Сергеев В.Л. Интегрированные системы идентификации

Подождите немного. Документ загружается.

Как видно из таблиц, традиционные планы для определения сред-

ней наработки до отказа приводят к продолжительным испытаниям, что

часто связано с большими материальными затратами.

Наша задача – построить такой план сокращенных испытаний

n ,

который в пределах той же точности и достоверности обеспечил бы вы-

полнение неравенства

nn< , существенно сокращая продолжитель-

ность испытаний.

Одним из перспективных путей сокращения сроков проведения ис-

пытаний, а следовательно, и сроков внедрения опытных образцов тех-

нических систем в серийное производство является использование ин-

тегрированной системы моделей с учетом дополнительной априорной

информации о параметрах надежности, полученной из ранее проведен-

ных испытаний систем-аналогов.

Алгоритмы

планирования сокращенных испытаний. Для по-

строения плана сокращенных испытаний используем непараметриче-

скую интегрированную систему моделей вида

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=η+Δϕ=α

=ξ+Δ=

,,1,)(

,,1,

nit

(6.3.5)

где

– некоторые неизвестные, однозначные функции, связывающие

значение средней наработки до отказа

Δ исследуемой системы с

оценками

α , 1,

, наработки до отказа, полученные из ранее прове-

денных испытаний этой же системы или систем-аналогов,

, 1,

m= –

случайные величины с нулевым средним значением и дисперсией

В качестве оценки средней наработки до отказа

Δ с использованием

методики синтеза оценок, изложенной в главе 4, будем использовать ве-

личину

(( α )/( β))α

(β)argmin() ,

(( α )/( β))

ijjj

+Δ−Δ

Δ= Φ=

+Δ−Δ

∑∑

∑

(6.3.6)

где

20 0200

() ((α )/ β)( α ), (( α )/( β)

ijjj

tK K

Φ= −Δ + Δ− Δ Δ− Δ− Δ

∑∑

– ядро;

β – управляющий параметр.

Для оценки Δ

(β) (6.3.6), по аналогии с (6.3.3), имеет место довери-

тельный интервал [12]

**0 2 21/2

н, вγ

(β )((σ /)/),

tnDRΔ=Δ +∓ (6.3.7)

где

202 0

(( α )/( β ))σ ; 1 (( α )/( β )),

DK R K

=Δ−Δ=+Δ−Δ

∑∑

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤−

1 ,0

1 ,

)(

uuC

1*2*22*0

)))/(/(/(

−

ηξ

εε+εσσ−ε=β mnC

– оптималь-

ное значение управляющего параметра в смысле минимума среднеквадра-

тической ошибки аппроксимации

))(( βΔ−ΔM

(σ )/(σ ),Cmn=

ε (α )/ , εφ()=−ΔΔ=Δ−Δ, α

С учетом (6.3.7) план сокращенных испытаний определяем из вы-

ражения

22 2 0 2 2

γγ

( σ )/(σ (((α )/( β )))

nt K UD

=Δ+Δ−Δ−

∑

, (6.3.8)

где в качестве

n выбираем то значение n, при котором выполняется это

равенство.

Под эффективностью предложенного плана сокращенных опреде-

лительных испытаний

n по сравнению с планом испытаний n

(6.3.4)

будем понимать отношение

/enn

. (6.3.9)

Величина e фактически показывает, на сколько может быть сокра-

щена продолжительность испытаний, т. е. определяет потенциальную

эффективность плана сокращенных испытаний (6.3.8).

В качестве примера приведем значения эффективности e в про-

стейшем случае, когда

,1 ,)( =ε+Δ=Δϕ

, δ = 0,25, γ = 0,8, m = 20,

Δ = 1. Рассмотрим три случая при

=σ=σ

ηξ

В первом случае ε = 0 (наработка до отказа систем-аналогов и ис-

следуемой системы совпадают). Здесь достаточно пяти отказов

Во втором случае ε = 1, наработка до отказа систем-аналогов отли-

чается на 100 % от наработки до отказа исследуемой системы. В этом

случае

n = 13, а e = 25 / 13 ≈ 2. При дальнейшем увеличении ε эффек-

тивность плана сокращенных испытаний значительно сокращается.

Третий случай ε = 2 характеризует ситуацию, когда параметр нара-

ботки до отказа исследуемой системы в два раза отличается от наработ-

ки до отказа систем-аналогов. Здесь

n =

n = 25, e = 1.

Для иллюстрации в табл. 6.3 приведены планы сокращенных опре-

делительных испытаний на безотказность при разных значениях точно-

сти и достоверности. В качестве дополнительной информации здесь ис-

пользуются данные об отказах систем-аналогов в количестве 20 значе-

ний, которые имеют одинаковую систематическую ошибку ε = 0,50

(50 %),

=σ=σ

ηξ

Таблица 6.3

Планы сокращенных определительных испытаний на безотказность

0,05 0,1 0,15 0,20 0,25

0,95 254 97 35 24 21

0,9 179 49 24 16 14

0,85 138 35 18 12 11

0,8 109 27 14 10 8

0,75 90 23 12 8 7

0,7 86 22 11 8 7

Таблица 6.4

Значения продолжительности сокращенных испытаний на безотказность

в сутках согласно планам, приведенным в таблице 6.3

0,05 0,1 0,15 0,20 0,25

0,95 33782 8911 4655 3192 2793

0,9 23807 6517 3192 2128 1862

0,85 18354 4665 2394 1596 1463

0,8 14497 3591 1862 1330 1064

0,75 11970 3059 1596 1117 971

0,7 11438 2926 1463 1064 937

В табл. 6.4 приведена продолжительность сокращенных определи-

тельных испытаний в сутках, соответствующая приведенному в табл. 6.3

плану испытаний. Как видно из таблиц, рассмотренные планы сокра-

щенных испытаний для определения средней наработки для отказа при-

водят к существенному сокращению сроков проведения испытаний и

соответственно связанных с ними затрат.

Глава7

ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ИНТЕГРИРОВАННЫХ СИСТЕМ

ИДЕНТИФИКАЦИИ

В данной главе рассматривается типовая структура и основные

функции интегрированной системы идентификации, вопросы их стати-

стического моделирования и оценки точности и качества.

В качестве примеров приводятся алгоритмы и тексты программ син-

теза оптимальных оценок, технология статистического моделирования по

исследованию точности и качества интегрированных систем идентифи-

кации на примере двух лабораторных работ

идентификации добычи неф-

ти и идентификации гидродинамических исследований скважин.

Рассматриваются вопросы проектирования пакетов прикладных

программ (ППП) анализа данных, моделирования процессов и систем,

использующих основные функции интегрированных систем идентифи-

кации. Приводятся примеры ППП.

7.1. Структура и функции интегрированной системы идентификации

На рис. 1 приведена структура интегрированной системы иденти-

фикации, которая включает пять основных подсистем:

1. Исходные данные и дополнительные априорные сведения.

2. Интегрированная система моделей.

3. Синтез оптимальных оценок.

4. Оптимизация (адаптация) оценок.

5. Статистическое моделирование, анализ точности и качества модели.

В качестве исходных данных для построения математической мо-

дели исследуемого объекта

используются значения входных и выход-

ных переменных

,yx

. Это могут быть результаты прямых либо кос-

венных измерений входных и выходных переменных, результаты их

статистического моделирования. Дополнительными априорными сведе-

ниями являются:

1) результаты прямых либо косвенных наблюдений входных и вы-

ходных переменных, полученных на объектах-аналогах, результаты их

экспертных оценок и т. д.;

2) полученные различными способами экспертные значения

пара-

метров функций (функционалов), используемые для построения модели

объекта;

3) экспертные оценки значений функций (функционалов) от вход-

ных и выходных переменных исследуемого объекта.

Основными функциями данной подсистемы является ввод, кон-

троль и корректировка исходных и дополнительных априорных данных.

Адаптация интегрированной системы моделей

Рис. 7.1. Схема процесса функционирования интегрированной системы

идентификации

Интегрированная система моделей

Модель объекта

ξ+=

)(

),(

αx

Формализованные модели

априорной информации

η+= )(

ZFZ

Синтез оптимальных оценок

∑∑

−+−=

ZFZfyrf

ZFZFyr

))())(((minarg),(

))()),(((minarg)(

xwx

αxwα

Оптимизация (адаптация) оценок

),((minarg

)((minarg

w)xw

w)αw

fΦ=

Φ=

Статистическое моделирование, анализ точности и каче-

ства моделей

))(,(

wαXF ,)),(

wxf

Дополнительные априорные

данные

mjZ

,1, =

Исходные данные

Центральной подсистемой, изображенной на рис. 7.1 интегриро-

ванной системы идентификации, является рассмотренная в четвертом

параграфе первой главы интегрированная система моделей, которая

формируется на основе моделей исследуемого объекта и моделей объ-

ектов-аналогов, формализованных моделей дополнительных априорных

данных, полученных из различных источников. Здесь приведены пара-

метрическая, заданная с точностью до вектора параметров

α , модель

объекта и непараметрическая модель

()

x . Основными функциями этой

подсистемы являются формирование интегрированной системы моде-

лей и расчет прямой задачи – определение значений выхода объекта

(, )yF= x α при заданном (выбранном из списка) операторе

(, )F x α и

заданных значениях параметров и входов объекта.

Следует отметить, что при использовании в качестве модели объ-

екта дифференциальных уравнений в частных производных с гранич-

ными и начальными условиями, решение прямой задачи численными

методами представляет довольно трудоемкую специальную организо-

ванную процедуру.

Подсистема «синтез оптимальных оценок» предназначена для оп-

ределения

оптимального, в смысле заданного функционала качества,

вектора параметров

()α w в случае параметрической модели объекта

либо оптимальной функции

(, )f xw

при его непараметрическом пред-

ставлении. Данные алгоритмы оптимизации изложены во второй, треть-

ей и четвертых главах. Оптимальные оценки параметров либо функций

определены с точностью до вектора управляющих параметров

w, учи-

тывающих значимость дополнительных априорных данных.

В зависимости от выбранных критериев качества и вида моделей

объекта и моделей объекта-аналогов, задача синтеза оптимальных оце-

нок сводится к решению соответствующей оптимизационной задачи,

что является основной функцией данной подсистемы. Оптимизационная

задача часто сводится к последовательному решению систем линейных

уравнений.

Подсистема «оптимизация (адаптация)

оценок» предназначена для

определения оптимальных, в смысле заданных критериев качества, зна-

чений вектора управляющих параметров

. Схема формирования дан-

ных функционалов изложена в пятой главе. В процессе адаптации по

контрольной выборке проверяется качество модели. Процедура адапта-

ции (обучение) продолжается до достижения минимальных либо задан-

ных значений ошибок модели.

Подсистема «статистическое моделирование, анализ точности и

качества модели» предназначена для решения двух задач:

1) определение качества адаптированной интегрированной систе-

мы моделей;

определение методом статистического моделирования потенци-

альной точности и качества интегрированных систем моделей в зависи-

мости от объема и качества исходных и дополнительных априорных

данных.

Необходимость решения первой задачи часто связана с проверкой

адекватности адаптированной интегрированной системы моделей

(, ( ))FXα w либо

(, ))f xw по критериям качества вида

** 0

(,,, , , ( ))δ ,1,,

XYZ U U j m

≤=α w (7.1.1)

где

,1, =δ

– заданная точность, U – неиспользуемые при построении

модели переменные, функционально связанные с полученным решени-

ем зависимостью вида

( ( ), , , ),Uf YXZ= α w (7.1.2)

где

f – известная функция, U

– измеренные значения величины U.

Переменные

U часто характеризуют конечные основные цели ис-

следуемой системы и по ряду причин не могут быть использованы при

моделировании. Например, переменная

U может представлять потенци-

альный объем добытой нефти из скважины, где в результате гидроди-

намических исследований определены фильтрационные параметры

нефтяного пласта

()α w . Простейшим примером критерия качества

(7.1.1) является относительная ошибка

δ.

−

≤

(7.1.3)

При невыполнении условий (7.1.3) уточняется постановка задачи

либо производится переход к другой модели объекта.

Другим примером критериев качества модели является суммарная

относительная ошибка оценки параметров

()α w модели

α ()α

δ.

−

≤

∑

(7.1.4)

Поскольку величины

,1, =α

нам неизвестны, расчет относи-

тельной ошибки (7.1.3) приводит к необходимости решения второй за-

дачи и использования метода статистического моделирования.

Следует отметить важность подсистемы «статистическое модели-

рование, анализ точности и качества модели», которая включает в рас-

смотрение практически все элементы интегрированный системы иден-

тификации: получение (имитация) исходных и дополнительных апри-

орных данных, формирование интегрированной системы моделей, оп-

тимизация и адаптация моделей.

Другим важным элементом подсистемы является то, что она дает

возможность получить объективную оценку качества модели, сравнивая

заранее известные (точные) решения рассматриваемых задач с их оцен-

ками в условиях, приближенных к реальным ситуациям при конечных

объемах исходных и дополнительных данных.

Следует

отметить, что подсистема «статистического моделирова-

ния, анализа точности и качества модели» является обязательным эле-

ментом современных прикладных программных комплексов идентифи-

кации, анализа и прогнозирования процессов и систем.

7.2. Типовые примеры компьютерной технологии

статистического моделирования, анализа точности и качества

интегрированных систем идентификации

Рассмотрим технологию статистического моделирования, анализа

точности и качества интегрированных систем идентификации на при-

мере двух лабораторных работ:

лабораторная работа № 1 «Статистическое моделирование ин-

тегрированной системы идентификации прогноза добычи нефти и оцен-

ки извлекаемых запасов»;

лабораторная работа № 2 «Статистическое моделирование ин-

тегрированной системы идентификации гидродинамических исследова-

ний скважин».

Приведем пример одного из вариантов лабораторной работы № 1,

целью которой является проведение исследований методом статистиче-

ского моделирования потенциальной точности и качества оценок про-

гноза годовой добычи нефти и извлекаемых запасов на основе исполь-

зования интегрированной системы моделей (6.1.2):

() (, (, ) , 1,,

(τ,)dτη (, ) η ,1,,

ii ii i

jjj

qt ft c qt c i n

fcsTcjm

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

=+=+=

∫

α) ξαξ

αα

(7.2.1)

где:

(), 1,

qt i n= – имитируемые методом статистического модели-

рования фактические значения накопленной добычи нефти за соответ-

ствующие промежутки времени

,1,

ttt i n

−

=− = (год, месяц);

(, ), 1,

qt i n

α – значения накопленной добычи нефти за соответ-

ствующий промежуток времени, полученные на основе заданной моде-

ли

(, )

t α

;

3) ,1,

jm= – имитируемые значения экспертных оценок извле-

каемых запасов нефти за время разработки месторождения

(α , α , ..., α )

=α

– вектор неизвестных параметров;

,1,

in=ξ – случайные величины, полученные с использованием

датчика псевдослучайных чисел и представляющие различные ошибки

измерений дебита нефти, ошибки модели и т. д.;

η ,1,

m= – случайные величины, полученные с использовани-

ем датчика псевдослучайных чисел и представляющие ошибки расчетов

извлекаемых запасов.

,cc – некоторые константы, представляющие относительный

уровень ошибок ξ

и η

соответственно.

В качестве констант

,cc часто используют величины

(, )δ

cqt= α ,

(, )δ ,csT

α (7.2.2)

где

представляет относительную ошибку имитируемого значения

фактической накопленной добычи нефти за промежуток времени

ttt

−

Δ= − ,

– относительная ошибка имитируемого значения извле-

каемых запасов нефти.

Технология статистического моделирования по определению точ-

ности прогноза добычи нефти и оценки извлекаемых запасов сводится к

выполнению следующей последовательности действий:

1. Формирование интегрированной системы моделей добычи нефти.

Для выбранной структуры модели добычи нефти, заданных значениях

параметров, уровней ошибок на основе интегрированной модели (7.2.1)

формируются значения годовой добычи нефти и экспертные оценки из-

влекаемых запасов.

2. Адаптация интегрированной системы моделей. Для выбранного

критерия качества проводится адаптация интегрированной системы мо-

делей, которая заключается в определении значений вектора параметров

(α , α , ..., α )

=α и значений управляющих параметров.

3. Расчет относительных ошибок оценок. Проводится расчет от-

носительных ошибок прогноза добычи и оценки извлекаемых запасов с

использованием формул вида (7.2.3)–(7.2.5).

4. Вывод результатов в виде таблиц и графиков. Пример про-

граммной реализации технологии статистического моделирования и

адаптации интегрированной системы моделей (7.2.1) на языке Visual

Basic для Microsoft Office 2000 приведен в приложении 4 (процедура

Sub Example_1_B1( )). В качестве модели годовой добычи нефти ис-

пользовалась зависимость

100

(, ) α exp( α ),

ttt

−α (7.2.3)

изображенная на рис. 6.1. Фактические значения годовой добычи нефти

и экспертные оценки извлекаемых запасов имитировались с помощью

датчика псевдослучайных чисел, распределенных по нормальному за-

кону с нулевым средним значением и единичной дисперсией (0,1)

N .

В процедуре Sub Example_1_В1( ) использовалась упрощенная интегри-

рованная система моделей вида

() (, (, ) , 1,,

(τ,)dτη,

ii ii i

qt ft c qt c i n

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

=+=+=

∫

α) ξαξ

(7.2.4)

где

∑

– среднее значение имитируемых экспертных оценок из-

влекаемых запасов нефти;

(, ) η ,1,

sTc j m

+=α . Данная модель в

отличие от рассмотренных выше интегрированных моделей добычи

нефти (6.1.2), (7.2.1) позволяет понизить размерность вектора управ-

ляющих параметров до одного значения, что значительно упрощает

процедуру адаптации интегрированной системы моделей.

В основе алгоритма синтеза оптимальных оценок использовался

метод Гаусса–Ньютона (6.1.7), где уточнение вектора параметров

(α , α , ..., α )

=α при заданном значении управляющего параметра β

проводилось по схеме:

11*

11* 1

( ) , 1, 2, 3, ...,

( β )( ) ( β ),

ii i

TTiiTTi

ss ss

ff ff

−−

−

−−

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

=+Δ =

+Δ=+

αα α

DD DD α De D

(7.2.5)

где

(, )

, 1, , 1,

injm

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

∂

===

∂

– матрица частных производных

от функции

),( αtf по параметрам

(α , α , ..., α );

() (τ,)

d τ, 1,

αα

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

∂∂

== =

∂∂

∫

αα

– вектор частных производ-

ных от функционала извлекаемых запасов (, )

Tα по параметрам

(α , α , ..., α );

=α

(, ) ( ( ) ( , ), 1, )

tqtftin=− = − =eqfαα – вектор значений невя-

зок между имитируемыми фактическими и модельными значениями до-

бычи нефти;