Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление

Подождите немного. Документ загружается.

3.6. Сверхустойчивость 91

Алгоритм подбора такого минимального γ легко построить, последовательно прове-

ряя существование положительно-определенного решения уравнения (3.34) при раз-

личных γ.

Отметим, что величина

max

kuk

≤1

kyk

для выхода y = Cx системы (3.33) в соответствии с (1.34) равна H

∞

-норме передаточной

функции:

max

kuk

≤1

kyk

= kH(s)k

∞

= kC(sI − A)

−1

∞

поэтому вычисленная выше величина J

max

равна

max

= kH(s)k

∞

для C = R

1/2

(поскольку J = kyk

, y = R

1/2

x). Иначе говоря, приведенный способ

позволяет вычислять H

∞

-норму передаточной функции линейной системы.

Сопутствующие функции Matlab:

feasp (LMIC) — решение линейных матричных неравенств общего вида;

lyap, dlyap (CST) — решение уравнения Ляпунова в непрерывном и дискретном вре-

мени;

care, dare (CST) — решение уравнения Риккати (непрерывный и дискретный слу-

чаи);

sqrtm — вычисление квадратного корня от матрицы.

3.6 Сверхустойчивость

Устойчивость — асимптотическое свойство; оценки (3.3), (3.13), (3.10), справедли-

вые для всех моментов времени, включают некоторую константу C, которая может

быть весьма велика. В таком случае на начальном участке траектории может наблю-

даться эффект “всплеска” — резкого роста траектории. Мы увидим впоследствии, что

такие явления часто возникают при стабилизации системы. Чтобы их избежать, выде-

лим класс “сверхустойчивых” систем, для которых норма решения монотонно убывает.

Кроме того, преимущество такого перехода к более узкому классу систем заключается

в том, что сверхустойчивость сохраняется и для нестационарных систем, а также при

наличии нестационарных и нелинейных возмущений. Наконец, в Главах 4, 5 и 7, где

будут рассмотрены вопросы стабилизации по выходу, подавления ограниченных возму-

щений и робастной устойчивости при матричной неопределенности, мы покажем, что

для сверхустойчивых систем эти задачи допускают простое решение методами линей-

ного программирования.

Подчеркнем особо, что всюду в этом разделе используем ∞-норму для векторов.

92 Глава 3. Устойчивость

3.6.1 Сверхустойчивость линейных стационарных систем

Матрица A = ((a

)) ∈ R

n×n

непрерывной системы

˙x = Ax + Bu (3.37)

называется сверхустойчивой, если у нее на диагонали стоят отрицательные числа, и

они по абсолютной величине превосходят сумму модулей недиагональных членов по

строке

min

−a

−

j6=i

= σ(A) = σ > 0. (3.38)

Такие матрицы, как нетрудно показать, являются устойчивыми (т.е. max

{Re λ

} < 0,

где λ

— собственные значения A), но не наоборот. Например, матрица A =

−1 5

0 −1

является устойчивой (λ

= λ

= −1), но не сверхустойчивой (σ = −4). Систему (3.37)

со сверхустойчивой матрицей A также будем называть сверхустойчивой.

Теорема 18 Если система (3.37) сверхустойчива, то

а) при u(t) ≡ 0 справедлива оценка

|x(t)| ≤ |x(0)|e

−σt

; (3.39)

б) при |u(t)| ≤ 1, t > 0, и любом начальном |x(0)| ≤ γ

= kBk

/σ имеем

|x(t)| ≤ γ. (3.40)

Доказательство. Покажем, что для сверхустойчивой A

≤ e

−σt

Для малых t = δt справедливо e

A δt

≈ I + A δt, т.е. для матрицы M = e

A δt

с элементами

имеем

≈ 1 + a

δt > 0,

≈ a

δt,

так что

kMk

= max

| ≈ max

|1 + a

δt| + δt

j6=i

= max

1 + (a

j6=i

|) δt

≤ 1 − σ δt ≤ e

−σ δt

Поэтому для произвольного t = N δt, δt мало, справедливо

= ke

AN δt

≤ ke

A δt

≤

−σ δt

= e

−σt

Такие матрицы часто называют матрицами с отрицательным диагональным доминированием, а

иногда −A называют матрицами Адамара.

3.6. Сверхустойчивость 93

Отсюда, используя явные формулы для решения (3.1) и (3.9), получаем оценки теоремы.

Свойство а) — это устойчивость системы по начальному приближению. Из (3.39)

следует, что у сверхустойчивой системы существует функция Ляпунова, не являющаяся

квадратичной, именно:

V (x) = |x|.

Такая функция растет линейно по любому направлению: V (λx) = λV (x) для любого x

и любого λ ≥ 0; она является кусочно-линейной и недифференцируемой. В то же вре-

мя, у нее есть свойства и обычных функций Ляпунова: V (x) ≥ 0, причем V (x) = 0

только для x = 0, она выпукла и растет на бесконечности. Функция v(t) = V (x(t)),

где x(t) — решение системы ˙x = Ax, x(0) = x

, монотонно убывает; она, вообще гово-

ря, недифференцируема, но у нее существует левая и правая производные ˙v

−

(t), ˙v

(t),

причем

˙v

−

≤ −σv, ˙v

≤ −σv.

Это может быть показано так же, как в доказательстве Теоремы 18.

Важно отметить, что отличие от просто устойчивых систем заключается в том, что

для устойчивых матриц оценка (3.39) заменяется на (3.3):

|x(t)| ≤ C(A, ν)|x(0)|e

−νt

, 0 < ν < min

{−Re λ

где константа C(A, ν) может быть весьма большой. При этом норма x(t) не убывает

монотонно с ростом t, а может возрастать при малых t. Например, для той же матрицы

A =

−1 5

0 −1

при x(0) = (1; 1)

будет x(1) ≈ (2, 207; 0, 368)

, т.е. |x(1)| возрастает

более чем вдвое по сравнению с |x(0)| (см. подробнее в разделе 4.3). Для сверхустойчи-

вых систем нет этого нежелательного эффекта всплеска на начальном участке траек-

тории.

Свойство б) — это устойчивость системы по входу (BIBO устойчивость). При этом

куб {x ∈ R

: |x| ≤ kBk

/σ} называется инвариантным множеством для (3.37), т.е.

траектории, начинающиеся в этом множестве, остаются в нем при всех допустимых

возмущениях u.

Изложеннное относилось к непрерывному случаю, однако аналогичное понятие вво-

дится и для дискретных систем. Матрица A = ((a

)) ∈ R

n×n

дискретной системы

= Ax

k−1

+ Bu

k−1

(3.41)

называется (дискретно) сверхустойчивой, если

= kAk

< 1.

Как и в непрерывном случае, такие матрицы устойчивы (т.е. ρ(A) = max

|λ

(A)| < 1),

но не наоборот.

Аналог Теоремы 18 для дискретных сверхустойчивых систем дается следующим

результатом.

94 Глава 3. Устойчивость

Теорема 19 Пусть система (3.41) сверхустойчива. Тогда

а). Если u

≡ 0, то для любого k ≥ 1

| ≤ q

|; (3.42)

б). Если |u

| ≤ 1 для всех k ≥ 1, то при |x

| ≤ γ

= kBk

/(1 − q) будет

| ≤ γ, k = 1, 2, . . . (3.43)

Доказательство. Утверждение а) следует из того, что для любого k ≥ 1

| ≤ kAk

k−1

| = q|x

k−1

В случае б) имеем для любого k ≥ 1

| ≤ kAk

k−1

| + kBk

k−1

| ≤ q|x

k−1

| + kBk

и если |x

k−1

| ≤ kBk

/(1 − q), то из последнего неравенства получаем

| ≤ q

kBk

1 − q

+ kBk

= γ,

откуда по индукции приходим к (3.43).

Как и для непрерывного времени, полученные оценки говорят о монотонности убы-

вания нормы решения сверхустойчивой системы и наличии инвариантного множества

— куба {x ∈ R

: |x| ≤ kBk

/(1 − kAk

)}.

Выше отмечалось (конец раздела 3.3), что эффективных методов проверки устой-

чивости матриц не существует. В то же время проверка сверхустойчивости матриц не

вызывает никаких проблем, так как эти условия формулируются непосредственно в

терминах элементов матрицы, а не ее собственных значений.

3.6.2 Нестационарные системы и другие вопросы сверхустойчи-

вости

В отличие от устойчивости, сверхустойчивость сохраняется и в нестационарном слу-

чае, а также при наличии нестационарных и нелинейных возмущений. Рассмотрим бо-

лее общую систему, чем (3.41):

k+1

= A

+ f

где матрицы A

могут зависеть от времени, а возмущения f

) — и от времени k, и

от состояния.

Теорема 20 Пусть для всех k выполнено

≤ r < 1, |f

)| ≤ α + β|x

|, 0 ≤ β < 1 − r.

Тогда

3.6. Сверхустойчивость 95

а). При α = 0 справедливо

| ≤ q

|, q

= r + β < 1, k = 1 , 2, . . .

б). При α > 0 и |x

| ≤ γ

= α/(1 − q) справедливо

| ≤ γ, k = 1, 2, . . .

Доказательство дословно повторяет доказательство Теоремы 19.

Важно отметить, что для устойчивых систем аналогичная теорема неверна; в част-

ности, для них не выполняется свойство а): решения системы x

k+1

= A

могут не стре-

миться к нулю, даже если все матрицы A

устойчивы. Например, пусть A

= A

= . . . =

0 2

0 0

, A

= A

= . . . =

0 0

2 0

; тогда при x

= (0; 1)

будет x

= (0; 2

)

→ ∞,

хотя все матрицы A

устойчивы, ρ(A

) = 0.

Непрерывным аналогом Теоремы 20 служит следующий результат.

Теорема 21 Пусть для всех t > 0 система

˙x(t) = A(t)x(t) + f(t, x(t))

удовлетворяет условию

σ(A(t)) ≥ σ > 0, |f(t, x)| ≤ α + β|x(t)|, 0 ≤ β < σ.

Тогда

а). При α = 0 справедлива оценка

|x(t)| ≤ e

−(σ−β)t

|x(0)|, 0 ≤ t < ∞,

б). При α > 0 для любого |x(0)| ≤ γ

= α/(σ −β) выполняется

|x(t)| ≤ γ, 0 ≤ t < ∞.

Рассмотрим некоторые дополнительные свойства сверхустойчивых систем.

1. Спектральные свойства. Сверхустойчивые матрицы образуют подмножество ус-

тойчивых матриц. Накладывает ли сверхустойчивость какие-либо ограничения на рас-

положение собственных значений?

Лемма 6 Если матрица A ∈ R

n×n

непрерывной системы сверхустойчива, то ее соб-

ственные значения лежат в секторе

= {λ ∈ C : |arg λ − π| ≤ (1 − n

−1

)π/2}.

96 Глава 3. Устойчивость

В частности, при n = 2 собственные значения лежат в прямом угле, биссектриса

которого совпадает с отрицательной полуосью:

∈ S

= {λ = u + jv : u < 0, −u > |v|},

а при росте n сектор стремится к полной левой полуплоскости.

Если же матрица A дискретно сверхустойчива, то при n = 2 ее собственные значения

принадлежат ромбу

∈ R

= {λ ∈ C : |λ|

< 1},

(т.е. |u

|+ |v

| < 1, λ

= u

+ jv

); при n > 2 характеризация расположения собственных

значений не известна.

Устойчивость инвариантна относительно линейного преобразования координат (так

как A и T AT

−1

имеют одни и те же собственные значения). Напротив, поскольку свер-

хустойчивость формулируется в терминах элементов матрицы, а не ее собственных зна-

чений, то это свойство может теряться или, что важнее, приобретаться при переходе к

другой системе координат. Одна из простейших ситуаций, когда устойчивая матрица

становится сверхустойчивой в новых координатах, описывается следующей леммой.

Лемма 7 Пусть матрица A ∈ R

n×n

дискретной системы имеет различные собствен-

ные значения, которые принадлежат ромбу R

. Тогда невырожденным вещественным

линейным преобразованием координат она может быть сделана сверхустойчивой.

Доказательство. Согласно Лемме П.9 (см. Приложение), матрица A вещественно по-

добна блочно-диагональной матрице (П.6) с 2 ×2 вещественными блоками

−v

и 1×1 блоками λ

∈ R. Поскольку |λ

| < 1 для λ

∈ R и |u

|+|v

| < 1 для λ

= u

+jv

∈ C,

то это и означает (дискретную) сверхустойчивость матрицы A в новых координатах.

Совершенно аналогичный результат справедлив в непрерывном случае, но вместо

ромба R

фигурирует сектор S

2. Сверхустойчивость одномерных систем. Рассмотрим одномерный аналог свер-

хустойчивости. Пусть вместо многомерной дискретной системы (3.41) задана скалярная

система, описываемая разностным уравнением n-го порядка:

= p

k−1

+ p

k−2

+ . . . + p

k−n

+ u

, (3.44)

где x

∈ R

, u

∈ R

. Вводя оператор сдвига zx

= x

k−1

, приходим к записи

P (z)x

= u

, P (z) = 1 − p

z −p

− . . . − p

и система устойчива (т.е. x

→ 0 при любых начальных условиях x

−n

, x

−n+1

, . . . , x

−1

≡ 0), если полином P (z) устойчив, т.е. его корни лежат вне единичного круга.

Скажем, что полином P (z) сверхустойчив, если

i=1

| < 1. (3.45)

Вспомним, что в разделе 3.3.3 это условие приводилось как достаточное условие устой-

чивости дискретного полинома. Для одномерных систем со сверхустойчивым P (z) име-

ют место результаты, аналогичные Теоремам 19 и 20.

3.7. Выводы 97

Теорема 22 Пусть задана скалярная система

P (z)x

= G(z)u

где G(z) = g

z + . . . + g

, а полином P (z) = 1 + p

z + . . . + p

сверхустойчив. Тогда

а) при u

≡ 0 справедлива оценка

| ≤

kP (z) − 1k

k/n+1

max

−n≤i≤−1

|, k = 0, 1, . . . ;

б) при |u

| ≤ 1, k = 0, 1, . . ., и любых начальных |x

−n

| ≤ γ, . . . , |x

−1

| ≤ γ, где

kG(z)k

1 − kP (z) − 1k

будет

| ≤ γ, k = 0, 1, . . .

Отметим, что стандартный переход от скалярной системы (3.44) n-го порядка к эк-

вивалентной записи в пространстве состояний (т.е. к канонической управляемой форме)

не приводит к сверхустойчивой матрице.

Открытым остается вопрос об одномерном аналоге сверхустойчивости для непре-

рывных систем. По-видимому, не существует никакого разумного варианта сверхустой-

чивого полинома, корни которого должны лежать в левой полуплоскости.

3. Точность оценок. Еще одна проблема связана с тем, насколько завышены оценки,

полученные в Теоремах 18, 19, которые дают лишь верхние границы для соответству-

ющих величин. Не вполне ясно, сколь сильно они отличаются от истинных значений.

Нетрудно построить примеры, показывающие, что разница может быть очень велика.

Например, для A =

0 q

0 0

, |q| < 1, x

k+1

= Ax

, будет x

= 0, k ≥ 2 при любом x

, то-

гда как (3.42) дает |x

| ≤ |q|

|. Однако для этой же матрицы в неоднородной системе

k+1

= Ax

+ u

, |u

| ≤ 1, из (3.43) следует |x

| ≤ 1/(1 −|q|), тогда как sup |x

| = 1 + |q|,

т.е. разница не столь драматически велика, если |q| не слишком близко к 1. Численное

моделирование (генерировались сверхустойчивые случайно распределенные матрицы,

и для них вычислялись оценки (3.43) и sup

|) показали, что отношение составляет

1, 53; 2, 51; 3, 41 и 4, 32 при n = 2; 5; 10 и 20 соответственно.

Сопутствующие функции Matlab:

cdf2rdf — приведение матрицы к вещественной блочно-диагональной форме (П.6).

3.7 Выводы

• Непрерывная система, заданная в пространстве состояний

˙x = Ax + u

98 Глава 3. Устойчивость

называется устойчивой, если x(t) → 0 при t → ∞ для любого x(0) при u ≡ 0.

При наличии внешнего входа u система называется устойчивой, если x(t) оста-

ется ограниченным при любом ограниченном входе u(t) (BIBO устойчивость).

Необходимое и достаточное условие устойчивости системы: Re λ

(A) < 0 (матри-

ца A гурвицева). При этом, если u ≡ 0, то для всякого 0 < ν < σ

= min

{−Re λ

}

существует такое C = C(A, ν), что

|x(t)| ≤ C|x(0)|e

−νt

т.е. имеет место экспоненциальная скорость стремления x(t) к нулю; если же воз-

мущение u(t) ограничено для всех t, то гурвицевость A достаточна для ограни-

ченности решений ˙x = Ax + Bu (Теоремы 5 и 7). Величина σ = σ(A) называется

степенью устойчивости системы.

В дискретном случае устойчивость определяется так же, как и в непрерывном:

→ 0 при k → ∞ для любого x

. Необходимое и достаточное условие устойчиво-

сти: ρ (A)

= max |λ

(A)| < 1 (матрица A — шуровская или дискретно-устойчивая).

При этом для любого ε > 0, ρ + ε < 1 существует такое C = C(A, ε), что

| ≤ C|x

|(ρ + ε)

т.е. стремление к нулю происходит со скоростью геометрической прогрессии (Тео-

рема 8).

Устойчивость линейной системы эквивалентна существованию квадратичной функ-

ции Ляпунова вида V = x

P x, P > 0, которая положительна и монотонно убывает

на решениях x(t) системы.

• Полином называется гурвицевым (устойчивость в непрерывном времени), если

Re λ

< 0 для всех его корней, и шуровским (устойчивость в дискретном времени),

если |λ

| > 1.

Графические критерии позволяют делать выводы об устойчивости полинома P (·)

по поведению годографа P (jω) в непрерывном случае (критерий Михайлова) и

P (e

jω

) в дискретном случае.

Алгебраические критерии устойчивости формулируются в терминах коэффициен-

тов полиномов. Алгоритмы проверки устойчивости основаны на понижении степе-

ни полинома: в непрерывном случае — это алгоритм Рауса, Лемма 3; в дискретном

случае — алгоритм Рауса-Шура, Лемма 4.

• При описании в частотной области выводы об устойчивости замкнутой системы

можно делать по поведению годографа передаточной функции разомкнутой систе-

мы. Критерий Найквиста (Теорема 11) дает необходимые и достаточные условия

устойчивости одномерной системы, замкнутой единичной обратной связью.

При анализе устойчивости систем, заданных передаточными функциями, не до-

пускается сокращение общих неустойчивых нулей и полюсов.

3.7. Выводы 99

• В многомерном случае система, заданная матричной передаточной функцией,

устойчива тогда и только тогда, когда ее полюса лежат в левой полуплоско-

сти; иными словами, когда она принадлежит RH

∞

(поскольку рассматриваются

лишь реализуемые передаточные функции). Если матричная передаточная функ-

ция разомкнутой системы равна G(s), то согласно многомерному аналогу кри-

терия Найквиста (Теорема 13) устойчивость замкнутой системы с передаточ-

ной функцией H(s) = (I + G)

−1

G определяетя по поведению годографа g(jω)

det

I + G(jω)

• Устойчивость многомерных замкнутых систем формулируют как внутреннюю

устойчивость; при этом обычно используют конфигурацию на рис. 3.7. В такой

системе присутствуют четыре передаточных функции

(I −KG)

−1

, (I −GK)

−1

G, (I −KG)

−1

K, (I − GK)

−1

где G(s) и K(s) — матричные передаточные функции объекта и регулятора. Го-

ворят, что система внутренне устойчива, если все четыре функции принадлежат

∞

, а конфигурация корректна, т.е. матрица I − K(∞)G(∞) обратима.

• Множеством достижимости системы

˙x = Ax + Bu,

y = Cx

называется множество S ⊆ R

ее возможных состояний для всех входных сигна-

лов, ограниченных в какой-либо норме. Для устойчивых систем множества дости-

жимости ограничены и допускают простое описание.

В случае L

-нормы (kuk

≤ 1) множество достижимости — эллипсоид, описывае-

мый Теоремой 14: Если A устойчива и пара (A, B) управляема, то

S =

x : x

−1

x ≤ 1

где W > 0 — решение уравнения Ляпунова AW + W A

= −BB

. При этом дости-

жимое множество выходов

y(t) = Cx(t), 0 ≤ t < ∞

также является эллипсоидом

Y =

y : y

(CW C

)

−1

y ≤ 1

Аналогичный результат верен и для дискретных систем, с той лишь разницей, что

матрица W , задающая эллипсоид досижимости, является решением дискретного

уравнения Ляпунова AW A

+ BB

= W . В системе с одним выходом (y = c

множество Y — отрезок |y| ≤ (c

W c)

1/2

, поэтому величина c

W c может служить

показателем качества управления (при минимизации выхода) при выборе обрат-

ной связи в системах с возмущениями, ограниченными в L

-норме.

100 Глава 3. Устойчивость

В случае L

-нормы можно интересоваться не множеством значений, а интеграль-

ной оценкой:

∞

Rxdt,

где R > 0 — некоторая матрица. При R = I этот показатель совпадает с L

-нормой

решения: J = kxk

, поэтому величина J характеризует “размер” множества до-

стижимости, и нас интересует J

max

— максимальное значение J. Ответ дается

Теоремой 17: если A устойчива, пара (A, B) управляема, и при некотором γ > 0

уравнение Риккати

P + P A +

P BB

P + R = 0

имеет решение P > 0, то J

max

≤ γ

(причем эта оценка — точная, т.е. существует

такое kuk

≤ 1, что J

max

= min{γ

: уравнение Риккати имеет решение P > 0}).

Последовательно проверяя существование положительно-определенного решения

уравнения Риккати при различных γ, находим минимальное допустимое γ и “ис-

тинное” J

max

. С помощью такого алгоритма вычисляется H

∞

-норма передаточной

функции H(s) = C(sI − A)

−1

B системы c выходом y = Cx при C = R

1/2

В случае L

∞

-нормы (kuk

∞

≤ 1) множество S не является эллипсоидом, но может

быть хорошо аппроксимировано эллипсоидом (поскольку оно оказывается выпук-

лым и центрально-симметричным). Пусть A устойчива; тогда

x : x

Qx ≤ 1

называется инвариантным эллипсоидом, если из x(0) ∈ E следует, что x(t) ∈ E

для всех t ≥ 0, где x(t) — решение системы при kuk

∞

≤ 1. Если A устойчива, пара

(A, B) управляема, а пара (A, C) наблюдаема, то Теорема 16 дает описание мини-

мального инвариантного эллипсоида (в смысле следа матрицы, его задающего),

содержащего множество достижимых выходов системы.

• Матрица A = ((a

)) ∈ R

n×n

непрерывной системы называется сверхустойчивой,

если

< 0, min

−a

−

j6=i

= σ > 0,

при этом и саму систему называем сверхустойчивой. В сверхустойчивой системе

˙x = Ax + Bu при отсутствии возмущений (u ≡ 0) справедлива оценка

|x(t)|

∞

≤ |x(0)|

∞

−σt

а при наличии ограниченных возмущений kuk

∞

≤ 1 — оценка

|x(t)|

∞

≤

kBk

при |x(0)|

∞

≤

kBk

(Теорема 18). Сверхустойчивость представляет собой простые достаточные усло-

вия устойчивости, выделяющие класс систем, для которых норма решения x(t)