Пеллинен Л.П. Высшая геодезия (Теоретическая геодезия)

Подождите немного. Документ загружается.

Равенство

(11.29)

действительно

и при

значительной длине

звена

MN,

если

под 0

тп

понимать среднее интегральное значение

в пределах

MN.

Направление вектора

N'N

отклоняется

от

направления нор-

мали

эллипсоиду

в К

на

пренебрегаемый угол порядка поло-

вины уклонения отвеса,

так что в

последующих расчетах можно

считать

эти

направления совпадающими.

Аналогичным образом разности векторов

(АВ —

а'Ъ'),

(ВС —

—

Ь'с') и

другие могут быть также представлены

как

векторы,

равные

по

модулю приращениям высот квазигеоида, вычисленным

по смешанным уклонениям отвеса,

совпадающие

по

направлению

с нормалями

эллипсоиду

средних точках звеньев. Векторы

аА

и tT

равны

по

модулю высотам квазигеоида

и £

соответствен-

но

начальной

конечной точках ряда. Векторы

аа' и tt'

равны

по модулям полным погрешностям плановых координат

в тех же

точках, связанным

методом развертывания.

При

этом целесо-

образно каждую

из них

разделить

на

продольную составляющую

(вдоль ряда), соответственно Р

иР

поперечную составляющую,

соответственно

^ и С

учетом сказанного имеем

из

формулы

(11.28)

_ р

_ Q

A +

Д£

(И

.30)

где

под

знаком суммы стоят векторы приращений высот

£' по

отдельным звеньям ряда.

Спроектировав правую

левую части векторного равенства

(11.30) на

направления соответственно

, Р

и Q

получим

вы-

соту квазигеоида

продольную

поперечную погрешности пла-

новых координат

конечной точка ряда

cos(p

) + QA

COS

)-~

£АСОЗ(Л

Л>

) —

—

2Д£|С08(Л

, р

);

cos(p

qr) +

QACOs(q

)

—

cos(h

, q

) —

— ЦДйсов^,

);

£г

—

COS

, h

) — Q

cos (q

, h

) + £

cos (h

) +

2A£iCos(A

Через

p, g, h

обозначены направления осей горизонтальных

прямоугольных систем координат,

которых

ось h

направлена

по йорМаЯй

реферейЦ-эллийсбиду,

ось р

йараЛлеЯьйа

ПЛОСКОСТИ

нормального сечения,

котором находится замыкающая ряда,

ось q —

поперечному направлению. Индекс

приписан началь-

ной,

индекс

конечной точкам ряда. Индекс

относится

к се-

редине

i-ro

звена.

Рис. 20

Учитывая формулу

(11.29) и

переходя

от

конечных сумм

кри-

волинейным интегралам, можем записать

cos(p

PT)+QA

cos(g

, р

) — £

cos (h

, р

) +

-f

-1-

9 cos (/г, р

) ds;

(11.32)

= PA

COS

QT) + QA

COS

, q

) — £

cos (h

, q

) +

9 cos

(Л,

) ds;

—

COS

(PA,

AT)

— QA

COS

» *r) + SA

COS

, А

) —

—

-p- J 0 cos (A, A

) ds.

Отброшено обозначение индексом

текущей точки ряда.

Частный случай дуги большого круга

Представляет интерес простейший частный случай, когда

ряд

сферическом приближении совпадает

дугой большого

круга.

На рис. 20 в

касательной плоскости

ряду показаны

направления

р и А в

точках ряда.

Все

направления

параллельны

друг другу

перпендикулярны

плоскости чертежа. Учитывая

обозначения углов

на рис. 20,

имеем

(РА»

РТ) =

Ф>А>

^Т) = ^АТ\ \

(PA. AT)

90°-ФАТ?

(АА,

) = 90° +

ФАТ;

(А„ р

) = 90° +

ФАТ-Ф;

(Л

, АТ)

ФАТ

—Ф;

(?A»

РТ) =

(?А,

) = (p

, q

) =

, 9т) = (*Р

<7т)

= 90°;

(9А. ?Т)

= 0°.

= R йф;

*А

-£(*А-е

);

• .

^т

у-(*т-е

где

Д —-

радиус Земли.

Учитывая

все это, из

формулы (11.32) получаем

= -^г (#т

— 9т)

= t

sin

ФАТ

(*А

— 9А)

COS

ФАТ

Эти уравнения соответствуют оригинальному выводу Моло-

денского

[63,

69]. Молоденский представил также

их в

следующем

удобном

для

вычислений виде. Интегрируя

по

частям

учитывая,

что

dt>'lRdy$

— 9/р", имеем

= QA\

(11.34)

^АГ

J 6с08(ф

ФАТ)

йф = | £' cos (ф

—

АГ

) |А -

*АТ

[ в8Ш(я|)~фАг)^= -U' sill(l|)-l|)

)|I +

АТ

+ J £' cos —1|>AT)

Подставляя в первое и третье уравнения

(11.34),

находим

- 9

) = (£А ~ £А) sin Я|)АТ + -^г (#А — 9А)

COS

^АТ +

ФАТ

+ j

E'cos(\|>

—яр

т)*|>;

£>т

£>'т+

{IA — IA) COS -ФАТ — -рг C&A — ©A) sin

I|?AT

ФАТ

+ j

S'sin

(Ф

—

Я|?АТ)

dip.

(11.35)

Как и следовало ожидать, поправки за развертывание наи-

более велики, если высоты £' значительны и имеют один

знак вдоль ряда триангуляции. Это бывает при неудачном под-

боре параметров референц-эллипсоида и исходных геодезиче-

ских дат.

По оценкам, данным в работе [69], поправки за развертывание

при передаче координат по дуге параллели 52° 30' в пределах

СССР при использовании как поверхности относимости эллип-

соида Бесселя достигали величин, которые приведены в табл. 2.

Таблица 2

от Пулкова

*А-°А

от Пулкова

*А-°А

8°

50,7^

47,8

02,1

08,9

+0,02"

0,11

0,39

0,90

72°

50,9'

14,7

35,0

+1,88"

2,69

4,30

Полученным поправкам соответствуют линейные сдвиги в 12 м

для дуги

—40°,

58 м для дуги —73° и 133 м для дуги —100°. Полу-

ченные результаты указывают на весьма существенные искажения

АГС при использовании метода развертывания. Очень большие

поправки в высоты квазигеоида были вычислены по формулам

М. С. Молоденского Ирен Фишер [134]: они достигали для Афри-

канской и Южноамериканской дуг около 100 м.

$ 11. ОСОБЕННОСТИ РЁДУЦИРОЙАЙИЯ МЕСТНЫХ

ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ

В последние годы получают развитие небольшие по размерам

высокоточные геодезические сети, создаваемые для обоснования

топографо-геодезических работ в городах, обеспечения работ

по сооружению и эксплуатации крупных инженерно-технических

сооружений, изучения локальных движений земной коры на гео-

динамических полигонах и т. д. Часто такие сети обрабатывают

в местных системах координат, применяя метод проектирования.

Для этого необходимо четко определить элементы ориентирования

поверхности относимости — референц-эллипсоида, который всегда

с достаточной точностью может быть заменен отсчетной сферой.

Радиус этой сферы может быть принят равным среднему радиусу

кривизны RB принятого эллипсоида [формула (1.3) в § 2] для

некоторой широты в пределах сети.

Наиболее просто обстоит дело, когда на исходном пункте сети

О выполнены астрономические определения широты, долготы

и азимута и геодезические координаты приняты равными астро-

номическим, т. е.

В этом случае составляющие астрономо-геодезических уклоне-

ний отвеса g

» т]

ija пункте О равны нулю, а геодезический ази-

мут начального направления в соответствии с уравнением Лапласа

(II.8)

равен астрономическому

Остается задать геодезическую высоту Н

исходного пункта.

Представим ее в виде суммы нормальной высоты #J, за которую

часто принимают измеренную, и высоты квазигеоида £

- Пер-

вую из величин находят путем передачи высоты от имеющихся

в районе работ реперов нивелирования или от условного местного

нуля. Высоту квазигеоида £

целесообразно положить равной

нулю.

В результате будет задана система координат, которая

в принципе ничем не отличается от геодезических систем, рас-

смотренных в § 2. В ней также направление осей будет парал-

лельно направлению осей астрономической системы координат,

Ч которой выполнены астрономические определения на исходном

пункте сети.

Установив систему координат, необходимо далее определить

на пунктах сети астрономо-геодезические уклонения отвеса и вы-

соты квазигеоида. Различные способы решения этой задачи будут

нами рассмотрены в главе IV, однако есть один способ, эффектив-

ный при небольших размерах сети, на котором остановимся ниже.

(11.36)

Сравним формулы

(1.40) для

абсолютных (гравиметрических)

(1.20) для

астрономо-геодезических составляющих уклонений

отвеса

т]—

т]

= (£

—

L)cosB. J

Как видно, полученные расхождения зависят

от

разностей

геодезических координат

референцией

В, L и

общеземной

£, L

системах.

Эти

расхождения очень медленно меняются

и в

пределах

ограниченной сети практически постоянны. Более того,

нет

необ-

ходимости вычислять гравиметрические уклонения отвеса

инте-

грированием

по

всей поверхности Земли. Достаточно ограничиться

областью интегрирования сравнительно небольшого радиуса,

примерно

в 5—10 раз

большего радиуса области, покрытой гео-

дезической сетью, чтобы

во

всех

ее

пунктах можно было считать

постоянным влияние неучтенных дальних

зон на g и т).

Таким образом, можно считать,

что

найденные

по

гравиметри-

ческим данным

известным высотам пунктов сети величины

"| +

62? и ц с

точностью

до

постоянных поправок

, Дт]

равны иско-

мым составляющим астрономо-геодезических уклонений отвеса.

Указанные поправки легко найти

под

условием равенства нулю

составляющих уклонений отвеса

g о> Ло

исходном пункте

ЛЧ=-%.

Астрономо-геодезические высоты квазигеоида могут быть най-

дены после этого

из

астрономического нивелирования.

Часто геодезические сети сгущения вычисляют

прямоуголь-

ной системе координат, соответствующей проекции референц-

эллипсоида

на

плоскость. Координаты исходного пункта

и на-

чальный дирекционный угол принимают

по

имеющимся геодези-

ческим данным,

а не из

астрономических определений.

этом

случае

мы

будем иметь чисто геодезическое построение, ориенти-

ровка которого относительно экваториальной астрономической

системы координат неизвестна. Примем,

как и

раньше,

что

соста-

вляющие уклонения отвеса

о»

'По

исходном пункте равны нулю.

Тогда описанным выше путем

мы

сможем определить

их

значения

на всех других пунктах сети,

далее методом астрономического

нивелирования получить высоты квазигеоида

£.

Используя

эти

данные, возможно обработать местную геодезическую сеть мето-

дом проектирования.

Интерпретировать полученные результаты можно следующим

образом. Пусть нами выбран некоторый реферевц-эллипсоид.

По заданным данным

мы

можем рассчитать положение

на нем

точки

т,

являющейся проекцией

на

эллипсоид исходного пункта

сети М, и угол А

между меридианом точки т и проекцией тп

выбранного начального направления на эллипсоид. Положив

уклонение отвеса в исходном пункте равным нулю, мы распола-

гаем эллипсоид в пространстве таким образом, чтобы нормаль

к нему в точке т совпала с направлением отвесной линии в М

\ (рис. 21). Задав геодезическую

Z(полюс

Мара) ^

исходного пункта?

мы путем сдвига эллипсоида

вдоль нормали Mm полностью

фиксируем в пространстве по-

ложение точки тп. Остается одна

степень свободы — поворот эл-

липсоида вокруг Mm. Выпол-

няем его таким образом, чтобы

азимут начального направле-

ния MN после проектирования

на эллипсоид был равен зна-

чению А

Если ввести прямоугольную

систему координат Х

эл

, У

эл

, Z

3J1

связанную с референц-эллип-

соидом, то направление ее осей

совпадет с направлением осей

экваториальной астрономиче-

ской системы X, У, Z лишь

в уже рассмотренном частном

случае, когда геодезические координаты исходного пункта

азимут начального направления А

совпадут соответственно с астро-

номическими координатами ф

, %

и азимутом а

. Таким образом,

в общем случае оси принятой геодезической системы координат

будут повернуты относительно экваториальной астрономической

системы. Это не приведет к каким-либо затруднениям при обра-

ботке местной сети, но должно учитываться при ее сравнении

с астрономо-гёодезической сетью.

Величины уклонений отвеса в местных системах координат

при протяженности геодезических сетей до 30 км в равнинных

районах могут достигать 10". Высоты квазигеоида будут лежать

в пределах

0,5—1,0

м. При обычных для равнинных районов не-

больших углах наклона линий визирования можно не редуциро-

вать линейные и угловые измерения за высоты квазигеоида и укло-

нения отвеса и применять метод развертывания при обработке

сетей. Однако высоты квазигеоида могут понадобиться при стро-

гом вычислении координат в местной прямоугольной пространст-

венной системе. В горных районах величины уклонений отвеса

и требования к их точности сильно возрастают. При очень боль-

ших углах наклона целесообразно применять пространственные ме-

тоды обработки геодезических сетей, как уже отмечалось в §3и 9.

Рис.

ГЛАВА III

ТЕОРИЯ ВЫСОТ

§ 12. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СООБРАЖЕНИЯ О ВЫБОРЕ

СИСТЕМ ВЫСОТ

Требования к системам высот

В этой главе рассмотрим главным образом вопросы обработки

геометрического нивелирования. Из всех видов геодезических

измерений геометрическое нивелирование является наиболее точ-

ным. Поэтому при обработке его результатов и представлении их

в виде каталогов высот реперов приходится учитывать многие

особенности теории фигуры Земли, которые несущественны при

обработке других видов измерений. С большой тщательностью

должна быть определена система высот, в которой будут

представлены результаты нивелирования. Сформулируем основ-

ные требования к выбору такой системы.

Прежде всего должны выполняться два условия:

1) высоты пунктов должны быть однозначны независимо

от трассы нивелирования;

2) высоты должны определяться лишь по данным измерений

на физической поверхности Земли без привлечения каких-либо

гипотетических данных о ее внутреннем строении.

С практической точки зрения выгодно, чтобы соблюдалось

условие:

3) поправки в измеренные превышения за переход к принятой

системе высот должны быть достаточно малы, чтобы ими можно

было пренебречь при обработке нивелировок низших классов.

Из решения геометрической задачи определения геодезических

высот Н как суммы гипсометрической и геоидальной частей (см.

§ 3) вытекает пожелание:

4) принятой системе высот должен соответствовать достаточно

строгий и удобный способ определения геоидальной части геоде-

зической высоты Н.

В то же время нельзя забывать, что данные геометрического

нивелирования используются прежде всего для решения в сущ-

ности физической задачи — определения взаимного положения

физической поверхности Земли и уровенных поверхностей реаль-

ного поля силы тяжести. Именно это необходимо при любых

инженерно-геодезических изысканиях для строительства гидро-

технических сооружений, дорог и т. д. С точки зрения решения

этой физической задачи целесообразно выполнение пожелания:

5) высоты должны быть по возможности постоянными для то-

чек на одной уровенной поверхности.

Последнее требование находится в противоречии с 3), в резуль-

тате чего поиск наилучшей системы высот является своеоб-

разным компромиссом между различными требованиями к ней.

Полную ясность

теорию высот внесли работы

М. С.

Моло-

денского

[64]

В. Ф.

Еремеева

[19],

дальнейшем развитые

и обобщенные

в [24, 69].

Измеренные высоты

Начнем

рассмотрения измеренных высот, которые

непосредственно получают

по

результатам геометрического ниве-

лирования. Вернемся

формуле обобщенного астрономического

нивелирования

(1.37)

в § 3.

Если принять,

что

пункте совпадает

с нуль-пунктом нивелировок

О, то эта

формула примет

вид

Ям-Я

= *

+(1м-Со).

(IH.1)

где

/г

(III.2)

ом

— измеренная высота, получаемая путем интегрирования

измеренных превышений

dh; \

— £о —

геоида л ьная часть,

вы-

численная

по

формуле астрономического нивелирования

(1.38).

Рассмотрим возможности применения высот

(III.2),

Для

этого

предварительно оценим непараллельность уровенных поверхно-

стей поля силы тяжести. Наиболее просто

это

сделать

для

нормаль-

ного поля, исходя

из

результатов

в § 2. Из

формул

(1.28)—(1.31)

получим выражения

для

дифференциального изменения

широтой

высоты

уровенной поверхности

U =

const

над

уровенным эллип-

соидом

*В

- £ ф

ЛВ

- £

sin

2В

dB,

либо

=-M8BdB. (IH.3)

Интегрируя формулу (Ш.З), находим

ДЯ

4^(

cos2J?

cos25

-#psin2B

A£.

(

IIL4

)

Индексами

1 и 2

отмечены начальная

конечная точки линии

нивелирования.

Максимальные изменения высот будут

средних широтах

при наибольших значениях

й. Так, при В

ср

45°,

Н = 2 км

АВ = 0,01 (в

радианной мере),

что

соответствует расстоянию

по меридиану порядка

50 км,

имеем

АН

—10 см.

Такая величина

уже заметна

при

точном нивелировании.

Для

протяженной трассы

нивелирования при Я = 1 км, B

= 30° иВ

= 60° имеем ДЯу =

—2,8 м, поэтому такую поправку необходимо учитывать при лю-

бой .точности нивелирования. При переходе к реальному полю

силы тяжести появятся дополнительные эффекты, связанные с ано-

малиями силы тяжести, но качественно оценки не изменятся.

Рис. 22

Пользуясь рис. 22, покажем, что из-за непараллельности

уровенных поверхностей измеренные высоты при определении

их из результатов нивелирования, проложенного по различным

трассам между нуль-пунктом О и текущей точкой М, будут не-

однозначными. Представим мысленно трассы нивелирования ODM

и ОСМ между йунктами О и М, по которым участки ОС и DM

совпадают с уровенными поверхностями, так что приращения

измеренных высот по ОС и DM равны нулю. Легко видеть, что

в^этом случае по первой трассе мы получили,бы км = OD, а по

второй к

= СМ. Реальное нивелирование по трассе на физиче-

ской поверхности дало бы еще одно значение км- Таким образом,

нельзя пользоваться измеренными высотами из-за их неопределен-

ности. В соответствии с формулой

(III.1)

подобная неопределен-

ность войдет в приращения £м — £о-

§ 13. ГЕОПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

И ДИНАМИЧЕСКИЕ ВЫСОТЫ

Как следует из теории потенциала (лемма Брунса), разность

потенциалов силы тяжести между точками стояния передней и

задней реек при получении каждого элементарного превышения

будет равна

dW=-gdh,

где g — сила тяжести.

Отсюда» имеем следующую формулу для разности потенциалов

силы тяжести в текущей точке нивелирования 1ив нуль-пунк-

те О:

-W

J dW = - j gdh.

ом 6м