Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3

Подождите немного. Документ загружается.

Диференціальні рівняння першого порядку

Отже,

якщо

0{ду

дх

то

ц = ц(х) і

його знаходять

рівняння (1.46).

Аналогічно, якщо вираз

'Г*-Й|.ад.

0.47,

то

(і = \і(у) і

його знаходять

рівняння

<Лпц

_ 1 (д<2 дР

ау

Р\ дх ду

(1.49)

Диференціальні рівняння, нерозв'язні відносно похідної

Нехай диференціальне рівняння, нерозв'язне відносно похідної

Пх,у,у')

= 0,

(1.50)

розв'язне

або

відносно шуканої функції

Дх,у'),

(1.51)

або відносно аргументу

Ду,у').

(1.52)

Тоді воно інтегрується введенням параметра

р = у'.

Рівняння (1.51),

(1.52) переходять

алгебраїчні рівняння, диференціюючи

які

відповідно

по

або по у ,

отримуємо системи рівнянь:

/(х,р),

ІЇ

ІЇ.Ф (

дх

др сіх

або

Ду,р),

дГ_

дґ.±

С-54)

ду др сіу

цих

систем знаходяться відповідно загальні розв'язки рівнянь (1.51)

або (1.52)

явному

або

параметричному вигляді.

Рівняння Лагранжа

Клеро

Рівняння вигляду

= х<р(у') +

\у(у'),

(1.55)

де

ф, \|/ -

відомі функції, називається рівнянням Лагранжа.

Воно

частинним випадком рівняння (1.51).

Глава 1. Диференціальні рівняння

Якщо ф(у') = у', то рівняння (1.55) набирає вигляду

у = ху' + ч(у) (1.56)

і називається рівнянням Клеро.

Розв 'язання рівняння Лагранжа

Введемо параметр р = у', тоді рівняння Лагранжа

у = *9(/)

у(/)

записується у вигляді

у = х<р(р) + у(р). (1.57)

Диференціюючи (1.57) по х, дістанемо

р = ф(р) + (х ф'(р) + у'(р))-^

ах

або

р-ф(

) = (хф'(р) + ¥'(р))^, (1-58)

ах

отже,

(/5-ф(/?))— = д:ф'(р) +

\|/'(/?).

(1.59)

сір

Рівняння (1.59) є лінійним відносно невідомої функції х — х{р). Роз-

в'язавши його, знаходимо загальний розв'язок х = х(р,С) •

Треба мати на увазі, що при діленні рівняння (1.58) на — могли загу-

ах

битися розв'язки, для яких — = 0 , тобто р -

С0П8І.

Вважаючи р сталою, очевид-

ах

но,

що рівняння (1.58) задовольняється лише тоді, коли р є коренем рівняння

/>-ф(р) = 0

і якщо це рівняння має дійсні корені р = р, (/ = 1, «), то знайдені вище роз-

в'язки рівняння Лагранжа треба доповнити розв'язками

у = ху(р,) + \\і(р,) (/ = 1, п).

Якщо ці розв'язки не утворюються з загального ні за яких значень

довільної сталої, то вони є особливими розв'язками.

Розв 'язання рівняння Клеро

Введемо параметр р- у . Тоді рівняння Клеро

у = ху' + \ц(у')

запишемо у вигляді

у = хр + ц(р). (1.60)

§1.

Диференціальні рівняння першого порядку

Диференціюючи ліву та праву частини по х, отримаємо

Р = Р

+ Х

-Т +

У(Р)-Т-

ах ах

або

ах

Якщо — = 0 , то р = С і із (1.60) маємо загальний розв'язок рівнян-

ая

ня Клеро:

у = Сх + у(С). (1.61)

Якщо х + Ц>'(р) = 0, то дістанемо частинний розв'язок у параметрич-

ній формі:

х =

-у'(р),

у = -у\р)р +

У(р').

(1-62)

Цей розв'язок є особливим. Розв'язок (1.62) - однопараметрична сім'я

інтегральних прямих. Інтегральна крива, яка визначається рівнянням (1.61), є

обвідною сім'ї інтегральних прямих (1.62). Дійсно, обвідна деякої сім'ї

Ф(х,у,С) = 0 визначається рівняннями

Ф(х,г>,С) = 0

дФ

ас

= о.

Зауважимо, що існує практичне правило отримання розв'язку рівнян-

ня Клеро: замінюючи в рівнянні Клеро символ у' символом С , отримуємо

його загальний розв'язок. Диференціюючи цей розв'язок по С і виключаю-

чи С з системи двох рівнянь (загального розв'язку і результату диференцію-

вання), отримуємо особливий розв'язок.

Геометричні та фізичні задачі, що зводяться до розв'язання ди-

ференціальних рівнянь першого порядку

У задачах геометрії, в яких треба знайти рівняння кривої по заданій

властивості її дотичної, нормалі або площі криволінійної трапеції, викорис-

товується геометричне тлумачення похідної (кутовий коефіцієнт дотичної)

та інтеграла зі змінною верхнею межею (площа криволінійної трапеції з

рухомою обмежуючою ординатою).

Використовуються такі загальні формули для визначення відповід-

но:

довжин відрізків дотичної /, нормалі п, піддотичної а, і піднормалі .5„

(рис.

1.3).

1 =

—

УЬ

У'

Глава 1. Диференціальні рівняння

У_

УУ

У,

о х

Рис.

1.3

Використовується поняття ортогональної траєкторії. *

Ортогональними траєкторіями для однопараметричної сім'ї 5, лі-

ній у = Ф(х,а) називається інша сім'я 5

ліній, які перетинають лінії пер-

шої сім'ї під прямим кутом.

При складанні диференціального рівняння першою порядку в фі-

зичних задачах часто застосовується метод диференціалів, за яким набли-

жені співвідношення між малими приростами величин замінюються спів-

відношеннями між їх диференціалами.

Іншим методом складання диференціальних рівняння є використан-

ня фізичного змісту похідної як швидкості протікання процесу.

//. Контрольні питання та завдання

Яке рівняння називається диференціальним рівнянням

першого порядку?

Дайте означення загального і частинного розв'язків ди-

ференціального рівняння першого порядку.

Сформулюйте теорему Коші про існування та єдиність

розв'язку диференціального рівняння першого порядку.

Наведіть загальний вигляд диференціального рівняння

з відокремлюваними змінними.

Яке диференціальне рівняння називається однорідним

відносно змінних?

6. Які диференціальні рівняння зводяться до однорідних

відносно змінних?

§1.

Диференціальні рівняння першого порядку

Наведіть загальний вигляд лінійного диференціального

рівняння першого порядку.

Які

методи розв'язання лінійного диференціального рів-

няння першого порядку існують?

9. Запишіть рівняння Бернуллі

наведіть заміну змінних

для його розв'язання.

10.

Сформулюйте необхідну

достатню умови для того, щоб

рівняння

Р(х,у)сЬс + ()(х,у)(Іу =

було рівнянням

повних диференціалах.

11.

Які способи розв'язання рівняння

повних диференціа-

лах існують?

12.

Що таке інтегрувальний множник?

13.

Запишіть рівняння Лагранжа

Клеро.

14.

За

яких умов з'являються особливі розв'язки рівняння

Лагранжа?

///.

Приклади розв'язання задач

У цьому пункті розглянуто

прикладів розв'язання

за-

дач,

які за

своєю тематикою розподілились

так:

Основні поняття: приклади 1,

Диференціальні рівняння

відокремленими

та

відокрем-

люваними змінними

та

звідні

до

них: приклади

З -

б,

86).

Диференціальні рівняння, однорідні відносно змінних,

та звідні

до

них: приклади 7,

8а).

Лінійні диференціальні рівняння першого порядку:

приклади 9,

10.

Диференціальні рівняння Бернуллі: приклад

11.

6. Диференціальні рівняння Ріккаті: приклад

12.

Диференціальні рівняння

повних диференціалах

та

звідні

до

них: приклади 13,

14.

Глава 1. Диференціальні рівняння

8. Диференціальні рівняння, нерозв'язні відносно похід-

ної: приклад 15.

9. Диференціальні рівняння Лагранжа: приклад 16.

10.

Диференціальні рівняння Клеро: приклад 17.

11.

Задачі геометрії: приклади

18-21.

12.

Задачі фізики: приклади 22 - 26.

Основні поняття

Приклад 1. Перевірити, що задані функції є розв'язками

заданих диференціальних рівнянь:

8ІП х ,

а) у -; ху + у - соя х;

б)у = Сх

,СєК; ху'-3у = 0;

) У - У(

) задана неявно рівнянням

Р'(х,у)=Іп^-+ху+С=0, СєК; (х + х

у) у'= у - ху

^ . $'тх ,

• а) у -; ху + у = соз х .

Знаходимо у':

, X С05 X

—

5ІП X

У = і •

х~

Підставимо в ліву частину диференціального рівняння вирази для у

та у':

, X СОЗХ

—

8ІП X 8ІПХ 5ІПХ 5ІПХ

Ху

+ у- X Н = С05Х + = С05Х .

X X XX

Останнє означає, що функція у = ^Еіі

розв'язком заданого рівняння.

б) у = Сх\ СєК; ху'-3у=0.

Знаходимо у':

у'

= С- Зх

Підставимо в ліву частину диференціального рівняння вирази для у

та у':

ху'-Зу = х-ЗСх

-ЗСх

=0.

§1.

Диференціальні рівняння першого порядку

Останнє означає, що функція у = Сх

є розв'язком заданого рівняння.

в) Р(х,у)-\п — + ху + С-0\ (х + х

у)у'=

у-ху

Знаходимо у':

=—=г>

„,

х ( у \ 1 ху-\

ДЄ Р

= -• \+у = +у=-

У \ х~ ) х х

х 1 І ху + \

Р = + X = — + х = — .

ух у у

Підставивши, отримуємо вираз для у':

(ху-\)у _

(\-ху)у

у-ху

у = —

х(х.у-і-1) (ху + \)х

+ х

Звідси (х + X

у) у = у - ху

Це означає, що функція у = у(х), задана неявно вказаним рівнянням,

задовольняє заданому диференціальному рівнянню.

Аналогічний результат отримаємо, якщо продиференціювати обидві

частини рівняння Р(х,у) -

1п

— + ху + С - 0 , що задає функцію у = у(х) ,

по змінній х :

х ух-у ,

— •-—

- + у + ху =0.

У X

Після перетворень отримаємо задане диференціальне рівняння.

Приклад 2. Знайти диференціальне рівняння сім'ї кіл

+ у

= 2ах .

• Продиференціюємо обидві частини рівняння по х :

2х + 2уу' = 2а.

Виключимо параметр а з системи рівнянь

{

+ у

- 2ах,

х + уу - а.

Маємо х

+ у

=2(х + уу')х .

Звідки у

-х

= 2хуу .

Це є шукане диференціальне рівняння сім'ї кіл.

Глава 1. Диференціальні рівняння

Диференціальні

рівняння з відокремленими та

відокремлюваними

змінними та звідні до них

Приклад

3. Розв'язати рівняння

х(\ + у

)ах-у(\ +

)с1у

= 0.

•

Це рівняння з відокремлюваними змінними. Поділивши обидві його час-

тини на (1 + х

)(1 + у

) Ф 0, дістанемо рівняння з відокремленими змінними:

уау _ хах

+ у

\ + х

Далі проінтегруємо обидві частини рівняння. Для спрощення подаль-

шого потенціювання сталу С після інтегрування краще записати як

—

1п

С |,

отже,

уау е хах

+ у' -Ч+х

1 гСІ{\+у

) _ 1

(1(\+Х

)

]

+ у

~ 2>

]

^Іп(1 +у

) = ^Іп(1+х

) + ^Іп|С|, СФО.

Потенціюючи, дістанемо загальний інтеграл заданого рівняння:

=с, СФО.

+ х

При діленні обох частин диференціального рівняння на вираз

(\ + х

)(\ + у

) розв'язки не втрачені, бо

+ х

ФІЇ,

+ у

ф0 .А

Приклад

4. Розв'язати рівняння

(ху

)ах

(х

-х

у)с1у = 0.

•

Перетворимо ліву частину рівняння:

{х

+ \)ах+х

{\-у)ау = 0.

Поділимо обидві частини рівняння на х

Ф 0:

х+

, 1-у , .

——

ах

+—^-ау-0.

х у

Отримали рівняння з відокремленими змінними, отже,

Диференціальні рівняння першого порядку

у-\

ау,

У У"

<Ь>,

1п|х|-- = 1пЬ| + —+ С.

х У

Отже, загальний інтеграл має вигляд:

1п

х + у

ху

С.

Перевіримо, чи не втрачені розв'язки диференціального рівняння при

діленні заданого рівняння на х

0. Розв'язуємо рівняння х

_у

= 0. Воно

має розв'язки х = 0 і у

—

0, які є розв'язками загального диференціального

рівняння. Загальний інтеграл не містить цих розв'язків ні при якому чисель-

ному значенні С , тому х = 0 і у - 0 є особливими розв'язками і їх слід

виписувати додатково до загального інтеграла.

Отже, розв'язком заданого рівняння є:

Іп

х + у

ху

= С, х = 0, у = 0.-4

Приклад 5. Розв'язати рівняння

у = со$(у - х).

• Задане рівняння зводиться до рівняння з відокремленими змінними.

Покладемо

= у-х.

Тоді

г = у -І,

звідки перетворене рівняння набуде вигляду

2' +І =

С052

Відокремлюючи змінні, дістанемо

Інтегруємо:

С052

- І

СО&І

ах.

-і

25іп

зо

Глава 1. Диференціальні рівняння

= сій

—

+ С .

Повертаючись до старої змінної, маємо загальний інтеграл:

сщї~?--х

+ С = 0.

Відокремлюючи змінні, припускали, що соз г -1 * 0

Якщо соз г ~

= 0,

то у - х = 2кп, к =0,±\,... Ні при якому значенні сталої С ці розв'язки не

утворюються із загального інтеграла, вони є особливими. М

Приклад 6. Знайти частинний розв'язок рівняння

+ х

)

сіу

+ у

сіх

= 0,

який задовольняє початкову умову у(0) = 1.

• Відокремимо змінні та проінтегруємо дане рівняння. .

<іу _ ах

У ~ \+Х

•ау с ах

№4;

у "Ч + х-

1п |

у | = - агсі§ х + С .

Загальний інтеграл запишемо у вигляді:

1п І

+ агсг§ х = С .

Використовуючи початкову умову, знайдемо сталу С :

1п1+агсІ§0 = С => С = 0.

Знайдену сталу С - 0 підставимо в загальний інтеграл і отримуємо

шуканий частинний розв'язок у вигляді:

1п|у\ +агсІ§ х = 0

або

= е'

тявх

Диференціальні рівняння, однорідні відносно

змінних, та звідні до них

Приклад 7. Розв'язати рівняння

, х

+у

=-Г-2—

2х"