Салимов Р.Б. Математика (для студентов бакалавриата)

Подождите немного. Документ загружается.

(рис. 43). На кривой отметим точку с абсциссой , её ордината равна ,

т. е. . На этой же кривой возьмём точку с абсциссой , её ор-

дината равна , т. е. . Когда абсцисса точки стремится к

– абсциссе точки , ордината точки стремится к согласно (16)

в силу непрерывности функции. Это означает, что при этом точка стре-

мится к точке , и графиком функции является сплошная линия без

разрывов.

Обозначим величину и назовём ее приращением аргумента рас-

сматриваемой функции . Разность соответствующих значений функции

обозначим

(17)

или, так как , , и назовём приращением функции

, вычисленным для точки и соответствующим приращению аргу-

мента..

В (16) учтём, что , т. к. предел постоянной равен этой посто-

янной. Этот предел подставим в правую часть (16), затем его перенесём влево

и учтём, что разность пределов равна пределу разности. После этого получим

. Но разность под знаком предела, согласно (17), равна .

Поэтому имеем

. (18)

Здесь мы учли, что при разность . Таким образом, если функция

непрерывна в точке , то при стремлении приращения аргумента к нулю,

соответствующее приращение функции, вычисленное для точки , стремится

к нулю. Проведя рассуждения в обратном порядке, получим, что из (18) сле-

дует (16).

Соотношение (18) иногда называют вторым определением непрерывно-

сти функции в точке. Оно равносильно исходному определению (16).

§ 15. Свойства непрерывных функций

Теоремы 18 (и 19). Алгебраическая сумма (и произведение) конечного

числа функций, непрерывных в точке, есть функция, непрерывная в этой

точке.

()fc

( )

, ()M c fc

()fx

( )

, ()Mx fx

()fx

()fc

()y fx=

xc x−=∆

()fx

() ()fx fc y−=∆

xc x= +∆

( ) ()fc x fc y+∆ − =∆

()fx

x∆

() lim ()

fc fc

→

[ ]

lim ( ) ( ) 0

fx fc

→

−=

y∆

lim 0

∆→

∆=

xc→

0x∆→

x∆

5354.ru

Теорема 20. Частное от деления двух функций, непрерывных в точке,

есть функция, непрерывная в этой точке, если знаменатель в ней не обраща-

ется в нуль.

Эти теоремы доказываются, исходя из определения непрерывности функ-

ции (16), с привлечением ранее доказанных теорем о пределе суммы, произ-

ведения и частного. На этом не останавливаемся.

Теорема 21. Сложная функция, состоящая из непрерывных функций,

есть функция непрерывная.

Доказательство. Теорему докажем для сложной функции, состоящей из

двух функций. В случае большего числа образующих функций теорема дока-

зывается аналогично.

Пусть дана функция , в которой , в свою очередь, является

функцией от ( ), т. е. дана сложная функция

. (19)

Пусть значению аргумента отвечает значение функции ,

т. е. . Кроме того, известно, что функция непрерывна в точке

, т. е. согласно (16)

. (20)

Дано также, что функция непрерывна в точке , соответствующей

точке , т. е. . Последняя формула показывает, что при

имеем , а так как , , то . Нужно доказать, что

сложная функция (19) непрерывна в точке , т. е. нужно показать, что

. Действительно, с учетом (19) имеем

Теорема доказана.

Теорема 22. Всякая основная элементарная функция непрерывна в каж-

дой точке, в которой она определена.

Эта теорема принимается без доказательства.

Из теорем 18 – 22 и определения элементарной функции вытекает, что

элементарные функции непрерывны в каждой точке, в которой они определе-

ны. Отсюда в соответствии с (16) следует, что предел элементарной функции

()y fU=

()Ux

[ ]

(()) ()y f x Fx

= =

xc=

Up=

()Ux

()pc

()y fU=

lim ( ) ( )

fU f p

→

()Ux

lim ( ) ( )

ϕϕ

→

xc→

() ()xc

ϕϕ

→

()Ux

()pc

Up→

lim ( ) ( )

Fx Fc

→

[ ] [ ] [ ]

lim ( ) lim ( ( )) lim ( ) ( ) ( ) ( )

xc xc U p

Fx f x fU f p f c Fc

ϕϕ

→→ →

= = = = =

можно вычислить подстановкой предельного значения аргумента. Например,

§ 16. Точки разрыва функции

Точка называется точкой разрыва функции , если в ней

нарушается хотя бы одно из трёх условий непрерывности функции в точке,

указанных в параграфе 14.

В качестве примера возьмём функцию, определённую формулой

. (21)

Ясно, что эта функция определена везде, кроме точки . Для любого по-

ложи-тельного имеем и согласно формуле (21)

. Если же , то и . График

этой функции изображен на рис. 44.

Так как функция в точке не определена, то на

её графике нет точки с абсциссой , т. е. нет точки,

лежащей на оси , поэтому график как бы не доходит

до оси , что отмечено стрелками. Для любой точки

имеем . Кроме того, для любого имеем , поэтому

. Это означает, что функция в точке непрерывна в силу

(16). Аналогично установим, что для любого функция также непре-

рывна. Но точка есть точка разрыва функции (21) по двум причинам:

• не существует , т. к. в точке функция (21) не определена;

• для функции (21) не существует предел

В самом деле, предел справа этой функции

, а предел слева . Таким

образом, односторонние пределы хотя и суще-

ствуют, но не равны друг другу, значит, не суще-

ствует обычный (двусторонний) предел .

Точка называется точкой разрыва перво-

го рода функции , если существуют конечные односторонние пределы

и . Например, для функции (21) точка – точка разрыва

lim (sin ) sin ( /2) 1

→

= =

xc=

()y fx=

( ) | |/fx x x=

0x =

xx=

() 1fx=

0x <

xx= −

() 1fx= −

0x =

0xc= >

() 1fc=

0x >

() 1fx=

lim ( )

→

() 1fc=

0xc= <

0x =

(0)f

0x =

lim ( )

→

lim ( ) 1

→+

lim ( ) 1

→−

= −

lim ( )

→

xc=

()y fx=

lim ( )

→−

lim ( )

→+

0x =

5354.ru

первого рода. Все остальные точки разрыва называются точками разрыва

второго рода. Для функции (рис. 45) точкой разрыва второго рода

будет , так как в этой точке функция не определена и односторонние

пределы бесконечны: и .

() 1fx x=

0x =

lim ( )

→+

=+∞

lim ( )

→−

=−∞

ГЛАВА 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО

ПЕРЕМЕННОГО

§ 1. Задача об определении скорости

Пусть точка движется по прямой неравномерно и проходит путь от точки

до точки длиной за время (рис. 46). С изменением длина пути

изменяется по заданному закону (т. е. функцию считаем за-

данной). Итак, . В следующий момент времени , ,

точка окажется в положении . Таким образом,

за время точка пройдёт путь, равный

(получаемый из формулы заме-

ной на ). Это означает, что за время

точ-

Рис. 46 ка проходит путь

.)()(

StfttfMM ∆=−∆+=

(1)

Путь равен приращению функции , соответствующему при-

ращению и вычисляемому для точки . Ясно, что отношение харак-

теризует скорость передвижения точки на участке за время . Чем

быстрее точка движется, тем больший путь она пройдёт за время , тем

больше будет значение этого отношения. Нас интересует скорость движения

точки не на всём участке (не за весь промежуток времени ), а скорость

движения точки в положении (в момент ).

Очевидно, что чем меньше , тем лучше отношение характеризует

скорость движения точки в момент . Эту последнюю скорость наиболее

полно характеризует предел , который обозначается . Итак,

или с учётом (1)

. (2)

()S ft=

()MM S f t= =

tt+∆

0t∆>

tt+∆

()ft t+∆

()S ft=

tt+∆

t∆

()S ft=

t∆

St∆∆

t∆

St∆∆

lim( / )

∆→

∆∆

()V Vt=

()V Vt= =

lim( / )

∆→

∆∆

( ) ()

( ) lim

ft t ft

V Vt

∆→

+∆ −

= =

∆

5354.ru

§ 2. Определение, механический и геометрический смыслы

производной

Дана функция . Приращению

x∆

аргумента этой функции отвеча-

ет её приращение , записанное для точки . Возьмём от-

ношение

Предел этого отношения при называется производной от функции

в точке и обозначается . Итак,

(3)

или

. (4)

Понятно, что в каждой точке эта производная будет своя, поэтому произ-

водная также является функцией от . Для обозначения производной

применяются также символы . Значение производной в конкрет-

ной точке обозначается или . Отметим, что операция нахож-

дения производной называется дифференцированием. Например, для функ-

ции имеем

( ) ()

( ) lim 2 .

xx x

fx x

∆→

+∆ −

′

= =

∆

При прямолинейном движении точки по закону скорость точки в

момент определяется формулой (2):

( ) ()

( ) lim lim .

S ft t ft

V Vt

∆→ ∆→

∆ +∆ −

= = =

∆∆

Сравнив ее с формулами (3), (4), заключаем, что в правой части (2) стоит вы-

ражение, равное . Итак, скорость точки в момент равна произ-

водной от пути по времени . В этом состоит механический смысл произ-

водной.

Выясним теперь геометрический смысл производной. Пусть дана

функция . Изобразим её график на плоскости и на кривой

()y fx=

( ) ()y fx x fx∆ = +∆ −

( ) ()y fx x fx

∆ +∆ −

∆∆

0x∆→

()y fx=

()fx

′

( ) lim

∆→

∆

′

∆

( ) ()

( ) lim

fx x fx

∆→

+∆ −

′

∆

()fx

′

/dy dx

xa=

()fa

′

()fx x=

()S ft=

()

ft S

′′

()y fx=

Oxy

()y fx=

возьмём точки и (рис. 47 сделан для случая,

когда и , а если , то точка будет лежать левее точки

). Через точки , проведём секущую для графика данной функции.

Эта секущая образует с осью угол . Пусть

- точка с абсциссой

xx+∆

ординатой

( )

.fx

Из рис. 47 видно, что для треугольника справедливо

соотношение

. (5)

Если при стремлении точки к точке с любой стороны секущая

стремится к определённому положению , то эта прямая называется

касательной к кривой в её точке .

Пусть – угол, образованный этой касательной с осью , тогда при

точка стремится к , стремится к и угол стремится

к углу . Так как – непрерывная функция, то . Перейдём в

(5) к пределу при , тогда . Предел в правой части

равен , а согласно (3) предел в левой части последней формулы равен

, поэтому .

Итак, вычисленная в точке производная от функции равна ,

причём угол образован с осью касательной к кривой в её точке

с абсциссой . В этом заключается геометрический смысл производной.

Иначе говоря, эта производная равна угловому коэффициенту каса-

тельной.

( )

, ()M x fx

( )

,( )Mxxfxx+∆ +∆

0x∆>

x xx+∆ >

0x∆<

M KM

/ tgyx

∆ ∆=

()y fx=

0x∆→

limtg tg

ϕα

→

0x∆→

lim( / ) lim tg

ϕα

∆→ ∆→

→

∆∆=

()fx

′

( ) tgfx

′

()y fx=

tgα

()y fx=

tgk

5354.ru

§ 3. Касательная и нормаль к кривой.

Существование производной

Пусть – фиксированная точка кривой , т. е. и

– известные числа. Найдем производную

( )

′

и вычислим

( )

f x tg

′

- угловой коэффициент касательной к кривой в точке

Зная ко-

ординаты точки и угловой коэффициент касательной, запишем уравнение

касательной (см. формулу (31) главы 2):

Прямая, проходящая через точку перпендикулярно к касательной,

называется нормалью к кривой в точке

. В силу перпендикулярности нор-мали и

касательной угловой коэффициент этой нор-

мали ра-вен , поэтому урав-нение

нормали запишется так:

Например, запишем уравнения касательной

и нормали к кривой в её точке : и

соответственно, учитывая, что .

Если при стремлении к с одной стороны (для ) секущая

стремится к одному положению, а при стремлении к с другой

стороны (для ) эта секущая стремится к другому положению, то в точке

касательная к данной кривой не существует. Ясно, что кривая в

этом случае в точке имеет излом. При этом в точке не существует

производная , вычисляемая по формуле (3).

В самом деле, при , когда , отношение стремится к од-

ному пределу, а при , , это отношение стремится к другому пре-

делу, т. е. это отношение имеет разные односторонние пределы при .

Это означает, что обычный двусторонний предел (3) не существует, т. е. в

точке с абсциссой не существует производная . Последние рассуж-

дения проиллюстрируем на следующем примере.

Пусть функция определена формулой

000

(,)Mxy

()y fx=

0 00

( )( )y y fx xx

′

−= −

()y fx=

1/ '( )fx−

()

yy xx

−=− −

′

yx=

(1, 1)M

1 2( 1)yx−= −

1 ( 1/ 2)( 1)yx−=− −

'(1) 2f =

0x∆>

0x∆<

()y fx=

()fx

′

0x∆→

0x∆>

yx∆∆

0x∆→

0x∆<

0x∆→

()fx

′

()y fx=

и имеет график, показанный на рис. 48. В качестве точки возьмём начало

координат . Тогда , , , . Здесь

имеем

Поэтому

Следовательно, предел слева (когда ) , а предел справа

(когда ) . Эти односторонние пределы не рав-

ны, следовательно, не существует двусторонний предел

)./(lim

∆∆

→∆

Это озна-

чает, что не существует производная .

Для графика рассматриваемой функции секущая при с

разных сторон (для и для соответственно) стремится к разным

положениям ( при , при ), в точке график имеет

излом.

§ 4. Дифференцируемость функции

Функция называется дифференцируемой в точке если в

этой точке она имеет производную Иначе говоря, существует предел

),/(lim)('

xyxf

∆∆=

→∆

(6)

здесь

(7)

Если функция дифференцируема в каждой точке интервала, то её

называют дифференцируемой в этом интервале.

Теорема 1. Если функция дифференцируема в точке то

она непрерывна в этой точке.

()

x при x



−<





≥





0x =

xxx+∆ =∆

( ) (0) 0fx f= =

()fx x+∆ =

()fx∆

( )

()

x при x



−∆ ∆ <



∆=



∆ ∆≥





( )

1 0,

( ) ()

при x

y fx x fx

x при x

−∆



=− ∆<



∆

∆ +∆ −



= =



∆∆

∆



=∆ ∆≥



∆



0x∆<

lim ( / ) 1

∆→−

∆∆=−

0x∆≥

00 00

lim ( / ) lim ( ) 0

yx x

∆→+ ∆→−

∆∆= ∆=

()

′

MM→

0x∆<

0x∆≥

0x∆<

()OM

()y fx=

,xx=

( ).fx

′

( ) ( ).y fx x fx∆ = +∆ −

()y fx=

,xx=

5354.ru

100

Доказательство. Приращение функции в точке , соответ-

ствующее приращению и определяемое формулой (7), запишем так:

В этом соотношении перейдём к пределу при при этом

учтём, что предел правой части равен произведению пределов сомножителей:

В правой части первый предел, согласно (6), су-

ществует и равен

()fx

′

(в силу условий теоремы, так как функция в точке

дифференцируема). Поэтому Но значит,

Согласно второму определению непрерывности функции в точке

это означает, что в точке функция непрерывна. Теорема доказана.

Отметим, что утверждение, обратное утверждению теоремы, не справед-

ливо, т. е. нельзя утверждать следующее: если функция непрерывна в точке,

то она дифференцируема в этой точке. Сказанное продемонстрируем на при-

мере функции Она непрерывна в точке , так как является

основной элементарной функцией (степенной функцией), и в точке

определена (равна нулю). Производная этой функции, как будет показа-

но дальше, равна . Но эта производная в точке не существует, т. е.

функция в этой точке не дифференцируема, хотя и непрерывна.

§ 5. Производная постоянной. Правила дифференцирования

Здесь при доказательстве теорем будем исходить из определения произ-

водной, согласно которому для функции производная выражается

формулой

(8)

Теорема 2. Производная постоянной равна нулю, т. е. если

( ) const,y fx= =

то или коротко

Доказательство. Для этой функции согласно (8) имеем

Теорема доказана.

Теорема 3. Если и – дифференцируемые функции, то:

(a)

()y fx=

xx=

x∆

( / ).y y xx∆=∆ ∆ ∆

0,x∆→

lim

∆→

∆

lim ( / )

∆→

= ∆∆

lim .

∆→

⋅∆

lim ( ) lim .

y fx x

∆→ ∆→

′

∆= ⋅ ∆

lim 0,

∆→

∆=

lim 0.

∆→

∆=

()y fx=

() .y fx x= =

0x =

()fx

′

2/3

/3x

−

0x =

()y fx=

( ) ()

( ) lim .

fx x fx

y fx

∆→

+∆ −

′′

= =

∆

′

0.c

′

0 0 00

( ) () 0

lim lim lim lim 0 0.

x x xx

fx x fx c c

x xx

∆→ ∆→ ∆→ ∆→

+∆ − −

′

= = = = =

∆ ∆∆

()Ux

()Vx

( ) ( )

,;UVUVUVUV

′′

′′ ′′

+=+ −=−