Салимов Р.Б. Математика (для студентов бакалавриата)

Подождите немного. Документ загружается.

число поделить на . Полученное число будет равно

, если оно

положительное, и

,d−

если это число отрицательное. Тем самым найдём ис-

комое расстояние

§ 5. Прямая в пространстве и ее уравнения

Общие уравнения прямой в пространстве. Пусть в пространстве Oxyz

две плоскости заданы уравнениями

1111

2222

Ax By Cz D

+ + +=





+ + +=



(15)

где – известные числа. Пусть эти плоскости не па-

раллельны (не выполняется условие параллельности плоскостей), тогда они

пересекаются по прямой. Уравнения в системе (15) являются уравнениями

этой прямой. Их называют общими уравнениями прямой в пространстве.

Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой.

Пусть в системе Oxyz прямая определена следующим образом:

• заданы координаты точки , лежащей на прямой;

• заданы проекции ненулевого век-

тора , параллельного прямой ( называется

направляющим вектором прямой).

Пусть – произвольная точка рассмат-

риваемой прямой и , – радиусы-векторы точек

, . Из рис. 19 видно, что

. (16)

Так как вектор коллинеарен , то ясно, что можно получить

умножением на некоторый скалярный множитель . Тогда

. (17)

Отсюда , вектор направлен, как , при , и в противопо-

ложную сторону при . Запишем (16) с учётом (17) в виде

. (18)

Это соотношение называется векторным уравнением рассматриваемой пря-

мой, а скалярная величина – параметром. Каждому значению согласно

222

ABC++

111 12 2 2 2

,,,,,,,ABCDABC D

0 00

,,xyz

,,mnp



( )

,,M xyz





r r MM= +

  









M M ta=

 

MM ta=

 





0t >

0t <

r r ta= +

  

5354.ru

(18) отвечает вектор , конец которого лежит на прямой. При изменении

этот вектор изменяется, его конец – точка – движется по прямой. Мы

учли, что , –заданные постоянные векторы, причём проекции вектора

на оси координат равны координатам точки , так как есть радиус-вектор

этой точки, т. е. в (18) . Поскольку есть радиус-вектор точки

его проекции равны координатам точки т. е. .

Как известно, при умножении вектора на число умножаются на это число

все проекции вектора на оси координат, поэтому . При сложении

векторов их проекции складываются, поэтому , но

согласно (18) этот вектор равен , следовательно, равны соответствующие

проекции:

x x tm

y y tn

z z tp

= +





= +





= +



(19)

Эти соотношения называют параметрическими уравнениями рассматривае-

мой прямой. Каждому значению параметра на прямой отвечает определён-

ная точка координаты

,,xyz

которой вычисляются по формуле (19). При

изменении точка с указанными координатами движется по прямой, и её

координаты изменяются согласно (19).

§ 6. Канонические уравнения прямой.

Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки

Из каждого уравнения в (19) выразим , полученные выражения прирав-

няем и тогда будем иметь

. (20)

Эти соотношения называют каноническими уравнениями рассматриваемой

прямой; здесь – заданные координаты точки прямой; –

текущие координаты, т. е. координаты произвольной точки прямой;

– заданные числа, равные проекциям на оси координат направляюще-

го вектора прямой. Из формулы (20) можно получить уравнения

0 0 00

xx yy yy zz

mn np

−− −−

= =

(21)









( )

0 000

,,r xyz=





( )

,,r xyz=



( )

,,ta tm tn tp=



( )

0 0 00

,,r ta x tm y tn z tp+=+ + +

 



0 00

xx yy zz

mnp

−−−

= =

0 00

,,xyz

,,mnp



Ясно, что каждое из них, как уравнение первой степени относительно теку-

щих координат в пространстве Oxyz, определяет плоскость. Пересекаясь, эти

плоскости определяют рассматриваемую прямую. Соотношение (20) исполь-

зуется и в том случае, когда одно или два из чисел обращаются в

нуль. Пусть, например, и , тогда имеем . В этом

случае числители дробей, знаменатели которых равны нулю, мы также будем

считать равными нулю, т. е. . Эти два уравнения определя-

ют рассматриваемую прямую, причём каждое из них определяет плоскость, а

прямая является линией их пересечения.

Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Даны две

точки , , лежащие на прямой. Координаты этих точек

заданные числа. Нужно записать уравнения прямой, проходящей через эти

две точки.

Вектор лежит на рассматриваемой прямой, по-

этому его можно взять в качестве ее направляющего вектора. В качестве

начальной точки прямой можно взять любую из указанных точек, например,

. Тогда уравнения (20) запишутся так:

§ 7. Угол между двумя прямыми,

условия параллельности и перпендикулярности

Пусть в пространстве Oxyz две прямые заданы уравнениями

, (22)

(23)

соответственно. Здесь – текущие координаты, остальные величины –

заданные числа: – координаты точки на первой прямой;

– координаты точки

на второй прямой; – проекции на оси коор-

динат направляющего вектора прямой (22); – проекции на оси

координат направляющего вектора прямой (23).

,,mnp

0m =

0n =

0 00

xx yy zz

−−−

= =

0, 0xx yy−= −=

( )

1 111

,,M xyz

( )

2 222

,,M xyz

( )

12 2 12 12 1

,,MM x x y y z z=−−−



1 11

21 2 1 21

xx yy zz

−−−

= =

−−−

1 11

11 1

xx yy zz

mnp

−−−

= =

2 22

22 2

xx yy zz

mnp

−−−

= =

,,xyz

1 11

,,xyz

2 22

,,xyz

11 1

,,mnp



22 2

,,mnp

 

5354.ru

За угол между этими прямыми примем угол между их направляющими

векторами и . Согласно формуле (18) главы 1 имеем

По найдем угол , измеряемый от до .

Если , то прямые (22), (23) параллельны, так как кол-

линеарны их направляющие векторы. Если , то прямые (22),

(23) перпендикулярны, так как перпендикулярны их направляющие векторы.

§ 8. Уравнение линии на плоскости

Поступив так же, как в случае уравнения поверхности в пространстве,

можно показать, что каждой линии на плоскости

Oxy

отвечает соотношение

вида

, (24)

которому удовлетворяют координаты любой точки линии. Здесь – из-

вестное выражение, содержащее . Соотношение (24) называют уравнением

линии на плоскости

Oxy

, где – текущие координаты. И, наоборот, урав-

нению вида (24) на плоскости

Oxy

отвечает некоторая

линия – геометрическое место точек, координаты кото-

рых удовлетворяют (24), за исключением так называемых

вырожденных случаев, когда уравнение ничего не опре-

деляет либо определяет лишь точку. Например, окружно-

сти радиуса с центром (рис. 20) отвечает урав-

нение

. (25)

В самом деле, для любой точки окружности расстояние

. Возведя в квадрат это выражение, получим (25).

Если совпадает с началом координат, то и , а (25) примет вид

. Однако, например, уравнению

0xy=+

отвечает лишь точка

(0,0)O

, а уравнению

1xy= −+

ничего не соответствует.



 

1 2 12 1 2

22 222 2

11 1 22 2

cos

mm nn pp

mnpmnp

++ ++

cos

1 2 12 1 2

///mm nn pp= =

1 2 12 1 2

0mm nn pp++ =

( )

,0Fxy=

,xy

( )

,O ab

( ) ( )

0xa yb R− +− − =

( )

,M xy

( ) ( )

OM x a y b R= − +− =

0a =

0b =

22 2

xyR+=

§ 9. Общее уравнение прямой на плоскости,

угол между прямыми

Мы знаем, что уравнение первой степени

(26)

в пространстве

Oxyz

определяет плоскость, параллельную оси Oz, причём её

нормальный вектор . Пусть эта плоскость пересекается с плоско-

стью

Oxy

по прямой (рис. 21) и – произвольная точка этой пря-

мой. Так как точка M лежит на плоскости с уравнением (26), то координаты

этой точки в пространстве удовлетворяют этому уравнению. Таким образом,

координаты произвольной точки прямой удовлетворяют (26). Сле-

довательно, это и есть уравнение указанной прямой .

Итак, уравнение (26) в пространстве Oxyz определяет плоскость, парал-

лельную оси Oz. Это же уравнение на плоскости

Oxy

определяет прямую, яв-

ляющуюся линией пересечения указанной плоскости с плоскостью

Oxy

Уравнение (26) называется общим уравнением прямой на плоскости.

В дальнейшем у точки этой прямой и у нормального вектора этой

прямой третьи нулевые координаты записывать не будем. Прямую будем

изображать в плоскости

Oxy

(рис. 22).

Рис. 21 Рис. 22

Из изложенного видно, что в общем уравнении прямой коэффициенты

и при текущих координатах являются проекциями нормального векто-

ра прямой на оси координат. По аналогии с общим уравнением плоскости

можно рассмотреть частные случаи общего уравнения прямой, когда те или

иные коэффициенты этого уравнения обращаются в нуль.

Пусть на плоскости

Oxy

две прямые заданы уравнениями

111

=++ DyBxA

(27)

0Ax By D+ +=

( )

, ,0N AB=

 

( )

, ,0M xy

,xy

 

,xy

 

5354.ru

222

=++ DyBxA

(28)

соответственно, при этом – заданные числа; ,

– нормальные векторы этих прямых. За угол ϕ между ними при-

мем один из двух смежных углов, равный углу между нормальными вектора-

ми и этих прямых. Но последний определяется через косинус угла

который найдем по формуле (18) главы 1:

В этой формуле, выведенной ранее для косинуса угла между векторами в

пространстве, угол берётся без знака, т. е. считается положительным и из-

меряется от

до

§ 10. Уравнение прямой с угловым коэффициентом,

условия параллельности и перпендикулярности прямых

Пусть в общем уравнении прямой

коэффициент . Тогда

. Обозначим ,

, (29)

Получим

. (30)

Выясним геометрический смысл коэффици-

ентов , . На оси Oy возьмём точку . Ее

координаты удовлетворяют уравнению (30),

следовательно, эта точка лежит на рассматриваемой прямой (в этом и состоит

геометрический смысл числа ).

Пусть – угол, образованный рассматриваемой прямой с осью Ox. Он

считается положительным, если отсчитывается от оси Ox против хода часо-

вой стрелки. Пусть – произвольная точка рассматриваемой прямой. Из

рис. 23 видно, что

( )/ tg .ybx

−=

С другой стороны, из (30) следует, что

( )/ .ybxk−=

Сравнив два последних соотношения, получим

tg .k

Это соот-

ношение определяет геометрический смысл коэффициента , который назы-

вают угловым коэффициентом прямой на плоскости.

11 122 2

,,,,,ABDABD

( )

1 11

,N AB=

 

( )

2 22

,N AB=



 



12 12

2222

1122

cos

AA BB

ABAB

0Ax By D+ +=

0B ≠

(/) /y ABx D B=−−

/b DB= −

/k AB= −

y kx b= +

( )

0,Bb

(,)Mxy

Условие параллельности прямых. Если , то прямые (27),

(28) параллельны, так как коллинеарны их нормальные векторы. С учётом

формулы (29) записанное выше условие параллельности прямых можно пред-

ставить в виде .

Условие перпендикулярности прямых. Если имеет место равенство

, то прямые (27) и (28) перпендикулярны. С учётом формулы (29)

условие перпендикулярности прямых запишем так: .

§ 11. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с за-

данным угловым коэффициентом.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть дана точка , лежащая на прямой, и известен угловой коэф-

фициент

этой прямой. Нужно записать ее уравнение.

Так как эта прямая проходит через точку , то ее координаты удо-

влетворяют уравнению (30), т. е. . Полученное соотношение вычтем

из (30) и придем к уравнению прямой, проходящей через точку :

. (31)

Пусть теперь даны две точки и . Нужно записать урав-

нение прямой, проходящей через них. Здесь можем воспользоваться уравне-

нием (31). Величина пока не известна. Учтём, что прямая проходит также

через точку , поэтому координаты этой точки должны удовлетворять

уравнению (31), т. е. . Исключим из последних двух урав-

нений. Для этого нужно соотношение (31) почленно поделить на последнее.

Получим искомое уравнение

1 21 1 21

( )/( ) ( )/( ).yy y y xx x x− −=− −

§ 12. Кривые второго порядка. Окружность

Кривой второго порядка называется линия на плоскости

,Oxy

определяе-

мая уравнением второй степени относительно текущих координат , вида

. (32)

Здесь , , , , , – заданные числа, называемые коэффициентами

уравнения. Cчитаем, что в этом уравнении коэффициенты , , одновре-

12 12

//AA BB=

kk=

12 12

0AA BB+=

1/kk= −

( )

111

,M xy

( )

111

,M xy

y kx b= +

( )

111

,M xy

( )

y y kx x−= −

( )

111

,M xy

( )

222

,M xy

( )

21 21

y y kx x−= −

2 22 0Ax Bxy Cy Dx Ey F+ + + + +=

5354.ru

менно не обращаются в нуль, поскольку в противном случае (32) обращается

в уравнение первой степени.

Рассмотрим отдельные случаи уравнения (32) и соответствующие им кри-

вые.

Окружность. Как мы уже знаем, окружность радиуса

с центром в точ-

ке имеет уравнение

. (33)

В уравнении (33) в левой части раскроем скобки и получим

. (34)

В уравнении (34) коэффициенты при квадратах текущих координат равны

друг другу. Кроме того, в этом уравнении отсутствует член, содержащий

произведение текущих координат. Легко проверить, что если в уравнении (32)

, , то оно будет определять окружность в плоскости

Oxy

(если урав-

нению отвечает множество точек). Чтобы убедиться в сказанном, достаточно

уравнение (32) поделить на , после чего в левой части выделить полные

квадраты членов, содержащих , и полные квадраты членов, содержащих .

Таким образом перейдём к уравнению вида (33):

§ 13. Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место

точек на плоскости, сумма расстояний которых

до двух данных точек, называемых фокусами,

есть величина постоянная. Эту постоянную

обозначим через , , а фокусы – через

и . Расстояние между ними . Ось Ox

проведём через фокусы. Начало координат О

возьмём в середине отрезка, соединяющего фо-

кусы. При указанном выборе осей координаты имеем , . Пусть

– произвольная точка эллипса, соединим ее с и (рис. 24). По

определению эллипса сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов

равна , т. е.

( )

,O ab

( ) ( )

xa yb R− +− =

22 22 2

22 0x y ax by a b R+− − ++− =

AC=

0B =

AC=

D F FD E

A A AA A

  

+ + + +− − =

  

  

0a >

2FF c=

( )

,0Fc

( )

,0Fc−

( )

,M xy

. (35)

Из треугольника видно, что . Запишем расстояния через коорди-

наты:

, . (36)

Эти выражения подставим в (35) и получим

Последнему соотношению удовлетворяют координаты любой точки эллипса,

следовательно, это соотношение – уравнение эллипса. Нужно его упростить.

Второй корень перенесём из левой части вправо и возведём обе части уравне-

ния в квадрат. Тогда будем иметь

После приведения подобных членов в правой части оставим корень с множи-

телем, остальные слагаемые перенесём влево и полученное выражение возве-

дём в квадрат. Обозначим (так как ), считая После про-

стых преобразований получим соотношение

(37)

Такое уравнение эллипса называется каноническим. Имея уравнение (37), вы-

ясним форму эллипса.

Пусть – произвольная точка эллипса. На плоскости

Oxy

возьмём

точку , имеющую ту же абсциссу , что и точка М, а ординату ,

отличающуюся от ординаты точки М только знаком. Точка симметрична

относительно оси Ox. Уравнение (37) содержит только во второй степе-

ни и . Точка лежит на эллипсе, поэтому её координаты удо-

влетворяют уравнению эллипса, но тогда этому уравнению удовлетворяют

координаты точки , так как абсцисса точки М равна абсциссе

′

, а орди-

наты различаются лишь знаком. Получаем, что точка

′

лежит на эллипсе,

но сказанное относится к произвольной точке эллипса, следовательно, эл-

липс будет симметричным относительно оси Ox. Так как в (37) содержится

2FM FM a+=

FMF

22ac>

( ) ( )

0FM x c y= − +−

( ) ( )

0FM x c y= + +−

( )

2xcy xcy a− ++ + +=

( )

2xcy a xcy−+ = − ++

( )

2 22 2 22 22

2 44 2x xcc y a a xc y x xcc y− ++ = − + + ++ ++

2 22

bac= −

ac>

0.b >

( )

,M xy

( )

',Mxy−

y−

( )

yy−=

( )

,M xy

5354.ru

Рис. 25

только в квадрате, рассуждая аналогично, покажем, что ось Oy также является

осью симметрии эллипса, следовательно, начало координат – центр сим-

метрии эллипса. В силу симметрии форму эллипса достаточно выяснить для

первой четверти плоскости

,Oxy

для которой и . Для таких значений

и уравнение (37) запишем так:

. (38)

Получили выражение для ординаты

точки

эллипса с абсциссой

Когда

абсцисса точки принимает значение , то согласно (38) ее ордината

. Точка находится на Oy в точке . С увеличением абсциссы точ-

ки ордината этой точки согласно (38) уменьшается. Точка опускается и

при ордината этой точки будет равна нулю, совпадет с точкой

. Остальные части эллипса вычерчиваются по симметрии. Точки

112 2

,,,ABAB

называются вершинами эллипса, а числа и – большой и ма-

лой осями эллипса соответственно (см. рис. 24).

§ 14. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое ме-

сто точек плоскости, разность расстояний кото-

рых до двух данных точек, называемых фоку-

сами, есть величина постоянная (рис. 25). Обо-

значим эту постоянную , а фокусы – через

и . Расстояние между ними . Ось

Ox проведём через фокусы. Начало координат

О возьмём в середине отрезка . Тогда фоку-

сы имеют координаты , . Пусть

– произвольная точка гиперболы, тогда по определению

. (39)

Знак «+» берётся, когда левая часть положительна, а знак «-» – когда левая

часть отрицательна. Расстояния и , как и раньше, выражаются фор-

мулами (36). Подставим (36) в (39):

. (40)

0x >

0y >

y ax

= −

0x =

yb=

( )

0,Bb

xa=

( )

,0Aa

2a AA=

2b BB=

20a >

2FF c=

( )

,0Fc

( )

,0Fc−

( )

,M xy

2FM FM a−=±

( ) ( )

2xcy xcy a− +− + +=±