Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы
Подождите немного. Документ загружается.
Панельные данные
251
так что случайные величины
it
ν
и
is
ν
коррелированы даже если
некоррелированы ошибки
it
u , и ковариационная матрица
случайного вектора
i
ν
имеет вид
(
)
T
Tu
T
ii
eeIEV
22
α
σσνν
+== .
Например, при
3=T
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
=
2222
2222
2222
ααα
ααα
ααα
σσσσ
σσσσ
σσσσ
u
u
u
V .
При этом
()
ρ
σσ
σ
νν
α
α
=
+
=
22
2
,
u
isit
Corr для всех
s
t
≠
(предположение равной коррелированности в модели компонент
дисперсии).
Оценивание
В RE-модели оценка
()()
()
∑∑
∑∑
==
==
−
−−
=
N
i
T
t
iit
N
i
T
t
iitiit
CV
xx
yyxx
11
2
11
ˆ
β
остается несмещенной и состоятельной оценкой для
β
. Однако она
перестает быть эффективной оценкой (BLUE), как это было в
модели с фиксированными эффектами, поскольку не учитывает
коррелированность
it
ν
во времени для субъекта i .
Мы можем ожидать, что обобщенная оценка наименьших
квадратов (GLS-оценка), учитывающая такую коррелированность,
будет более эффективной. Заметим, что
GLS-оценка для
δ
имеет
вид
Глава 3
252
[]
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
∑∑
=
−
−
=
−
N
i
i
T
i
T
N
i
i
T
i
T
GLS
yV
x
e
xeV
x
e
1
1
1
1
1
ˆ
δ
и что
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−=
−
T
ee
T
ee
IV
TT
T
u
Ψ
2
1
1
σ
,
где
22
2
α
σσ
σ
T
u
u
+
=Ψ
. Чтобы не возникало путаницы с другими GLS-
оценками, для GLS-оценки в стандартной модели со случайными
эффектами используется также обозначение
RE
β
ˆ
. Заметим, что
диагональные элементы матрицы
1−
V равны
2
1
1
u
T
σ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
Ψ
, а
недиагональные элементы равны
2
1
u
T
σ
Ψ−
−
.
Практически получить
RE
β
ˆ
можно следующим образом.
Усредняя по
t обе части уравнения
ititit
xy
νβµ
++= ,
получаем соотношение
iii
xy
νβµ
++= .
Обозначив
Ψ−= 1
θ
, произведем преобразование
iitit
yyy
θ
−=
∗
,
iitit
xxx
θ
−=
∗
,
iitit
νθνν
−=
∗
,
()
µθµ
−=
∗
1 .
В результате получаем преобразованную модель
∗∗∗∗
++=
ititit
xy
νβµ
с экзогенной переменной
∗
it
x , в которой ковариационная матрица
вектора ошибок
∗
it
ν
имеет вид:
(
)
Tuit
ICov
2
σν
=
∗
.
Поэтому применение OLS к преобразованной модели дает BLUE-
оценку
Панельные данные
253
()()
()
∑∑
∑∑
==
∗∗
==
∗∗
−
−−
=
N
i
T
t
it
N
i
T
t
itit
GLS
xx
yyxx
11
2
11
**
ˆ
β
,
где
∑∑
==
∗∗
=
N
i
T
t
it
y
NT
y
11
1
,
∑∑
==
∗∗
=
N
i
T
t
it
x
NT
x
11
1
.
Это выражение можно представить в виде
()
CVbGLS
ww
βββ
ˆ
1
ˆˆ
−+=
,
где
()()
()
∑
∑
=
=
−
−−
=
T
i
i
T
i
ii
b
xx
yyxx
1
2
1
ˆ
β
– “межгрупповая” оценка (между-
оценка, between-group estimate), соответствующая регрессии
средних значений
i
y на константу и средние значения
i
x , т.е.
iii
xy
νβµ
++=
(“модель для групповых средних”), и игнорирующая
внутригрупповую изменчивость,
()
() ()
∑∑ ∑
∑
== =
=
−+−
−
=
N
i
T
t
N
i
iiit
N
i
i
xxxx
xx
w
11 1
22
1
2
Ψ
Ψ
.
Таким образом, обобщенная оценка наименьших квадратов
GLS
β
ˆ
в RE-модели учитывает и внутригрупповую и межгрупповую
изменчивость. Она является взвешенным средним “межгрупповой”
оценки
b
β
ˆ
(учитывающей только межгрупповую изменчивость) и
Глава 3
254
“внутригрупповой” оценки
CV
β
ˆ
(учитывающей только
внутригрупповую изменчивость), а
w измеряет вес, придаваемый
межгрупповой изменчивости. При сделанных предположениях обе
оценки
b
β
ˆ
и
CV
β
ˆ
состоятельны, так что состоятельна и сама
GLS
β
ˆ
.
Если T → ∞, то
0→Ψ , 0→w и
CVGLS
ββ
ˆˆ
→ ,
так что при больших
T оценки для
β
, получаемые в рамках
моделей фиксированных и случайных эффектов, эквивалентны.
Если
0
2
→
α
σ
, то 1→Ψ и
(
)
Tu
T
Tu
T
ii
IeeIEV
222
σσσνν
α
→+== .
Соответственно, при этом GLS-оценка переходит в OLS-оценку, т.е.
()()
()
OLS
N
i
T
t
it
N
i
T
t
itit
GLS
xx
yyxx
ββ
ˆˆ
11
2
11
=
−
−−
→
∑∑
∑∑
==
==
(в пределе нет никаких эффектов).
Заметим далее, что
()
() ()
∑∑ ∑
== =
−Ψ+−
=
N
i
T
t
N
i
iiit
u
GLS
xxxx
D
11 1
22
2
ˆ
σ
β
.
В то же время
()
()
∑∑
==
−
=
N
i
T
t
iit
u
CV
xx
D
11
2
2
ˆ
σ
β
.
Поскольку
0>Ψ , то из двух последних соотношений следует, что
(
)
(
)
CVGLS
DD
ββ
ˆˆ
<
,
т.е. GLS-оценка эффективнее
. Она эффективнее оценки
CV
β
ˆ
именно
потому, что использует как информацию о внутригрупповой
изменчивости, так и информацию о межгрупповой изменчивости.
Панельные данные
255
Чтобы реализовать эту GLS, т.е. получить доступную GLS-
оценку (FGLS – feasible GLS, или EGLS – estimated GLS),
надо
подставить в выражения для
Ψ (и
θ
) подходящие оценки для
2
u
σ
и
22
α
σσ
T
u
+ .
Оценить
2
u
σ
можно, используя внутригрупповые остатки
()()
iitCViit
xxyy −−−
β
ˆ
,
полученные при оценивании модели, скорректированной на
индивидуальные средние:
()()
[]
()
11
ˆ
ˆ
11
2
2
−−
−−−
=
∑∑
==
TN
xxyy
N
i
T
t
iitCViit
u
β
σ
(в знаменателе число степеней свободы равно количеству
наблюдений
NT минус количество оцениваемых параметров
1+N ).
Оценить дисперсию
2
α
σ
случайных эффектов )(
2
i
D
ασ
α
= можно,
заметив, что при оценивании модели
iii
xy
νβµ
++= , приводящей
к межгрупповой оценке
()()
()
∑
∑
=
=
−
−−
=
T
i
i
T
i
ii
b
xx
yyxx
1
2
1
ˆ
β
,
дисперсия остатка для
i -й группы равна
(
)
22
ˆ
ˆ
α
σσβµ
+=−− TxyD
uibbi
.
Состоятельной оценкой для
22
α
σσ
+T
u
является
Глава 3
256
()
2
ˆ
ˆ
1
2
−
−−
∑
=
N
xy
N
i
ibbi
βµ
.
Поэтому состоятельной оценкой для
2
α
σ
служит
()
T
N
xy
u
N
i
ibbi
2
1
2
2
ˆ
2
ˆ
ˆ
ˆ
σ
βµ
σ
α
−
−
−−
=
∑
=
;
22
ˆˆ
α
σσ
T
u
+
()
2
ˆ
ˆ
1
2
−
−−
=
∑
=
N
xy
T
N
i
ibbi
βµ
является состоятельной оценкой для
22
α
σσ
T
u
+ . Эти две оценки
используют межгрупповые
остатки. Они являются также оценками
максимального правдоподобия соответствующих дисперсий.
Следует только отметить, что, особенно при небольших
значениях
N и T , значение вычисленной указанным образом
оценки дисперсии
2
α
σ
может оказаться отрицательным.
З а м е ч а н и е
Внутригруповую и GLS-оценки можно получить в пакете
STATA, используя команду xtreg (с опциями fe или re).
Как мы уже отмечали выше,
GLS
β
ˆ
можно представить в виде
()
CVbGLS
ww
βββ
ˆ
1
ˆˆ
−+=
,
так что
GLS
β
ˆ
является линейной комбинацией “внутри” и “между”
оценок. Эта линейная комбинация оптимальна. Поэтому, например,
оценка
OLS
β
ˆ
, также являющаяся линейной комбинацией этих
двух оценок (при 1=Ψ ), хотя и состоятельна, но менее
эффективна.
Панельные данные
257
Критерий Бройша–Пагана для индивидуальных эффектов.
Это критерий для проверки в рамках RE-модели (со
стандартными предположениями) гипотезы
0:
2
0
=
α
σ
H (сведение к модели пула).
Идея критерия основана на тождестве
∑∑∑∑∑∑
=≠====
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
N
its
itis
N
i
T
t
it
N
i
T
t
it
uuuu
111
2
2
11
,
из которого следует , что
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
==
=≠
==
==
=−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
N
i
T
t
it
N
its
itis
N
i
T
t
it
N
i
T
t
it
u
uu
u
u
11
2
1
11
2
2
11
1
.
При отсутствии автокоррелированности случайных ошибок
it
u
правая часть последнего равенства мала. Поэтому статистику
критерия можно основывать на выражении, стоящем в левой части,
в которое вместо ненаблюдаемых значений
it
u подставляются
остатки
it
u
ˆ
, полученные при OLS-оценивании модели пула. Против
гипотезы
0
H говорят “слишком большие” значения
2
11
2
2
11
1
ˆ
ˆ
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∑∑
∑∑
==
==
N
i
T
t
it
N
i
T
t
it
u
u
.
Статистика критерия Бройша–Пагана
Глава 3
258
() ()
2
11
2
1
22
2
11
2
2
11
ˆ
ˆ
1
12
1
ˆ
ˆ
12
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
∑∑
∑
∑∑
∑∑
==
=
==
==
N
i
T
t
it
N
i
i
N
i
T
t
it
N
i
T
t
it
u
uT
T
NT
u
u
T
NT
BP
при гипотезе
0
H имеет асимптотическое распределение
()
1
2
χ
.
Соответственно, гипотеза
0
H отвергается, если наблюдаемое
значение статистики
BP
превышает критическое значение,
рассчитанное по распределению
()
1
2
χ
.
3.4. Коэффициенты детерминации, разложение
полной суммы квадратов
При анализе панельных данных возникают некоторые проблемы
с определением коэффициента детерминации
2
R
, так что во многих
руководствах по эконометрике и монографиях, специально
посвященных анализу панельных данных, вообще не упоминается о
коэффициенте детерминации. В то же время в некоторых пакетах
статистического анализа предусмотрено вычисление коэффициентов
детерминации и для панельных данных.
Проблема с определением коэффициента детерминации в
случае панельных данных связана с неопределенностью в
отношении того, что считать полной суммой квадратов, подлежащей
разложению на объясненную регрессией и остаточную суммы
квадратов. Здесь мы имеем соотношение
() () ()
∑∑ ∑∑∑
== ===
−+−=−
N
i
T
t
N
i
iiit
N
i
T
t
it
yy
N
yy
NT
yy
NT
11 1
22
11
2
,
111
и в качестве полной суммы квадратов может использоваться
каждая
из входящих в это выражение трех сумм квадратов.
Соответствующие этим полным суммам регрессионные модели
объясняют:
Панельные данные
259
• отклонения наблюдаемых значений
it
y от их среднего по
всем
NT наблюдениям;
• отклонения наблюдаемых значений
it
y в группах от их
средних по группе;
• отклонения средних по группам от среднего по всем
NT наблюдениям.
Если мы используем оценку “пул”, то она получается в
результате применения метода наименьших квадратов к уравнению
ititit
uxy ++=
βα
, TtNi ,,1,,,1 KK == .
При этом коэффициент детерминации равен квадрату (выборочного)
коэффициента корреляции между переменными
it
y и
itOLSit
xy
βα
ˆ
ˆˆ
+=
,
где
OLS
β
ˆ
– OLS-оценка коэффициента
β
в модели пула. Об этом
коэффициенте детерминации говорят как о “
2
R
-полном” (
2
R
-
overall),
(
)
(
)
itOLSititOLSitoverall
xycorrxycorrR
ββα
ˆ
,
ˆ
ˆ
,
222
=+= .
Если мы используем оценку “между”, то она получается в
результате применения метода наименьших квадратов к уравнению
iii
xy
νβµ
++= , Ni ,,1 K= .
При этом коэффициент детерминации равен квадрату (выборочного)
коэффициента корреляции между переменными
it
y и
ibi
xy
βµ
ˆ
ˆ
ˆ
+=
,
где
b
β
ˆ
– “между”-оценка для коэффициента
β
. Об этом
коэффициенте детерминации говорят как о “
2
R
-между” (
2
R
-
between),
(
)
(
)
iibiibbetween
yxcorryxcorrR ,
ˆ
,
ˆ
ˆ
222
ββµ
=+= .
Если мы используем оценку “внутри”, то она получается в
результате применения метода наименьших квадратов к уравнению
Глава 3
260
()()
iitiitiit
uuxxyy −+−=−
β
, TtNi ,,1,,,1 KK == .
В правой части последнего уравнению отсутствует константа. А при
OLS-оценивании уравнений вида
iii
vwz +=
β
коэффициент
детерминации в общем случае не равен квадрату выборочного
коэффициента корреляции между переменными
ii
wz
β
ˆ
ˆ
=
и
i
z .
Однако если переменные
i
z и
i
w центрированы, так что 0== wz ,
то такое равенство обеспечивается. В нашем случае переменные
iit
yy − и
iit
xx − центрированы, так что коэффициент
детерминации, получаемый при оценивании уравнения в
отклонениях от средних по группам равен квадрату (выборочного)
коэффициента корреляции между переменными
iitit
yyy −=
~
и
()
iitCVit
xxy −=
β
ˆ
ˆ
~
, TtNi ,,1,,,1 KK == ,
где
CV
β
ˆ
– “внутри”-оценка для коэффициента
β
. Об этом
коэффициенте детерминации говорят как о “
2
R
-внутри” (
2
R
-
within),
()
(
)
iitiitCVwithin
yyxxcorrR −−= ,
ˆ
22
β
.
Каждый из этих трех вариантов
2
R
является обычным
коэффициентом детерминации в соответствующей модели
регрессии. В то же время при анализе различных моделей
панельных данных часто сообщаются вычисленные значения всех
трех вариантов
2
R
, несмотря на то, что в модели с фиксированными
эффектами используется оценка
CV
β
ˆ
, в модели со случайными
эффектами – оценка
GLS
β
ˆ
, а в модели пула – оценка
OLS
β
ˆ
.
Более точно, при анализе панельных данных принято сообщать
под названиями
2
within
R ,
2
between
R ,
2
overall
R значения
()
(
)
iitiitwithin
xxyycorrR −−=
β
ˆ
,
22
,
(
)
iibetween
xycorrR
β
ˆ
,
22
= ,
(
)
ititoverall
xycorrR
β
ˆ
,
22
= ,