Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы

Подождите немного. Документ загружается.

Панельные данные

241

Проверка гипотезы

H . Используем F-статистику

()()

()

NNTS

NSS

−

−−

;

если гипотеза

H верна, то

F ~

NNTN

2),1(2 −−

Если значение

F статистически незначимо, то следует

объединить данные в пул. Если же значение

F статистически

значимо, то следует искать источник гетерогенности параметров.

Проверка гипотезы

H . Используем F-статистику

()()

()

NNTS

NSS

−

−−

;

если гипотеза

H верна,

F ~

NNTN

2,1 −−

Если значение

F статистически значимо, то проверка

прекращается. Если же значение

F статистически незначимо, то

гипотеза

H (о совпадении всех

) не отвергается.

Можно также применить условный

критерий гетерогенности

а именно, проверить гипотезу

H :

αα

== K

при условии

ββ

== K

, т.е. в рамках модели

ititiit

uxy ++=

βα

Для этой цели используем статистику

()()

()

−−

NNTS

NSS

которая при гипотезе

H имеет распределение

1,1 −−− NNTN

F .

П р и м е р

Продолжим расмотрение данных об инвестициях и прибыли

трех предприятий.

Глава 3

242

Выше мы уже проверили гипотезу :

H “

одинаковы для всех

i ” в рамках модели M

и не отвергли эту гипотезу. Проверим в

рамках той же модели M

гипотезу

H : “

одинаковы для

всех i ”:

Wald Test:

F-statistic 3.595209 Probability 0.019644

Эта гипотеза отвергается. Проверим теперь гипотезу

H :

αα

== K

в рамках модели M

ititiit

uxy ++=

βα

Wald Test:

F-statistic 6.810977 Probability 0.004183

Эта гипотеза также отвергается.

Полученные результаты говорят в пользу модели M

одинаковыми

, но различными

3.2. Фиксированные эффекты

Начиная с этого раздела, мы обращаемся к методам анализа

панельных данных, предназначенным в основном для анализа

данных

{}

TtNixy

itit

,,1,,,1;, KK == , в которых количество

субъектов исследования

N велико, а количество наблюдений T над

каждым субъектом мало. Вследствие малости

T в таких ситуациях

затруднительно использовать технику, интерпретирующую

Nttt

yyy ,,,

K как N временных рядов длины T (например,

технику векторных авторегрессий и моделей коррекции ошибок для

нестационарных временных рядов). Основная направленность

методов, предполагающих малость

T , – получение по возможности

наиболее эффективных оценок коэффициентов.

Сначала мы сфокусируем внимание на модели,

соответствующей гипотезе

H со скалярной объясняющей

переменной

Панельные данные

243

ititiit

uxy ++=

βα

, TtNi ,,1,,,1 KK == ,

т.е.

itit

ijiit

uxdy ++=

∑

βα

где

d , если

i =

и 0=

d в противном случае, так что мы

имеем здесь в правой части

N дамми-переменных. Здесь

трактуются как неизвестные фиксированные параметры

(фиксированные эффекты, fixed effects). Как и ранее, будем

предполагать , что в этой модели

u ~ i.i.d.

(

)

, TtNi ,,1,,,1 KK == ,

и что

(

)

jsit

uxE для любых TstNji ,,1,,,,1, KK == ,

так что

является экзогенной переменной. Альтернативные

названия этой модели:

1. OLS – дамми модель (LSDV – least squares dummy

variables);

2. модель с фиксированными эффектами (FE – fixed effects

model);

3. модель ковариационного анализа (CV – covariance

analysis).

В этой модели оценка наименьших квадратов, как мы уже

отмечали выше, имеет вид:

()()

()

∑∑

−

−−

iit

iitiit

yyxx

;

при этом

Глава 3

244

()

∑∑

−

iit

Альтернативные названия для этой оценки

1. “внутригрупповая” оценка (“внутри”-оценка, within-

estimator),

2. оценка фиксированных эффектов,

3. ковариационная оценка.

Часто для этой оценки используют также обозначения

(индекс

W – от within) и

. Как мы уже отмечали выше, эта оценка

теоретически имеет одно и то же значение при двух альтернативных

методах ее получения: в рамках статистической модели

itit

ijiit

uxdy ++=

∑

βα

с дамми-переменными и в рамках модели в

отклонениях от групповых средних

()()

iitiitiit

uuxxyy −+−=−

TtNi ,,1,,,1 KK == . Однако если количество субъектов анализа

N велико, то в первой модели приходится обращать матрицу весьма

большого размера (

N +1), тогда как во второй модели такой

проблемы не возникает.

Оценки для фиксированных эффектов вычисляются по формуле:

iii

βα

−=

, Ni ,,1 K= .

При сделанных предположениях

является наилучшей линейной

несмещенной оценкой (BLUE) для коэффициента

ββ

→∞

plim ,

ββ

→∞

plim ,

αα

∞→

lim

но

αα

≠

∞→

lim

, хотя

()

αα

Таким образом,

является состоятельной оценкой и когда

N → ∞ и когда T → ∞, в то время как

состоятельна только,

Панельные данные

245

когда T

→

∞

. Последнее есть следствие того, что оценивание

каждого

производится фактически лишь по T наблюдениям, так

что при фиксированном

T с ростом N происходит лишь

увеличение количества параметров

, но это не приводит к

возрастанию точности оценивания каждого конкретного

Заметим, что если нас интересует только состоятельность

оценки

, но не ее эффективность (т.е. свойство BLUE), то для

этого не требуется строгая экзогенность

(т.е. не требуется , чтобы

(

)

jsit

uxE для любых TstNji ,,1,,,,1, KK == ). В этом случае

достаточно выполнения соотношений

()

isit

uxE для любых

Tst ,,1, K= и Ni ,,1 K= (т.е. требуется лишь экзогенность

рамках каждого отдельного субъекта исследования).

В модели с фиксированными эффектами получаемые выводы –

условные по отношению к значениям эффектов

в выборке.

Такая интерпретация наиболее подходит для случаев, когда

субъектами исследования являются страны, крупные компании или

предприятия, т.е. каждый субъект ”имеет свое лицо”.

Сами эффекты

по-существу отражают наличие у субъектов

исследования некоторых индивидуальных характеристик, не

изменяющихся со временем в процессе наблюдений, которые трудно

или даже невозможно наблюдать или измерить. Если значения таких

характеристик не наблюдаются, то эти характеристики невозможно

непосредственно включить в правые части уравнений регрессии в

качестве объясняющих переменных. Но тогда мы имеем

дело с

“пропущенными переменными” – с ситуацией, которая может

приводить к смещению оценок наименьших квадратов. Чтобы

исключить такое смещение, в правые части уравнений вместо

значений ненаблюдаемых индивидуальных характеристик как раз и

вводятся ненаблюдаемые эффекты

. Проиллюстрируем

возникновение указанного смещения следующим примером.

Глава 3

246

П р и м е р

На следующем графике представлено облако рассеяния точек

()

itit

yx , , порожденных моделью

ititiit

uxy ++=

βα

, 100,,1,2,1 K== ti ,

в которой

150

, 250

, 6.0=

u ~ i.i.d.

(

)

10,0N . Значения

x заданы (неслучайны); при 1=i значения

меньше 150, а при

2=i значения

больше 150.

Облако точек распадается на две группы точек: в группе 1

объединяются точки, соответствующие

1=i , а в группе 2 – точки,

соответствующие

2=i . Точки первой группы располагаются вдоль

(теоретической) прямой

xy 6.0150 += (нижняя пунктирная линия

150

250

350

450

0 50 100 150 200 250

xy 88.100.8 +=

1 Группа

xy 6.0150 +=

2 Группа

xy 6.0250 +=

Панельные данные

247

на графике), точки второй группы – вдоль (теоретической) прямой

xy 6.0250 += .

Если по имеющимся 100 наблюдениям оценивать

статистическую модель

ititit

uxy ++=

βα

, 100,,1,2,1 K== ti ,

(пул), не принимающую во внимание возможное наличие

индивидуальных эффектов, то оцененная модель принимает вид

itit

xy 88.100.8

+= ,

так что оценка коэффициента

оказывается завышенной втрое по

сравнению со значением, использованным при моделировании.

В то же время, если перейти от переменных

x ,

y к

отклонениям от средних значений в группах

iit

xx − и

iit

yy − , то

для новых переменных облако рассеяния концентрируется вокруг

начала координат (на следующем графике соответствующие точки

изображены черными квадратами) и вытянуто в правильном

направлении:

150

300

450

-50

100

150 200 250

xy 52.0=

Глава 3

248

Оцененная модель в отклонениях от средних в группах имеет вид:

itit

xy 517.0

= ,

и на этот раз оценка коэффициента

оказывается близкой к

значению

6.0=

, использованному при моделировании.

Если оценивать модель с дамми-переменными

ititiiit

uxddy +++=

βαα

2211

где

d , если

, и 0=

d в противном случае, то результаты

оценивания таковы:

Dependent Variable: Y

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

D1 161.4615 7.260153 22.23940 0.0000

D2 264.8593 10.46430 25.31074 0.0000

X 0.517319 0.058229 8.884227 0.0000

Полученные оценки 517.0

,86.264

,46.161

===

βαα

близки к

значениям параметров, использованным при моделировании.

3.3. Случайные эффекты

Запишем модель

ititiit

uxy ++=

βα

, TtNi ,,1,,,1 KK == ,

соответствующую гипотезе

H , в равносильном виде:

ititiit

uxy +++=

βαµ

где

∑

(при таком условии

называют

дифференциальными эффектами). В ряде ситуаций

N субъектов,

для которых имеются статистические данные, рассматриваются как

случайная выборка из некоторой более широкой совокупности

(популяции), и исследователя интересуют не конкретные субъекты,

попавшие в выборку, а обезличенные субъекты, имеющие заданные

Панельные данные

249

характеристики. Соответственно, в таких ситуациях предполагается,

что

являются случайными величинами, и мы говорим тогда о

модели

ititiit

uxy +++=

βαµ

как о модели со случайными эффектами (random effects). В такой

модели

уже не интерпретируются как значения некоторых

фиксированных параметров и не подлежат оцениванию. Вместо

этого оцениваются параметры распределения случайных величин

Обозначая

itiit

u+=

αν

, получаем другую запись такой модели:

()

itititiitit

xuxy

νβµαβµ

++=+++= .

В такой форме модели ошибка

состоит из двух компонент

u . Как и в модели с фиксированными эффектами, случайные

эффекты

также отражают наличие у субъектов исследования

некоторых индивидуальных характеристик, не изменяющихся со

временем в процессе наблюдений, которые трудно или даже

невозможно наблюдать или измерить. Однако теперь значения этих

характеристик встраиваются в состав случайной ошибки, как это

делается в классической модели регрессии, в которой наличие

случайных ошибок интерпретируется как недостаточность

включенных

в модель объясняющих переменных для полного

объяснения изменений объясняемой переменной.

К прежним предположениям о том , что

u ~ i.i.d.

(

)

, TtNi ,,1,,,1 KK == ,

(

)

jsit

uxE для любых TstNji ,,1,,,,1, KK == ,

добавим также следующие предположения:

()

(так что и

()

⎩

⎨

⎧

≠

если,0

если,

αα

Глава 3

250

(это означает, что последовательность значений

αα

представляет случайную выборку из распределения

(

)

(

)

jit

, TtNji ,,1,,,1, KK == ,

(так что

(

)

jsit

, и в модели со случайными ошибками

переменная

является экзогенной переменной).

Если предположить еще, что

()

iit

то тогда условная относительно

x дисперсия случайной величины

y равна

()()

() ( )

uitiititititit

uDDxDxyD

σσανν

+=+=== .

Таким образом, дисперсия

y складывается из двух

некоррелированных

компонент; их называют компонентами

дисперсии, а саму модель называют

1. моделью компонент дисперсии;

2. однофакторной моделью компонент дисперсии;

3. стандартной моделью со случайными эффектами (RE

модель – random effects model).

В векторной форме эта модель имеет вид

iii

xey

νδ

+= ][ ,

где

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

e ,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Заметим, что

()( )

⎩

⎨

⎧

≠

=++=

, если,

если,

uuEE

isiitiisit

σσ

αανν