Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы
Подождите немного. Документ загружается.
Панельные данные
261
вне зависимости от того, каким образом была получена оценка
β
ˆ
.
Если
β
является
p
-мерным вектором, то, соответственно,
()
(
)
β
ˆ
,
22
T
iitiitwithin
xxyycorrR −−= ,
(
)
β
ˆ
,
22 T
iibetween
xycorrR = ,
(
)
β
ˆ
,
22 T
ititoverall
xycorrR = .
При этом приводимое значение
2
within
R является коэффициентом
детерминации в обычном смысле, если
within
ββ
ˆˆ
= ; приводимое
значение
2
between
R является коэффициентом детерминации в обычном
смысле, если
between
ββ
ˆˆ
= ; приводимое значение
2
overall
R является
коэффициентом детерминации в обычном смысле, если
OLS
ββ
ˆˆ
= .
П р и м е р (продолжение)
Приведем результаты оценивания в пакете Stata8 моделей с
фиксированными и случайными эффектами для данных о трех
предприятиях. При этом заметим, что в рамках этого пакета приняты
обозначения, отличающиеся от используемых нами:
индивидуальные эффекты обозначаются как
i
u , а случайные
ошибки – как
it
e . Чтобы избежать путаницы, в приводимые далее
протоколы оценивания внесены соответствующие изменения.
Fixed-effects (within) regression
R-sq:
within = 0.9478
between = 0.8567
overall = 0.9209
Проверка значимости регрессии в целом:
F(1,26) = 472.26, Prob > F = 0.0000
Оцененное значение коэффициента корреляции между
индивидуальным эффектом и переменной x
Глава 3
262
corr(α_i, X) = -0.2311
VARIABLE Coef. Std. Err. t P>t
x 1.102192 .0507186 21.73 0.000
cons -1.394325 .8230266 -1.69 0.102
sigma_αlfa 1.480319
sigma_u 1.745136
rho .4184474 (fraction of variance due to α_i)
F test that all alfa_i=0:
F(2, 26) = 6.81, Prob > F = 0.0042
Последний критерий соответствует гипотезе с двумя линейными
ограничениями: поскольку в модель включена постоянная
составляющая, то одно линейное ограничение накладывается
заранее как идентифицирующее и не подлежащее проверке.
Random-effects GLS regression
R-sq:
within=0.9478
between=0.8567
overall= 0.9209
Random effects: u_i ~ Gaussian
corr(α_i, X) = 0 (предполагается)
Критерий значимости регрессии в целом:
Wald chi2(1) = 325.94, Prob>chi2 = 0.0000
sigma_alfa 0
sigma_u 1.7451362
rho 0 (fraction of variance due to α _i)
Здесь полученная оценка для
2
α
σ
оказывается отрицательной;
поэтому ее значение полагается равным нулю. Однако тогда модель
со случайными эффектами редуцируется к модели “пула”:
Панельные данные
263
y Coef. Std. Err. z P>z
x 1.058959 .0586557 18.05 0.000
cons -.7474755 .955953 -0.78 0.434
В то же время, если в рамках модели со случайными эффектами
применить критерий Бройша–Пагана для проверки гипотезы об
отсутствии таковых эффектов, т.е. гипотезы
0:
2
0
=
α
σ
H , то
полученное значение статистики критерия равно 8.47. Этому
значению соответствует рассчитанное по асимптотическому
распределению хи-квадрат с 1 степенью свободы P-значение
0.0036. Но это говорит против гипотезы
0
H . И опять это можно
объяснить малым количеством наблюдений – ведь распределение
хи-квадрат здесь только асимптотическое.
В пакете Stata8 есть возможность оценить модель со
случайными эффектами, не прибегая к GLS-оцениванию, а
используя метод максимального правдоподобия. Это дает
следующие результаты:
Random-effects ML regression
Random effects: α_i ~ Gaussian
Log likelihood = -61.09837
Критерий значимости регрессии в целом:
LR chi2(1) = 121.60, Prob > chi2 = 0.0000
y Coef. Std. Err. z P>z
x 1.092893 .0501518 21.79 0.000
cons -1.255205 1.019264 -1.23 0.218
sigma_α 1.064836 .5552752 1.92 0.055
sigma_u 1.713621 .2334960 7.34 0.000
rho .2785682 .2205921
Likelihood-ratio test of sigma_alfa=0:
chibar2(01) = 4.70, Prob>=chibar2 = 0.015
По этому критерию гипотеза 0:
2
0
=
α
σ
H отвергается.
Глава 3
264
Between regression (regression on group means)
R-sq:
within = 0.9478
between = 0.8567
overall = 0.9209
Проверка значимости регрессии в целом:
F(1,1) = 5.98, Prob > F = 0.2471
y Coef. Std. Err. t P>t
x .3137715 .1283133 2.45 0.247
cons 10.40202 1.929616 5.39 0.117
Здесь регрессия оказывается статистически незначимой, а близкое к
1 значение коэффициента детерминации
2
between
R не должно вводить в
заблуждение: для оценивания двух коэффициентов имеется всего 3
наблюдения.
3.5. Выбор между моделями с фиксированными или
случайными эффектами.
Прежде всего напомним уже отмеченные ранее особенности
моделей с фиксированными или случайными эффектами.
• FE: получаемые выводы – условные по отношению к
значениям эффектов
i
α
в выборке; это соответствует
ситуациям, в которых эти значения нельзя рассматривать как
случайную выборку из некоторой более широкой
совокупности (популяции). Такая интерпретация наиболее
подходит для случаев, когда субъектами исследования
являются страны, крупные компании или предприятия, т.е.
каждый субъект ”имеет свое лицо”.
• RE: получаемые выводы – безусловные относительно
популяции всех
эффектов
i
α
. Исследователя интересуют не
Панельные данные
265
конкретные субъекты, а обезличенные субъекты, имеющие
заданные характеристики.
Заметим в этой связи, что
• в FE-модели
()()
itiitititiitit
xxuxExyE
βαβα
+=++= .
• в RE-модели
()()
ititititiitit
xxuxExyE
βµβαµ
+=+++=
Напомним, теперь, что RE модель предполагает, в частности,
что
()
0=
iti
xE
α
. Чтобы избавиться от этого условия
ортогональности, предположим, что
iiii
xa
εεα
,+= ~
(
)
2
,0
ε
σ
N ,
()
0=
iti
xE
ε
.
Это приводит к “модели Мундлака”:
itiiitit
uxaxy ++++=
εβµ
,
которая также является моделью компонент ошибки. Она отличается
от предыдущей модели тем, что в правую часть добавляется
переменная
i
x , изменяющаяся только от субъекта к субъекту и
отражающая неоднородность субъектов. Эта переменная, в отличие
от
i
α
, наблюдаема. Заметим, что в модели Мундлака
() ()()()
()
()
()
,
,1
2
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+==
==+=
∑∑
≠==
T
tss
itisit
T
s
itis
itiitiiiti
xxExE
T
a
xxE
T
a
xxaExxaExE
εα
так что если
0≠a , то условие
()
0=
iti
xE
α
в общем случае не
выполняется ни для одного
Ni ,,1 K= .
Применение GLS к этой модели дает BLUE оценки для
β
и a ,
имеющие вид:
CVGLS
ββ
ˆˆ
=
∗
,
CVbGLS
a
ββ
ˆˆ
−=
∗
,
и
Глава 3
266
bGLS
xy
βµ
ˆ
ˆ
−=
∗
.
Иначе говоря, BLUE оценкой для
β
в этой модели является
ковариационная (внутригрупповая) оценка, и из
()
aaE
GLS
=
∗
ˆ
,
()
(
)
(
)
CVbGLS
EEaE
ββ
ˆˆ
ˆ
−=
∗
и
(
)
ββ
=
CV
E
ˆ
, получаем:
(
)
ββ
+= aE
b
ˆ
.
Как было показано выше, в RE-модели (предполагающей
выполнение условия
()
0=
iti
xE
α
)
()
CVbRE
ww
βββ
ˆ
1
ˆˆ
−+= .
Если использовать эту же оценку в модели Мундлака, то для нее
получим:
(
)
(
)
()
(
)
()()
wawawEwwEE
CVbRE
+=−++=−+=
ββββββ
1
ˆ
1
ˆˆ
,
так что если
0≠a , то
RE
β
ˆ
– смещенная оценка.
Критерии спецификации
Речь здесь идет о том, совпадает ли условное
распределение
i
α
при заданном
i
x с безусловным распределением
i
α
(в более слабой
форме: выполняется ли соотношение
()
0=
ii
xE
α
– тогда и
()
0=
ii
xE
α
). Если нет, то наилучшей оценкой является
CV
β
ˆ
(FE).
Если да, то наилучшей оценкой является
GLS
β
ˆ
(RE).
Критерий 1
Используя формулировку Мундлака, проверяем гипотезу
0:
0
=aH против альтернативы 0:
1
≠aH .
Критерий 2 – критерий Хауcмана (Hausman)
Проверяемая гипотеза:
()
0:
0
=
ii
xEH
α
, альтернативная гипотеза:
()
0:
1
≠
ii
xEH
α
.
Идея этого критерия основывается на следующих фактах:
Панельные данные
267
• При гипотезе
0
H и оценка
GLS
β
ˆ
, соответствующая RE-
модели, и оценка
CV
β
ˆ
, соответствующая FE-модели, –
состоятельны.
• При гипотезе
1
H оценка
GLS
β
ˆ
несостоятельна, а оценка
CV
β
ˆ
состоятельна.
Соответственно, если гипотеза
0
H верна, то между оценками
GLS
β
ˆ
и
CV
β
ˆ
не должно наблюдаться систематического расхождения, и эта
гипотеза должна отвергаться при “слишком больших” по
абсолютной величине значениях разности
GLSCV
ββ
ˆˆ
− (больших в
сравнении со стандартной ошибкой этой разности).
Пусть
GLSCV
q
ββ
ˆˆ
ˆ
−= ; тогда из общей формулы для дисперсии
суммы двух случайных величин следует, что
()
(
)
()( ) ( )
.
ˆ
,
ˆ
2
ˆˆ
ˆˆ
ˆ
GLSCVGLSCV
GLSCV
CovDD
DqD
ββββ
ββ
−+=
=−=
Если выполняются предположения стандартной RE-модели, то как
было указано выше,
GLS
β
ˆ
является эффективной оценкой, а
CV
β
ˆ
–
неэффективной оценкой. Хаусман показал, что эффективная оценка
не коррелирована с разностью ее и неэффективной оценки, так что
если гипотеза
0
H верна, то
(
)
(
)
(
)
,0
ˆ
,
ˆˆˆˆ
,
ˆ
=−=−
CVGLSGLSCVGLSGLS
CovDCov
ββββββ
(
)
(
)
,
ˆˆ
,
ˆ
GLSCVGLS
DCov
βββ
=
и
()
(
)
(
)
GLSCV
DDqD
ββ
ˆˆ
ˆ
−= .
Как уже говорилось выше,
()
() ()
∑∑ ∑
== =
−Ψ+−
=
N
i
T
t
N
i
iiit
u
GLS
xxxx
D
11 1
22
2
ˆ
σ
β
,
Глава 3
268
()
()
∑∑
==
−
=
N
i
T
t
iit
u
CV
xx
D
11
2
2
ˆ
σ
β
.
Заменяя в этих выражениях неизвестные параметры их
состоятельными оценками, указанными ранее, получаем
состоятельную оценку
()
qD
ˆ
ˆ
для
()
qD
ˆ
.
Статистика критерия Хаусмана
()
qD
q
m
ˆ
ˆ
ˆ
2
=
имеет при гипотезе
0
H асимптотическое (N → ∞) распределение
()
1
2
χ
.
Для
K
регрессоров при гипотезе
0
H статистика
()
qqvoCqm
T
ˆ
]
ˆˆ
[
ˆ
1−
=
имеет асимптотическое распределение
()
K
2
χ
.
Численно идентичный критерий для проверки гипотезы
0
H
получается с использованием расширенной модели регрессии
()
itiititit
xxxy
εγβ
+−+=
∗∗
,
где
iitit
yyy
θ
−=
∗
,
iitit
xxx
θ
−=
∗
,
22
2
11
α
σσ
σ
θ
T
u
u
+
−=−=
Ψ .
Гипотеза
0
H означает в этой регрессии, что 0=
γ
. Можно
показать, что здесь
bOLS
ββ
ˆˆ
= ,
bCVOLS
ββγ
ˆˆ
ˆ
−= .
Гипотезу
0
H можно также проверить, используя любую из
следующих разностей:
Панельные данные
269
CVGLS
q
ββ
ˆˆ
ˆ
1
−= ,
bGLS
q
ββ
ˆˆ
ˆ
2
−= ,
bCV
q
ββ
ˆˆ
ˆ
3
−= ,
OLSGLS
q
ββ
ˆˆ
ˆ
4
−= .
Это вытекает из соотношения
()
CVbGLS
ww
βββ
ˆ
1
ˆˆ
−+= .
З а м е ч а н и е
Все входящие в эти разности оценки параметра
β
состоятельны при гипотезе
0
H ; поэтому все эти разности должны
сходиться при гипотезе
0
H к нулю.
П р и м е р (продолжение примера с тремя предприятиями)
Применим критерий Хаусмана.
Coefficients
(b) fix (B) (b-B) S.E.
x 1.102192 1.058959 .0432328
Здесь b =
CV
β
ˆ
, B =
GLS
β
ˆ
, (b-B) =
GLSCV
q
ββ
ˆˆ
ˆ
−= .
Cтатистика критерия Хаусмана равна
chi2(1) = (b-B)'[(V_b-V_B)^(-1)](b-B) =-2.15,
где V_b и V_B – состоятельные оценки дисперсий оценок
CV
β
ˆ
и
GLS
β
ˆ
, соответственно. Поскольку значение этой статистики
оказалось отрицательным, критерий Хаусмана применить не
удается.
П р и м е р (объяснение размеров заработной платы)
Статистические данные (из National Longitudinal Survey, Youth
Sample, США) содержат сведения о 545 полностью занятых
мужчинах, окончивших школу до 1980 г. и наблюдавшихся в
Глава 3
270
течение 1980–1987 гг. В 1980 г. эти мужчины имели возраст в
пределах от 17 до 23 лет и включились в рынок труда совсем
недавно, так что на начало периода их трудовой стаж составлял в
среднем около 3 лет. Логарифмы заработной платы объясняются
здесь длительностью школьного обучения, трудовым стажем и его
квадратом, а также дамми-переменными, указывающими
на
членство в профсоюзе, работу в государственном секторе, семейный
статус (состоит ли в браке), а также на цвет кожи (чернокожий или
нет) и испаноязычность.
Результаты оценивания:
Оценка
Переменная
Between FE OLS RE
Const 0.490
(0.221)
_ -0.034
(0.065)
-0.104
(0.111)
scooling 0.095
(0.011)
_ 0.099
(0.005)
0.101
(0.009)
experience -0.050
(0.050)
0.116
(0.008)
0.089
(0.010)
0.112
(0.008)
experience
2
0.005
(0.003)
-0.0043
(0.0006)
-0.0028
(0.0007)
-0.0041
(0.0006)
Uniоn member 0.274
(0.047)
0.081
(0.019)
0.180
(0.017)
0.106
(0.018)
married 0.145
0.041
0.045
(0.018)
0.108
(0.016)
0.063
(0.017)
black -0.139
(0.049)
_ -0.144
(0.024)
-0.144
(0.048)
hispanic 0.005
(0.043)
_ 0.016
(0.021)
0.020
(0.043)
Public sector -0.056
(0.109)
0.035
(0.039)
0.004
(0.037)
0.030
(0.036)
Within R
2
Between R
2
Overall R
2
0.0470
0.2196
0.1371
0.1782
0.0006
0.0642
0.1679
0.2027
0.1866
0.1776
0.1835
0.1808