Салимов Р.Б. Математика (для студентов бакалавриата)
Подождите немного. Документ загружается.
Р. Б. Салимов
МАТЕМАТИКА
ДЛЯ СТУДЕНТОВ БАКАЛАВРИАТА
2011г.
Салимов Р. Б. Математика для студентов бакалавриата. 5354.ru, 2011.
Книга рассчитана на студентов бакалавриата, обучающихся на
строительных, технологических и других родственных специальностях и
изучающих курс математики в объёме примерно 350 часов аудиторных
занятий с разбиением последних поровну на лекционные и практические.
Она содержит все основные разделы математики, изучаемые студентами
названных специальностей: элементы аналитической геометрии и линейной
алгебры, дифференциальное и интегральное исчисления, элементы теории
вероятностей и математической статистики.
Для научных работников, преподавателей, аспирантов и студентов,
специали-зирующихся в области математики и ее приложений.
© Салимов Р. Б. 2011
© 5354.ru. 2011
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ............................................................................................................................. 7
Глава 1. ЭЛЕМЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ .................................................................. 8
§ 1. Действительные числа, числовая ось, определители второго и третьего порядков ..... 8
§ 2. Декартовы координаты. Полярные координаты ............................................................ 10
§ 3. Векторы, линейные операции над ними ......................................................................... 11
§ 4. Проекция вектора на ось ................................................................................................... 13
§ 5. Разложение вектора по базисным векторам ................................................................... 14
§ 6. Линейные операции над векторами, заданными своими проекциями ......................... 15
§ 7. Длина вектора. Расстояние между двумя точками ........................................................ 16
§ 8. Направляющие косинусы вектора ................................................................................... 17
§ 9. Скалярное произведение векторов, угол между векторами. Условие ортогональности
двух векторов ............................................................................................................................ 17
§ 10. Векторное произведение векторов, условие коллинеарности двух векторов,
площадь треугольника ............................................................................................................. 19
§ 11. Смешанное произведение векторов и его геометрический смысл. Условие
компланарности трех векторов ............................................................................................... 23
Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ..................................................... 26
§ 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве ........................................ 26
§ 2. Плоскость, общее уравнение плоскости ......................................................................... 27
§ 3. Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности
плоскостей ................................................................................................................................. 29
§ 4. Расстояние от точки до плоскости в пространстве ........................................................ 29
§ 5. Прямая в пространстве и ее уравнения ........................................................................... 31
§ 6. Канонические уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящей через две
заданные точки ......................................................................................................................... 32
§ 7. Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности ......... 33
§ 8. Уравнение линии на плоскости ........................................................................................ 34
§ 9. Общее уравнение прямой на плоскости, угол между прямыми ................................... 35
§ 10. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, условия параллельности и
перпендикулярности прямых .................................................................................................. 36
§ 11. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым
коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки ................... 37
§ 12. Кривые второго порядка. Окружность .......................................................................... 37
§ 13. Эллипс .............................................................................................................................. 38
§ 14. Гипербола ......................................................................................................................... 40
§ 15. Парабола ........................................................................................................................... 42
§ 16. Преобразование координат на плоскости ..................................................................... 44
§ 17. Понятие о многомерном евклидовом пространстве .................................................... 46
§ 18. Поверхности второго порядка. Сфера. Цилиндр ......................................................... 49
§ 19. Эллипсоид ........................................................................................................................ 50
§ 20. Конус ................................................................................................................................ 51
§ 21. Однополостный и двуполостный гиперболоиды ......................................................... 52
§ 22. Эллиптический и гиперболический параболоиды ....................................................... 53
Глава 3. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ........................................................................ 55
§ 1. Определители высших порядков ..................................................................................... 55
§ 2. Свойства определителей ................................................................................................... 56
§ 3. Матрицы и действия над ними. Обратная матрица ....................................................... 57
§ 4. Системы линейных алгебраических уравнений с неизвестными. Матричный
метод решения .......................................................................................................................... 61
n
n
5354.ru
4
§ 5. Формулы Крамера ............................................................................................................. 62
§ 6. Общая система линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса ........................ 64
§ 7. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли ............................................................... 67
§ 8. Однородные системы ........................................................................................................ 68
Глава 4. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ .................................................................................................... 70
§ 1. Обозначения, переменные, интервалы ............................................................................ 70
§ 2. Свойства абсолютной величины числа ........................................................................... 71
§ 3. Функция, способы задания ............................................................................................... 72
§ 4. Предел функции при и его геометрический смысл ........................................ 74
§ 5. Предел функции при и его геометрический смысл. Односторонние пределы
.................................................................................................................................................... 76
§ 6. Теоремы о пределах. Ограниченные функции ............................................................... 77
§ 7. Бесконечно малые функции и их свойства ..................................................................... 79
§ 8. Бесконечно большая функция, ее связь с бесконечно малой........................................ 82
§ 9. Свойства пределов............................................................................................................. 83
§ 10. Переход к пределу в неравенствах ................................................................................ 85
§ 11. Первый замечательный предел ...................................................................................... 86
§ 12. Предел последовательности. Второй замечательный предел. Натуральные
логарифмы ................................................................................................................................. 87
§ 13. Сравнение бесконечно малых функций ........................................................................ 89
§ 14. Непрерывность функции в точке и на интервале ......................................................... 90
§ 15. Свойства непрерывных функций ................................................................................... 91
§ 16. Точки разрыва функции .................................................................................................. 93
Глава 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ...................................... 95
§ 1. Задача об определении скорости ..................................................................................... 95
§ 2. Определение, механический и геометрический смыслы производной ....................... 96
§ 3. Касательная и нормаль к кривой. Существование производной .................................. 98
§ 4. Дифференцируемость функции ....................................................................................... 99
§ 5. Производная постоянной. Правила дифференцирования ........................................... 100
§ 6. Производные тригонометрических и логарифмической функций ............................. 102
§ 7. Производная сложной функции ..................................................................................... 104
§ 8. Производные степенной и показательной функций. Логарифмическое
дифференцирование ............................................................................................................... 105
§ 9. Неявная функция и её производная ............................................................................... 106
§ 10. Обратная функция и ее производная ........................................................................... 107
§ 11. Производные обратных тригонометрических функций ............................................ 108
§ 12. Функция, заданная параметрически, и ее дифференцирование ............................... 110
§ 13. Дифференциал функции и его применение в приближённых вычислениях ........... 112
§ 14. Производные и дифференциалы высших порядков................................................... 114
Глава 6. ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНЫЕ В ЗАМКНУТОМ ИНТЕРВАЛЕ. ПРАВИЛО
ЛОПИТАЛЯ ................................................................................................................................ 116
§ 1. Свойства функций, непрерывных в замкнутом интервале ......................................... 116
§ 2. Теоремы Ферма и Ролля ................................................................................................. 118
§ 3. Теоремы Коши и Лагранжа ............................................................................................ 120
§ 4. Правило Лопиталя ........................................................................................................... 122
§ 5. Раскрытие неопределённостей ....................................................................................... 124
Глава 7. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ....... 127
§ 1. Возрастание и убывание функции ................................................................................. 127
§ 2. Точки экстремума функции. Необходимый признак экстремума. Наибольшее и
наименьшее значения функции в замкнутом интервале ................................................... 128
x → +∞
0
xx→
5
§ 3. Достаточные признаки экстремума функции ............................................................... 131
§ 4. Выпуклость линии. Точки перегиба кривой ................................................................. 134
§ 5. Асимптоты кривой .......................................................................................................... 137
§ 6. Общая схема исследования функций и построения графиков ................................... 139
Глава 8. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ ...................................... 141
§ 1. Производная длины дуги кривой ................................................................................... 141
§ 2. Кривизна кривой на плоскости ...................................................................................... 142
§ 3. Радиус, центр и круг кривизны кривой на плоскости ................................................. 145
§ 4. Параметрические и векторное уравнения линии в пространстве ............................... 146
§ 5. Предел и производная векторной функции скалярного аргумента ............................ 147
§ 6. Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости для пространственной
кривой ...................................................................................................................................... 150
Глава 9. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ................................................................... 152
§ 1. Функции двух переменных и способы их задания ...................................................... 152
§ 2. Геометрическое представление функции двух переменных ...................................... 154
§ 3. Функции трёх и большего числа переменных. Частное и полное приращения
функции ................................................................................................................................... 155
§ 4. Предел функции .............................................................................................................. 156
§ 5. Непрерывность, точки и линии разрыва функций ....................................................... 158
§ 6. Свойства функций, непрерывных в конечной (ограниченной) замкнутой области . 159
§ 7. Частные производные ..................................................................................................... 160
§ 8. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных ............. 161
§ 9. Полный дифференциал ................................................................................................... 163
§ 10. Применение полного дифференциала функции в приближённых вычислениях.... 165
§ 11. Производная сложной функции ................................................................................... 166
§ 12. Дифференцирование функций, заданных неявно ...................................................... 168
§ 13. Частные производные высших порядков .................................................................... 170
§ 14. Экстремумы и необходимые признаки экстремума функции двух переменных ... 171
§ 15. Достаточный признак экстремума Схема исследования на экстремум функции двух
переменных ............................................................................................................................. 173
§ 16. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в
замкнутой области .................................................................................................................. 175
§ 17. Касательная плоскость и нормаль к поверхности ...................................................... 176
§ 18. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности .................................. 178
§ 19. Производная по направлению ...................................................................................... 179
§ 20. Градиент функции и его связь с производной по направлению ............................... 181
Глава 10. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ....................................................................................... 184
§ 1. Комплексные числа и действия над ними .................................................................... 184
§ 2. Геометрическое изображение и тригонометрическая форма комплексного числа .. 185
§ 3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного
числа ........................................................................................................................................ 187
Глава 11. НЕПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ............................................................................ 189
§ 1. Определение первообразной и неопределённого интеграла. Таблица основных
интегралов ............................................................................................................................... 189
§ 2. Свойства неопределённого интеграла ........................................................................... 191
§ 3. Замена переменной в неопределённом интеграле ....................................................... 193
§ 4. Интегрирование по частям ............................................................................................. 194
§ 5. Интегрирование простейших рациональных дробей................................................... 195
§ 6. Разложение многочлена на множители ......................................................................... 198
§ 7. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби ........................ 199
5354.ru
6
§ 8. Интегрирование рациональных дробей ........................................................................ 203
§ 9. Интегрирование простейших иррациональных функций ........................................... 203
§ 10. Интегрирование тригонометрических функций ........................................................ 204
§ 11. Интегрирование иррациональных функций с помощью тригонометрических замен
.................................................................................................................................................. 206
Глава 12. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ............................................................................... 208
§ 1. Площадь криволинейной трапеции ............................................................................... 208
§ 2. Определение и геометрический смысл определённого интеграла ............................ 209
§ 3. Свойства определённого интеграла ............................................................................... 211
§ 4. Производная от определённого интеграла по верхнему переменному пределу.
Формула Ньютона – Лейбница ............................................................................................. 215
§ 5. Замена переменной в определённом интеграле. Интегрирование по частям .......... 218
§ 6. Применение определённого интеграла к вычислению площадей плоских фигур ... 220
§ 7. Площадь криволинейного сектора ................................................................................ 223
§ 8. Вычисление длины дуги кривой .................................................................................... 224
§ 9. Вычисление объёма тела по известным площадям параллельных сечений. Объем
тела вращения ......................................................................................................................... 226
§ 10. Приближенное вычисление определенного интеграла методом трапеций ............. 229
7
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга рассчитана на студентов втузов бакалавриата, обучающихся на
строительных, технологических и других родственных специальностях и изу-
чающих курс математики в объёме примерно 200 часов аудиторных занятий с
разбиением последних поровну на лекционные и практические. В отличие от
ряда учебников по математике, широко используемых во втузах, в которых
математика изучается в вышеуказанном объёме (например, учебников
Н. С. Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисления»,
А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович «Краткий курс математического анализа»),
данная книга содержит все основные разделы математики, изучаемые студен-
тами названных специальностей: элементы аналитической геометрии и ли-
нейной алгебры, дифференциальное и интегральное исчисления, элементы
теории вероятности и математической статистики.
Изложение материала в книге ведётся на достаточно высоком уровне ма-
тематической строгости; за редким исключением, когда используются не-
строгие методы доказательства, основанные на геометрическом истолковании
рассматриваемых понятий. В то же время в рассуждениях и при проведении
доказательств авторы стремились избежать излишне частого использования
математических символов вместо слов, которое могло бы затруднить воспри-
ятие материала студентами. В отдельных случаях доказательства теорем и
выводы формул предлагается учащимся провести самостоятельно, и даются
подробные указания, как это сделать.
В книге не нашли отражение численные методы математики в связи с тем,
что эти методы стали излагаться в таких дисциплинах, как «Численные мето-
ды» и «Информатика», предусмотренных учебными планами втузов.
Многолетний опыт преподавания авторами курса математики во втузе по-
казывает, что принятое в книге изложение обеспечивает доступность матери-
ала, и добросовестные дисциплинированные студенты хорошо воспринимают
такое изложение.
5354.ru
8
ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
§ 1. Действительные числа, числовая ось,
определители второго и третьего порядков
Одним из основных понятий в математике является понятие числа. Оно
возникло в глубокой древности в результате счёта и измерений и совершен-
ствовалось. Числа бывают рациональные и иррациональные.
Рациональное – это число, которое можно представить в виде отношения
двух целых чисел и . Известно, что рациональное число можно пред-
ставить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
Иррациональным называется число, которое нельзя представить в виде от-
ношения двух целых чисел. Примерами иррациональных чисел являются
2
,
3.
Совокупность всех рациональных и иррациональных чисел образует мно-
жество действительных (вещественных) чисел.
Числовая ось – это прямая, на которой вы-
браны: точка – начальная точка отсчёта, по-
ложительное направление (на рис. 1 оно указа-
но →), масштаб для измерения длины. На
рис. 1 ось проведена горизонтально, положи-
тельное направление выбрано вправо.
Действительные числа можно изображать точками числовой оси. Если число
положительное, то его изображают точкой M для которой расстояние от
начала равно
,OM x=
а направление от точки до точки
M
совпадает с
положительным направлением оси; если число
1
x
отрицательное, то его изоб-
ражают точкой
1
M
для которой расстояние от начала равно
11
xOM −=
, а
направление от точки до точки
1
M
противоположно положительному
направлению оси. Число называют координатой точки на оси пи-
шут – координата точки пишут Числовую ось обознача-
ют и называют координатной или осью координат.
Без обоснования: между всеми действительными числами и всеми точками
числовой оси существует взаимно однозначное соответствие: каждому числу
отвечает определённая точка числовой оси и, наоборот, каждой точке
числовой оси отвечает определённое действительное число, которое изоб-
/pq
p
q
O
x
O
O
O
O
x
M
;Ox
( );Mx
1
x
1
,M
11
( ).Mx
Ox
x
M
M
9
ражается этой точкой. В дальнейшем вместо «точка с координатой » бу-
дем говорить «точка » и число будем писать рядом с точкой
Абсолютной величиной (модулем) числа называется число, обозначае-
мое | | и равное
| |=
Ясно, что абсолютная величина | | числа – это расстояние от точки
до начала .
Определители второго и третьего порядков. Пусть даны четыре числа
Определителем второго порядка называют число
где левая часть формулы – обозначение определителя.
Пусть даны девять чисел Определителем
третьего порядка называется число, определяемое формулой
Левая часть формулы – обозначение определителя третьего порядка. Числа
называются элементами определителя. Бу-
дем обозначать их где – номер строки, – номер столбца, к которым
принадлежит элемент.
Минором, соответствующим элементу определителя третьего поряд-
ка, называется число равное определителю второго порядка, получаемо-
му вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен
элемент
Алгебраическим дополнением элемента определителя третьего по-
рядка называют число, определяемое формулой . Это число рав-
но , если чётно, и равно , если нечётно. Из этого определе-
ния следует, например,
M
x
x
x
.M
x
x
x
0;
0.
x при x
x при x
≥
−<
x
x
x
O
11 12 21 22
,,,.aaaa
11 12
11 22 12 21
22
21
,
aa
aa aa
aa
= −
11 12 13 21 22 23 31 32 33
,,,,,,,,.aaaaaaaaa
11 12 13
22 23
21 22
21 23
22 23 11 12 13
21
31 33
31 32
32 33
32 33
31
.
aaa
aa
aa
aa
aaa a a a
aa
aa
aa
aaa
=−+
11 12 13 21 22 23 31 32 33
,,,,,,,,aaaaaaaaa
,
ij
a
i
j
ij
a
,
ij
M
.
ij
a
ij
A
ij
a
( 1)
ij
ij
A
+
= −
ij
M
ij
M
ij+
ij
M−
ij+
22 23
11
11 11
32 33
( 1) ,
aa
AM
aa
+
=−=
12
21 23
12 12
31 33
( 1) ,
aa
AM
aa
+
=−=−
5354.ru
10
Таким образом, формула определителя третьего порядка примет вид
11 12 13
21 22 23 11 11 12 12 13 13
31 32 33
.
aaa
a a a aA aA aA
aaa
=++
Можно сделать вывод, что определитель третьего порядка есть сумма
произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения.
Легко проверить, что сказанное справедливо для элементов любой строки
(любого столбца) определителя, например,
11 12 13
21 22 23 31 31 32 32 33 33
31 32 33
.
aaa
a a a aA aA aA
aaa
=++
§ 2. Декартовы координаты. Полярные координаты
Декартовы координаты. Пусть в пространстве заданы три взаимно пер-
пендикулярные числовые оси
,Ox Oy
и
Oz
с общим началом O и общим мас-
штабом (рис. 2). Будем говорить, что в пространстве введена система коор-
динат Oxyz, а указанные числовые оси называть осями координат. Простран-
ство обозначается R
3
. Плоскости, проходящие через оси координат, называ-
ются координатными и обозначаются
,Oxy Oxz
и
Oyz
.
Пусть М – произвольная точка пространства,
1
M
,
2
M
,
3
M
– проекции точ-
ки М на оси
,Ox Oy
и
Oz
, т. е. это точки пересечения соответственно с осями
,Ox Oy
и
Oz
плоскостей, проведённых через точку М
перпендикулярно к этим осям (рис. 2).
Пусть
,,xyz
– координаты точек
1
M
,
2
M
,
3
M
на
соответствующих осях. Эти числа называются коорди-
натами точки М в пространстве
.Oxyz
При этом пи-
шут
(,,)Mxyz
, где
x
– абсцисса,
y
– ордината,
z
– ап-
пликата. Таким образом, каждой точке пространства
Oxyz
отвечают три числа – координаты этой точки.
Ясно, что и наоборот каждой тройке чисел в указанном
пространстве отвечает определенная точка.
21 22
13
13 13
31 32
( 1) .
aa
AM
aa
+
=−=
Рис. 2