Салимов Р.Б. Математика (для студентов бакалавриата)
Подождите немного. Документ загружается.
61
§ 4. Системы линейных алгебраических уравнений с неиз-
вестными. Матричный метод решения
Дана система уравнений
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
11 2 2
... ,
... ,
... ,
nn
nn
n n nn n n
ax ax ax b
ax ax ax b
ax ax ax b
+ ++ =
+ ++ =
+ ++ =
, (7)
где – искомые неизвестные, – заданные числа,
называемые коэффициентами уравнений системы, – заданные
числа, называемые свободными членами системы уравнений. Нужно найти
. Введём три матрицы
, (8)
, (9)
. (10)
называется матрицей коэффициентов системы (7), – матрицей неиз-
вестных, – матрицей свободных членов. Определитель матрицы называ-
ется определителем системы и обозначается . Итак, определитель системы
(7) равен
. (11)
Возьмём произведение матриц (8) и (9). Так как – столбцевая мат-
рица, то это произведение также представляет собой столбцевую матрицу
.
n
n
12
,,,
n
xx x
11 12
, ,,
nn
aa a
12
,,,
n
bb b
12
,,,
n
xx x
11 1
1
n
n nn
aa
A
aa
=
1
2
n
x
x
X
x
=
1
2
n
b
b
B
b
=
A
X
B
A
∆
( )
11 1
1
n
n nn
aa
aa
∆=∆ Α =
AX
X
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
11 22
nn
nn
n n nn n
ax ax ax
ax ax ax
AX
ax ax ax
+ ++
+ ++
=
+ ++
5354.ru
62
Элементы этого произведения равны согласно системе (7) свободным членам
соответствующих уравнений этой системы, т. е. соответствующим элементам
матрицы . Следовательно, эти две матрицы равны друг другу. Таким обра-
зом,
. (12)
Это есть матричная запись системы (7).
Пусть определитель системы (7), т. е. определитель (11), отличен от нуля.
Тогда по известной матрице (8) коэффициентов системы (7) найдём для неё
обратную матрицу . На эту матрицу (все элементы которой известны)
умножим обе части (12), считая матрицу первой матрицей в произведени-
ях, и получим
. (13)
Согласно первому свойству умножения матриц, левая часть формулы (13)
равна , но так как , , то левая часть формулы (13) равна
. Таким образом,
. (14)
Правая часть формулы содержит известные матрицы. Найдём произведение
. Это будет столбцевая матрица с известными элементами, но эта матри-
ца по формуле (14) равна матрице неизвестных . Поэтому их соответству-
ющие элементы равны друг другу. Приравняв эти элементы, найдём неиз-
вестные .
§ 5. Формулы Крамера
Покажем, что решение системы (7) определяется формулами Крамера
(15)
Здесь – определитель системы (7), считается, что . –
определители, получаемые из определителя ∆ заменой соответственно перво-
го, второго, … -го его столбца на столбец свободных членов системы (7),
т. е.
, ,
…….
B
AX B=
1
A
−
1
A
−
( )
11
A AX A B
−−
=
( )
1
AA X
−
1
AA E
−
=
EX X=
X
1
X AB
−
=
1
AB
−
X
12
,,,
n
xx x
12
, ,, .
n
n
xx x
12
∆∆ ∆
= = =
∆∆ ∆
∆
0∆≠
12
,,,
n
∆∆ ∆
n
1 12 1
2
n
n n nn
ba a
ba a
1
∆=
11 1 1
1
n
n n nn
ab a
ab a
2
∆=
63
.
Запишем разложение определителя (11) системы (7) по элементам первого
столбца:
11 1
11 11 21 21 1 1
1
... .
n
nn
n nn
aa
aA aA aA
aa
∆= = + + +
(16)
Заменим элементы первого столбца соответственно на
– свободные члены системы (7). Тогда
. (17)
Получили разложение определителя по элементам первого столбца. Ана-
логично запишем разложение определителя по элементам второго столбца
(18)
и т. д. Наконец, получим разложение определителя по элементам послед-
него столбца:
. (19)
По формуле (14) будем иметь
.
В правой части матрицы перемножим и получим столбцевую матрицу. Т
е-
перь последнюю формулу запишем так:
.
11 12 1
12
n
nn n
aa b
aa b
∆=
11 21 1
, ,,
n
aa a
12
,,,
n
bb b
1 11 2 21 1nn
bA bA bA
1
∆= + + +
1
∆
2
∆
1 12 2 22 2nn
bA bA bA
2
∆= + + +
n
∆
11 2 2n n n n nn
bA bA bA∆= + + +
( ) ( )
( ) ( )
11 1
11
22
1
n
n nn
nn
AA
xb
AA
xb
AA
xb
AA
∆∆
=
∆∆
( )
( )
( )
1 11 2 21 1
1
1 12 2 22 2
2
11 22
nn
nn
n
n n n nn
bA bA bA
A
x
bA bA bA
x
A
x
bA bA bA
A
+ ++
∆
+ ++
∆
=
+ ++
∆
5354.ru
64
Согласно (17) – (19) в последней формуле суммы, стоящие в числителях мат-
рицы правой части, равны соответственно . Следовательно, эту
формулу можно записать в виде
.
В этом соотношении матрицы слева и справа равны друг другу, следователь-
но, их соответствующие элементы равны, т. е. получаем соотношение (15). Из
формул Крамера вытекает следующая
Теорема. Если определитель системы (7) не равен нулю, то эта система
имеет единственное решение (которое можно найти, например, по форму-
лам Крамера).
§ 6. Общая система линейных алгебраических уравнений.
Метод Гаусса
Дана система линейных алгебраических уравнений с неизвестными
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
11 22
... ,
... ,
... .
nn
nn
m m mn n m
ax ax ax b
ax ax ax b
ax ax ax b
+ ++ =
+ ++ =
+ ++ =
(20)
Здесь коэффициенты и свободные члены
12
,,,
m
bb b
– заданные
числа. Будем считать, что число уравнений не больше числа неизвест-
ных (случай требует особого рассмотрения).
Система (20) называется совместной, если она имеет решение, т. е. суще-
ствуют числа , удовлетворяющие всем уравнениям системы. Си-
стема называется несовместной, если она не имеет решения. Две системы
называются равносильными (эквивалентными), если любое решение одной из
них является решением другой, и наоборот.
Следующие преобразования, называемые элементарными, переводят за-
данную систему в равносильную (эквивалентную) ей:
• перестановка любых двух уравнений системы;
• умножение любого уравнения системы на ненулевое число;
12
,,,
n
∆∆ ∆
( )
( )
( )
1
1
2
2
/
/
/
n
n
A
x
x
A
x
A
∆∆
∆∆
=
∆∆
m
n
12
,,,
n
xx x
11 12
, ,,
mn
aa a
m
n
mn>
12
,,,
n
xx x
65
• прибавление к обеим частям данного уравнения соответствующих ча-
стей другого уравнения, умноженных на любое ненулевое число.
Если в процессе элементарных преобразований системы (20) появится
уравнение вида , то это соотношение отбрасывается, так
как ему удовлетворяют любые значения неизвестных (что приво-
дит к уменьшению числа уравнений системы). Если в процессе элементарных
преобразований системы (20) появится соотношение ,
т. е. противоречивое соотношение, которое не может быть выполнено, то си-
стема (20) является несовместной.
Метод Гаусса заключается в следующем. Пусть (если , то
переставим уравнения так, чтобы в первом уравнении коэффициент при пер-
вом неизвестном не равнялся нулю, или с этой же целью перенумеруем неиз-
вестные, что приведет к перестановке соответствующих столбцов коэффици-
ентов). Из всех уравнений, кроме первого, в системе (20) исключим неизвест-
ную , для этого ко второму уравнению прибавим первое, умноженное на
, к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на , и
т. д. Тогда придём к системе вида
11 1 12 2 1 1
22 2 2 2
22
... ,
... ,
... .
nn
nn
m nn n m
ax ax ax b
ax ax b
ax ax b
+ ++ =
′ ′′
++ =
′ ′′
++ =
Пусть (если , то снова переставим уравнения или перенумеруем
неизвестные ). Теперь аналогично предыдущему из всех уравнений,
кроме первого и второго, исключим . Если система (20) совместна, т. е. при
указанных преобразованиях в ней не окажется противоречивого соотношения
, процесс продолжим. В конечном счёте путём выше-
указанных преобразований придём к одному из следующих случаев:
• к ступенчатой системе
11 1 12 2 1 1 1
22 2 2 2 2
... ... ,
... ... ,
... ,
rr nn
rr nn
rr r rn n r
bx bx bx bx B
bx bx bx B
bx bx B
+ ++ ++ =
++ ++ =
++ =
(21)
12
00 0 0
n
xx x+ ++ =
12
,,,
n
xx x
12
00 0 , 0
n
x x x bb+ ++ = ≠
11
0a ≠
11
0a =
1
x
21 11
/aa−
31 11
/aa−
'
22
0a ≠
'
22
0a =
2
,,
n
xx
2
x
12
00 0 , 0
n
x x x bb+ ++ = ≠
5354.ru
66
здесь число уравнений , так как система содержит неизвестные
(если не входят в систему (21), то их не будет и
в исходной системе (20));
• к треугольной системе
11 1 12 2 1 1
22 2 2 2
... ,
... ,
.
nn
nn
nn n n
bx bx bx B
bx bx B
bx B
+ ++ =
++ =
=
(22)
В системах (21), (22) по построению все коэффициенты
отличны от нуля. В случае системы (20), приведённой к
системе (22), далее поступим так: из последнего уравнения (22) найдем ; из
предпоследнего найдем , затем , и, наконец, , т. е. найдём все иско-
мые неизвестные.
Итак, в этом случае система (20) имеет единственное решение. Определи-
тель преобразованной системы (22) обозначим . Он равен
0.
В последнем легко убедиться, разложив этот определитель по элементам пер-
вого столбца, в котором только один элемент ( ) отличен от 0, и разложив
аналогично оставшиеся миноры также по элементам первого столбца. Опре-
делитель исходной системы (20), когда , обозначим ∆. Он равен , т. е.
может отличаться лишь знаком от . В самом деле, прибавлению к одному
из уравнений системы (20) другого уравнения, умноженного на определённое
число, отвечает соответствующая операция над строками определителя ∆, ко-
торая не изменяет этот определитель. Перестановке уравнений в исходной
системе отвечает перестановка строк в определителе системы
,∆
а перенуме-
рации неизвестных – перестановка столбцов, каждая из которых изменит
лишь знак определителя. Как видно из предыдущей формулы, , следова-
тельно, и . Итак, определитель системы (20) при отличен от нуля,
если эта система приводится к треугольной системе (22). Таким образом, при
система (20), приводящаяся к треугольной системе, имеет единственное
решение и ее определитель отличен от нуля.
rn<
12
, ,,
rr n
xx x
++
12
, ,,
rr n
xx x
++
11 22
,, ,,
rr nn
bb b b
n
x
1n
x
−
2n
x
−
1
x
1
∆
11 1
11 22
0
n
nn
nn
bb
bb b
b
1
∆= =
≠
11
b
mn=
1
±∆
1
∆
1
0∆≠
0∆≠
mn=
mn=
67
Пусть система (20) приводится к ступенчатой системе (21). Перенесем в
ее правую часть все слагаемые, содержащие неизвестные ,
11 1 12 2 1 1 1 1 1 1
22 2 2 2 2 1 1 2
11
... ...
... ...
... .
rr r r nn
rr r r nn
rr r r rr r rn n
bx bx bx B b x bx
bx bx B b x bx
bx B b x bx
++
++
++
+ ++ = − −−
++ = − −−
= − −−
(23)
В этой системе всем неизвестным придадим произволь-
ные (по нашему выбору) значения. Тогда в правых частях (23) будут извест-
ные числа, и из последнего уравнения найдём , из предыдущего – и
т. д., найдём . Так как значения выбраны нами произвольно,
то система (23), следовательно, и (20), имеет бесконечное множество реше-
ний. Итак, система (20), приводимая к ступенчатой системе, имеет бесконеч-
ное множество решений.
Отметим, что метод Гаусса применим и в случае
.mn>
§ 7. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли
Поставим в соответствие системе (20) две матрицы
и .
Матрица называется основной матрицей системы, называется расши-
ренной матрицей системы (20). Элементарным преобразованиям над (20) от-
вечают соответствующие преобразования над строками матриц и . Мат-
рица, получаемая из данной путём элементарных преобразований над строка-
ми, а также перестановкой столбцов, называется матрицей, эквивалентной
данной. Основные матрицы систем (21) и (22) называются соответственно
ступенчатой и треугольной.
Строка матрицы называется нулевой, если все её элементы равны нулю, и
ненулевой, если она содержит хотя бы один отличный от нуля элемент.
Например, если , , …, , , то первая строка матрицы
будет нулевой, а первая строка матрицы будет ненулевой.
Ранг матрицы – это такое число
r
, что по крайней мере один определи-
тель порядка
r
, получаемый из этой матрицы при удалении некоторого числа
строк и (или) столбцов, отличен от нуля, а все определители
( 1)r +
-го порядка
12
, ,,
rr n
xx x
++
12
, ,,
rr n
xx x
++
r
x
1r
x
−
1
x
12
, ,,
rr n
xx x
++
11 1
1
n
m mn
aa
A
aa
=
11 1 1
1
n
m mn n
a ab
A
a ab
=
A
A
A
A
11
0a =
12
0a =
1
0
n
a =
1
0b ≠
A
A
5354.ru
68
равны нулю. Без доказательства отметим, что при
mn≤
данное определение
ранга матрицы равносильно другому, используемому здесь определению:
рангом матрицы называется число ненулевых строк в эквивалентной тре-
угольной или ступенчатой матрице. Ясно, что для определения ранга матри-
цы сначала её нужно преобразовать методом Гаусса и привести к треугольной
или ступенчатой матрице, эквивалентной исходной.
Пусть система уравнений (20) преобразована методом Гаусса и приведена
либо к системе (21), либо к системе (22). При этих преобразованиях происхо-
дят соответствующие преобразования основной и расширенной матриц си-
стемы (20). Совместность системы (20) равносильна отсутствию в преобразо-
ванной системе (21) или (22) противоречивого соотношения
(здесь равные нулю коэффициенты образовали бы
нулевую строку основной матрицы преобразованной системы, а эти же коэф-
фициенты и число
0b ≠
- ненулевую строку расширенной матрицы этой си-
стемы). Это в свою очередь равносильно совпадению числа ненулевых строк
основной и расширенной матриц преобразованной системы (21) или (22). А
это последнее, в свою очередь, равносильно совпадению рангов основной и
расширенной матриц исходной системы. Итак, справедлива
Теорема Кронекера – Капелли. Если система уравнений совместна, то
ранги её основной и расширенной матриц равны, и наоборот, если ранги ос-
новной и расширенной матриц равны, то система совместна.
§ 8. Однородные системы
Система уравнений (20) называется однородной, если все ее свободные
члены равны нулю: . Ясно, что однородная система всегда
совместна, так как имеет очевидное тривиальное нулевое решение
. Если среди чисел имеется хотя бы одно, от-
личное от нуля, то такое решение системы называется ненулевым.
Пусть в однородной системе (20) число уравнений меньше числа неиз-
вестных ( ). Такая система методом Гаусса приведётся к ступенчатой си-
стеме, так как к треугольной системе мы можем прийти, лишь когда . Но
ступенчатая система имеет бесконечное множество решений, среди которых
обязательно найдётся ненулевое. Например, в системе (21) ненулевое реше-
ние получим, взяв . Таким образом, справедлива
12
00 0 , 0
n
x x x bb+ ++ = ≠
12
0, 0, , 0
m
bb b= = =
12
0, 0, , 0
n
xx x= = =
12
,,,
n
xx x
mn<
mn=
1
0
r
x
+
≠
69
Теорема 1. Однородная система, в которой число уравнений меньше чис-
ла неизвестных, всегда имеет ненулевые решения.
Рассмотрим случай, когда в однородной системе (20) . Для такой си-
стемы может быть доказана
Теорема 2. Если однородная система из уравнений с неизвестными
имеет ненулевые решения, то её определитель равен нулю, и наоборот, если
определитель указанной однородной системы равен нулю, то эта система
имеет ненулевые решения.
Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы: дана однород-
ная система (20), в которой и , и она имеет ненуле-
вые решения; нужно доказать, что её определитель равен нулю.
Предположим противное, т. е. что её определитель . Тогда решение
этой системы из уравнений с неизвестными можем записать по форму-
лам Крамера . Это будет единственное реше-
ние. Но все определители содержат столбец свободных членов,
состоящий из одних нулей, поэтому все они равны нулю. Следовательно, по
формулам Крамера получим единственное решение рассматриваемой одно-
родной системы – нулевое решение. Это противоречит
условию теоремы, согласно которому система имеет ненулевое решение, сле-
довательно, предположение, что , должно быть отброшено.
Докажем вторую часть теоремы: определитель однородной системы (20)
уравнений с неизвестными равен нулю; нужно доказать, что система
имеет ненулевые решения.
Заданную однородную систему преобразуем методом Гаусса, при этом
придём к ступенчатой системе. Если бы пришли к треугольной системе, то,
как было показано раньше, пришли бы к заключению, что определитель ис-
ходной системы не равен нулю, что не согласуется с условием теоремы. Итак,
система обязательно приводится к ступенчатой. Последняя имеет бесконеч-
ное множество решений, среди которых найдутся и ненулевые, поэтому ис-
ходная система имеет ненулевые решения. Теорема доказана.
При решении однородной системы целесообразно преобразовать её мето-
дом Гаусса и привести к ступенчатой или треугольной системе.
mn=
n
n
mn=
12
0, 0, , 0
n
bb b= = =
0∆≠
n
n
11 2 2
/, /, , /
nn
xx x=∆∆ =∆∆ =∆∆
12
,,,
n
∆∆ ∆
1
0,x =
2
0,x =
,0
n
x =
0∆≠
n
n
5354.ru
70
ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
§ 1. Обозначения, переменные, интервалы
В математике используется большое количество символов, рассмотрим
некоторые из них.
Квантор общности – символ
∀
. Запись читается так: «для любого
…», «для всех …». Например, запись
0x∀>
означает «для любого положи-
тельного ».
Квантор существования – это символ . Запись читается так: «суще-
ствует такое , что …». Запись
0x∃>
означает «существует такое положи-
тельное , что …».
Символ обозначает логическое следствие. Запись
AB⇒
означает,
что из утверждения следует утверждение . Символ обозначает логиче-
скую равносильность. Запись означает, что из утверждения следует
утверждение , и наоборот.
Например, пусть
A
есть утверждение «Треугольник со сторонами
является прямоугольным треугольником», а есть утвер-
ждение « ». Видим, что , так как и, наоборот, .
Например, запись
0 | () |N x N fx b
εε
∀> ∃ ∀> ⇒ − <
читается так: для любого положительного числа
ε
существует такое число
,N
что для всех
xN>
имеет место неравенство
| () | .fx b
ε
−<
Переменные величины. Интервалы. В математике рассматривают
только численные значения величин, при этом отвлекаются от их конкретного
физического содержания.
Постоянной называется величина, которая принимает лишь одно числен-
ное значение. Постоянные величины обозначают обычно буквами и
т. д.
Переменной называется величина, которая принимает различные числен-
ные значения. Численные значения переменной образуют некоторое множе-
ство действительных чисел. Например, множество чисел, удовлетворяющих
неравенству . Это множество называется (открытым) интервалом и
обозначается или . Числа называются концами интервала.
x∀
x
x
x
∃
x∃
x
x
⇒
A
B
⇔
Α⇔Β
A
B
( )
,, ,abcc ac b>>
B
2 22
cab= +
Α⇔Β
Α⇒Β
Β⇒Α
,,abc
axb< <
],[ab
( )
,ab
,ab