регрессии, обе оценки
GLS
θ
ˆ
и
FGLS
θ
ˆ
при T
→
∞
состоятельны.
Глава 3
230
П р и м е р
Рассмотрим для иллюстрации приведенные в [Greene (1993), стр.
481] ежегодные данные об объемах инвестиций
y
и прибыли
x
трех
предприятий (
3=N ) за десятилетний период ( 10=T ).
t Y1 X1 Y2 X2 Y3 X3
1 13.32 12.85 20.30 22.93 8.85 8.65
2 26.30 25.69 17.47 17.96 19.60 16.55
3 2.62 5.48 9.31 9.160 3.87 1.47
4 14.94 13.79 18.01 18.73 24.19 24.91
5 15.80 15.41 7.63 11.31 3.99 5.01
6 12.20 12.59 19.84 21.15 5.73 8.34
7 14.93 16.64 13.76 16.13 26.68 22.70
8 29.82 26.45 10.00 11.61 11.49 8.36
9 20.32 19.64 19.51 19.55 18.49 15.44
10 4.77 5.43 18.32 17.06
20.84 17.87
Здесь столбцы Y
i
, X
i
содержат данные по i -му предприятию,
3,2,1=i . Ниже приведены графики изменения объемов инвестиций
и прибыли по каждому из трех предприятий.
0
5
10
15
20
25
30
35
12345678910
Y1
X1