Пеллинен Л.П. Высшая геодезия (Теоретическая геодезия)
Подождите немного. Документ загружается.
вопросы установления
и
реализации геодезических систем коор-
динат будут рассмотрены
во
второй части курса. Пока
же
будем
их трактовать
как
системы, одна
из
осей которых параллельна
оси вращения Земли,
а
одна
из
координатных плоскостей
—
пло-
скости начального
или, как
часто называют, Гринвичского мери-
диана. Связь прямоугольных
и
эллипсоидальных координат
описывается формулами
X
= (N + H) cos В cos
L;
Y=(N
+ H) costfsinL;
Z = (N +
H-Ne
2
)sinB.
(1.5)
Формулы
для
обратного перехода
от
прямоугольных коорди-
нат
к
эллипсоидальным имеют замкнутый
вид
только
для
точек
на поверхности эллипсоида.
В
общем случае применяются ите-
рационные формулы, описанные
в [73, § 39].
Направляющие косинусы нормали
к
эллипсоиду
в
эквато-
риальной системе координат
(X, У, Z)
равны
1
Э
=cos В cos
L\
т
э
= cos В sin
L\
п
э
=
sin 5.
(i.6)
Часто используются сферические координаты
r-l/X
2
+
Y
2
+Z
2
;
Z
Ф
— arctg -
L
= arctg —.
(1.7)
Центр референц-эллипсоида
в
общем случае близок
к
центру
масс Земли,
но не
совпадает
с
последним. Системы координат,
соответствующие референц-эллипсоидам', называют квази-
геоцентрическими
или
референцными.
Мы
встретимся также
с
геоцентрическими системами
координат,
из
которых самой важной является общеземная
система, отнесенная
к
общеземному эллипсоиду. Величины,.
относящиеся
к
геоцентрическим системам, будем обозначать
введенными выше символами, отмечая
их
черточкой сверху.
Ю
Преобразования прямоугольных координат
Согласно обозначениям
на рис. 3
общая формула преобразо-
вания координат
при
переходе
от
системы
2 к
системе
1
имеет
в матричной записи
вид
+
(1.8)
где
х, у, z —
координаты точки
0
2
,
начала координат
в
системе
2,
в системе координат
1, R
lf 2
—
матрица поворота
от
системы
2
к системе
1,
которая имеет
вид
#1,2
—
cos(X!, Х
2
) cos^, У
2
) cos(X
l7
Z
2
)'
cos^, Х
2
) cos(Y
ly
Y
2
) cos(Y
lt
Z
2
)
Lcos(Z
lf
X
2
) cos(Z
lf
Y
2
) cos(Z
b
Z
2
) .
(1.9)
В формулу
(1.9)
входят косинусы углов между направлениями
соответствующих осей. Только
три
элемента матрицы
(1.9) не-
зависимы,
так как
суммы квадратов элементов
в
каждом столбце
(или строке) равны единице,
а
суммы парных произведении Эле-
ментов соседних строк (столбцов), соответствующих одним
и тем
же столбцам (строкам), равны нулю.
При неизменном начале координат выгодно
в
преобразова-
ниях использовать направляющие косинусы:
7
X Y Z
1-=
—
;
т =
—;
п = — ;
r
2
= X
2
+ Y
2
+Z*.
Таким образом,
Lw,
J
к
го,
(1.10)
При обратном переходе
от
системы
1 к
системе
2
имеем
го,
(1.11)
где
R\
2
—
матрица, получаемая путем транспонирования
(пе-
ремены местами строк
и
столбцов) матрицы
R
lt 2
.
Переход
от
системы
2 к
системе
1 при
неизменном начале
координат
О
можно описать тремя последовательными поворотами,
показанными на единичной вспомогательной сфере, на кдторую
спроектированы направления координатных осей обеих систем
(рис.
4):
1) поворот на угол е
2
вокруг 0Z
2
, в результате чего Х
2
пе-
реходит в Г, а 7
2
в
Рис.
4
2^йоворот на угол г
х
вокруг оси ОХ', в результате чего Y'
переходит в У
1?
a Z
2
в
3) поворот на угол г
у
вокруг оси OY^ в результате чего Z'
переходит в Z
x
, аХ'в Х
г
.
Из решений сферических треугольников (см. рис. 4) возможно
найти все элементы матрицы (1.8), а именно имеем [12]:
^1,2 —
[
cos г у cos
e
2
—-sin
е
х
sin г у sin г
г
sin е
г
cos
F^+sin
е
х
sin
е
у
cos е
г
—sin г
у
cos е^.
—
sin е
2
cos е
х
cos е
х
cos е
2
sin е
х
I
cos е
2
sin
e^-fsin
е
х
cos е
ц
sin e
z
sin e
z
sin
e^—sin
г
х
cos cos e
z
cos
e^cos
J
(1.12)
При малых углах поворота г
х
, г
у
, е
2
, когда можно пренебречь
их квадратами, имеем
1
—
8,
е
г
—
1
-е,
1
(1.13)
или, если перейти от (1.8) в матричной записи к развернутому
виду, то
%i
= %2 + е
2
Г
2
—
*VZ
2
+
х
\
Y, =
Y
2
-~e,
z
X
2
+
E
x
Z
2
+ y; • -
(1.14)
Zi^Z
2
+
E
y
X
2
-E
x
Y
2
-]-Z.
,
12
Топоцентрические координаты
Топоцентрическими называют системы координат,
началом которых является пункт наблюдеЬий. Получили распро-
странение горизонтальные системы,
в
которых
ось Z
Рис.
5
направлена либо
в
астрономический зенит, соответствующий
направлению отвесной линии, либо
в
геодезический зенит, соот-
ветствующий направлению нормали
к
земному эллипсоиду,
и экваториальные системы,
в
которых
ось Z
параллель-
на
оси
Мира,
а ось X
лежит
в
плоскости, параллельной плоскости
начального меридиана.
Результаты геодезических измерений
на
каждом пункте гео-
дезической сети,
а
именно дальности
г до
соседних пунктов,
астрономические зенитные расстояния
z
(этот термин будем относить
к
обычным зенитным расстояниям,
чтобы подчеркнуть,
что они
отнесены
к
астрономическому зениту)
и горизонтальные углы
v
относительно некоторого начального
направления, представляют собой сферические координаты наблю-
даемых пунктов
в
горизонтальной топоцещрической системе
(рис.
5). На рис. 5 А —
пункт наблюдения,
Z
A
—
направление
на астрономический зенит,
АВ —
начальное направление, которое
по соображениям удобства помещено
в
координатную плоскость
Z
A
AY
A
.
Из
угловых измерений могут быть получены направля-
ющие косинусы
для
любого направления
АС:
IAC
= sin ZAC sin v
B
c\
A
тле
= sin Z
A
c
COS
V
B
C\
A
N
AC
= COS
ZAC*
(1.15)
При известной длине стороны
АС й той же
Системе координат
•могут быть получены координаты пункта
С:
Х
А
с-
-ГАС1АС\
У
А
...А .
С
=
Г
АС
Т
АС,
г*А А
IJ
C
—
ГАСПАС'
(1.16)
Преобразования прямоугольных топоцентрических координат
удобно вести
на
вспомогательной единичной сфере, описанной
вокруг пункта наблюдений,
которая -подобна показанной
на
рис.
4.
Пусть
оси Z
2
, Х
2
и
Y
2
соответствуют рассмотренной
горизонтальной системе коорди-
нат,
а оси Z
±1
Х
±
и У
х
—
эква-
ториальной системе. Покажем,
что
переход
от
системы
2 к
системе
1
в этом случае может быть осу-
ществлен
с
помощью определен-
ных астрономического азимута
а
начального направления, астроно-
мической широты
ф и
астрономи-
ческой долготы
X (рис. 6).
Сначала путем поворота
во-
круг
оси. Z
2
на
угол
а
перейдем
к системе координат
X', У, Z
2
, в
которой
ось Y'
лежит
в
плоскости
местного меридиана:
Рис.
6
X'
У
R
Ш
соэа
sin а О
—
sina
cosa
О
О
0 1.
X
Lz
2
а затем перейдем
к
системе
Х
2
, Y
lt
Z
v
Из
решений сферических
треугольников
(см. рис. 6)
имеем
^1
LZ
t
J
X'
Y'
LZ,.
(1.17)
где
^1,2 =
—
sin
X —
sin ф cos
X
cos
q>
cos
X'
cos
X —
sin ф sin
X
cos
<p
sin
X
0 cos ф sin ф
(1.18)
Преобразование
(1.17)
имеет самостоятельное значение
и
часто
встречается в-геодезии. Учитывая
(1.17),
имеем
'#i..A*.(a)
Х
2
Запшпем равенство
2
= Ri, %Rzt (
a
)
в
развернутом виде:
•^1,2
=
—sin
X
cos a+sin
ф
cos
X
sin a —sin
X
sin
a—sin
ф
cos
X
cos a cos(pcosXl
cos
X
cos a-f-sin
q>
sin
X
sin a cos
X
sin
a—sin
<p
sin
X
cos a cos<psinA, I.
—
cos
ф
sin a cos
ф
cos a
sin
у
(1.19)
При переходе
от
горизонтальной системы координат, отне-
сенной
к
геодезическому зениту,
к
указанной экваториальной
системе могут быть использованы
все
приведенные выше формулы,
если
в них
астрономические широту, долготу
и
азимут заменить
на геодезические
В, L ж А.
Уклонение отвеса
в
геометрическом определении
Для перехода
от
астрономических координат
к
геодезическим
или наоборот нужно либо задать, либо определить взаимную
ориентировку отвесной линии
и
нормали
к
референц-эллипсоиду.
Угол
и
между направлениями отвесной линии
и
нормали
к ре-
ференц-эллипсоиду
(см. рис. 2)
будем называть астрономо-
геодезическим уклонением отвеса
(в
геомет-
рическом определении). Понятие уклонения отвеса является
одним
из
важнейших
в
высшей геодезии
и
теории фигуры Земли.
Введем понятия составляющих астрономо-геодезического укло-
нения отвеса. Пусть
для
некоторого пункта
М
физической поверх-
ности Земли известны
его
астрономические
ф, X и
геодезические
В,
L
координаты. Опишем вокруг этого пункта вспомогательную
единичную сферу
(рис. 7) и
покажем
на ней
через
Z
A
направление
на астрономический зенит, совпадающее
с
отвесной линией, через
Z
r
—
направление
на
геодезический зенит, соответствующее нор-
мали
к
референц-эллипсоиду, через
Р —
направление
на
полюс
Мира, параллельно€иоси вращения Земли. Дуги большого круга,
образующие треугольник Z
A
Z
r
P, равны:
PZ
A
—
астрономическому
полярному расстоянию,
т. е. 90° — ф, PZ
r
—
геодезическому
полярному расстоянию,
т. е. 90° — В, Z
A
Z
r
—
полному астро-
номо-геодезическому уклонению отвеса
и в
точке
М.
Таким
об-
разом, постулируется,
что в
астрономической
и
геодезической
системах координат используется одно
и то же
напра-
вление
на
полюс Мира
и что
астрономические
и
гео-
дезические долготы отсчитываются
от
одного
и
того
же
начального меридиана, обозначенного
на рис. 7
через
РГ.
Заметим,
что
даже если указанные условия
не
будут
сформулированы
в
явном виде, само применение полученных
на
их основе формул равносильно
их
выполнению. Согласно второму
условию угол
при
вершине
Р в
треугольнике Z
A
Z
r
P будет равен
X
— L.
Проведем теперь
из Z
A
дугу
Z
A
K,
перпендикулярную
к
следу
плоскости геодезического меридиана
PZ
r
.
Получим дугу
KZ
r
,
равную
|,
составляющей астрономо-геоде-
зического уклонения отвеса
в
меридиане,
и дугу
KZ
A
,
равную
г),
составляющей астрономо-
геодезического уклонения отвеса
в
пер-
вом вертикале.
Из
сферического треугольника
Z
A
KP
имеем:
cos
(X
— L) = tg ф ctg
(В
+
I);
sin
г]
= sin
(X
— L) cos ф.
Раскладывая входящие
в эти
формулы тригонометрические
функции
от т] и X — L в
ряды
и
пренебрегая
по
малости квадра-
тами аргументов, получим
ц
=
(X
— L) cos ф.
Отсюда, заменив
с
достаточной точностью
cos ф на cos В,
окончательно имеем:
Рис.
7
tgq>
= tg
(B+l);
(1.20)
Пусть точка
N
соответствует направлению
с
пункта
М на
некоторый соседний пункт
N.
Геодезический азимут этого нап-
равления, согласно обозначениям
на рис. 7,
равен
А = R
r
+
+
Э
г
.
Найдем составляющую уклонения отвеса
Ф в
направлении
на
N, для
чего спроектируем дугу
Z
A
Z
r
на ZpN.
Получим отре-
зок
Z
r
Q =
Обозначим через
Z = Z
r
N и z = Z
A
N
соответствен-
но геодезическое
и
астрономическое зенит-
ные расстояния
для
направления
MN,
тогда
с
учетом малости
треугольника Z
A
Z
r
Q
и
угла между
NZ
r
и NZ
A
получим
О
= Z
—
z = и cos R
r
—
и cos (А
—
6
Г
) =
=
и cos A cos 6
Г
+ и sin A sin 6
Г
.
Из решения треугольника Z
A
Z
r
K найдем
£
=
mcos
6
Г
;
т]
—
и sin 6
Г
,
тогда окончательно
# = Z —z = I cos Л + ц sin А. (1.21)
В последующих преобразованиях
нам
также понадобится
составляющая уклонения отвеса
f$ в
направлении, перпендику-
лярном
к
заданному. Заменив
в
формуле'
(1.6)
азимут
А на
А
+ 90°,
получим
P =
r)cos
A —
lsin
А.
Нормальная Земля. Уклонения отвеса
в физическом определении
В ряде случаев наряду
с
чисто геометрическим понятием зем-
ного эллипсоида используют более широкое понятие Нор-
мальной Земли, масса которой равна
(или
очень близка)
массе реальной Земли. Внешней поверхностью Нормальной Земли
является уррвенный эллипсоид вращения.
Это
одна
из
уровенных
поверхностей потенциала нормальной силы тяже-
сти,
распределение которой
на
этой поверхности
и во
внешнем
пространстве
в
первом приближении дает формула
Y
= Yo-2-^#, (1.23)
где
«у
0
—
значение
у в
точках уровешюго эллипсоида (Нормаль-
ной Земли), приблизительно равное
Т
0
~ТЛ1
+ Р^п
2
Я)~7
45
° (l-|cos25); (1.24)
у
е
—
значение нормальной силы тяжести
на
экваторе Нормаль-
ной Земли (экваториальная сила тяжести);
у
4Ь
°
—
значение
у
0
(1.22)
на широте
45°; R —
средний радиус Земли;
р —
коэффициент,
примерно равный
0,0053;
Н —
геодезическая высота.
Остальные уровенные поверхности нормального потенциала,
хотя
и не
являются эллипсоидами,
но
также представляют собой
фигуры вращения.
Их
меридиональное сечение схематически
показано
на рис. 8.
Расстоя-
ния между уровенными поверх-
ностями уменьшаются
с
увели-
чением широты,
а
именно:
интервалы между двумя беско-
нечно близкими уровенными
поверхностями
с
потенциалами
Z7
1
n(C/"
1
+dC/),
согласно лемме
Брунса, равны
(1.25)
по
фор-
Рис.
8
где
7
вычисляется
муле
(1.23).
Таким образом, силовые
ли-
нии нормального поля
(они
изо-
бражены прерывистыми линиями
на рис. 4)
суть плоские кривые,
обращенные выпуклостями
в
сторону экватора.
Проекция
отвесной
линии
Силовая
ли-
ния нормаль
ногополя
си
ль>
тяжести
'
Экватор Нормальной Земли
Рис.
9
Проведем уровенную поверхность
U
M
=
const
через некото
рую точку
М (рис. 9).
Тогда согласно
(1.25)
разность потен-
циалов
U
M
и Uо на
поверхности уровенного эллипсоида можно
записать,
как s
ом
где
в
правой части стоит криволинейный интеграл, вычисленный
по любой линии между любой точкой
О на
уровенном эллипсоиде
18
и точкой
М. В
частности,
ecim
'точку
О
взять
в
основайии силовой
линии, проходящей через
М, то
можно записать
U
0
-U
M
=-y
m
H,
(1.26)
где
у
т
—
среднее интегральное значение
у на
отрезке
ОМ = Н.
С достаточным приближением
из
(1.23)
имеем
Ym
То
-
-
J- Н «
VЛ
t
+ Р
sin
2
В)-^Н. (1.27)
Дифференцируя
(1.26)
по
широте
и
учитывая,
что С/
0
— =
=
const,
получим
.
Так
как в
соответствии
с
(1.27)
=
Y
e
Mn2S,
(1.29)
то
-|тг
= — Н — Р sin 25
—
Яр sin 25.
(1.30)
Исходя
из
геометрического определения производной
как
тангенса угла наклона касательной, возможно
из
формулы
(1.30)
определить угол
65
наклона уровенной поверхности
U
M
= const
относительно поверхности уровенного эллипсоида, равный
в то
же время уклонению касательной
к
сидрвой линии нормального
поля
в
точке
М от
нормали
к
эллипсоиду
Mm,
tg
65 ~ 85 = - 4- ^ ~ 4 р sin 25,
(1.31)
где
М —
радиус кривизны эллипсоида
в
меридиане.
Пренебрегая членами порядка сжатия,
в
секундах дуги имеем
6Д'
=
~0,171'tf
KM
siii2A (Т.32)
Назовем полным уклонением отвеса
в
физическом
определении угол между касательными
к
силовым
ли-
ниям реального
и
нормального полей силы тяжести.
Его
мери-
диональная составляющая
£'
(обозначенная таким образом
для
отличия
от | в
геометрическом определении) показана
на рис. 9
как угол между касательной
к
силовой линии нормального поля
19