Пеллинен Л.П. Высшая геодезия (Теоретическая геодезия)

Подождите немного. Документ загружается.

Использование новейших космических средств

Для решения геодезических задач открывают большие воз-

можности не только наблюдения сравнительно близких искусст-

венных спутников Земли, но и далеких космических летательных

аппаратов (КЛА), запускаемых в сторону Луны, Марса, Венеры

и других планет, а также наблюдения объектов на поверхности

Луны. Высокая относительная точность определения геоцентри-

ческих положений этих объектов радиотехническими методами

и из лазерных наблюдений, а также малая чувствительность

орбит Луны и КЛА к деталям гравитационного поля Земли спо-

собствуют

тому, что указанные определения позволяют с большой

уверенностью получить основной параметр, описывающий гра-

витационное поле Земли, — геоцентрическую гравитационную

постоянную (произведение постоянной тяготения на массу Земли).

Кроме того, с очень высокой точностью (выше 1 м) определяются

геоцентрические координаты станций наблюдения. По основным

результатам метод использования наблюдений далеких космиче-

ских объектов подобен динамическому спутниковому методу.

Столь же блестящие возможности открываются благодаря

методу длиннобазисной радиоинтерферометрии или радиоинтер-

ферометрии со сверхдлинной базой (РСДБ), в котором исполь-

зуются одновременные наблюдения точечных внегалактических

радиоисточников с помощью больших полноповоротных радио-

телескопов. По разностям времен прихода фронта радиоволны

к телескопам определяют с очень высокой точностью направления

на источники и взаимное положение телескопов. По получаемым

результатам метод длиннобазисной радиоинтерферометрии по-

добен геометрическому спутниковому методу. Оба определяют

лишь относительные положения точек земной поверхности и не

дают возможности определить параметры внешнего гравитацион-

ного поля Земли.

Оптимальные комбинации различных методов

изучения фигуры

и гравитационного поля Земли

Сравнительные особенности рассмотренных методов иллю-

стрирует табл. 1. В графах справа и снизу от клеток, в которых

указаны различные методы, отмечены те задачи, которые лучше

решают методы, записанные в соответствующих столбцах или

горизонтальных графах.

Спутниковый | геометрический метод является эффективным

средством укрепления астрономо-геодезических сетей, созданных

классическими средствами. Полагают, что наземные методы имеют

преимущество при передачах координат на расстояния примерно

Астрономо-

геодезический

метод

Гравиметрический

метод

Лучше подходят для

детальных исследований

Спутниковый геометриче-

ский метод

Спутниковый

ский метод

динамиче-

Лучше подходят для пла-

нетарных исследований

Длиннобазисная радиоин-

терферометрия

Наблюдения далеких кос-

мических объектов

Лучше подходят для пла-

нетарных исследований

Лучше определяют отно-

сительные положения

точек поверхности Зем-

ли

Лучше определяют поло-

жения относительно

центра масс Земли и

элементы ее гравита-

ционного поля

до 1000 км, а спутниковые — на большие расстояния. В перс-

пективе построения с еще большими длинами сторон будут созда-

ваться методом длиннобазисной радиоинтерферометрии. Выгодное

сочетание всех трех видов построений рассмотрено в работе [54],

в которой показано, что в совокупности эти методы будут спо-

собны создать астрономо-геодезическую сеть СССР с точностью

передачи координат на большие расстояния порядка 1—2,5 м.

Задачи определения абсолютных положений (относительно

центра масс Земли) решаются с использованием гравиметрического

и спутникового динамического метода, а в перспективе — также

и с помощью светолокации Луны и наблюдений далеких косми-

ческих летательных аппаратов. Гравиметрический и спутниковый

динамический методы представляют собой оптимальную комби-

нацию при изучении гравитационного поля Земли, которая вы-

годно дополняется при определении элементов нормального гра-

витационного поля (получение геоцентрической гравитационной

постоянной) наблюдениями далеких КЛА.

Имеется известная условность в представленной диаграмме,

так как возможно, что часть задач, лучше решаемых ныне одними

методами, перейдет к другим, но общие тенденции в распределе-

нии «сфер их действия» сохранятся, в том числе и при развитии

геодинамических исследований. В последнем случае приобретут

относительно большое значение космические методы, с помощью

которых будет можно получать наиболее быстро и точно данные

об изменениях положений станций наблюдения и элементов гра-

витационного поля в целом по всей поверхности Земли и в преде-

лах больших ее областей.

ГЛАВА II

РЕДУКЦИОННАЯ ЗАДАЧА ГЕОДЕЗИИ

§ 5. МЕТОДЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ И РАЗВЕРТЫВАНИЯ

Трудности создания пространственных геодезических сетей,

которые уже отмечались в § 3, и сложившееся в связи с этим

разделение работ по определению плановых координат В, L

и геодезической высоты Н привели к тому, что до сих пор обе

задачи рассматриваются изолированно. Для решения первой

задачи переходят от пунктов астрономо-геодезических сетей,

фактически созданных на физической поверхности, к их проек-

циям на поверхность некоторого принятого референц-эллипсоида,

являющегося отсчетным для геодезических высот Н.

Соответственно редуцируют измеренные элементы геодези-

ческой сети, т. е. переходят от длин сторон между пунктами,

измеренных на физической поверхности, к длинам дуг геодези-

ческих линий, расположенных между проекциями этих пунктов

на референц-эллипсоид, а от наблюденных горизонтальных на-

правлений и азимутов — к направлениям и азимутам указанных

Дуг.

Редукционной задачей геодезии будем на-

зывать теорию перехода от непосредственно измеренных величин

на физической поверхности Земли к соответствующим им вели-

чинам на поверхности относимости — референц-эллипсоиде.

Вся дальнейшая обработка астрономо-гёодезической сети

(АГС),

включая ее уравнивание, ведется на поверхности референц-

эллипсоида и решается как двухмерная задача. При этом можно

выполнить проектирование элементов сети с референц-эллипсоида

на сферу или плоскость и вести обработку сети на более про-

стой математической поверхности.

Наиболее ясным и строгим решением редукционной задачи

является метод проектирования, последовательно

применяемый по предложениям Ф. Н. Красовского при обработке

астрономо-гёодезической сети СССР [46]. В этом методе проекти-

рование пунктов АГС с физической поверхности Земли на поверх-

ность референц-эллипсоида выполняют по нормалям к р е -

ференц-эллип сойду, благодаря чему геодезические

координаты В, L пунктов на физической поверхности и точек,

которые являются их проекциями на эллипсоиде, совпадают.

Таким образом, после окончания двухмерной обработки астро-

номо-гёодезической сети на референц-эллипсоиде становятся из-

вестными плановые компоненты 2?, L пространственных координат

пунктов астрономо-гёодезической сети.

Используя дополнительно найденные геодезические, высоты

Н, можно получить положение пунктов физической поверхности

в любой другой пространственной системе координат, в том

числе в уже упомянутой нами в § 2 прямоугольной экваториаль-

ной системе X, Y, Z. Так же могут быть определены путем решения

обратных задач любые пространственные элементы геодезической

сети (длины и направляющие углы сторон в горизонтальной

и экваториальной системах).

При решении редукционной задачи возникают редукции трех

видов:

а) за уклонения отвеса, т. е. за переход от астрономического

зенита, соответствующего направлению отвесной

ЛИНИИ,

по ко-

торой ориентируется вертикальная ось геодезического или астро-

номического прибора, к геодезическому зениту — направлению

нормали к референц-эллипсоиду;

б) за высоту над поверхностью референц-эллипсоида;

в) за переход от элементов, получаемых после введения ре-

дукций вида а) и б) и соответствующих нормальным сечениям

референц-эллипсоида, к элементам, соответствующим геодези-

ческим линиям.

В дальнейшем изложении о редукциях третьего вида говорить

не будем, поскольку они излагаются в курсе сфероидической

геодезии [73]. При расстояниях между соседними пунктами,

обычных для астрономо-геодезических сетей, эти редукции пре-

небрегаемы.

Несомненно, что применение метода проектирования оправдано

лишь в том случае, если необходимые для вычисления редукций

уклонения отвеса и геодезические высоты известны с такой точ-

ностью, чтобы можно было бы пренебречь связанными с ними

погрешностями редукций. При этом важно, чтобы даже малые

при редуцировании отдельных измерений погрешности не были

источником систематических искажений большой геодезической

сети.

Далее будет показано, что погрешности, вносимые неточ-

ностью определения уклонений отвеса, пропорциональны ctg z

и пренебрегаемо малы, если углы наклона сторон геодезической

сети не превышают 1°, что и бывает в большинстве случаев. Од-

нако всегда существенны погрешности геодезических высот,

необходимо определять их вдоль измеренных линий с точностью

порядка 3 м. В § 4 мы уже говорили о том, что геодезическая

высота может быть представлена как сумма нормальной высоты

и высоты квазигеоида. Нормальную высоту с указанной точностью

определить несложно, и, таким образом, все трудности сводятся

к определению высоты квазигеоида.

В прошлом высоты квазигеоида определялись неуверенно.

Поэтому, даже если бы была осознана необходимость применения

метода проектирования, его нельзя было использовать. Приме-

нялся упрощенный метод обработки астрономо-геодезических

сетей — метод развертывания, в котором измерен-

ные углы переносили на поверхность референц-эллипсоида без

введения поправок за уклонения отвеса, а измеренные длины

редуцировали лишь за высоту над уровнем моря, а далее без

2 Заказ 830

Каких-либо изменений переносили

на

поверхность референц-

эллипсоида. Если пренебречь малыми поправками

углы

за

уклонения отвеса,

то эти

редукции можно интерпретировать

как

проектирование измеренных элементов

по

нормалям

референц-

эллипсоиду

на

поверхность квазигеоида

их

«разверты-

вание»

на

поверхности рефе-

Рвференц-эллцлсоид

Геоид

пределах

ЛГС

Наи5олее

подходя-

щи.!!

эллип-

соид

Геоид

вне

пределов АГС

Рис.

ренц-эллипсоида*.

Покажем,

что

метод развер-

тывания может приводить

к не-

приятным последствиям.

В об-

щем случае высоту квазигеоида

можйо заранее положить равной

нулю

не во

всех пунктах

АГС,

как

это

делается

методе раз-

вертывания,

лишь

одном

(обычно исходном) пункте сети.

Значения

Других пунктах

будут зависеть

не

только

от

реальных вариаций фигуры квазигеоида,

но и от

выбора

размеров референц-эллипсоида

исходных геодезических

дат.

При неудачном выборе

тех и

других

(рис. 12)

возможны

весьма существенные расхождения между поверхностями

ре-

ференц-эллипсоида

квазигеоида.

Так,

например,

прошлом

в СССР из-за неудачного выбора поверхности относимости

(референц-эллипсоид Бесселя)

и ее

ориентировки высоты

квазигеоида

на

Дальнем Востоке превышали

450 м, что при

обработке

АГС

методом развертывания приводило

масштабным

искажениям более

1 : 15

ООО! Заметим,

что

даже

при

сравнительно

небольших размерах геодезической сети из-за неудачного выбора

исходных геодезических

дат

возможны систематические наклоны

квазигеоида относительно эллипсоида

до 10—20",

приводящие

к совершенно непренебрегаемым изменениям высот квазигеоида

до

10—20 м на

одно звено

в 200 км.

Выходом

из

затруднений

рамках метода развертывания

является подбор размеров

элементов ориентирования рефе-

ренц-эллипсоида, наиболее подходящего

квазигеоиду

пре-

делах обрабатываемой геодезической сети

(см. рис. 12),

однако

подобные приемы

состоянии улучшить дело лишь

ограничен-

ной мере. Расчеты, основанные

на

современных знаниях

гра-

витационном поле Земли, показывают,

что

лишь

для

области

радиусом

в 1000 км

возможно подобрать эллипсоид, аппрокси-

мирующий квазигеоид

допустимым средним квадратическим

остаточным отклонением порядка

3 м, а для

больших

ее

частей

—

порядка территории нашей страны

— это

отклонение составляет

±10—15

м. Для

всей

же

Земли

целом

эта

величина возрастает

* Другая интерпретация метода развертывания, более близкая

при-

менявшейся методике вычисления триангуляции, изложена

в § 44

главы VII,

до 30

- В неблагоприятных условиях или при использовании

ограниченного материала для вывода параметров референц-

эллипсоида указанные отклонения будут большими. Таким об-

разом, метод развертывания мало пригоден для строгой матема-

тической обработки больших астрономо-геодезических сетей даже

при наилучшем подборе референц-эллипсоида.

Дальнейшее изложение редукционной задачи мы посвятим

почти исключительно методу проектирования. Однако поскольку

во многих случаях нельзя избежать использования данных,

полученных из предварительной обработки геодезической сети

методом развертывания, в § 10 будут рассмотрены методы вы-

числения поправок за переход к величинам, соответствующим

методу проектирования.

§ 6. РЕДУКЦИИ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ

Редукция за уклонение отвеса

Непосредственно измеренный горизонтальный угол в пункте

физической поверхности Земли М представляет собой двугран-

ный угол, ребром которого является линия, совпадающая с вер-

тикальной осью угломерного прибора, т. е. отвесная линия.

После проектирования мы должны определить двугранный угол,

ребром которого является нормаль к референц-эллипсоиду, про-

ходящая через пункт М, а гранями — нормальные плоскости,

включающие проекции наблюденных пунктов на референц-эл-

липсоид.

Эти вычисления выполняют в два этапа. Сначала, оставаясь

в пункте М, вводят поправку и' за переход к двугранному углу,

ребром которого является нормаль к референц-эллипсоиду, т. е.

вводят поправку за уклонение отвеса, а затем

учитывают дополнительную редукцию *Л возникающую при пе-

реходе от направлений на визирные цели к проекциям на рефе-

ренц-э ллипсоиде.

Рассмотрим сначала частный случай наблюдения направления

на некоторый пункт О, который лежит в одной плоскости с астро-

номическим и геодезическим зенитами. Вернемся к рис. 7 (глава I,

§ 2), на котором показаны проекции на единичную сферу, описан-

ную вокруг пункта наблюдений, различных направлений с него.

Легко видеть, что наблюденное направление, которому соответ-

ствует дуга большого круга Z

0, не изменится при переходе от

астрономического зенита к геодезическому, поскольку направле-

ния дуг Z

0 и Z

O совпадают. Таким образом, редукция за укло-

нение отвеса для направления МО равна нулю.

Редукцию любого другого направления, например MN, мо-

жем теперь представить как изменение угла между горизонталь-

ными направлениями на N и О при переходе от астрономического

зенита к геодезическому. Из рис. 7 имеем

v'=R

-R

Указанную разность лучше всего определить

из

прямоуголь-

ного треугольника Z

Q, который

по

малости можно принять

за плоский. Имеем

Дл

д----Дг

+ 90°,

т.

е.

-Д

==д-90°.

(II.1)

Перейдем теперь

треугольнику

QN.

Дуга

в нем

пред-

ставляет собой составляющую уклонения отвеса

азимуте

А —

—

90°, на 180°

отличающемся

от

направления,

по

которому сог-

ласно формуле (Г.22)

в § 2

определяется составляющая

р.

Поэтому

указанную дугу можно принять равной

—р. С

учетом формулы

(II.1)

из

треугольника Z

QN находим

cos q =

—

ctg z =

—

sin v\

откуда

учетом формулы

(1.22) с

достаточным приближением

получим

v = Р ctgz = (rj сэз А

—

1 sin A) ctg z.

(II.2)

Отметим,

что

полученная поправка принципиально ничем

не

отличается

от

поправки

за

наклон горизонтальной

оси

прибора,

которую изучают

курсах геодезии

практической астрономии,

Как известно,

она

равна

v' =

JoXgz,

где

/ —

наклон горизонтальной

оси.

В данном случае, причем

по

существу, роль

играет соста-

вляющая уклонения отвеса

вдоль горизонтальной

оси

прибора,

перпендикулярная

измеряемому направлению.

точки зрения

обработки геодезической сети методом проектирования безраз-

лично,

за

счет чего отклоняется вертикальная

ось

прибора

от

нормали

эллипсоиду,

горизонтальная

— от

перпендикуляра

к этой нормали, будет

ли это

только влияние уклонения отвеса

или сюда дополнительно войдет влияние погрешности установки

теодолита

по

уровню. Поэтому требования

учету поправок

за наклон горизонтальной

оси

прибора

и за

уклонение отвеса

должны быть всегда согласованы.

Редукция

за

высоту наблюдаемого пункта

Эта редукция обусловлена

тем, что

нормали

эллипсоиду

в общем случае являются скрещивающимися прямыми,

поэтому

проекция наблюдаемого пункта

на

референц-эллипсоид

по

нор-

мали

последнему

не

лежит

плоскости, включающей нормаль

в пункте наблюдения

измеренное направление.

за

Пусть

пункта

М (рис. 13)

наблюдается предмет

имеющий

геодезическую высоту

над

поверхностью эллипсоида. Проек-

ции концов линии визирования

на

эллипсоид обозначены через

тип.

Центр эллипсоида находится

точке

О. Ось

вращения про-

ходит через полюс

Р, на ней

отмечено положение концов нормалей

к эллипсоиду

т" и /г", а тР

пР —

меридианы. Пунктиром

намечено прямое нормальное

се-

чение эллипсоида

точке

иг,

явля-

ющееся следом нормальной пло-

скости, включающей пункт

N, и

пересекающее меридиан

пР в

точ-

ке

п.

Направление

тп'

получается

после введения

наблюденное

на-

правление редукции

за

уклонение

отвеса, описанной

предыдущем

разделе. Чтобы перейти

действи-

тельной проекции направления

на

референц-эллипсоид,

не-

обходима дополнительная редук-

ция

и",

равная углу

nmri'.

Из решения малого сфериче-

ского треугольника тпгь пред-

ставим искомую редукцию

достаточным приближением

виде

Рис.

:ДЛГ:

—-sm (Л

180°),

где

s —

длина дуги

тп, А

пт

—

обратный азимут этой дуги.

Задача сводится

нахождению

пп'. Из

треугольника

Nnrt

имеем

nn' = H

smv. (И.З)

В свою очередь

из

треугольника

Nm"n" по

теореме синусов

получаем

cos В

Используя формулу

(1.4) из § 2,

можно записать

т"п"

= On" - От" = N

sin В

- N

sin В

. (П.4)

С достаточной

для

выводов точностью можно положить

m"N^N

т.

е.

sin

v = е

(sin В

—

sin В

) cos В

Далее заменим

sin

—

sin В

« cos В (В

— В

) — cos А

тп

cos В,

где

В =

Вт

Ч~

Вп

М —

средний радиус кривизны

меридиане

вдоль дуги

тп.

Таким образом,

sin

v = -^r cos А

тп

cos В cos

Подставляя полученное выражение

в (П.З) и

учитывая,

что

с достаточной точностью можно заменить

cos В ^ cos В

, А

пт

—

180° т А

тп

= А,

получим

Эта редукция, пропорциональная

получила название

поправки

за

высоту йаблюдаемого пункта.

достаточным прибли-

жением принимают, если

выражено

в км, a v" — в

секундах

Дуги,

i/~0,108"#„cos

£„sin2A

При

= 45°, А = 45°, Н

= 1000 м

имеем

v" ^ 0,05".

Редукция

за

высоту, хотя

невелика,

но

имеет систематический

характер

и ею

нельзя пренебрегать

при

вычислении направлений

в триангуляции

1 и 2

классов

горных районах.

Она не

зависит

от расстояния между пунктами

должна учитываться

при

точных

геодезических построениях независимо

от

длин сторон этих

построений.

Как

уже

отмечалось

в § 3,

астрономические наблюдения

за-

дают ориентировку геодезических сетей относительно эквато-

риальной системы координат,

которой выполнены

эти

наблюде-

ния. Одно

из

назначений астрономических наблюдений

—

опре-

деление геодезических азимутов.

„ В

данном разделе изложена

теория определения последних, являющаяся частным примене-

нием редукций горизонтальных направлений

за

уклонения отвеса.

Вернемся

к рис. 7 в § 2.

Непосредственно определенный

из

астрономических определений азимут

можно рассматривать

как угол между полюсом Мира

Р и

земным предметом'

Пере-

ход

геодезическому азимуту

сводится

получению поправки

за уклонение отвеса

этот угол, которая равна разности соответ-

ствующих редукций горизонтальных направлений, слагающих

угол.

§,е

cos

sin2A.

(US)

АЗИМУТЫ ЛАПЛАСА

И ИХ

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ

Уравнение Лапласа

Для направления

на

полюс» Мира имеем

формуле

(И.2)

= т], z = 9Q° — ф.

Таким образом, получаем

= a

—

tg ф+

(г)

cos Л

— £

sin Л) ctg z. (П.6)

Вправив

во

втором члене

т]

согласно

(1.20),

получим более

распространенную формулу

= а —

(Я

— L) sin ф + (ц cos Л — £ sin Л) ctg z.

(II.7)

Часто

формулах

(II.6)

(II.7)

опускают последний член.

Он обычно

мал, а

если

имеет значение,

то

согласно выводам

§ 6 его

нужно вводить

во все

измеренные направления

на на-

земные цели независимо

от

того, выполнено

ли по ним или нет

определение астрономического азимута. Тогда формулы

(II.6)

(II.7)

примут

вид

= a—(k — L) sin ф;

а —

т]

tg ф.

Формула

(П.8) (в

любом варианте) получила название урав-

нение Лапласа.

Его

используют

для

определения гео-

дезического азимута

из

наблюдений астрономических азимутов

и долготы

Я.

Полученный геодезический азимут

этом случае

называют азимут Лапласа. Следует подчеркнуть,

что

уравнение Лапласа,

так же как и

формулы

(1.20) для

составля-

ющих астрономо-геодезических уклонений отвеса, справедливо

лишь

при

условии параллельности полярной

оси

референц-

эллипсоида

оси

Мира.

Геодезическое использование азимутов Лапласа

В уравнение Лапласа помимо величин, полученных

из

астро-

номических наблюдений, входит также геодезическая долгота

Всегда отмечают,

что она

безошибочна

исходном пункте триан-

гуляции,

а при

удалении

от

него погрешности

в L

возрастают

настолько медленно,

что

оказываются практически одинаковыми

для пунктов Лапласа

на

концах одного звена.

Так, для_ АГС

СССР средние квадратические погрешности приращений коор-

динат

звене составляют около

1 м,

чему

на

широте

60°

соответ-

ствует искажение разности долгот концов звена

на 0,8". Это

значительно меньше возможного влияния погрешностей астроно-

мических определений азимутов

долгот

и>

угловых измерений

на азимутальную невязку звена триангуляции,

поэтому азимуты

Лапласа могут быть успешно использованы

для

азимутального

контроля звеньев.

При

наличии азимутов Лапласа

на

стыке звень-

ев такие систематические погрешности,

как

влияние боковой реф-

ракции

и фаз

визирных целей, появившиеся

одном звене,

не

оказывают влияния

на

последующие звенья. Путем анализа

азимутальных невязок возможно выявлять

эти

погрешности,

(II.8)