Пеллинен Л.П. Высшая геодезия (Теоретическая геодезия)

Подождите немного. Документ загружается.

тт

дин

— -

Замечательно,

что

этот результат

не

зависит

от

выбора трассы

нивелирования.

При

перемене знака

он

соответствует работе,

которая должна быть проделана

по

перемещению единичной массы

из точки

О в

точку

М в

поле действия силы тяжести. Разность

J gdh =

-W

(III.5)

ом

получила название геопотенциальной величины.

Она входит составным членом

определение высоты

любой сис-

теме, дающей однозначный результат. Непосредственно прира-

щения геопотенциальных величин используют иногда

при

уравни-

вании полигонов геометрического нивелирования, поскольку тео-

ретически сумма этих приращений

замкнутом полигоне равна

нулю.

Однако

при

практическом использовании результатов

нивелирования следует иметь величины, имеющие размерность

длины

сравнительно близкие

измеренным высотам. Такими

величинами являются динамические высоты, полу-

чаемые путем деления геопотенциальных величин

на

некоторое

постоянное значение силы тяжести

J gdh. . (ш.б)

ом

Динамические высоты,

как и

геопотенциальные величины,

постоянны

во

всех пунктах, находящихся

на

одной уровенной

поверхности (например

на

берегу одного водоема),

и тем

самым

отвечают условию

5) в § 12. В

пределах небольшого участка легко

подобрать значение

достаточно близкое

реальным значениям

и тем

самым удовлетворить условие

3) § 12,

однако

увеличе-

нием протяженности участка

или при

больших перепадах высот

такая задача становится трудной.

Чтобы показать

это,

представим формулу

(III.6)

виде

дин

dh+i

[{g-y)dh

= h +

(IH.7J

ом

Для очень больших территорий обычно принимают

у =

°.

Из формулы

(L24)

нетрудно убедиться,

что при

отличии широт

точек трассы нивелирования

от 45°

более

чем на 12°

разности

g —

—

745°

превысят

1000

мгал только

за

счет нормального изменения

силы тяжести

широтой.

Так как

аномалии силы тяжести всегда

много меньше

1000

мгал,

то при

оценке порядка 6/&

дин

можно

по-

ложить

g = 7.

Пусть линия

ОМ

проходит

по

параллели

широ-

той

В.

Тогда

учетом формул

(1.23)

(1.24)

будем иметь

45>

ом ом

pfe

cos 2В h

2 R '

(III.8)

При высоте h

= 2 км поправка вблизи экватора достигает

—6,0 м, на широте 45°

—0,65

м, а вблизи полюса доходит до

+4,7 м! Результат не зависит от длины линии ОМ. При прохо-

ждении линии по произвольному направлению порядок поправки

останется прежним. Таким образом, поправки в измеренные

высоты в системе динамических высот могут достигать огромных

величин и будут заметны при обработке данных нивелирования

любого класса. Из формулы

(III.1)

вытекает, что те же поправки

с противоположным знаком войдут в величины £

— £

. Порядок

поправок будет соизмерим с основным членом, так что и при реше-

нии задач по определению фигуры Земли динамические высоты

явно непригодны. По указанным причинам динамические высоты

не нашли применения.

14. ОРТОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЫСОТЫ И ВЫСОТЫ ГЕОИДА

Ортометрическими высотами называют вы-

соты точек физической поверхности над поверхностью геоида

(см. § 1), отложенные по силовым линиям поля силы тяжести.

На рис. 22 ортометрическая высота пункта М равна отрезку СМ.

Учитывая независимость приращений потенциала силы тяжести

от пути интегрирования и пользуясь формулой

(III.5),

можем

записать в обозначениях рис. 22

= J gdh--=W

-W

=--

gdh

+ j gdh.

ом ос

Первый интеграл правой части равен нулю, так как обе точки

С и О лежат на геоиде. Второй интеграл представим в виде

J gdh=r.g

rnM

opT1

см

где gmM среднее интегральное значение силы тяжести вдоль сило-

вой линии СМ. Отсюда получаем

(

gdh

—

0<м

—

орт

— — •

8тМ

&тМ

Так как непосредственных измерений силы тяжести вдоль

линии СМ внутри земной коры мы не имеем, то величина g

может быть рассчитана при некоторых в значительной мере про-

извольных предположениях о распределении силы тяжести или

плотностей в теле Земли (именно к поиску таких правдоподобных

предположений сводились в прошлом искания геодезистов).

Из-за этого геометрически ясное понятие ортометрической высоты

на

сахмом деле оказывается строго нереализуемым (иначе говоря,

не выполняется условие 2) § 12).

(Ш 9)

Как следует

из

формулы

(1.37),

при

переходе

от

величин

Д£

приращениям высот геоида должна быть введена поправка,

равная

по

величине

обратная

по

знаку поправке

за

переход

от приращений наблюденных высот

приращениям ортометри-

ческих высот. Поэтому

в той же

мере, насколько неопределенны

ортометрические высоты, содержится неопределенность

и в

высо-

тах геоида

над

референц-эллипсоидом.

15.

НОРМАЛЬНЫЕ ВЫСОТЫ

АНОМАЛИИ ВЫСОТ

(ВЫСОТЫ КВАЗИГЕОИДА)

Основы теории

Как видно

из

предыдущего изложения, традиционные системы

ортометрических

динамических высот, разработанные

еще

в прошлом веке,

по

разным причинам

не

удовлетворяли геодези-

стов

стала актуальной задача поиска более подходящей системы

высот. Такая система была разработана

в 40-е

годы

М. С.

Моло-

денским

как

составная часть созданной

им

строгой теории опреде-

ления фигуры Земли

и ее

внешнего гравитационного поля

по

изме-

рениям, выполненным

на

физической поверхности.

Как показано

в § 13, при

совместном использовании данных

геометрического нивелирования

измерений силы тяжести

по

линии нивелирования можно вполне однозначно

без

привлечения

каких-либо гипотез

внутреннем строении Земли найти геопотен-

циальные величины

С в

точках нивелирования.

Рассмотрим идеальный случай, когда реальное гравитацион-

ное поле совпадает

некоторым нормальным полем. Пусть

при

этом через нуль-пункт нивелирования проходит уровенная

по-

верхность нормального потенциала силы тяжести

U — U

const,

совпадающая

уровенным эллипсоидом. Тогда текущей

точке нивелирования

будет соответствовать нормальный потен-

циал силы тяжести, равный

-C

. (111.10)

Введем понятие нормальной высоты точки

М,

наз-

вав

так

отрезок силовой линии, проходящей через

М в

поле нор-

мального потенциала силы тяжести, между уровенными поверх-

ностями

U~U

и=и

-с

Эту высоту найдем, повторив

нормальном поле вывод фор-

мулы

(III.9)

§ 14.

Будем иметь

(111.11)

где у

тМ

— среднее значение нормальной силы тяжести на указан-

ном отрезке силовой линии нормального поля.

Если принять уровенный эллипсоид U = U

за отсчетный,

то при сделанных допущениях нормальные высоты совпадут с гео-

дезическими Н в системе координат, связанной с этим эллип-

соидом.

U'-Uo

Эллипсоид

Фактически ни одно из

сделанных предположений

в общем случае не соблю-

дается, так что IP Ф Н. Од-

нако и в этом случае при раз-

делении геодезической вы-

соты Н на гипсометрическую

и геоидальную части нор-

мальную высоту выгодно при-

Море

—

нять за первую из них, так что ' ^

Н = Ю + 1 <Ш.12)

Рис. 23

где С — аномалия вы-

соты.

Величины Я

и С Для точки М физической поверхности пока-

заны на рис. 23, на котором Мт

— силовая линия нормального

поля. Нормальная высота равна расстоянию М

между точками

этой линии, лежащими на уровенных поверхностях U = U

и U = U

—- См- Аномалия высоты С равна отрезку М

М. С уче-

том

(III.5)

формулу для нормальной высоты в реальном гравита-

ционном поле запишем как

у -

УтМ УтМ

УтМ

(111.13)

Дадим вывод формулы аномалии высоты £. С достаточной точ-

ностью можно записать

Но (^)

—

— нормальному значению силы тяжести

в Д/

. Отсюда

Ум-Ум

Ум

Учитывая, что U

„ — U

— См, где

-W

окончательно находим

= — -

°~

° , '

(III.14)

где

= (WM — ^м) —

возмущающий потенциал, который сог-

ласно теории Молоденского однозначно определяется

по

измере-

ниям силы тяжести

на

физической поверхности Земли.

Геометрическим местом точек вида

является поверхность,

которую называют Землей первого приближения

или т е л л у -

о и д о м.

Напомним,

что

именно

к ней

относятся значения

при вычислении смешанных аномалий силы тяжести

g — у,

используемых'

теории фигуры Земли.

Возможна несколько иная интерпретация аномалий высот

£,

если отложить нормальную высоту

по

силовой линии вниз

от точки

М, так что в

этом случае

равно

тт

Геометрическим

местом точек типа

будет поверхность, довольно близкая

гео-

иду, которая получила название квазигеоида. Соответст-

венно величины

могут быть названы высотами квази-

геоида.

Это

название

мы

будем использовать

дальнейшем.

Высоту квазигеоида

6£ над

геоидом нетрудно оценить, образо-

вав разность ортометрических [формула

(II

1.9)] и

нормальных

[формула (III.13)] высот. Будем иметь

gm-Vm

ffV^_(g-V)mM

(HI.15)

gm gm

Величина

(g — у)

представляет собой среднее значение

по

отрезку

аномалии Прея, которая

точке физической

поверхности Земли

равна аномалии

свободном воздухе

Agu,

текущих точках

отрезка

приблизительно выражается

формулой

([61] § 39)

Т)п

ей

= Ag

- 2к (HI - Щ) + Ag

, -

, (111.16)

где

Hj —-

нормальная высота текущей точки,

к —

коэффициент

редукции Буге,

p м

и Ag

p t

—

поправки

за

рельеф

(за

отклоне-

ние физической поверхности

от

уровенной, проходящей через

М)

в точках

Миг.

Если пренебречь влиянием двух последних второстепенных

членов,

то в

среднем

по

отрезку

имеем

(g-y^kgM-kHlt,

что равно аномалии Буге

точке физической поверхности

Земли.

Таким образом,

на

морях

океанах квазигеоид совпадает

с геоидом, поскольку

О, а на

суше

их

расхождения имеют

порядок

[121,

раздел

8—13]

6£~-_^5_#

. (IIT.17)

Поскольку аномалии Буге преимущественно имеют знак ми-

нус,

поверхность квазигеоида обычно располагается выше по-

верхности геоида. В равнинных и всхолмленных районах Н

<2 500 м. Полагая Л#

50 мгал, имеем 6£ < 2,5 см. Наи-

более значительны расхождения на высокогорных плато, где

при высотах порядка 5 км возможны аномалии Буге около

—400

мгал, так что 6£ ~ 2 м. Следует отметить, что изменение g

носит менее правильный характер, чем у

. Из-за этого'колебания

ортометрических высот вдоль берегов высокогорных озер могут

достигать многих дециметров, в то время как при определении

нормальных высот имеется лишь широтное их изменение. Напри-

мер,

для озера Байкал оно составляет 165 мм, а обычно меньше

100 мм [20]. Поправки за переход от измеренных высот к нормаль-

ным в десятки раз меньше, чем к динамическим.

При всех практических выгодах главным преимуществом

нормальных высот является то, что они соответствуют такому

разделению геодезической высоты на гипсометрическую и гео-

идальную части, при котором каждая из частей может быть одно-

значно и строго определена по измерениям на физической поверх-

ности Земли. Бесспорные преимущества системы нормальных

высот привели к' тому, что она нашла всеобщее применение сна-

чала в СССР, а затем и во многих других странах.

В заключение отметим, что разделение геодезической высоты

на нормальную высоту и высоту квазигеоида целесообразно и

в том случае, когда отсчетная поверхность —- референц-эллипсоид

не является уровенной поверхностью нормального поля. Высоты

квазигеоида, обозначаемые в этом случае символом £, при исполь-

зовании астрономо-геодезических данных получают по второй

из формул

(1.39)

§ 3. Не возникает сколько-нибудь существенных

поправок из-за того, что геодезические высоты откладывают не

по силовым линиям нормального поля, как в развитой в этом

параграфе теории, а по нормалям к референц-эллипсоиду.

Техника вычисления нормальных высот

Как показано В. Ф. Еремеевым [19], , практически более

удобно вычислять не полные значения нормальных высот, а их

приращения. Для этого, исходя из формул

(111.13),

получим сле-

дующую дифференциальную формулу:

V* Ym Ym

Нами опущен индекс M, поскольку речь не идет о конкретной

точке вычислений. Представим, что

dC = gdh =

dh+(V-V

)dh

(g-y)dh.

3 Заказ 830 65

Тогда получим

dIP

= dh+

Ут

dh--^-dy

+-^-dh.

(IH.18)

Ут Лт

\т

Первый член является основным, а остальные — малыми по-

правками. В'дальнейшем в поправочных членах можно не раз-

личать Я

и А.

В формулу

(III.

18) по определению аномалии g — у вошла

величина у, относящаяся к точкам теллуроида, для которого

Н = Н

, и величина у

, равная по определению среднему интег-

ральному" значению у между отсчетным эллипсоидом и теллурои-

дом. С учетом формул (L23) и

(1.27)

представим

dH-^-dy

* * = -^dY

Ут Ут

Таким образом, окончательно получим дифференциальную

формулу [19]

dIP\=dh-^dy

+ -^- dh.

(111.19)

Второй член правой части представляет собой поправку за не-

параллельность уровенных поверхностей нормального поля, силы

тяжести, которая уже была рассмотрена в § 12, а третий — по-

правку за аномалии силы тяжести. Превышение по секции ниве-

лирования АВ будет равно

ABUB=

j dh +

= Ah

(111.20)

АВ

где

вА

лв

[h^L+[

Jtz?!*

(Ш.21)

' J

Лт

J Vm

АВ АВ

— поправка в измеренное превышение.

Оценим члены этой поправки. В пределах даже большого уча-

стка можно пренебречь изменением ^ и с учетом результатов,

полученных в § 12, положить

- f

iii^——

APsin2BdB

= 8A, .

Ут Ут J АВ

АВ В

Величина

8fc

при h = 2 км и dB = 0,01 в средних широтах

достигает 10 см. Этот член может быть всегда учтен практически

точно. Член, учитывающий аномалии силы тяжести, представим

как

6JL~

(g-VlcpA*

Ут

Полагая (g — v)

— 200 мгал; Aft — 1 км (такое превышение

в высокогорных районах может быть накоплено по секции

длиной в несколько десятков км), имеем 6ft

& 20 см.

В равнинных районах обе рассмотренные поправки для линий

нивелирования порядка 100 км обычно не превышают 1 см, при-

чем член SA

' является основным.

Найденные оценки показывают, что поправки 6ft необходимо

всегда учитывать при обработке нивелирования I и II классов,

а в горах — даже и III класса. Однако их достаточно получать

с точностью порядка миллиметра, т. е. с определением двух-трех

значащих цифр. С соответствующей точностью надо знать вели-

чину у

ту

входящую в поправки. Это позволяет принять для нее

постоянное значение не только в пределах секции нивелирования,

но и в целом для всей территории СССР. Так, «Инструкция по

вычислению нивелировок» [35] рекомендует значение у

980 000 мгал. В результате из

{III.20)

и (III.21) имеем рабочую

формулу

АНЪ

= Ah

- -JL 2 Л, А

То,

+ -^"2^-

y)i АЛ

* (

IIL22)

где h

и (g — у)

(

— средние высоты и аномалии в свободном

воздухе в пределах отдельных

секций порядка нескольких Км

с постоянным уклоном; Дуо

- и Aft, — приращения у

и ft в пре-

делах этих секций.

Если принять во внимание лишь первые два члена, то полу-

чим так называемые приближенные- высоты.

Необходимые аномалии в свободном воздухе получают либо

из обработки специальных измерений силы тяжести по трассе

нивелирования, либо (и чаще всего) по гравиметрическим картам.

В последнем случае, а иногда и в первом, с выгодой применяют

косвенную интерполяцию аномалий в свободном воздухе через

аномалии Буге Д#

, представляя,

g-V =

+kh>

(111.23)

где к =

0,0418

б мгал/м — соответствующий коэффициент ре-

дукции Буге,

6 — принятая плотность хорных пород в г/см

Наиболее часто встречаются следующие значения:

6 = 2,67 и А=»0

1117 мгал/м,

6 = 2,3 и к =

0,0962

мгал/м.

Аномалии Буге значительно более уверенно интерполируются

между гравиметрическими пунктами, нежели аномалии в свобод-

ном воздухе, и более интересны для геолого-геофизической инте -

претации. Поэтому в нашей стране и большей частью за рубе-

жом непосредственно по измерениям силы тяжести составляют

карты аномалий Буге, так что применение косвенной интерполяции

становится

не

только выгодной,

но и

попросту неизбежной опе-

рацией.

В горных районах редукция Буге является слишком прибли-

женным приемом учета влияния топографических масс. Поэтому

в таких районах вместо карт аномалий Буге обычно составляют

карты неполных топографических аномалий силы тяжести, кото-

рые связаны

аномалией Буге формулой

Ag"

= Ag

+ Ag

(И1.24)

где

—

поправка

за

рельеф

(за

отклонение высот физической

поверхности

от

высоты редуцируемого гравиметрического пункта),

достигающая иногда нескольких десятков мгал.

Следует заметить,

что

геологи

геофизики часто неполную

топографическую аномалию также называют аномалией Буге

(так обычно пишут

и на

гравиметрических картах).

этом случае

аномалию

Д#

называют иногда

отличие простой аномалией

Буге.

При наличии карт

Ag"

вместо (III.23) применяют более слож-

ную трехчленную формулу косвенной интерполяции

g-V

Ag*-A*

+ *A

_ (111.25)

для чего

по

трассе нивелирования дополнительно определяют

поправки

Agp

(детали вычисления

см. в

[35]).

Подставляя формулу (1П.23)

(III.21),

после интегрирования

находим

2 (g -

V)/

A*i

= (Й - hi) + J- ^

Afti,

(III..26)

При использовании (III.25) вместо члена

будем иметь

два аналогичных члена,

которые войдут

Л& и

(—Ag

Исходя

из

(III.21),

можно получить удобную формулу вычис-

ления теоретической невязки замкнутого полигона нивелирова-

ния

[19]. Так как

теоретическая невязка приращений нормаль-

ных высот равна нулю,

то для

измеренных высот

она

будет равна

поправке

Ыг по

замкнутому полигону

обратным знаком,

т. е.

ф dh - 6 — dY

- cf dh. (111.27)

Вычисление теоретической невязки проводится одновременно

с вычислением приращений нормальных высот.

16.

ТРЕБОВАНИЯ

ГРАВИМЕТРИЧЕСКОЙ СЪЕМКЕ,

СВЯЗАННЫЕ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКОЙ

НИВЕЛИРОВОК

Основная погрешность вычисления нормальных

(или

динами-

ческих) высот связана

получением членов, учитывающих ано-

малии силы тяжести

g — у. При

использовании косвенной

ин-

терполяции аномалий

свободном воздухе

эта

ошибка связана

If*

с вычислением интегралов

— \ Ag

dh или — \ &g"dh и

равна

J_ Ym J_

АВ

где

—

погрешность принятых значений аномалий Буге

или

неполных топографических.

Допустим,

что в

пределах секции нивелирования

АВ

уклон

трассы нивелирования постоянен

равен

tg р, что в

целом

не

является сильным ограничением. Тогда

можно заменить

dh = tg

ds;

*~^%&,

(Ш.28)

-ill- f

J8P

Ч"

АВ

f=l

где

- —

длина некоторого малого интервала

по

трассе нивели-

рования,

— их

число

секции

АВ,

—

погрешность принятой средней аномалии силы тяжести

в пределах интервала.

Для удобства примем,

что

интервалы

{

равны расстоянию

между гравиметрическими пунктами вдоль трассы,

так что в

пре-

делах каждого интервала находится

по

одному гравиметрическому

пункту.

достаточным приближением

таком случае величины

£g.

для

различных интервалов можно считать случайными

неза-

висимыми

равными ошибкам представительства аномалий силы

тяжести

гравиметрических пунктах

за

средние аномалии

по

интервалам. Возведя (ПГ.28)

квадрат, имеем

при

постоянных

длинах интервалов

Ytn

i=l

j=i+l

Переходя

математическим ожиданиям полученных произ-

ведений случайных величин

(III.29),

имеем

g—

где

—

средняя квадратическая погрешность представительства

аномалий силы тяжести,

—

средняя квадратическая погреш-

ность вычисления приращения нормальной высоты

по

секции

АВ.

Обозначив

= -^Vsm

(111.30)

= ns —

длина секции

АВ,