Рыжова И.М. Математическое моделирование почвенных процессов

Подождите немного. Документ загружается.

слое (0-Ю ом) обыкновенных черноземов. Полученные оценки скоро-

сти накопления органического вещеотва в почве также удовлетвори-

тельно согласуются с современными представлениями о темпах почво-

образования.

Модель Т.Г.Гильманова (1974) не только дает описание процес-

сов разложения органических остатков и накопления органического

вещества в почве в многолетнем масштабе, но и открывает возмож-

ность количественного исследования поведения системы при различ-

ных условиях. Например, она позволяет ответить на вопрос какими

параметрами определяется величины отношения стационарных значе-

ний ДСз

;

Я,которые в почвоведении фигурируют как соотношения

гк

: С^, и другие вопросы.

После того как модель исследована, возникает задача ее ин-

терпретации, т.е. перевода утверждений, полученных относительно

модели, на утверждения относительно системы-оригинала. Интерпре-

тация модели не является строго однозначной, так как разобравшись

в менее сложной системе, нужно применить полученные результаты к

более сложной. Поэтому при разработке математических моделей поч-

венных процессов нужно помнить, что они должны быть хорошо интер-

претируемы.

Возможность моделирования сложных динамических систем, к ко-

торым относится почва, в значительной степени зависит от принци-

па иерархической организации или принципа интегративных уровней.

Этот принцип утверждает, что для предсказания поведения сложной

системы не обязательно точно знать как ее компоненты построены

из более простых компонентов

(0дум,1975).

В зависимости от характера огрубления для одной и той же

системы-оригинала можно получить несколько различных моделей.

Степень детализации модели, форма ее представления в первую

оче-

редь определяются целями исследования.

Математические модели могут быть построены для разных целей.

Математическая модель представляет собой более четкое описание

системы, чем большинство словесных моделей. При их построении на-

чинают со словесных и уточняют их до тех пор, пока не удастся

их перевести на язык математики, В том случае, когда исходная

словесная модель является неточным описанием исследуемой системы,

ее недостатки легко обнаруживаются при попытке преобразования в

математическую форму. Таким образом, моделирование высвечивает

пробелы в наших знаниях об исследуемой системе и следовательно

модели могут играть важную роль в планировании новых наблюдений

и экспериментов.

Математические модели могут служить целям интеграции инфор-

мации об изучаемой системе, так как позволяют связать в единое

целое результаты отдельных локальных исследований, перевести их

на единый математический язык и эффективно использовать при реше-

нии поставленной задачи.

Очень часто модели строят с целью прогнозирования последст-

вий тех или иных антропогенных воздействий на изучаемые системы.

Поскольку такие системы как почва обладают случайными входами (нап-

ример, погода) которые не всегда могут быть предсказаны, в почво-

ведении целесообразно

строить'

модели не столько для получения то-

чных детальных прогнозов, сколько для нахождения оценок, позволя-

ющих видеть допустимые границы антропогенных воздействий, и оп-

ределения тенденций развития почвообразовательного процесса.

Математические модели обычно оцениваются по трем основным

свойствам: реалистичности, точности, и общности.

Реалистичность модели - это степень соотве-

тствия ее математических посылок и результатов существующим

пре-

дставлениям о моделируемом объекте.

Точность модели - это ее способность количествен-

но воспроизводить те данные, на которых она построена, и пред-

сказывать будущие изменения.

Общность модели - это число различных ситуаций,

которые модель может описывать.

Очевидно, что говорить о точности имеет смысл только для реалис-

тичных моделей.

В настоящее время известно большое количество разнообразных

моделей сложных природных систем. Неоднократно предпринимались

попытки их классификации (Ляпунов, Багряновская, 1975; Сиротен-

ко,

1981; Розенберг, Ш'Л). Наиболее часто модел:' классифицируют

по технике моделирования, рассмотрим классификацию такого типа

(рис.3),

приведенную в книге Б.Д.Федорова и Т.Г.Гильманова

(1980).

По типу реализации модели различаются на реальные и идеаль-

ные.

,К первой группе относятся натурные и аналоговые модели. Тру-

дности, вознигаюшие в работе с этими моделями, связаны с устано-

влением степени их адекватности системе-оригиналу, а также часто

носят технический характер. Идеальные модели подразделяются в

свою очередь на концептуальные (словесные и графические) и мате-

матические модели, которые выражаются языком математических сим-

волов.

3 книге Дж.дже?фзрса (1981) рассматривается вопрос, почему

Модели

Реальные

(натурные.аналоговые)

Идеальные

(знаковые)

Концептуальные

вербальные,графические

Аналитические

оператор известен

аналитической форме

Диокретвие-нбцрерывшн

Детерминированные-

-отохастические

Точевные-проотранст-

венныв

Статистические-дина-

мические

Математические

Численные

(имитационные)

Дискретные-непрерывные

Детерминированные-

-стохастические

Точечные-пространст-

венные

Статистические-дина-

мические

Рис. 3.

Схематическая классификация моделей

(по

Федорову,

Гяльманову,

1980)

нельзя ограничиться словесными моделями и избежать пристрастия

к математике? С помощью словесных моделей можно легко влжскуть

в проблему, когда нужно определить сложные связи. Даже самые ток-

кие связи часто можно описать словами, подтверждением тому слу-

жат горы литературы на разных языках, но одновременное действие

многих сложных связей, имеющих место в сложных природных системах,

очень трудно представить при noMqnpi последовательных отношений

между словами. Суть этих связей быстро теряется во множестве

слов,

необходимых для их описания. Преимущество математических моделей

в сравнении со словесными заключается в том, что их логическая

структура более определенна, на ее основе легче проследить путь

от предположений до вытекающих из них последствий.

Множество математических моделей можно разделить на две

большие группы: аналитические модели, в которых для определения

значения переменных состояния модели могут быть получены анали-

тические выражения, позволяющие для любых входных функций и нача-

льных условий непосредственно определять значения инторэсующих

нас величин, и имитационные модели, в которых ЭВМ является прин-

ципиально необходимым аппаратом исследования, так как значения

переменных состояния модели рассчитываются по входным и

началь-

ным данным с помощь» набора математических операций, записанных

в виде машинной программы.

Как аналитические, так и имитационные модели могут подразде-

ляться

на.

детерминированные и стохастические

(вероятностные).

В детерминированных моделях значения переменных состояния

модели определяются однозначно с точностью до ошибок вычислений.

В стохастических моделях дая каждой перемепной может быть

получено распределение ее возможных 'значений, характеризуемое

такими показателями как математическое ожидание, дисперсия и

т.п. По характеру временного описания динамики переменных состо-

яния модели различаются на дискретные и непрерывные. Дискретные

модели описывают поведение системы в фиксированные моменты време-

ни.

В непрерывных моделях значения переменных состояния могут

быть найдены для любого момента времени рассматриваемого интер-

вала.

Модели могут отражать ситуации, меняющиеся или не меняющие-

ся со временем. Статические модели описывают взаимосвязи, не под-

верженные временным изменениям, а в динамических моделях рассмат-

риваются отношения, изменяющиеся во времени.

Важным признаком-, по которому различаются модели сложных

природных систем, является характер описания их пространственно-

го строения. Модели, в которых пространственная структура системы

не рассматривается, называются точечными (или моделями с сосредо-

точенными

параметрами).

Например, при моделировании почвы в каче-

стве переменных состояния могут быть взяты усредненные по площади

и глубине значения концентраций различных элементов - это будет

точечная модель. Если бы в этой модели учитывалось распределение

элементов по профилю почвы, то получилась бы более детальная мо-

дель,

со значениями распределенными по глубине, но все еще осред-

ненными по площади. Наконец, учитывая распределение и по глубине

и по площади, получают модель с пространственно распределенными

параметрами.

Наибольший интерес для нас представляют имитационные модели,

так как в подавляющем большинстве случаев получить аналитические

модели почвенных процессов достаточно трудно или в принципе не-

возможно.

Н.Н.Моисеев (1981) отмечает, что термин имитационная модель

не совсем удачен, так как любая модель в принципе имитационная

ибо она имитирует реальность. Поэтому в последнее время возник

новый термин - машинный, или вычислительный эксперимент. Под вы-

числительным экспериментом понимают создание и изучение матема-

тических моделей на ЭВМ.

Создание математической модели лишь первый шаг вычислитель-

ного эксперимента. Необходимо изучить ее поведение, т.а. решить

входящие в нее уравнения при различных значениях параметров, уп-

равляющих исследуемыми процессами.

Модель должна быть доброкачественной т.е. правильно отра-

жать те особенности изучаемых процессов, которые интересуют ис-

следователя. Информация заложенная в модель, должна- быть надеж-

ной. Известному ученому прошлого века Гексли принадлежит замеча-

тельная фраза о математике, которая уподобляется жерновам, она

перемалывает любой продукт, но из плевел муки получить нельзя

даже при идеальных жерновах. Если модель реалистична, то иссле-

дователь получает возможность, проводя вычислительный эксперимент

как бы изучать саму природу, задавая ей вопросы и получая относи-

тельно полные ответы. В противном случае изучение модели это всего

лишь математические упражнения.

Вычислительный эксперимент похож на обычный. На ЭВМ (экспе-

риментальной установке) проводится серия расчетов

(измерений),

результате которых исследователь получает совокупность чисел,опи-

сывающих поведение изучаемой системы.

На заключительном этапе проводится анализ результатов, сопо-

ставление их с данными натурных экспериментов и становится ясно,

удачно ли выдрана модель. При необходимости она уточняется и

"цикл"

вычислительного эксперимента повторяется снова. Заканчи-

вая эту главу, рассмотрим вопрос о том, насколько можно верить

результатам моделирования? Ведь изучается не сама система-ориги-

нал,

а ее упрощенное абстрактное отражение.

Залогом истинности результатов моделирования служит то, что

построение модели основано на всех имеющихся теоретических пред-

ставлениях и экспериментальных данных об изучаемой системе, на

всем приобретенном ранее опыте, а также обязательное сравнение

полученных результатов с практикой.

Было бы неправильно противопоставлять друг другу вычислите-

льный и натурный эксперименты. Нужно внимательно следить, чтобы

моделирование не превращалось в самоцель, постоянно помнить» что

ЭВМ это всего лишь инструмент исследования, возможности которого

раскрываются только в сочетании моделирования с другими методами,

с учетом всего накопленного опыта.

Глава 2. ОБЩАЯ СХЕМА ИЗУЧЕНИЯ СЛОННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ

СИСТЕМ МЕТОДОМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Во многих работах по моделированию сложных динамических си-

стем отмечается, что целесообразно этот единый процесс расчле-

нить на .ряд этапов (Гильманоз, 1978; Федоров, Гильманов,

I960;

Сиротенко,

1981; Ляпунов, 1981; Джэф&врс,

1981).

Наиболее обсто-

ятельно,

на наш взгляд, общая схема системного подхода к изуче-

нию сложных динамических объектов описана в книгах Т.Г.Гильмано-

ва (1978) и В.Д.Федорова, Т.Г.Гильманова

(I98U).

При изложении

этого вопроса мы будем следовать этим работам.

При изучении сложных динамических систем методом математи-

ческого моделирования обычно выделяют следузщие этапы работы:

I) постановка задачи, 2) концептуализация, 3)спецификация,

4) наблюдения, 5) идентификация, 6)эксперименты, 7) проверка

модели, 8) исследование модели, 9) оптимизация модели, 10) зак-

лючительный синтез.

Эти этапы могут последовательно сменять друг друга во

вре-

мени или осуществляться параллельно. Охарактеризуем каждый из

этих этапов.

I. Постановка задачи.

Такие системы, как почва, биогеоценоз, биосфера представля-

ют собой чрезвычайно сложный многогранный и динамичный объект

-исследования. Невозможно построить одну какую-либо модель кото-

рая бы отражала все аспекты функционирования сложной системы..

Она получилась

бы не

менее сложной,

чем

система-оригинал которую

модель призвана описывать

объяснять. Для различных целей может

быть построено множество равноправных моделей, описывающих наибо-

лее существенные для решения поставленной задачи свойства изуча-

емой системы.

Назначение этого этапа состоит

том, чтобы конкретизировать

направление исследований, выделив, исходя

из

поставленной цели,

наиболее важные аспекты функционирования системы-оригинала.

Рассматриваемый этап является решающим для всего исследова-

ния,

так как

результаты моделирования

во

многом будут зависеть

от

формулировки вопросов,

на

которые модель призвана ответить. Успех

или неудача всего исследования будет зависеть

от

постановки зада-

чи,

потому что,

одной стороны, можно выбрать проблему,

не

под-

дающуюся решению методом математического моделирования,

а с

дру-

гой

взяться

за

задачу, для решения которой

не

требуется всей

мощи этого метода

решать которую методом математического моде-

лирования неэкономично.

Концептуализация.

Исходя

из

поставленной задачи,

на

этапе концептуализации

суммируются известные сведения

представления

об

изучаемой сис-

теме.

На

основе этой информации дается

ее

словесное описание

виде достаточно полной

непротиворечивой концептуальной модели.

Из всего известного

об

исследуемой системе модель концент-

рирует данные, необходимые для решения поставленной задачи,

и в

то

же

время служит отправной точкой

для

проведения будующих

ис-

следований.

На

этом этапе выделяются пространственные

времен-

ные границы системы. Например, если объектом исследования являет-

ся почва,

то

определяется

ее место

биогеоценозе

ландшафте

как системах более высокого уровня иерархии, устанавливаются

вне-

шние "входы"

"выходы",т.е. связи

окружающей средой (атмосфе-

рой,

прчвообразугощими породами, грунтовыми водами, растительнос-

тью

т.п.),

также выявляются антропогенные воздействия

на по-

чву.

3. Спецификация.

Задача этого этапа заключается

том, чтобы определить

со-

ставы множества внутренних элементов, называемых переменными

состояния модели

Х=

[х

...,

<„},

множества входных переменных,

которые называются внешними переменными модели V"

{Ц-,

•••,

^} .

На этапе спецификации указывается, каким измеряемым свойствам

системы-оригинала

и ее

окружающей среды сопоставляются--перемен-

ные состояния

ОС.,,

••

-,эсЦ

внешние переменные

..-;,

сГ

моде-

ли

какие^

методы

единицы измерения

при

этом используются.

- 1061 Т7

Наблюдения,

По результатам спецификации планируются и проводятся иоле-

вые наблюдения за динамикой свойств изучаемой системы и окружаю-

щей среда, соответствующих переменных состояния 3d и внешним

переменным модели UJ .

5. Идентификация структуры модели.

Назначение этого этапа заключается в установлении (иденти-

фикации) структуры

модели.

Под математической структурой модели

понимается совокупность математических отношений между специфици-

рованными переменными модели. Эти соотношения должны с определен-

ной точностью отражать действительные количественные соотношения

между обозначаемыми этими переменными свойствами изучаемой систе-

мы и ее внешней среды. Различают качественные и количественные

(аналитические) аспекты структуры модели.

Качественная структура описывает только наличие или отсутст-

вие связей между переменными модели.

Количественная (аналитическая) структура устанавливает кон-

кретный аналитичэский вид зависимостей между переменными состоя-

ния и внешними переменными модели.

Для графического изображения качественной структуры модели

широко используется язык потоковых диаграмм, предложенный Дк.Фор-

рестером (1971) для динамического моделирования сложных индустри-

альных систем. В отечественной литературе для изображения потоков

вещества и энергии в природных системах графический язык был

предложен А.А.Ляпуновым и А.А.Титляновой

(1971),

Познакомимся с некоторыми элементами и операциями языка по-

токовых диаграмм, которые понадобятся нам в дальнейшем при

рас-

смотрении моделей почвенных процессов.

1) Резервуары (блоки, уровни) - прямоугольники с входящими

и выходящими стрелками. Каждому прямоугольнику ставится в соот-

ветствие одна переменная состояния модели. Символ (идентифика-

тор) этой переменной записывается внутри прямоугольника

(рис.4А).

2) Внешние резервуары (источники, стоки) изображаются окру-

глыми фигурами неправильной формы. Из этих резервуаров выходят

или в них входят сплошные линии со стрелками (рис. 4Б).

3) Линии со стрелками: а) оплошными линиями со стрелками

изображаются потоки вещества или энергии;- б) пунктирными линия-

ми изображаются потоки информации (рис. 4В).

4) Операция считывания информации изображается кружочком

на контуре фигуры

выходящей пунктирной стрелкой. Принимается,

что при этом значение переменной, информация о которой считывает

ся,

не изменяется (рис. 4Г).

—6—

«)

^•T

fil

7V^

Рис.

4. Условные обозначения, применяемые

на потоковых диаграммах.

5) Внешние переменные изображаются клипсами с символом пере-

менной внутри, с которых считывается информация (рис. 4Д).

6) Функции переноса действуют как вентили, регулирующие ве-

личину потоков вещества или энергии, и поэтому изображаются сим-

волами в фррме вентилей (рис. 4Е).

7) Праметры(константы) обозначаются отрезком прямой с сим-

волом считывания информации, ниже или выше которого записывается

идентификатор параметра, как это показано на рис. 4Ж.

Для примера изобразим качественную структуру, рассмотренной

в предыдущей главе модели многолетней динамики органического ве-

щества в почве, в форме потоковой диаграммы (рис. 5).

Для определения количественной (аналитической)структуры мо-

дели необходимо установить конкретную аналитическую форму зави-

симостей между переменными модели. Для этого привлекаются имею-

щиеся знания о моделируемом объекте. К сожалению, количественные

закономерности протекания многих процессов в сложных природных

динамических система:: еще не установлены. В таких случаях широко

используются статистические методы идентификации. При этом испо-

льзуются теория статистической проверки гипотез, теория оценива-

ния параметров, корреляционный и регрессионный анализ и другие

методы.

Как правило, основу структуры динамических моделей сложных

систем составляет система дифференциальных или разностных уравне-

ний,

выражающих закон изменения переменных состояния модели во

времени.

6. Эксперименты.

При идентификации модели, как правило, возникает потребно-

сть в проведении полевых или лабораторных экспериментов с целью

проверки различных гипотез о характере взаимосвязей между пере-

менными модели или, когда форма связей известна с точностью до

значений некоторых параметров, для получения оценок этих пара-

метров.

Как и наблюдения за системой-оригиналом эксперименты

проводятся параллельно с другими стадиями исследования, переоди-

чески взаимодействуя с некоторыми из них, вследсвии чего возмож-

но возвращение к предыдущим этапам с учетом дополнитачьной эк-

спериментальной информации.

Реализация модели.

После идентификации м:дели встает задача получения ее реше-

ния,

т.е. нахождения функций ОС с (t) , которые тождественно

удо-

влетворяют системе математических отношений модели. Лишь в ред-

ких случаях удается найти аналитическое решение, чаще всего его