Салимов Р.Б. Математика (для студентов бакалавриата)

Подождите немного. Документ загружается.

Множество чисел, удовлетворяющих неравенству , называется за-

крытым или замкнутым интервалом и обозначается .

Рассматриваются также полузакрытые (полуоткрытые) интервалы

, , обозначаемые соответственно , или , .

Интервалы могут быть бесконечными. Множество чисел, удовлетворяю-

щих неравенству , называется бесконечным интервалом и обозначается

или . Множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству

, обозначается или . Множество всех чисел, удовлетворяю-

щих неравенству , обозначается или . Множество всех чи-

сел, удовлетворяющих неравенству , обозначается или .

Наконец, множество всех действительных чисел есть бесконечный интервал,

который обозначается или .

§ 2. Свойства абсолютной величины числа

Абсолютной величиной числа называется число , равное

при 0,

при 0.

≥





−<



(1)

Из этого определения вытекает, что

,xx= −

(2)

0, 0.xx>≠

(3)

Кроме того

. (4).

Действительно, при по формуле (1) имеем , и неравенство (4)

выполняется. При согласно (1) имеем , так как , т. е. сно-

ва выполняется (4).

Покажем, что соотношение

| | ( 0)x

εε

(5)

равносильно неравенствам

εε

−< <

(6)

Действительно,

axb≤ ≤

[ ]

,ab

axb≤<

axb< ≤

[,)ab

(,]ab

[,[ab

],]ab

xa>

( )

,a +∞

], [a +∞

xa≥

[, )a +∞

[, [a +∞

xb<

( ,)b−∞

] ,[b−∞

xb≤

( ,]b−∞

] ,]b−∞

( )

,−∞ +∞

], [− ∞ +∞

xx≤

0x ≥

xx=

0x <

x xx=−<

0x >

5354.ru

при 0,

|| .

при 0 0

xx x

ε εε

εε

<≥

≤<



< ⇔ ⇔ ⇔− < <



−< < −< <



Свойства абсолютной величины:

Эти свойства легко обосновать с помощью (1) – (4).

§ 3. Функция, способы задания

Пусть – переменная величина, – множество ее значений, – другая

переменная величина и – множество её значений.

Функцией называется правило, по которому каждому значению из мно-

жества ставится в соответствие определённое значение из множества

при условии, что каждое значение из множества отвечает хотя бы одно-

му из

Переменная называется независимой переменной или аргумен-

том, а зависимая переменная – функцией. Множество называется обла-

стью определения функции, а – областью значений функции. Введённая

функция обозначается

(здесь означает не переменную, а вышеука-

занное правило, устанавливающее соответствие между и ). Говорят, что

функция отображает множество на множество

Вместо при-

меняются и другие буквы, например, ,

( ),yx

и т. д. В част-

ности, если для функции конкретному значению отвечает кон-

кретное значение , то пишут или .

Табличный способ задания функции. Задают ряд значений аргумента

и указывают соответствующие им значения функции . Примерами такого

способа задания функции являются известные таблицы логарифмов и триго-

нометрических функций.

Графический способ задания функции – это способ задания функции

с помощью её графика.

Графиком функции называется множество точек на плоскости

,Oxy

для каждой из которых абсцисса равна значению аргумента, а ордина-

та равна соответствующему значению функции .

12 1 2

xx x x+≤+

12 1 2

,xx x x−≥−

12 1 2

,xx x x⋅=⋅

12 1 2

/ /.xx x x=

()y fx=

()y Fx=

()y yx=

()y fx=

xx=

yy=

( )

y fx=

()y fx=

Как правило, будем рассматривать функции, графики которых представ-

ляют собой сплошные линии или линии, состоящие из нескольких сплошных

кривых. Ясно, что соотношение является уравнением этой линии.

Аналитический способ задания функции. Здесь функция задаётся фор-

мулой, например,

.yx=

Однако функция может задаваться одновременно не-

сколькими формулами для различных интервалов изменения

Например,

при 0,

при 0.





≥



Но если функция задана одной формулой, без дополнительного указания об-

ласти определения, то под последней понимается совокупность всех значений

для которых эта формула имеет смысл и по которым можно вычислить со-

ответствующие значения функции. Например, для функции обла-

стью определения является множество всех

отличных от 2, т. е. множество

и или совокупность интервалов и . При имеем

, и формула теряет смысл.

Основные элементарные функции:

• постоянная функция ;

• степенная функция , – любое действительное число;

• показательная функция ;

• логарифмическая функция ;

• тригонометрические функции ;

• обратные тригонометрические функции

arcctg .yx=

Определение сложной функции. Дана функция , причём аргу-

мент является функцией от , т. е. и область значений функции

является частью области определения функции . Следова-

тельно, каждому из области определения отвечает определённое зна-

чение , а этому значению отвечает определённое значение .

Таким образом, каждому указанному отвечает определённое значение .

Это означает, что есть функция от . Она называется сложной функцией

от и записывается в виде , где – внутренняя функция, –

()y fx=

1/( 2)yx= −

2x <

2x >

( ,2)−∞

(2, )+∞

2x =

20x −=

constyC= =

yx=

ya=

( )

0, 1aa>≠

log

yx=

( )

0, 1aa>≠

sin ,yx=

cos ,yx=

tg ,yx=

ctgyx=

arcsin ,

arccos ,yx=

y = arctgx

()y fU=

()Ux

()y fU=

()x

()Ux

()y fU=

[ ]

()yf x

5354.ru

внешняя функция, – промежуточный аргумент. Например, пусть

sin ,yU=

где , тогда получим сложную функцию .

Ясно, что, рассуждая аналогично, можно ввести сложную функцию, со-

стоящую из трёх и большего числа функций.

Элементарной называется функция, определяемая одной формулой, со-

ставленной из основных элементарных функций, с помощью конечного числа

четырёх арифметических действий и с помощью конечного числа

операций взятия функции от функции.

§ 4. Предел функции при и его геометрический смысл

Пусть – переменная величина, которая принимает положительные зна-

чения и неограниченно увеличивается. В этом случае будем говорить, что

стремится к плюс бесконечности и писать . Пусть при этом заданная

функция принимает значения, всё более и более близкие к некоторо-

му числу , в том смысле, что величина уменьшается и приближает-

ся к нулю. В этом случае будем говорить, что число есть предел функции

при .

Определение. Число называется пределом функции при ,

если для любого положительного числа

каким бы малым оно ни было,

найдётся такое положительное число

что для всех выполняется не-

равенство

| () | ,fx b

−<

т. е. символически

0 | () | .N x N fx b

εε

∀> ∃ ∀> ⇒ − <

этом случае будем писать

.lim ( )

fx b

→+∞

Подчеркнём, что – любое положительное число, сколь угодно малое.

Другими словами, если число есть предел функции

при

,x → +∞

то для

всех сколь угодно больших значения функции сколь угодно мало от-

личаются от . Ясно, что число зависит от выбора числа

чем меньше

тем больше

Иначе говоря,

( ),NN

т. е. есть функция от

Покажем, что функция

( ) 5 1/fx x= +

имеет предел при , равный 5. В

самом деле, . Так как – величина положительная, то условие

| ( ) 5|fx

−<

примет вид или . Таким образом, для всех

имеем

| ( ) 5| ,fx

−<

каким бы малым число

ни было. Это означает, что

функция

( )

5 1/fx x= +

имеет предел, равный 5, при

.x → +∞

В качестве числа

фигурирующего в определении предела, можем взять . Отсюда вид-

но, что с уменьшением

число

увеличивается. В этом примере

()Ux

lgUx=

( )

sin lgyx=

( )

, ,/,+− ×

x → +∞

()y fx=

()fx b−

()y fx=

x → +∞

()y fx=

x → +∞

xN>

()fx

x → +∞

( ) 5 1/fx x−=

1/x

> 1/

1/N

( ) 5 1/ 5fx x=+>

всегда, так как . Поэтому функция стремится к пределу 5,

оставаясь больше своего предела, когда . Аналогично можно показать,

что функция имеет предел, равный 2, и при эта функция

для всех

так как . Таким образом, функция стремится к 2,

оставаясь при этом меньше своего предела. Нетрудно проверить, что функция

при имеет предел, равный 1. Здесь – угол, измеряемый в

радианах. Ясно, что эта функция при может принимать значения как

большие, так и меньшие 1 в зависимости от знака

sin .x

Эта функция стремит-

ся к своему пределу, принимая значения и меньшие, и большие, и равные

этому пределу. Но функция при может и не иметь предела.

Например, пусть

( ) sin .fx x=

Если , то изменяется, принимая лю-

бые значения в интервале , и ни к какому пределу не стремится.

Выясним геометрический смысл предела

.lim ( )

fx b

→+∞

Неравенство

| () |fx b

−<

(1)

равносильно неравенствам

()fx b

εε

−< −<

или

() .b fx b

εε

−< <+

. (2)

Если

lim ( )

fx b

→+∞

и для любого числа

найдётся такое число

что для

всех имеет место (1), сле-

довательно, и (2), то геометри-

чески это означает, что для всех

точек графика , абсцис-

сы которых удовлетворяют

неравенству

,xN>

ординаты

()fx

лежат в интервале (2). Это

означает, что указанные точки,

образующие соответствующий

участок графика, лежат между прямыми с уравнениями

= −

= +

(см. рис. 40).

Пусть переменная принимает отрицательные значения, и абсолютная

величина неограниченно возрастает. В этом случае говорят, что .

Запишем определение предела функции при символически.

Число называется пределом функции при , если

0 0 | () | .M x M fx b

εε

∀> ∃ < ∀< ⇒ − <

В этом случае пишут .

0x >

x → +∞

2 1/x−

x → +∞

2 1/ 2x−<

0x >

1 (sin )/xx+

x → +∞

()fx

x → +∞

sin x

[ 1,1]−

xN>

()y fx=

||x

x → −∞

()y fx=

x → −∞

()y fx=

x → −∞

lim ( )

fx b

→−∞

Рис. 40

5354.ru

Пусть изменяется, принимая как положительные, так и отрицательные

значения, абсолютная величина неограниченно увеличивается. Тогда го-

ворят, что стремится к бесконечности, и пишут . Число называет-

ся пределом функции при , если для любого положительного

числа найдётся такое число , что для всех , абсолютная величина ко-

торых , имеет место неравенство

| () | ,fx b

−<

т. е.

0 0 | | | () | .N x N fx b

εε

∀> ∃ > ∀ > ⇒ − <

В этом случае пишут .

Можно показать, что если существует последний предел, то существуют

предыдущие два предела и все три равны между собой. И наоборот, если су-

ществуют предыдущие два предела и они равны, то существует третий, рав-

ный двум предыдущим.

§ 5. Предел функции при и его геометрический смысл.

Односторонние пределы

Пусть – заданное число. Рассмотрим предел функции , когда

и . Число называется пределом слева функции при

, если для любого числа

найдётся такое число

что для всех

точек интервала

x xx

−<<

выполняется неравенство , каким бы

малым

ни было. Сказанное можно записать символически в виде

0 0 ( ) | () | .x x x fx b

εδ δ ε

∀> ∃> ∀ − < < ⇒ − <

В этом случае пишут . Так же, как для

в § 4, фигурирующая в

определении величина

зависит от

т. е. является функцией от

))((

εδδ

и чем меньше

тем меньше

По аналогии дадим определение предела функции справа при

. Число называется пределом функции при справа, если

0 0 ( ) | () | .x x x fx b

εδ δ ε

∀> ∃> ∀ < < + ⇒ − <

В этом случае пишут .

Эти два предела называются односторонними пределами функции

. Теперь дадим определение двустороннего (обычного) предела функ-

||x

x →∞

()y fx=

x →∞

0N >

||xN>

lim ( )

fx b

→∞

xx→

()y fx=

xx→

xx<

()y fx=

xx→

( )

fx b

−<

lim ( )

fx b

→−

()y fx=

xx→

()y fx=

xx→

lim ( )

fx b

→+

()y fx=

ции при (далее всегда под пределом функции при будем иметь

ввиду именно этот двусторонний предел).

Число называется (двусторонним) пределом функции при

, если для любого числа , каким бы малым оно ни было, найдётся

такое число

что для всех точек интервала

,x xx

δδ

−<< +

отличных от

, выполняется неравенство , т. е.

00 0

0 0 ( ), | ( ) | .x x x x x fx b

εδ δ δ ε

∀> ∃> ∀ − < < + ≠ ⇒ − <

В этом случае пишут .

Можно проверить, что если су-ществует послед-

ний предел, то существуют оба предыдущих одно-

сто-ронних предела и все три предела равны между

собой. И наоборот, если существуют оба односто-

ронних предела и они равны друг другу, то сущест-

вует двусторонний предел функции при , рав-

ный односторонним.

Выясним геометрический смысл двустороннего предела функции. Со-

гласно определению, для всех точек интервала

( , ),xx

δδ

−+

отличных от ,

выполняется соотношение (2). Геометрически это означает, что если абсцисса

точки графика лежит в интервале

( )

00 0

, ,,x x xx

δδ

−+ ≠

то ордината

этой точки лежит в интервале (2) (см. рис. 41). Следовательно, указанная

точка лежит между прямыми

= −

= +

. Это относится к любой точке

кривой , абсцисса которой лежит в интервале

(,)xx

δδ

−+

и .

Поэтому соответствующий участок графика лежит между вышеуказанными

прямыми.

§ 6. Теоремы о пределах. Ограниченные функции

Все теоремы о пределах функции будем доказывать для случая,

когда . В остальных случаях стремления доказательства аналогич-

ны.

Теорема 1. Если функция имеет предел при , то этот предел бу-

дет единственным.

xx→

()y fx=

xx→

( )

fx b

−<

lim ( )

fx b

→

xx→

()y fx=

()fx

()y fx=

xx≠

()y fx=

x →+ ∞

5354.ru

Доказательство. Дано, что функция при имеет предел

. Докажем, что никакое другое число, например, , не может

быть пределом этой функции при .

Возьмём таким малым, чтобы было . Так как – предел

функции при , то для выбранного нами числа найдётся такое

число , что для всех значения функции будут удовлетворять

неравенству (1), следовательно, и (2). Поэтому для всех имеем

()b fx

−<

. (3)

Предположим, что . Тогда для выбранного выше числа

найдётся такое число , что для всех будет выполняться неравенство

. Следовательно, для всех будем иметь

. (4)

Пусть – наибольшее из чисел . Тогда для всех выполняются

оба неравенства (3), (4). Из них получим, что . Но это противоре-

чит условию, что , поэтому сделанное предположение должно

быть отброшено.

Функция называется ограниченной на некотором множестве значений

, если существует такое положительное число

, что для всех из множе-

ства выполняется неравенство

( )

.fx C≤

Например, функция является ограниченной на всей числовой оси

, так как для всех имеем . В то же время, функция не яв-

ляется ограниченной в интервале . В самом деле, с уменьшением ,

т. е. с приближением к нулю, в этом интервале функция неограниченно

увеличивается, и не существует такого положительного числа

, чтобы вы-

полнялось неравенство

1/xC<

в интервале

( )

0,1 .

Теорема 2. Если функция при имеет предел, то эта

функция является ограниченной на некотором бесконечном интервале

Доказательство. Дано, что . Для числа (как и для любо-

го ) найдётся такое число , что для всех будет выполняться

неравенство . Согласно свойству абсолютной величины

()y fx=

x →+ ∞

lim ( )

fx b

→+∞

bb<

x →+ ∞

εε

+<−

()fx

x →+ ∞

0N >

xN>

()fx

xN>

lim ( )

b fx

→+∞

xN>

()b fx b

εε

−< < +

xN>

()fx b



,NN

xN>



εε

+>−

εε

+<−

sin x

( )

,−∞ +∞

sin 1x ≤

1/x

0 x< <1

1/x

()y fx=

x →+ ∞

( )

,N +∞

lim ( )

fx b

→+∞

0N >

xN>

( )

fx b− <1

. Поэтому для всех имеет место

. Итак, для имеем , следовательно, для

всех будем иметь . Это означает, что функция ограни-

чена в интервале . Теорема доказана.

Теорема 3. Если при функция имеет отличный от нуля пре-

дел , то функция ограничена на некотором бесконеч-

ном интервале .

Теорема доказывается аналогично предыдущей.

§ 7. Бесконечно малые функции и их свойства

Функция называется бесконечно малой при , если её пре-

дел равен нулю, т. е. . Здесь предел , поэтому .

С учётом определения предела функции можно дать следующее определение

бесконечно малой функции: функция называется бесконечно малой

при , если для любого заданного сколь угодно малого найдётся

такое число , что для всех будет выполняться неравенство

или символически

0 0 | ( )| .N x N fx

εε

∀> ∃ > ∀> ⇒ <

Например, функция является бесконечно малой при . В самом де-

ле, здесь неравенство запишется так: или , т. е. .

Итак, для всех имеем для любого . Это означает, что

есть бесконечно малая функция при , и в качестве числа , фигури-

рующего в определении, можно взять .

При других способах изменения определение бесконечно малой функ-

ции будет аналогичным (с учётом определения предела). Например, функция

является бесконечно малой при ( – заданное число), если

00 0

0 0 ( ), | ( ) | .x x x x x fx

εδ δ δ ε

∀> ∃> ∀ − < < + ≠ ⇒ <

() ()fx b fx b−≤ −

xN>

() () 1fx b fx b− ≤ −<

xN>

() 1fx b−<

xN>

() 1fx b<+

()fx

( )

,N +∞

x →+ ∞

()fx

lim ( ) , 0

fx bb

→+∞

= ≠

1/ ( )fx

( )

,N +∞

()y fx=

x →+ ∞

lim ( ) 0

→+∞

0b =

( )

()fx b fx−=

()y fx=

x →+ ∞

0N >

xN>

( )

1/x

x →+ ∞

( )

1/x

x →+ ∞

1/N

()y fx=

xx→

5354.ru

Свойства бесконечно малой функции

Теорема 4. Если – бесконечно малые функции при , то

их сумма также является бесконечно малой функцией, при

Доказательство. Пусть – заданное сколь угодно малое число. Нуж-

но доказать, что для этого числа найдётся такое число , что для всех

будет выполняться неравенство .

Для указанного числа возьмём число . Так как является беско-

нечно малой функцией, то для числа найдётся такое число , что для

всех будет выполняться неравенство

. (5)

Так как – бесконечно малая функция при , то найдётся такое

число , что для всех будет выполняться неравенство

. (6)

Пусть – наибольшее из чисел . Тогда для имеют место оба

неравенства (5), (6). Поэтому с учётом свойства абсолютной величины суммы

имеем для всех

| () ()|| ()| | ()| /2 /2 .xx x x

ϕψ ϕ ψ εεε

+ ≤ + ≤+=

Теорема доказана.

Если – бесконечно малая функция, то - тоже является бесконеч-

но малой функцией. Это ясно из определения, так как . Ясно

также, что разность двух бесконечно малых функций есть снова бесконечно

малая функция, т. к. разность можно записать в виде суммы

Доказанная теорема сразу распространяется на любое конечное число

слагаемых бесконечно малых функций. Можно сказать, что алгебраическая

сумма конечного числа бесконечно малых функций – бесконечно малая функ-

ция.

Теорема 5. Если – бесконечно малая функция при , а –

ограниченная функция на некотором бесконечном интервале , то

произведение – бесконечно малая функция при .

ϕψ

(), ()

x →+ ∞

ϕψ

()+ ()

x →+ ∞

0N >

xN>

ϕψ ε

()+ ()<

()x

0N >

xN>

( ) /2x

ϕε

()x

x →+ ∞

0N >

xN>

( ) /2x

ψε

xN>

()x

() ()xx

ψψ

−=

() () () ( ())xxx x

ϕψ ϕ ψ

− = +−

()x

x →+ ∞

()fx

( )

,N +∞

() ()xfx

x →+ ∞