Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы

Панельные данные

231

0

5

10

15

20

25

12345678910

Y2

X2

0

5

10

15

20

25

30

12345678910

Y3

X3

Глава 3

232

Раздельное оценивание уравнений регрессии (в пакете Eviews)

дает следующие результаты.

Первое предприятие:

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -2.468913 0.980426 -2.518205 0.0359

X1 1.167170 0.058250 20.03737 0.0000

R-squared 0.9805

Второе предприятие:

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -1.384797 1.972680 -0.701988 0.5026

X2 1.014542 0.115314 8.798102 0.0000

R-squared 0.9063

Третье предприятие:

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.455479 1.491604 0.305362 0.7679

X3 1.076374 0.100360 10.72516 0.0000

R-squared 0.9350

Матрица

(

)

ij

σ

=Σ оценивается как

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−−

=Σ

3279.40351.19101.0

0351.19628.10099.0

9101.00099.02549.1

ˆ

;

соответствующая корреляционная матрица имеет вид

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−−

13552.03905.0

3552.010063.0

3905.00063.01

.

Использование доступного GLS приводит к следующим

результатам.

Панельные данные

233

Первое предприятие:

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -2.857213 0.812548 -3.52 0.002

X1 1.192389 0047494 25.11 0.000

R-squared 0.9800

Второе предприятие:

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -2.11701 1.66034 -1.28 0.214

X2 1.05876 0.09663 10.96 0.000

R-squared 0.9046

Третье предприятие:

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.721196 1.199687 0.60 0.553

X3 1.055824 0.077589 13.61 0.000

R-squared 0.9346

Оцененные коэффициенты несколько отличаются от

результатов раздельного оценивания уравнений, и вопрос в том,

сколь значимым является это различие. В связи с этим представляет

интерес проверка гипотезы

0:

0

=

ij

H

σ

для

j

i

≠

.

В предположении нормальности ошибок эта гипотеза

соответствует статистической независимости ошибок в разных

уравнениях. Для проверки этой гипотезы можно использовать

критерий Бройша–Пагана. Статистика этого критерия равна

∑∑

=

−

=

N

i

j

ij

rT

2

1

2

λ

,

где

jjii

ij

r

σσ

σ

ˆˆ

ˆ

=

– оцененная корреляция между ошибками в i -м

и

j

-м уравнениях. При гипотезе

0

H эта статистика имеет

Глава 3

234

асимптотическое распределение хи-квадрат с числом степеней

свободы, равным

()

21−NN (заметим, что гипотеза

0

H накладывает именно столько ограничений, поскольку

jiij

σσ

= ).

В нашем примере накладывается 3 ограничения, статистика

критерия принимает значение

787.2 . Соответствующее ему P-

значение, вычисленное на основании распределения

()

3

2

χ

, равно

4256.0 , так что если ориентироваться на это P-значение, то гипотеза

независимости не отвергается.

Следует также обратить внимание на то, что различие между

оценками коэффициентов при переменных

321

,, xxx довольно

невелико, так что возникает вопрос о проверке гипотезы совпадения

этих коэффициентов:

3210

:

βββ

==H .

В рамках модели SUR для проверки этой гипотезы

используются две формы критерия Вальда: одна основана на

F

-

статистике и P-значении, рассчитанном исходя из соответствующего

F

-распределения, а другая основана на статистике qF (q –

количество линейных ограничений) и P-значении, рассчитанном

исходя из асимптотического распределения

()

q

2

χ

этой статистики.

Использование этих двух форм дает следующие результаты:

Wald Test:

F-statistic 1.342317 Probability 0.278120

Chi-square 2.684634 Probability 0.261240

Разница в двух P-значениях весьма мала и не приводит к

различию в статистических выводах: гипотеза

3210

:

βββ

==H не

отвергается.

Поскольку ранее на основании применения критерия Бройша–

Пагана мы не отвергли гипотезу независимости ошибок в разных

уравнениях, естественно попытаться проверить гипотезу

3210

:

βββ

==H в условиях такой независимости.

Заметим, что модель SUR в нашем примере записывается как

Панельные данные

235

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

T

u

x

y

3

31

2

21

1

11

3

2

1

3

31

2

21

1

11

3

31

2

21

1

11

0

1

0

1

0

1

M

β

α

β

α

β

α

Это означает, что ее можно рассматривать как модель линейной

регрессии переменной

y

, принимающей значения ,,,,

11211 T

yyy K

,,,,

22221 T

yyy K

T

yyy

33231

,,, K , на следующие 6 переменных: три

дамми-переменных (dummy variables)

1

d со значениями

321

K

321

K

321

K

TTT

0,,0,0,,0,1,,1 ;

2

d со значениями

321

K

321

K

321

K

TTT

0,,0,1,,1,0,,0 ;

3

d со значениями

321

K

321

K

321

K

TTT

1,,1,0,,0,0,,0 ;

и три комбинированных переменных

xd

1

, xd

2

и xd

3

, построенных

на основании указанных дамми-переменных и переменной

x

,

принимающей значения

,,,,

11211 T

xxx K ,,,,

22221 T

xxx K

T

xxx

33231

,,, K ,

так что

xd

1

, xd

2

и xd

3

принимают значения

:

1

xd

43421

K

43421

K

4434421

K

T

xxx 0,,0,0,0,,0,0,,,,

11211

xd

2

:

43421

K

4434421

K

43421

K

T

xxx 0,,0,0,,,,,0,,0,0

22221

xd

3

:

4434421

K

43421

K

43421

K

T

TT

xxx

33231

,,,,0,,0,0,0,,0,0

.

Глава 3

236

Если случайные ошибки в разных уравнениях статистически

независимы, то мы можем получить эффективные оценки

коэффициентов, применяя OLS-оценивание, и проверить

интересующую нас гипотезу

3210

:

βββ

==H с использованием

обычного F-критерия. При этом получаются следующие результаты:

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

D1 -2.468913 1.388033 -1.778714 0.0880

D2 -1.384797 2.233064 -0.620133 0.5410

D3 0.455479 1.137109 0.400559 0.6923

D1*X 1.167170 0.082467 14.15324 0.0000

D2*X 1.014542 0.130535 7.772208 0.0000

D3*X 1.076374 0.076508 14.06874 0.0000

R-squared 0.950532

Wald Test:

F-statistic 0.592788 Probability 0.560676

Таким образом, гипотеза

3210

:

βββ

==H не отвергается и в

предположении независимости ошибок.

Мы будем говорить о модели

M

0

:

ititiiit

uxy ++=

βα

, TtNi ,,1,,,1 KK == ,

как о “модели без ограничений”. Обозначим остаточную сумму

квадратов (RSS) в этой модели как

0

S ,

()

∑∑

==

−−=

N

i

T

t

itiiit

xyS

11

2

0

ˆ

βα

.

В рамках модели без ограничений рассмотрим две гипотезы:

:

1

H

i

β

одинаковы для всех i,

:

2

H

i

β

и

i

α

одинаковы для всех i .

Гипотеза

:

1

H

i

β

одинаковы для всех i. Этой гипотезе

соответствует модель

Панельные данные

237

M

1

:

ititiit

uxy ++=

βα

, TtNi ,,1,,,1 KK == .

Остаточную сумму квадратов (RSS) в модели М

1

обозначим через

1

S ,

()

∑∑

==

−−=

N

i

T

t

itiit

xyS

11

2

1

ˆ

βα

.

Модель M

1

можно записать в виде

itit

N

j

ijiit

uxdy ++=

∑

=

βα

1

,

где

1=

ij

d , если

i

j

=

, и 0=

ij

d в противном случае, так что мы

имеем здесь в правой части

N дамми-переменных. Обозначим:

()

,,,,,,,,,,,,,

212222111211

T

NTNNTT

yyyyyyyyyy KKKK=

()

,,,,,,,,,,,,,

212222111211

T

NTNNTT

xxxxxxxxxx KKKK=

()

,,,,,,,,,,,,,

212222111211

T

NTNNTT

uuuuuuuuuu KKKK=

T

TNTT

d

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

−

43421

K

43421

K 0,,0,0,1,,1,1

1

,

T

TNTTT

d

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

−

43421

K

43421

K

43421

K

2

0,,0,0,1,,1,1,0,,0,0 ,

K

T

TTNT

N

d

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

−

43421

K

43421

K 1,,1,1,0,,0,0

,

и пусть

[]

xdddX

N

K

21

= – матрица размера

()

1+× NNT ,

столбцами которых являются векторы

xddd

N

,,,,

21

K . В этих

обозначениях модель M

1

принимает вид

uXy +=

θ

,

где

Глава 3

238

()

T

N

βαααθ

,,,,

21

K= .

Соответственно, оценка наименьших квадратов

()

T

N

βαααθ

ˆ

,

ˆ

,,

ˆ

,

ˆ

21

K= для вектора

θ

вычисляется по формуле

()

yXXX

TT

1

ˆ

−

=

θ

.

Будем предполагать далее, что

it

u ~ i.i.d.

(

)

2

,0

u

N

σ

, TtNi ,,1,,,1 KK == ,

и что

(

)

0=

jsit

uxE для любых TstNji ,,1,,,,1, KK == ,

так что

x

является экзогенной переменной.

При этих предположениях и при фиксированной матрице

X

оценка

θ

ˆ

имеет

()

1+N -мерное нормальное распределение, причем

(

)

θθ

=

ˆ

E ,

т.е.

θ

ˆ

является несмещенной оценкой для

θ

, а ковариационная

матрица случайного вектора

θ

ˆ

имеет вид

()

1

2

ˆ

−

= XXCov

T

u

σθ

.

Интересно, что численно те же самые

значения оценок

параметров

βααα

,,,,

21 N

K можно получить иным способом.

Именно, пусть

∑

=

T

t

iti

y

T

y

1

,

∑

=

T

t

iti

x

T

x

1

,

∑

=

T

t

iti

u

T

u

1

– средние по времени значения переменных

x

y

, и ошибки для i -го

субъекта исследования. Усредняя по времени обе части уравнений

ititiit

uxy ++=

βα

,

получаем

iiii

uxy ++=

βα

, Ni ,,1 K= .

Из двух последних уравнений находим:

()()

iitiitiit

uuxxyy −+−=−

β

, TtNi ,,1,,,1 KK ==

Панельные данные

239

(“модель, скорректированная на индивидуальные средние”).

В правой части полученной модели оказались исключенными

параметры

.,,,

21 N

ααα

K Это приводит к меньшей стандартной

ошибке оценки для параметра

β

, который обычно представляет

первоочередной интерес. В рамках последней модели эта оценка

вычисляется по формуле

()()

()

∑∑

==

−

−−

=

N

i

T

t

iit

N

i

T

t

iitiit

xx

yyxx

11

2

11

ˆ

β

,

и о ней говорят как о “внутригрупповой” оценке (“within-group”

estimate), имея в виду, что она строится только на основании

отклонений значений переменных от их средних по времени и тем

самым принимает во внимание только изменчивость в пределах

каждого субъекта, не обращая внимание на изменчивость между

субъектами. Точнее, конечно, следовало бы говорить о

“внутрисубъектной” оценке, но используемая здесь терминология

исторически вышла из теории дисперсионного анализа, где

субъекты исследования часто объединяются в некоторое количество

групп, так что индекс i относится не к отдельному субъекту, а к

группе субъектов. Впрочем, в последнее время в эконометрической

литературе чаще стали говорить об указанной оценке просто как о

“within”-оценке. Соответственно, мы часто будем использовать

термин “внутри” -оценка.

Получив в последней модели оценку наименьших квадратов

β

ˆ

,

оценки для параметров

N

ααα

,,,

21

K можно вычислить следующим

образом:

iii

xy

βα

ˆ

−=

, Ni ,,1 K= .

Полученные в итоге этих двух шагов оценки

N

ααα

ˆ

,,

ˆ

,

ˆ

21

K ,

β

ˆ

численно совпадают

с оценками наименьших квадратов,

Глава 3

240

получаемыми в модели

itit

N

j

ijiit

uxdy ++=

∑

=

βα

1

. Следует только

учитывать, что стандартные ошибки оценок

β

ˆ

отличаются в этих

двух моделях, а стандартные ошибки оценок

i

α

ˆ

, получаемые в

результате двухшаговой процедуры, нельзя

вычислять по формулам

для стандартных ошибок оценок наименьших квадратов.

Гипотеза

:

2

H

i

β

и

i

α

одинаковы для всех i. Ей соответствует

модель

M

2

:

ititit

uxy ++=

βα

, TtNi ,,1,,,1 KK == (пул – pool).

Оценки наименьших квадратов для параметров

α

и

β

вычисляются

по формулам

()()

()

∑∑

==

−

−−

=

N

i

T

t

it

N

i

T

t

itit

xx

yyxx

11

2

11

ˆ

β

,

xy

βα

ˆ

−=

,

где

∑∑

==

=

N

i

T

t

it

y

NT

y

11

1

,

∑∑

==

=

N

i

T

t

it

x

NT

x

11

1

.

Обозначим остаточную сумму квадратов в модели М

2

через

2

S ,

()

∑∑

==

−−=

N

i

T

t

itit

xyS

11

2

ˆ

βα

.

Рассмотрим задачу проверки гипотез

1

H и

2

H в рамках модели

M

0

при сделанных ранее предположениях.

Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы

Подождите немного. Документ загружается.