Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы
Подождите немного. Документ загружается.
Структурные и приведенные формы…
351
+++=
−
∗
−
∗
1,2121,111212 1 tttt
yyyy ∆∆∆∆
γγϕ
(
)
(
)
,
11,2221,112121,2211,11111 ttttt
yyayya
ζββββ
+++++
−−−−
∆∆∆∆
+++=
−
∗
−
∗
1,2221,121121 2 tttt
yyyy ∆∆∆∆
γγϕ
(
)
(
)
,
21,2221,112221,2211,11121 ttttt
yyayya
ζββββ
+++++
−−−−
∆∆∆∆
Обозначая
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
2221
1211
ββ
ββ
β
,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
∗∗
∗∗
∗
2221
1211
1
γγ
γγ
Γ ,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
2221
1211
aa
aa
a
,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
1
1
21
12
ϕ
ϕ
Φ ,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
t
t
t
2
1
ζ
ζ
ζ
,
получаем для этой структурной ECM компактное выражение:
tt
T
tt
yayy
ζβ
++=
−−
∗
111
∆ΓΦ∆ .
Умножая обе части последнего выражения слева на матрицу
1−
Φ ,
находим приведенную форму ECM:
tt
T
tt
yyy
εαβ
++=
−− 111
∆Γ∆ ,
где
tt
a
ζεα
11
1
1
1
,,
−−∗−
=== ΦΦΓΦΓ .
Но
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
−
1
1
1
1
21
12
2112
1
ϕ
ϕ
ϕϕ
Φ ,
так что, обозначая,
2112
1
ϕϕδ
−= , получаем:
(
)
,
21121111
δγϕγγ
∗∗
+=
(
)
,
22121212
δγϕγγ
∗∗
+=
(
)
,
11212121
δγϕγγ
∗∗
+=
(
)
,
12212222
δγϕγγ
∗∗
+=
Глава 4
352
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
2221
1211
21
12
1
1
1
aa
aa
ϕ
ϕ
δ
α
,
()
,
21121111
δϕα
aa +=
()
,
22121212
δϕα
aa +=
()
,
11212121
δϕα
aa +=
()
.
11212222
δϕα
aa +=
Рассматриваемая структурная ECM не имеет ограничений в том
смысле, что в ней не приравниваются нулю:
• никакие внедиагональные элементы матрицы
1−
Φ ;
• никакие элементы матрицы
∗
1
Γ ;
• никакие элементы вектора
a ;
• никакие элементы вектора
.
β
В конкретных же примерах некоторые из перечисленных элементов
зануляются. Например, если
t
y
1
,
t
y
2
~ I(1) и коинтегрированы, то
коинтегрирующий вектор единствен. Если это вектор
()
T
2111
,
ββ
, то
тогда можно положить
,0
2212
==
ββ
,0
2212
==
αα
что уменьшает
количество неизвестных коэффициентов.
В общем случае структурная ECM имеет вид:
tt
T
ptptt
yayyy
ζβ
++++=
−−
∗
−
∗
111
∆Γ∆ΓΦ∆ K ,
где
Φ – недиагональная невырожденная квадратная матрица размера
NN × . Умножая здесь обе части уравнения на
1−
Φ , мы приходим к
приведенной форме ECM:
tt
T
ptptt
yyyy
εαβ
++++=
−−− 111
∆Γ∆Γ∆ K ,
где
ttjj
a
ζεα
111
,,
−−∗−
=== ΦΦΓΦΓ .
В этих двух формах общим является только
1−t
T
y
β
, т.е.
долговременное соотношение, тогда как коэффициенты адаптации
(в приведенной форме ECM) являются функциями от
коэффициентов структурной ECM:
.
1
a
−
= Φ
α
Последнее приводит к
тому, что отсутствие некоторой корректирующей составляющей в
одном из уравнений SECM отнюдь не означает, что эта
Структурные и приведенные формы…
353
составляющая будет отсутствовать и в соответствующем уравнении
приведенной ECM. Соответственно, коррекция ошибок в одном
уравнении SECM может распространяться и на все остальные
уравнения приведенной ECM.
При рассмотрении вопроса об идентифицируемости параметров
структурной ECM естественно выделить отдельно идентификацию
коинтегрирующих векторов и идентификацию коэффициентов,
связанных с динамической адаптацией, т.е. элементов матриц
a
p
,,,,
1
∗∗
ΓΓΦ K . Поскольку коинтегрирующие соотношения в
структурной и приведенной ECM одни и те же, можно использовать
результаты, касающиеся идентифицируемости коинтегрирующих
векторов в приведенной ECM.
Вопрос об идентификации коинтегрирующих векторов
естественно возникает при наличии двух и более коинтегрирующих
векторов и связан с возможностью различения таких векторов. В
процедуре Йохансена, реализованной в пакете EVIEWS, такое
различение производится
исходя из того, что если ранг
коинтеграции равен
Nr <<1 , то тогда существует rN −
некоинтегрированных между собой (в совокупности) переменных –
“общих трендов” (common trends), таких, что добавление к этой
совокупности любой из оставшихся
r
переменных приводит к
коинтегрированности пополненного множества из
1+− rN
переменных. Это означает, что в качестве линейно независимых
коинтегрирующих векторов можно взять любой набор из
r
векторов вида
Глава 4
354
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
k
r
1
1,1
11
0
0
β
β
β
M
M
, .
0
0
,,0
0
1,
2
1,2
22
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
kr
rr
rr
k
r
β
β
β
β
β
β
M
M
K
M
M
Конечно, при этом предполагается, что переменные занумерованы
так, что “общие тренды” соответствуют переменным с номерами
.,,1 Nr K+ Выделение из этого множества возможных наборов
единственного набора производится в EVIEWS нормализацией
каждого из этих векторов, так что
j
-й вектор нормализуется
делением всех его элементов на
jj
β
, вследствие чего получаем
набор из
r
векторов:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∗
∗
+
N
r
1
1,1
0
0
1
β
β
M
M
, .
1
0
0
,,0
1
0
,
1,
2
1,2
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∗
∗
+
∗
∗
+
Nr
rr
N
r
β
β
β
β
M
M
K
M
M
Такой набор образует базис
r
-мерного линейного пространства
коинтегрирующих векторов при ранге коинтеграции
r
.
Проблема, однако, в том, что с точки зрения экономической
теории нас могут интересовать коинтегрирующие векторы и какого-
то другого вида (являющиеся, конечно, линейными комбинациями
векторов, принадлежащих базису). При этом на соответствующие
коинтегрирующие векторы накладываются определенные
ограничения, вытекающие из экономической теории: невхождение в
Структурные и приведенные формы…
355
коинтегрирующую линейную комбинацию тех или иных
переменных, равенство некоторых компонент коинтегрирующего
вектора или наличие у них противоположных знаков при
одинаковой абсолютной величине и т.п. В такой ситуации возникает
вопрос о необходимости и достаточности множества
накладываемых ограничений для идентификации, т.е. различения
коинтегрирующих векторов.
Обычно ограничиваются рассмотрением линейных ограничений,
в том
числе исключающих появление отдельных переменных в
коинтегрирующей линейной комбинации. При этом ограничения
могут быть представлены как в явной, так и в неявной форме. Если
векторы уже нормализованы, то тогда необходимым условием
идентифицируемости
r
коинтегрирующих векторов является
наложение на каждый из
r
векторов не менее 1−
r
линейных
ограничений. Об этом условии говорят как о порядковом условии
идентифицируемости.
Порядковое условие, вообще говоря, не является достаточным
для идентифицируемости, поскольку при его выполнении
полученные
r
векторов могут все же оказаться линейно
зависимыми, так что, скажем, вектор
1
β
нельзя отличить от
некоторой линейной комбинации векторов
.,,
2 r
ββ
K Поэтому, в
принципе, следует производить еще и проверку линейной
независимости полученных
r
векторов. Для этого можно
воспользоваться достаточными условиями идентифицируемости,
формулируемыми в терминах матриц, участвующих в
формировании явной и неявной форм линейных ограничений.
Если на
i -й коинтегрирующий вектор накладывается
i
r
линейных ограничений, то их можно записать в двух формах: явной
и неявной. Под неявной формой понимается представление этих
ограничений в виде:
,0=
ii
R
β
где
i
R – матрица размера Nr
i
× ранга
i
r . Ту же самую совокупность
ограничений можно представить в явной форме в виде:
Глава 4
356
,
iii
H
ϑβ
=
где
i
H – матрица размера
()
i
rNN −× ранга
i
rN − ,
i
ϑ
– вектор
размера
()
.1×−
i
rN При этом выполняется соотношение
,0=
ii
HR
т.е. строки матрицы
i
R ортогональны столбцам матрицы
i
H .
Поясним это на примере модели IS/LM, связывающей следующие
макроэкономические параметры:
,ln
tt
Mm = где
t
M – номинальная денежная масса,
,
tt
GDPinc = где
t
GDP – реальный валовый внутренний продукт,
,ln
tt
Pp = где
t
P – дефлятор ,GDP
s
t
r – краткосрочная процентная ставка,
b
t
r – долгосрочная процентная ставка.
Пусть все эти ряды интегрированные порядка 1, ранг коинтеграции
этих временных рядов равен
3=r и в коинтеграционное
соотношение приходится включать еще и временной тренд
t . Тогда
речь идет об идентификации трех коинтегрирующих векторов
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
61
51
41
31
21
11
1
β
β
β
β
β
β
β
,
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
62
52
42
32
22
12
2
β
β
β
β
β
β
β
,
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
63
53
43
33
23
13
3
β
β
β
β
β
β
β
,
обеспечивающих стационарность линейных комбинаций
,
6151413121111
trrpincmz
b
t
s
ttttt
ββββββ
+++++=
,
6252423222122
trrpincmz
b
t
s
ttttt
ββββββ
+++++=
.
6353433323133
trrpincmz
b
t
s
ttttt
ββββββ
+++++=
Ограничения на коэффициенты этих векторов могут быть получены,
например, из следующих соображений.
Структурные и приведенные формы…
357
Если спрос на реальные деньги рассматривается как функция от
реального дохода, краткосрочной ставки и тренда, т.е.
(
)
trincfpm
s
tttt
,,
1
=− , то это подразумевает наличие долгосрочной
связи между переменными
,
tt
pm −
t
inc ,
s
t
r , t без включения в нее
переменной
b
t
r , так что стационарной является линейная
комбинация
.
61411121111
trpincmz
s
ttttt
βββββ
++−+= Ограничения на
вектор
1
β
принимают вид:
1131
ββ
−= , .0
51
=
β
Эти ограничения
можно записать в виде
0
11
=
β
R (неявная форма), где
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
010000
000101
1
R
,
или в виде
,
111
ϑβ
H= где
,,
1000
0000
0100
0001
0010
0001
41
31
21
11
11
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
H
так что .
0
41
31
11
21
11
1
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
β
Нетрудно проверить, что
.0
11
=HR
Если дифференциал процентных ставок
b
t
s
t
rr − определяется
через остальные переменные без включения тренда, т.е.
()
ttt
b
t
s
t
pincmfrr ,,
1
=− , то это подразумевает наличие
долговременной связи между переменными
b
t
s
t
rr − ,
t
m ,
t
inc ,
t
p без
включения в нее переменной
t , так что стационарной является
линейная комбинация
.
42423222122
b
t
s
ttttt
rrpincmz
βββββ
−+++=
Ограничения на вектор
2
β
принимают вид:
4252
ββ
−= , .0
62
=
β
Эти
ограничения можно записать в виде
0
22
=
β
R (неявная форма), где
Глава 4
358
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
100000
011000
2
R
,
или в виде
,
222
ϑβ
H= где
,
0000
1000
1000
0100
0010
0001
2
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=H
,
42
32
22
12
2
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
так что
.
0
42
42
32
22
12
2
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
β
Наконец, если долгосрочная процентная ставка
b
t
r определяется
как функция только от
,
t
m
t
p и t , то это подразумевает наличие
долговременной связи между переменными
b
t
r , ,
t
m
t
p и t без
включения в нее переменных
t
inc и
s
t
r , так что стационарной
является линейная комбинация
.
635333133
trpmz
b
tttt
ββββ
+++=
Ограничения на вектор
3
β
принимают вид: ,0
23
=
β
.0
43
=
β
Эти
ограничения можно записать в виде
0
33
=
β
R (неявная форма), где
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
001000
000010
3
R
,
или в виде
,
333
ϑβ
H= где
,
1000
0100
0000
0010
0000
0001
3
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=H
,
43
33
23
13
3
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
так что .
0
0
43
33
23
13
3
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
β
Структурные и приведенные формы…
359
Необходимое и достаточное условие идентифицируемости
Nr <<1 коинтегрирующих векторов имеет в общем случае
довольно сложный вид. Однако при
3,2=r оно достаточно просто
для проверки (см., например, [Patterson (2000)]).
При
2=
r
коинтегрирующие векторы
1
β
,
2
β
идентифицируемы
тогда и только тогда, когда выполняются соотношения:
()
1rank
21
≥HR ,
()
1rank
12
≥HR .
При
3=r коинтегрирующие векторы
1
β
,
2
β
,
3
β
идентифицируемы
тогда и только тогда, когда выполняются соотношения:
(
)
,1rank ≥
ji
HR ,
j
i ≠ ,3,2,1, =ji (6 соотношений)
[]
()
,2,rank
321
≥HHR
[]
()
,2,rank
312
≥HHR
[]
()
.2,rank
213
≥HHR
Проверим выполнение этого условия в только что
рассмотренном примере, где
.3=r Имеем:
,
1000
0101
21
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=HR
,
0100
0101
31
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=HR
,
1000
0100
12
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=HR
,
1000
0100
32
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=HR
,
0100
0010
13
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=HR
.
1000
0010
23
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=HR
Все 6 матриц имеют ранг 2>1, так что первая группа условий
выполняется. Далее,
Глава 4
360
[]
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
10000000
01001000
00001000
00100100
00000010
00010001
010000
000101
,
321
HHR
,
01001000
00110101
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
[]
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
10001000
01000000
00000100
00100001
00000010
00010001
100000
011000
,
312
HHR
,
10001000
01000100
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
[]
=
213
, HHR
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
00001000
10000000
10000100
01000001
00100010
00010001
001000
000010
.
10000100
00100010
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=