Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление

Подождите немного. Документ загружается.

3.4 ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ 81

u = C(s)w, y = G(s)u, y = H(s)w,

˙u + u = ˙w − w, ˙y − y = u,

C(s)

G(s)

откуда, подставляя u в первое уравнение, получаем

¨y − y = ˙w − w.

Такое дифференциальное уравнение даже при нулевом входе w = 0 (т.е. ¨y − y = 0)

неустойчиво. Действительно, его решение y(t) = c

+ c

−t

, c

= (y(0) + ˙y(0))/2,

= (y(0) − ˙y(0))/2 растет с ростом t при сколь угодно малом y(0) = ε, ˙y(0) = 0. Ана-

логичным образом, даже при нулевых начальных условиях при малых w ≡ ε решение

возрастает. Это противоречие возникло вследствие сокращения неустойчивого корня

s = 1. Таким образом, мы приходим к важному выводу: сокращение общих неустой-

чивых нулей и полюсов передаточной функции недопустимо. В то же время, выводы

об устойчивости передаточной функции, имеющей общие устойчивые нули и полюса,

можно делать и после сокращения этих множителей.

Перейдем теперь к случаю многомерных систем. Как мы видели в разделе 1.2, пе-

редаточная функция системы

˙x = Ax + Bu,

y = Cx,

(3.21)

имеет вид

H(s) = C(sI − A)

−1

B =

W (s)

P (s)

где W (s) — матрица, все элементы которой являются полиномами от s, а P (s) = det(sI−

A) — характеристический полином матрицы A, т.е. P (s) является общим знаменателем

всех элементов H(s). Если задана лишь матрица H(s), а не реализация в пространстве

состояний (3.21), то критерий устойчивости звучит так:

Теорема 12 Система с матричной передаточной функцией H(s) устойчива тогда и

только тогда, когда полюса H(s) лежат в левой полуплоскости.

Эта теорема есть обобщение Теоремы 6 на многомерный случай. Напомним, что в

разделе 1.2 такие матричные передаточные функции мы назвали устойчивыми.

Многомерный аналог критерия Найквиста отвечает следующей задаче. Задана мат-

ричная передаточная функция G(s) открытой системы; будет ли устойчива замкну-

тая система, получающаяся путем введения единичной обратной связи? Возникающая

конфигурация показана на рис. 3.6 (двойные линии отвечают векторным сигналам).

Передаточная функция от входа u к выходу y вычисляется так:

u − y = e, y = Ge, y = (I + G)

−1

Gu = Hu.

Таким образом,

H = (I + G)

−1

G, (3.22)

82 Глава 3. Устойчивость

G(s)

Рис. 3.6: Многомерная система, замкнутая единичной обратной связью.

и нас интересует устойчивость этой передаточной функции. Рассмотрим годограф

g(jω)

= det

I + G(jω)

, 0 ≤ ω < ∞,

и пусть p — число неустойчивых полюсов G(s).

Теорема 13 Для устойчивости замкнутой системы рис. 3.6 необходимо и достаточ-

но, чтобы годограф g(jω) не проходил через точку 0 и делал вокруг нее p/2 оборотов

против часовой стрелки.

Доказательство этой теоремы достаточно сложно, и мы его опускаем. Покажем

лишь, что в одномерном случае Теорема 13 совпадает с обычным критерием Найк-

виста. В самом деле, тогда G(jω) ∈ C и g(jω) = 1 + G(jω), т.е. g(jω) — сдвинутый на

единицу вправо годограф G(jω). Поэтому точка (−1, 0) в Теореме 11 заменяется на

точку (0, 0) в Теореме 13.

Проблема устойчивости многомерных систем, заданных передаточными функция-

ми, имеет некоторые особенности по сравнению с одномерным случаем. Например, для

системы, изображенной на рис. 2.3, мы имели несколько передаточных функций (от

входа к выходу, от входа к ошибке и т.д.), однако все они одновременно были или

устойчивы или неустойчивы. В многомерном случае это может быть не так. Кроме то-

го, вопрос о сокращении нулей и полюсов матричной передаточной функции отнюдь не

прост, так как само понятие нуля такой функции может быть определено различными

способами.

Напомним, что мы обозначили через RH

∞

пространство матричных функций, все

элементы которых — вещественные дробно-рациональные реализуемые функции с устой-

чивыми знаменателями. Открытая система с матричной передаточной функцией H(s)

является устойчивой тогда и только тогда, когда H(s) ∈ RH

∞

. Чтобы сформулиро-

G(s)

K(s)

Рис. 3.7: Конфигурация, порождающая четыре матричных передаточных функции.

вать условия устойчивости замкнутых систем, рассмотрим конфигурацию на рис. 3.7,

где G(s) и K(s) — матричные передаточные функции объекта и регулятора, а e

, e

3.4 ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ 83

, w

— векторные сигналы ошибок и входов. Заметим, что здесь мы используем по-

ложительную обратную связь

и изменили обозначение для регулятора. Имеем

= w

+ Ke

= w

+ Ge

откуда получаем четыре передаточных функции (от w

к e

, i, j = 1, 2)

(I −KG)

−1

, (I −KG)

−1

K, (I − GK)

−1

G, (I −GK)

−1

. (3.23)

Принято говорить, что система на рис. 3.7 внутренне устойчива, если все функ-

ции (3.23) принадлежат RH

∞

, а конфигурация корректна, т.е. матрица

I −K(∞)G(∞) (3.24)

обратима.

Конфигурация рис. 3.7 может быть удобно интерпретирована в терминах реализа-

ции передаточных функций (см. раздел 1.2). Пусть реализации объекта и регулятора

имеют вид

G =

A B

C D

, K =









Тогда, обозначая через x и ˆx векторы состояний для G и K, имеем

˙x = Ax + Be

= Cx + De

+ w

;

ˆx =

Aˆx +

C ˆx +

+ w

и для всех передаточных функций могут быть найдены их реализации. Например,

GK =







A B

C B

C D







Поскольку G(∞) = D, K(∞) =

D, то в терминах реализаций условие корректности

приобретает вид det(I − D

D) 6= 0.

Сопутствующие функции Matlab:

margin, allmargins (CST) — вычисление запасов устойчивости по амплитуде и по фа-

зе и частоты среза;

nyquist (CST) — построение годографа Найквиста.

Переход к отрицательной обратной связи производится изменением знака регулятора с соответ-

ствующими изменениями знака в передаточных функциях.

84 Глава 3. Устойчивость

3.5 Множества достижимости для устойчивых систем

Мы видели, что устойчивые системы являются устойчивыми по входу (BIBO-устой-

чивыми), т.е. их состояния (и выходы) ограничены при ограниченных входах. В этом

параграфе мы дадим более точное описание достижимого множества (т.е. всего мно-

жества возможных состояний системы) для входов, ограниченных в норме L

или L

∞

;

такое описание нам неоднократно понадобится в будущем при решении задач оптималь-

ного управления.

3.5.1 L

-норма

Начнем с непрерывной системы со входами, ограниченными в L

-норме:

˙x = Ax + Bu, x(0) = 0, x ∈ R

, u ∈ R

kuk

∞

(t)u(t)dt ≤ 1.

(3.25)

Функция u(t) интерпретируется как внешнее возмущение, однако можно считать ее и

управлением. Условие x(0) = 0 не является ограничительным, поскольку при x(0) 6= 0

решение x(t) представляется в виде x(t) = e

x(0) + x

(t), где x

(t) — решение при

нулевых начальных условиях.

Множество

S(T )

x(T ) : x(t) есть решение (3.25) при некотором u, kuk

≤ 1

называется множеством достижимости в момент T ≥ 0, а их объединение для всех

T ≥ 0

[

T ≥0

S(T )

— просто множеством достижимости.

Теорема 14 Пусть пара (A, B) управляема, тогда S(T ) — эллипсоид

S(T )

x : x

−1

(T )x ≤ 1

где матрица W

(T ) > 0 имеет вид (2.4)

(T ) =

Aτ

dτ.

Если A устойчива, то S — эллипсоид

x : x

−1

x ≤ 1

3.5 МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ 85

где W > 0 — грамиан управляемости

W =

∞

Aτ

dτ, (3.26)

т.е. решение уравнения Ляпунова

AW + W A

= −BB

. (3.27)

Доказательство уже по-существу было получено в разделе 2.1 при обосновании Тео-

ремы 1 об управляемости. Действительно, там было показано, что W

(T ) > 0 и что

управление (2.6)

u(t) = B

(T −t)

−1

(T )a

переводит точку (0) = 0 в точку x(T ) = a. Если при этом a ∈ S(T ), то доопределив u(t)

на всей полуоси: u(t) = 0 при t > T, получим

ku(t)k

∞

(t)u(t)dt

−1

(T )e

A(T −t)

(T −t)

−1

(T )a

= a

−1

(T )a ≤ 1, (3.28)

т.е. такое управление является допустимым. С другой стороны, там же мы убеди-

лись, что приведенное выше управление минимизирует критерий

∞

(t)u(t)dt; отсюда

и из (3.28) следует, что если a /∈ S(T ), т.е. a

−1

(T )a > 1, то не существует управле-

ния с

∞

(t)u(t)dt ≤ 1, переводящего x(0) = 0 в x(T ) = a. Наконец, если A устойчива,

то W

(T ) → W > 0 при T → ∞, где W дается формулой (3.26) или, эквивалентно,

является решением уравнения Ляпунова (3.27) (см. Приложение, раздел 9.1).

Таким образом, достижимое множество для устойчивых систем с ограниченным в

управлением (или внешним возмущением) имеет очень простой вид — оно является

эллипсоидом. Очевидно, что если нас интересует выходная величина

y = Cx,

то достижимое множество выходов

y(t), 0 ≤ t < ∞

также является эллипсоидом

Y =

y : y

(CW C

)

−1

y ≤ 1

(здесь CW C

> 0, если — матрица полного ранга). В частности, в системе с одним

выходом y = c

x, c ∈ R

, множество Y — отрезок

|y| ≤ (c

W c)

1/2

. (3.29)

86 Глава 3. Устойчивость

В дальнейшем (см. Гл. 5) нас будет интересовать синтез управления, обеспечивающего

минимум выхода при тех или иных допустимых возмущениях. В частности, оценка

(3.29) показывает, что в системах с ограниченными в L

возмущениями величина c

W c

может служить в качестве критерия оптимальности при выборе обратной связи.

Аналогичный результат верен и для дискретных систем. Пусть

= Ax

k−1

+ Bu

k−1

, x

= 0, x

∈ R

, u

∈ R

kuk

∞

k=0

≤ 1.

(3.30)

Через S

обозначим множество всех достижимых значений x

, а через S — их объеди-

нение, т.е. множество всех точек, которые могут быть достигнуты из начала координат

с помощью допустимых управлений u.

Теорема 15 Если пара (A, B) управляема, то S

при k ≥ n — эллипсоид:

x : x

−1

x ≤ 1

, W

k−1

i=0

)

, k ≥ n,

а если A устойчива, то S — эллипсоид

S =

x : x

−1

x ≤ 1

где

W =

∞

i=0

)

т.е. решение дискретного уравнения Ляпунова

AW A

− W = −BB

Доказательство проводится по той же схеме, что и выше с использованием резуль-

татов раздела 2.1, относящихся к дискретным системам.

3.5.2 L

∞

-норма

Опишем теперь достижимое множество для управлений (или возмущений), ограни-

ченных не в L

-норме, а в L

∞

-норме. В этом случае картина оказывается более сложной.

Для задачи

˙x = Ax + Bu, kuk

∞

= sup

t≥0

(t)u(t)

1/2

≤ 1 (3.31)

сохраним те же обозначения S(T ), S для достижимого множества. Дадим характери-

зацию этих множеств с помощью опорной функции. Напомним, что для множества

X ⊂ R

и вектора c ∈ R

опорной функцией называется

(c)

= max

x∈X

3.5 МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ 87

Замкнутое ограниченное выпуклое множество однозначно восстанавливается по опор-

ной функции (т.е. по ϕ

x ≤ ϕ

(c), |c| = 1} —

пересечение опорных полупространств. В нашем случае замкнутость и выпуклость S(T )

и S очевидна; множество S(T ) всегда ограниченное, а множество S — при предположе-

нии об устойчивости системы (см. раздел 3.1).

Поскольку

x(T ) =

A(T −τ )

Bu(τ)dτ,

то

S(T )

kuk

∞

≤1

A(T −τ )

Bu(τ)dτ =

¯B

(T −τ )

¯dτ =

¯B

¯dτ,

а при устойчивой A

∞

¯B

¯dτ.

Множества S(T ) и S — вообще говоря, не эллипсоиды, но это центрально-симметрич-

ные выпуклые множества, и их удобно аппроксимировать эллипсоидами. Рассмотрим

случай устойчивой системы и назовем эллипсоид

x : x

Qx ≤ 1

с центром в нуле и матрицей Q > 0 инвариантным эллипсоидом, если из x(0) ∈ E

следует, что x(t) ∈ E для всех t ≥ 0, где x(t) удовлетворяет системе ˙x = Ax + Bu,

x(0) ∈ E, u

(t)u(t) ≤ 1. Опишем такие эллипсоиды, содержащие все достижимые точки,

а затем выделим в некотором смысле “минимальные” из них.

Введем

V (x)

= x

Qx;

тогда

V (x) = (Ax + Bu)

Qx + x

Q(Ax + Bu) = x

Q + QA)x + 2u

Qx.

Если будет

V (x) ≤ 0 для всех x таких, что V (x) ≥ 1, u

(t)u(t) ≤ 1, то траектории

системы ˙x = Ax + Bu не смогут выйти из эллипсоида, ибо на его границе

V (x) ≤ 0, т.е.

траектории направлены внутрь E. Итак, E будет инвариантным эллипсоидом, если из

неравенств

Qx ≥ 1, u

u ≤ 1

следует

Q + QA)x + 2u

Qx ≤ 0.

В соответствии с S-теоремой (Теорема П.2 из Приложения), условия которой выпол-

нены, необходимым и достаточным условием справедливости этой системы неравенств

является существование таких α ≥ β ≥ 0, что

Q + QA)x + αx

Qx − βu

u + 2u

Qx ≤ 0

88 Глава 3. Устойчивость

для всех x, u. Иначе говоря,







Q + QA + αQ QB

Q − βI







≤ 0.

По лемме Шура (Лемма П.1 из Приложения) это эквивалентно неравенству

Q + QA + αQ + β

−1

QBB

Q ≤ 0, β > 0.

Умножая слева и справа на P

= Q

−1

, получаем

P A

+ AP + αP + β

−1

≤ 0. (3.32)

Итак, если для каких-то α ≥ β > 0 нам удастся найти матрицу P > 0, удовлетворя-

ющую линейному матричному неравенству (3.32), то эллипсоид

x : x

−1

x ≤ 1

будет инвариантным. Обратно, все инвариантные эллипсоиды являются решениями (3.32)

при некоторых α ≥ β > 0. Заметим, что нас интересуют “минимальные” эллипсоиды

(т.е. среди матриц вида µP , удовлетворяющих (3.32), нас интересуют матрицы с ми-

нимальным µ). Поэтому следует взять максимально возможное β, оно равно α. Более

того, в (3.32) неравенство можно заменить на равенство (Лемма П.15). Среди таких эл-

липсоидов можно выбрать эллипсоид с минимальным следом tr P (или tr CP C

, если

мы имеем дело с выходом y = Cx). Итак, мы пришли к следующему утверждению.

Теорема 16 Пусть матрица A устойчива, пара (A, B) управляема, а C — матрица

полного ранга. Тогда множество достижимых y(t) в системе

˙x = Ax + Bu, x(0) = 0,

y = Cx, u

u ≤ 1, 0 ≤ t < ∞

содержится в эллипсоиде E =

y : y

(CP C

)

−1

y ≤ 1

, где P = P (α), α > 0, — решение

уравнения Ляпунова

AP + P A

+ αP + α

−1

= 0, P > 0.

Более того, решая однопараметрическую задачу минимизации

min

α>0

tr CP (α)C

получаем эллипсоид, обладающий минимальным следом среди всех эллипсоидов, содер-

жащих достижимое множество по выходу.

Случай дискретной системы анализируется практически так же. Пусть

= Ax

k−1

+ Bu

k−1

, x

= 0, x

∈ R

, u

∈ R

≤ 1, k = 0, 1, . . . .

3.5 МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ 89

Тогда для достижимых множеств S

, S возможно описание с помощью опорной функ-

ции:

k−1

i=0

¯B

)

¯, ϕ

∞

i=0

¯B

)

¯,

но они (как и для непрерывных задач) не являются эллипсоидами. Инвариантный эл-

липсоид

E =

x : x

−1

x ≤ 1

содержащий достижимое множество S для устойчивой A, описывается линейным мат-

ричным неравенством

AP A

− P +

1 − α

≤ 0

при α

∗

< α < 1, α

∗

= ρ

(A) а минимальный эллипсоид находится путем решения задачи

min

∗

<α<1

tr P (α),

где P (α) — решение дискретного уравнения Ляпунова

AP A

− P +

1 − α

= 0.

3.5.3 Интегральные оценки

Рассмотрим несколько иную постановку задачи о достижимости. Вернемся к систе-

ме (3.25):

˙x = Ax + Bu, x(0) = 0, kuk

≤ 1, (3.33)

но будем интересоваться не множеством значений x(t) в момент t, а интегральной ха-

рактеристикой системы:

∞

Rxdt,

где R > 0 — некоторая матрица. В частности, при R = I этот показатель совпадает с

-нормой решения:

J =

∞

xdt = kxk

Нас интересует, какие значения может принимать J для решений системы (3.33) при

всевозможных kuk

≤ 1. Ясно, что J

min

= 0 при u ≡ 0 (тогда x ≡ 0), поэтому важно

найти J

max

— максимальное значение J.

Теорема 17 Пусть A устойчива, пара (A, B) управляема, и при некотором γ > 0

уравнение Риккати

P + P A +

P BB

P + R = 0 (3.34)

имеет решение P > 0. Тогда

max

≤ γ

90 Глава 3. Устойчивость

Доказательство. Рассмотрим квадратичную форму

V (x)

= x

P x

с некоторым P > 0 и пусть для каких-то γ > 0 и u, kuk

≤ 1, на решениях системы (3.33)

выполнено

V (x) ≤ −x

Rx + γ

u. (3.35)

Тогда, интегрируя это неравенство от 0 до T с учетом того, что V

x(0)

= 0, получим

x(T )

≤ −

Rxdt + γ

udt.

Поскольку V

x(T )

≥ 0, то переходя к пределу при T → ∞ (что возможно в силу

устойчивости A), получим

J =

∞

Rxdt ≤ γ

∞

udt ≤ γ

Таким образом, число γ

дает верхнюю оценку J. Покажем теперь, как удовлетворить

неравенству (3.35). На решениях (3.33) имеем

V (x) = (Ax + Bu)

P x + x

P (Ax + Bu),

поэтому (3.35) принимает вид

P + P A + R)x + x

P Bu + u

P x − γ

u ≤ 0.

Оно будет заведомо выполнено, если мы потребуем его выполнения для любых пар x, u,

а не только тех, которые являются решением (3.33), т.е. если







P + P A + R P B

P −γ







≤ 0. (3.36)

Иначе говоря, если линейное матричное неравенство (3.36) имеет решение P > 0, то

J ≤ γ

. В свою очередь, (3.36) эквивалентно в силу леммы Шура (Лемма П.1 из При-

ложения) квадратичному матричному неравенству

P + P A +

P BB

P + R ≤ 0,

которое имеет решение P > 0, если уравнение Риккати (3.34) имеет решение P > 0.

Можно показать, что таким образом получается точная (а не завышенная) оцен-

ка J

max

, т.е. что существует такое u, kuk

≤ 1, что

max

= min{γ

: уравнение (3.34) имеет решение P > 0}.